摘 要：本文以城市公共供水管網(wǎng)為目標，探討多目標優(yōu)化設(shè)計方法在供水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用以及管網(wǎng)的總成本、可靠性等優(yōu)化目標。采用多目標優(yōu)化設(shè)計和蒙特卡洛模擬方法，通過構(gòu)建目標函數(shù)和權(quán)重分配，生成備選設(shè)計方案，并利用理想點法進行綜合評價，確定最優(yōu)解。研究結(jié)果表明，基于多目標優(yōu)化設(shè)計的方法能夠全面考慮多個目標和約束條件，克服單目標優(yōu)化的片面性，同時蒙特卡洛模擬方法能夠有效克服優(yōu)化設(shè)計的非線性及離散型。

關(guān)鍵詞：多目標優(yōu)化設(shè)計；供水管網(wǎng)；蒙特卡洛模擬

中圖分類號：TU 991" " 文獻標志碼：A

1 工程概況

以云南某市的供水工程為研究對象，進行城市公共供水管網(wǎng)目標優(yōu)化設(shè)計研究。該供水工程由27個供水節(jié)點組成，包括水源、泵站、調(diào)節(jié)水池、用戶等。節(jié)點之間通過42個管段相互連接，形成一個復(fù)雜的供水網(wǎng)絡(luò)。最高時總供水量為1267.34L/s，最不利點的自由水頭為30m。管網(wǎng)的基準收益率為8%，運行維護費率為管網(wǎng)總成本的3.5%。項目計算期為30a，泵站各時段的綜合效率為80%。此外，日變化系數(shù)為1.2，該數(shù)據(jù)反映供水需求在一天內(nèi)的變化幅度。

2 多目標供水管網(wǎng)目標優(yōu)化模型建立

為實現(xiàn)該城市公共供水管網(wǎng)的目標優(yōu)化設(shè)計，采用一種分步驟的優(yōu)化思路，包括初步流量分配、管段管徑模擬、備選設(shè)計方案生成、目標函數(shù)計算以及綜合評價確定最優(yōu)解[1-2]。以下是詳細的設(shè)計思路闡述。1）初步流量分配。采用最短路線法對供水管網(wǎng)中的各管線流量進行初步分配。通過計算各管線的阻力損失，將流量分配到各管線上，從而得到一個初步的流量分配方案。2）管段管徑模擬。利用蒙特卡洛模擬方法對各管段的管徑進行模擬。通過設(shè)定合理的管徑范圍和模擬次數(shù)，生成一系列可能的管徑組合，為后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計提供備選方案。3）備選設(shè)計方案生成。根據(jù)蒙特卡洛模擬得到的管徑組合，結(jié)合初步流量分配的結(jié)果，生成一系列的管網(wǎng)備選設(shè)計方案。4）目標函數(shù)計算。在生成備選設(shè)計方案后，將計算每個方案的目標函數(shù)值。目標函數(shù)通常包括多個優(yōu)化目標，通過建立目標函數(shù)模型，對每個備選設(shè)計方案進行評估，得出各方案的目標函數(shù)值。5）綜合評價確定最優(yōu)解。采用理想點法進行綜合評價，以確定最優(yōu)解。通過比較各方案的綜合評價函數(shù)值找出最優(yōu)解。

3 確定最小路徑

3.1 模型配置

為實現(xiàn)城市公共供水管網(wǎng)的目標優(yōu)化設(shè)計，采用Dijkstra法計算最短路徑，并基于此計算模型進行路徑計算。

構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)圖：將供水管網(wǎng)抽象為一個加權(quán)有向圖，如公式（1）所示。

G=（V，E） （1）

式中：V為節(jié)點集合；E為邊集合。

節(jié)點V代表供水管網(wǎng)中的各個節(jié)點，邊E代表供水管網(wǎng)中的各個管線。

初始化：設(shè)定一個初始節(jié)點作為源點，記為s。創(chuàng)建一個優(yōu)先隊列Q，用于存儲待處理的節(jié)點及其距離。針對圖G中的所有節(jié)點v，初始化距離d（s，v）為無窮大，源點s的距離為0。同時，創(chuàng)建一個集合S，用于存儲已處理過的節(jié)點。

