目的 為獲得樁側(cè)線性增長(zhǎng)分布力作用下土體的徑向及環(huán)向應(yīng)力理論解析解。 方法 通過(guò)彈性力學(xué)半無(wú)限空間軸對(duì)稱問(wèn)題微元體的幾何方程、本構(gòu)關(guān)系方程及使用積分方法。結(jié)果在半無(wú)限空間體內(nèi)部一集中豎向荷載下的cerruti位移解和Mindlin豎向正應(yīng)力解的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了單樁在三角形分布樁側(cè)阻力荷載條件下樁外任何一點(diǎn)土體的環(huán)向正應(yīng)力、徑向正應(yīng)力及徑向剪應(yīng)力等的理論解計(jì)算公式，并給出了計(jì)算機(jī)運(yùn)行通過(guò)的它們各自的VisualBasic程序代碼清單和計(jì)算案例。結(jié)論得出的計(jì)算公式及計(jì)算機(jī)計(jì)算程序?qū)槿婵紤]明德林效應(yīng)的樁基極限承載力效應(yīng)計(jì)算和沉降效應(yīng)計(jì)算等提供必要的理論支撐。

樁基礎(chǔ)； 多軸向應(yīng)力解； 半空間無(wú)限彈性體； 明德林效應(yīng)

TU473.1+1A

［定稿日期］2023-04-04

［基金項(xiàng)目］國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：50978171）

［作者簡(jiǎn)介］宋寶峰（1974—），男，碩士，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，研究方向?yàn)榻ㄖY(jié)構(gòu)、建筑施工。

0 引言

美國(guó)哥侖比亞大學(xué)Raymond D.Mindlin［1］教授在1936年推導(dǎo)出了半無(wú)限空間體內(nèi)部一集中力下的土體各向位移及多軸向應(yīng)力解公式，但其計(jì)算公式復(fù)雜臃長(zhǎng)，且沒(méi)有給出樁側(cè)側(cè)阻力對(duì)巖土產(chǎn)生的其他各類效應(yīng)的計(jì)算公式；2010年我國(guó)的學(xué)者宋東輝教授等［2］利用對(duì)稱性將半無(wú)限空間體的Mndlin問(wèn)題轉(zhuǎn)化為半無(wú)限空間體的Cerruti問(wèn)題給出樁端一豎向集中力下的土體各向位移相對(duì)簡(jiǎn)化的理論計(jì)算公式。本文在此Cerruti簡(jiǎn)化位移公式的基礎(chǔ)上通過(guò)積分方法得出了樁周三角形分布荷載下的土體各徑向及環(huán)向應(yīng)力解析解的具體計(jì)算公式。在樁基工程的沉降近似計(jì)算時(shí)，我國(guó)JGJ 94-2008［3］《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》僅考慮了土體在樁側(cè)、樁端阻力作用下的Mindlin豎向應(yīng)力下的貢獻(xiàn)，并給出了Mindlin豎向應(yīng)力的計(jì)算公式及表格，實(shí)際上土體在樁側(cè)、樁端阻力作用下的Mindlin徑向及環(huán)向應(yīng)力同樣會(huì)對(duì)土體的沉降效應(yīng)產(chǎn)生貢獻(xiàn)，特別是在考慮群樁效應(yīng)計(jì)算樁側(cè)及樁端極限承載力時(shí)產(chǎn)生的貢獻(xiàn)更不容忽視，所以對(duì)樁在復(fù)雜受力條件下土體的徑向及環(huán)向應(yīng)力解析解的研究具有重要意義。

本問(wèn)題屬于空間軸對(duì)稱問(wèn)題，設(shè)有一無(wú)限半空間彈性體（圖1），不考慮土體自重，E為土體的彈性模量，G為土體的剪切模量，距離地表面深度為a處有一樁端豎向集中力P0;在距離縱坐標(biāo)軸為r、距離樁頂平面深度為z處有一土粒微元體，ur為其徑向位移，w為其豎向位移，σz為其豎向應(yīng)力，σr為其徑向應(yīng)力，σθ為其環(huán)向應(yīng)力，τzr為其豎向徑向剪應(yīng)力。