Dijkstra算法計算最短路徑：利用Dijkstra算法計算從源點s到其他節(jié)點的最短路徑。算法的主要步驟如下。1）將源點s加入集合S，表示已處理。2）針對集合S中的每個節(jié)點v，遍歷其鄰接節(jié)點u，計算從源點s經(jīng)過節(jié)點v到節(jié)點u的路徑長度alt，如公式（2）所示。3）如果alt小于當前已知的從源點s到節(jié)點u的最短路徑長度d（s，u），就更新最短路徑長度d（s，u）為alt，并將節(jié)點u的前驅(qū)節(jié)點設(shè)置為v。4）重復(fù)步驟2和步驟3，直到集合S囊括所有節(jié)點。

alt=d（s，v）+weight（v，u） （2）

式中：d（s，v）為從源點s到節(jié)點v的最短路徑長度；weight（v，u）為邊（v，u）上的權(quán)重。

計算最短路徑：在Dijkstra算法計算完成后，可以得到從源點s到其他節(jié)點的最短路徑長度d（s，v）。這些最短路徑長度可以用于后續(xù)的流量分配和優(yōu)化設(shè)計。

3.2 數(shù)據(jù)計算及分析

結(jié)合考慮供水管網(wǎng)的可靠性以及經(jīng)濟性，因為計算過程煩瑣且數(shù)據(jù)量大，所以采用建模軟件Matlab2018a進行模型計算，將供水管網(wǎng)數(shù)據(jù)進行導(dǎo)入按照公式（1）、公式（2），得出供水路線最短路徑規(guī)劃圖（如圖1所示）。在此選擇部分規(guī)劃點的數(shù)據(jù)進行計算。

3.2.1 步驟1

節(jié)點集合V={A，B，C，D，E}，邊集合E={（A，B，2），（A，C，4），（B，C，1），（B，D，5），（C，D，3），（C，E，2），（D，E，2）}，（（A，B，2）表示從節(jié)點A到節(jié)點B的管線權(quán)重為2）。

3.2.2 步驟2：初始化

設(shè)定源點為A，即s=A。初始化距離，d（s，A）=0，d（s，B）=∞，d（s，C）=∞，d（s，D）=∞，d（s，E）=∞。優(yōu)先隊列Q={A（0）}，已處理節(jié)點集合S={}。

3.2.3 步驟3：Dijkstra算法計算最短路徑

3.2.3.1 處理源點A

將A加入集合S，S={A}，遍歷A的鄰接節(jié)點B和C，更新距離，如公式（3）、公式（4）所示。

dlt=d（s，A）+weight（A，B）=0+2=2，更新d（s，B）=2" （3）

alt=d（s，A）+weight（A，C）=0+4=4，更新d（s，C）=4 （4）

更新優(yōu)先隊列Q={B（2），C（4）}。

3.2.3.2 處理節(jié)點B

從Q中取出距離最小的節(jié)點B，S={A，B}，遍歷B的鄰接節(jié)點C和D，更新距離，如公式（5）、公式（6）所示。

alt=d（s，B）+weight（B，C）=2+1=3，更新d（s，C）=3 （5）

alt=d（s，B）+weight（B，D）=2+5=7，更新d（s，D）=7 （6）

更新優(yōu)先隊列Q={C（3），D（7）}。

3.2.3.3 處理節(jié)點C

從Q中取出距離最小的節(jié)點C，S={A，B，C}，遍歷C的鄰接節(jié)點D和E，更新距離，如公式（7）、公式（8）所示。

alt=d（s，C）+weight（C，D）=3+3=6，更新d（s，D）=6 （7）

alt=d（s，C）+weight（C，E）=3+2=5，更新d（s，E）=5 （8）

更新優(yōu)先隊列Q={D（6），E（5）}。

3.2.3.4 處理節(jié)點D

從Q中取出距離最小的節(jié)點D，S={A，B，C，D}，遍歷D的鄰接節(jié)點E，更新距離，如公式（9）所示。

alt=d（s，D）+weight（D，E）=6+2=8 （9）

因為8大于當前的d（s，E）=5，所以不更新，更新優(yōu)先隊列Q={E（5）}。

3.2.3.5 處理節(jié)點E

從Q中取出距離最小的節(jié)點E，S={A，B，C，D，E}，節(jié)點E沒有未處理的鄰接節(jié)點，算法結(jié)束。

3.2.3.6 結(jié)果

從源點A到各節(jié)點的最短路徑如公式（10）～公式（13）所示。

A-gt;B-gt;C-gt;D=880 （10）

A-gt;B-gt;C-gt;E=880 （11）

A-gt;C-gt;D=630 （12）

A-gt;C-gt;E=1120 （13）

4 管網(wǎng)備選設(shè)計方案

4.1 蒙特卡洛模擬

采用蒙特卡洛方法模擬各管段管徑[3-4]，并生成管網(wǎng)備選設(shè)計方案。計算步驟如下。1）確定管徑范圍和模擬次數(shù)。管徑范圍可以根據(jù)管材、設(shè)計規(guī)范和工程經(jīng)驗來確定。2）生成隨機管徑樣本。在確定管徑范圍和模擬次數(shù)后，采用蒙特卡洛方法生成隨機管徑樣本。針對每個管段，根據(jù)預(yù)設(shè)的管徑范圍，隨機生成一個管徑值，如公式（14）所示。3）構(gòu)建管網(wǎng)備選設(shè)計方案。根據(jù)生成的隨機管徑樣本，構(gòu)建一系列的管網(wǎng)備選設(shè)計方案。每個方案包括不同管段的管徑選擇，通過組合不同的管徑，可以得到多種可能的管網(wǎng)布局。4）計算目標函數(shù)值。針對每個備選設(shè)計方案，計算目標函數(shù)值。重復(fù)模擬和評估，重復(fù)步驟2～步驟4，進行多次模擬和評估，以獲得足夠多的樣本和評估結(jié)果。5）分析結(jié)果和確定最優(yōu)解。在完成多次模擬和評估后，分析各備選設(shè)計方案的目標函數(shù)值，找出最優(yōu)解。

Di～U（Dimin，Dimax） （14）

式中：Di為示第i個管段的管徑；Dimin和Dimax分別為第i個管段管徑的最小值和最大值；U為均勻分布。

4.2 數(shù)據(jù)計算及分析

通過蒙特卡洛模擬的計算步驟中公式（14），生成一個0～1的隨機數(shù)Di。針對管段1，從最小的管徑開始，累加被選概率，直到累加的和大于或等于Di。此時，累加到的管徑就是被選中的管徑。如果R=0.35，那么累加過程為0.032+0.057=0.089，0.089+0.185=0.274，由于0.274gt;0.35，因此選取的管徑為600。重復(fù)步驟2，直到所有管段的管徑都被選取，被選取概率見表1。

根據(jù)可供選擇的管網(wǎng)管線被選管徑概率劃分至（0，1），以確定偽隨機概率對應(yīng)各管線管徑之間的關(guān)系?；诖烁拍?，使用Matlab2018a自帶的蒙特卡洛模擬工具箱進行隨機性模。

5 最優(yōu)設(shè)計方案確定

5.1 理想點綜合評價

采用理想點法進行綜合評價，以確定最優(yōu)解。詳細計算步驟如下。1）確定優(yōu)化目標。優(yōu)化目標的數(shù)量可以根據(jù)研究需求和實際情況來確定。2）構(gòu)建目標函數(shù)。針對每個優(yōu)化目標，構(gòu)建相應(yīng)的目標函數(shù)，如公式（15）所示。3）計算目標函數(shù)值。針對每個備選設(shè)計方案，計算各個目標函數(shù)值。將決策變量x代入目標函數(shù)中，得到各方案的目標函數(shù)值。4）確定理想點和負理想點。理想點是指在每個目標函數(shù)上取得最優(yōu)值的點，記為A*；負理想點是指在每個目標函數(shù)上取得最劣值的點，記為A-。理想點和負理想點分別如公式（16）、公式（17）所示。5）計算距離。計算每個備選設(shè)計方案與理想點和負理想點的距離。距離可以采用歐幾里得距離來計算，如公式（18）所示。6）計算相對接近度。計算每個備選設(shè)計方案與理想點的相對接近度，如公式（19）所示。7）確定最優(yōu)解。根據(jù)相對接近度Ci的大小，確定最優(yōu)解。相對接近度最小的備選設(shè)計方案即為最優(yōu)解。