簡(jiǎn)化后的Cerruti樁端集中力下的半無(wú)限空間土體任一點(diǎn)的位移公式［2］見(jiàn)式（1）、式（2）。

ur=P016πG（1-μ）［r（z-a）M3+r（z+a）N3］（1）

w=P016πG（1-μ）M［（3-4μ）+（z-a）2M2］+

P016πG（1-μ）N［（3-4μ）+（z+a）2N2］（2）

式中：μ為土體的泊松比；M=r2+（z-a）2；N=r2+（z+a）2，G=E2（1+μ）。

1 樁側(cè)線性增長(zhǎng)三角形分布荷載下四向應(yīng)力σz、σr、σθ、τzr解析解的求解

1.1 本問(wèn)題土體微元體的各向位移計(jì)算

本問(wèn)題屬于空間軸對(duì)稱問(wèn)題，設(shè)有一半無(wú)限空間彈性體（圖2），不考慮土體自重，E為土體的彈性模量，G為土體的剪切模量，在樁長(zhǎng)l范圍內(nèi)樁側(cè)土受正三角形分布側(cè)阻力荷載q（a）的作用，總合力為Q=Qs;在距離縱坐標(biāo)軸為r、距離樁頂平面深度為z處有一土粒微元體，ur為其徑向位移，w為其豎向位移，σz為其豎向應(yīng)力，σr為其徑向應(yīng)力，σθ為其環(huán)向應(yīng)力，τzr為其豎向徑向剪應(yīng)力。

可以利用上述樁端集中荷載下的土體任意點(diǎn)的位移公式［2］，通過(guò)樁長(zhǎng)范圍內(nèi)的側(cè)阻力位移貢獻(xiàn)積分求出本情況的土體任意點(diǎn)的位移公式，因?yàn)闃秱?cè)阻力成線性分布，故有：q（a）=2Qsal2，這里a為地表面至積分計(jì)算點(diǎn)的豎向距離，有式（3）、式（4）。

ur=∫l0q（a）16πG（1-μ）r（z-a）［r2+（z-a）2］32+r（z+a）［r2+（z+a）2］32da=rQs8πG（1-μ）l2l（l-z）2+r2-l（l+z）2+r2+ln（l+z）2+r2+（l+z）r2+z2+z-ln（l-z）2+r2+（l-z）r2+z2-z（3）

w=∫l0q（a）16πG（1-μ）3-4μr2+（z-a）2+（z-a）23r2+（z-a）2+3-4μr2+（z+a）2+（z+a）23r2+（z+a）2da

=Qs（3-4μ）8πG（1-μ）l2（l-z）2+r2+（l+z）2+r2-2r2+z2+zln［（l-z）+（l-z）2+r2r2+z2-z］-

zln［（l+z）+（l+z）2+r2r2+z2+z］+Qs8πG（1-μ）l2（l-z）2+r2+（l+z）2+r2-4r2+z2+

r2r2+（l-z）2+r2r2+（l+z）2+zln［（l-z）+（l-z）2+r2r2+z2-z］-

zln［（l+z）+（l+z）2+r2r2+z2+z］-z（l-z）（l-z）2+r2+z（l+z）（l+z）2+r2（4）

1.2 根據(jù)空間軸對(duì)稱問(wèn)題的幾何方程求出微元體各向應(yīng)變?chǔ)舝，εθ，εzr

應(yīng)用上述位移解的結(jié)論，由彈性力學(xué)空間軸對(duì)稱問(wèn)題［4］的結(jié)論本文進(jìn)一步推導(dǎo)出式（5）～式（7）。

εθ=urr=Qs8πG（1-μ）l2l（l-z）2+r2-l（l+z）2+r2+

ln［（l+z）2+r2+（l+z）r2+z2+z］-ln［（l-z）2+r2+（l-z）r2+z2-z］（5）

εr=urr=εθ+rQs8πG（1-μ）l2rl3（l+z）2+r2-rl3（l-z）2+r2+r［（l+z）2+r2］-0.5（l+z）2+r2+（l+z）-r［（l-z）2+r2］-0.5（l-z）2+r2+（l-z）+r（r2+z2）-0.5（r2+z2）0.5-z-r（r2+z2）-0.5（r2+z2）0.5+z（6）

γzr=urz+wr=rQs8πG（1-μ）l2l（z+l）［（l+z）2+r2］-1.5-l（z-l）［（l-z）2+r2］-1.5+dyc

+Qs（3-4μ）8πG（1-μ）l2r（l-z）2+r2+r（l+z）2+r2-2r（r2+z2）-0.5+syc

+Qs8πG（1-μ）l2dhj-4r（r2+z2）-0.5+syc+jcm-rz（z+l）［（l+z）2+r2］-1.5-rz（z-l）［（l-z）2+r2］-1.5（7）

注意式（7）中：

dyc=（z+l）［（l+z）2+r2］-0.5+1（l+z）2+r2+（l+z）-（z-l）［（l-z）2+r2］-0.5-1（l-z）2+r2+（l-z）+z（r2+z2）-0.5-1r2+z2-z-z（r2+z2）-0.5+1r2+z2+z

syc=zr［（l-z）2+r2］-0.5（l-z）+（l-z）2+r2-zr［（l+z）2+r2］-0.5（l+z）+（l+z）2+r2+rz（r2+z2）-0.5z2+r2+z-rz（r2+z2）-0.5z2+r2-z

dhj=r［（l-z）2+r2］-0.5+r［（l+z）2+r2］-0.5

jcm=2r（l+z）2+r2-r33r2+（l+z）2+2r（l-z）2+r2-r33（l-z）2+r2

這里εr為土粒微元體的徑向應(yīng)變，εθ為其環(huán)向應(yīng)變，γzr為其豎向徑向剪應(yīng)變。

1.3 根據(jù)空間軸對(duì)稱問(wèn)題的物理方程求出微元體各向應(yīng)力σr，σθ，σzr

σz可以在一些文獻(xiàn)資料中查找，是本問(wèn)題在半無(wú)限彈性體內(nèi)一向下的集中力土體豎向正應(yīng)力Mindlin［1］解直接積分得出的結(jié)果，例如可從GB 50007-2011《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》附錄R［5］中查找，本文這里就不再重復(fù)推導(dǎo)。根據(jù)空間軸對(duì)稱問(wèn)題的物理方程［4］：

εr=1E［σr-μ（σθ+σZ）］，εθ=1E［σθ-μ（σr+σZ）］

εz=1E［σz-μ（σθ+σr）］，γzr=τzrG

可以求出微元體各向應(yīng)力σr，σθ，σzr，見(jiàn)式（8）～式（10）。

σθ=Eεθ+Eμεr+μ（1+μ）σz1-μ2（8）

σr=Eεr+Eμεθ+μ（1+μ）σz1-μ2（9）

τzr=Gγzr（10）

式中的σz，εr，εθ，γzr由式（5）～式（7）可知是已知量，直接代入上式即可。但計(jì)算公式很長(zhǎng)，不宜手算，建議使用計(jì)算機(jī)程序處理。

2 程序化計(jì)算

根據(jù)上述多軸向應(yīng)力解計(jì)算公式編程，給出已經(jīng)運(yùn)行通過(guò)的VisualBasic程序代碼清單，物理及幾何參量與程序賦值變量對(duì)照見(jiàn)表1，Co mmand3命令執(zhí)行運(yùn)算（包括σz的計(jì)算），Co mmand4命令執(zhí)行退出計(jì)算（表1）。

Dim A As Double， B As Double， F As Double， m As Double， n As Double， Is1 As Double， Is2 As Double， Is3 As Double， r As Double， z As Double， v As Double， l As Double， Q As Double， xgm As Double， r1 As Double， E As Double， G As Double， er As Double， e0 As Double， xgmr As Double， xgm0 As Double， tzr As Double， rzr As Double

Private Sub Co mmand3_Click（）

Dim zlf As Double， zlz As Double， rzlf As Double， rzlz As Double， rz2 As Double

Dim v22 As Double， nv4 As Double， v272 As Double， m6 As Double， m12 As Double， AB As Double