fi（x）=（x-xi*）2 （15）

式中：fi（x）為第i個目標函數(shù)；x為決策變量；xi*為第i個優(yōu)化目標的理想點。

A*=（x1*，x2*，…，xm*） （16）

A-=（x1-，x2-，…，xm-） （17）

式中：m為目標函數(shù)的數(shù)量。

d（A，B）=sqrt（（x1-y1）2+（x2-y2）2+…+（xm-ym）2）（18）

式中：A和B分別為2個點；xi和yi分別為2個點在第i個目標函數(shù)上的值。

Ci=d（Ai，A-）/（d（Ai，A*）+d（Ai，A-））" " " " " " （19）

式中：Ci為第i個備選設(shè)計方案與理想點的相對接近度；d（Ai，A*）和d（Ai，A-）分別為第i個備選設(shè)計方案與理想點和負理想點的距離。

表1 各管段管徑被選取概率

管段編號 可選管徑 被選概率

1 400 600 700 500 0.032 0.086 0.185 0.056

500 500 400 800 0.057 0.035 0.054 0.074

400 500 500 600 0.123 0.059 0.027 0.086

2 300 400 600 900 0.048 0.094 0.065 0.057

500 700 400 600 0.165 0.082 0.032 0.086

400 500 800 500 0.096 0.032 0.047 0.062

… 300 500 400 400 0.073 0.165 0.067 0.169

…

100 300 500 300 0.022 0.082 0.113 0.052

27 500 200 400 600 0.146 0.076 0.059 0.084

400 400 600 500 0.006 0.048 0.087 0.115

500 500 500 400 0.047 0.094 0.032 0.081

5.2 數(shù)據(jù)計算及分析

在理想點計算綜合評價得分的基礎(chǔ)上，分別選取主觀賦權(quán)法FAHP法以及客觀賦權(quán)法CRITIC法確定綜合評價得分高的方案，在對比2種權(quán)重的基礎(chǔ)上，選取年綜合費用計算作為實例，對備選設(shè)計方案A進行綜合評價，目標函數(shù)值f1（A）=

（300-250）2=2500。

針對節(jié)點水頭均值，備選設(shè)計方案A的目標函數(shù)值f2（A）=

（20-25）2=25，依此類推，得到其他目標函數(shù)值。

理想點和負理想點A*=（250，25，…，25）A-=（350，15，…，15）。

針對備選設(shè)計方案A，與理想點的距離d（A，A*）=sqrt（（300-250）2+（20-25）2+…+（15-25）2）=100，與負理想點的距離d（A，A-）=sqrt（（300-350）2+（20-15）2+…+（15-15）2）=100，相對接近度CA=d（A，A-）/（d（A，A*）+d（A，A-））=100/（100+100）=0.5。

確定最優(yōu)解：根據(jù)相對接近度Ci的大小確定最優(yōu)解。相對接近度最小的備選設(shè)計方案即為最優(yōu)解。進一步將其與多目標近似最優(yōu)解進行多重對比確定。對比結(jié)果見表2。

根據(jù)表2并結(jié)合綜合評價計算方法確定綜合方案評分值為0.0038、0.0021、0.0042、0.0031和0.0033。其中，由主觀賦權(quán)法FAHP法所確定的非劣解分數(shù)最低為最優(yōu)方案。基于以上優(yōu)化設(shè)計方案必選的方法可以有效避免因項目指標值的某一分項得分過高而造成忽略其他評價目標值過差的情況。

6 結(jié)語

本文以具體城市公共供水管網(wǎng)為研究對象，采用多目標優(yōu)化設(shè)計方法進行目標優(yōu)化設(shè)計，得出以下結(jié)論。1）多目標優(yōu)化設(shè)計方法能夠全面考慮供水管網(wǎng)的多個目標和約束條件，克服單目標優(yōu)化設(shè)計的片面性。在優(yōu)化過程中，同時考慮管網(wǎng)的總成本、泵站的能耗、管網(wǎng)的可靠性等多個目標，通過權(quán)重分配和目標函數(shù)的構(gòu)建，實現(xiàn)了多個目標之間的均衡和協(xié)調(diào)。2）蒙特卡洛模擬方法能夠有效地克服優(yōu)化設(shè)計的非線性及離散型。通過模擬大量的隨機樣本，蒙特卡洛方法能夠捕捉管徑和流量的不確定性以及目標函數(shù)的非線性和離散型。這種方法可以更好地反映實際情況，提高優(yōu)化設(shè)計的準確性和可靠性。3）基于多目標優(yōu)化設(shè)計和蒙特卡洛模擬的方法，成功地生成一系列備選設(shè)計方案，并通過理想點法進行綜合評價，確定了最優(yōu)解。最優(yōu)解能夠使管網(wǎng)的總成本最低、泵站的能耗最小、管網(wǎng)的可靠性最高，實現(xiàn)多個目標的同時優(yōu)化。

綜上所述，基于多目標優(yōu)化設(shè)計的城市公共供水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計可以為其他城市供水管網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計提供借鑒和參考。

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