Dim jzt As Double， dhj As Double， syc As Double， urz As Double， wr As Double， dyc As Double

l=Val（Text1.Text）：r=Val（Text2.Text）：z=Val（Text3.Text）：v=Val（Text4.Text）：Q=Val（Text5.Text）

m=z/l：n=r/l

A=（n^2+（m-1）^2）^0.5：B=（n^2+（m+1）^2）^0.5：F=（n^2+m^2）^0.5

v22=（2*（2-v）*（4*m+1）-2*（1-2*v）*（1+m）*m^2/n^2）/B

nv4=（4*v*n^2*m+4*m^3-15*n^2*m-2*（5+2*v）*（m/n）^2*（m+1）^3+（m+1）^3）/B^3

v272=（2*（7-2*v）*m*n^2-6*m^3+2*（5+2*v）*（m/n）^2*m^3）/F^3

m6=（6*m*n^2*（n^2-m^2）+12*（m/n）^2*（m+1）^5）/B^5

m12=（12*（m/n）^2*m^5+6*m*n^2*（n^2-m^2））/F^5

AB=2*（2-v）*Log（（A+m-1）*（B+m+1）/（F+m）^2）

Is3=（2*（2-v）/A-v22-（2*（1-2*v）*m^3/n^2-8*（2-v）*m）/F-（m*n^2+（m-1）^3）/A^3-nv4-v272-m6+m12+AB）/（4*3.1415926*（1-v））

xgm=-Q*Is3/l^2

Label7.Caption=xgm

E=1：G=E/2/（1+v）

zlf=z-l：zlz=z+l：rzlf=Sqr（r^2+zlf^2）：rzlz=Sqr（r^2+zlz^2）：rz2=（r^2+z^2）^0.5

e0=Q*（l/rzlf-l/rzlz+Log（（rzlz+zlz）/（rz2+z））-Log（（rzlf-zlf）/（rz2-z）））/（8*3.1415926*G*（1-v）*l^2）

er=e0+r^2*Q*（-l/rzlf^3+l/rzlz^3+1/rzlz/（rzlz+zlz）-1/rz2/（rz2+z）+1/rz2/（rz2-z）-1/rzlf/（rzlf-zlf））/（8*3.1415926*G*（1-v）*l^2）

xgm0=（E*e0+E*v*er+v*（1+v）*xgm）/（1-v^2）

xgmr=（E*er+E*v*e0+v*（1+v）*xgm）/（1-v^2）

Label11.Caption=xgmr

Label12.Caption=xgm0

jzt=Q/（8*3.1415926*G*（1-v）*l^2）

dhj=r/rzlf+r/rzlz

syc=z*r/rzlf/（rzlf-zlf）-z*r/rzlz/（rzlz+zlz）+r*z/rz2/（rz2+z）-r*z/rz2/（rz2-z）

dyc=（zlz/rzlz+1）/（rzlz+zlz）-（zlf/rzlf-1）/（rzlf-zlf）+（z/rz2-1）/（rz2-z）-（z/rz2+1）/（rz2+z）

urz=r*jzt*（l*zlz/rzlz^3-l*zlf/rzlf^3+dyc）

wr=jzt*（3-4*v）*（dhj-2*r/rz2+syc）+jzt*（dhj-4*r/rz2+syc-r*z*zlz/rzlz^3-r*z*zlf/rzlf^3+（2*r*rzlz-r^3/rzlz）/（rzlz^2）+（2*r*rzlf-r^3/rzlf）/（rzlf^2））

rzr=urz+wr

tzr=G*rzr

Label14.Caption=tzr

End Sub

Private Sub Co mmand4_Click（）

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End Sub

3 工程案例

設(shè)有一工程樁，樁長(zhǎng)12 m，樁側(cè)土泊松比為0.35，三角形分布樁側(cè)摩阻力的合力為1 500 kN，求距離樁中心0.9 m，距離地表面6 m深度土體微元體的各向應(yīng)力。

將上述數(shù)據(jù)輸入上述計(jì)算機(jī)程序，程序計(jì)算輸出結(jié)果：

σz=7.46863824175291 kPa

σr=0.421561243137828 kPa

σθ=-2.03487583200403 kPa

τzr=-21.6280564355353 kPa

本案例的明德林精確解：

σz=7.4686592470 kPa;σr=0.420367522097909 kPa

σθ=-2.031833913392 kPa;τzr=-21.7538514615124 kPa

4 結(jié)論

（1）由于本文基于Cerruti方法：將半無(wú)限體內(nèi)一集中力的反應(yīng)等價(jià)于兩個(gè)集中力共線對(duì)稱布置的全無(wú)限空間體的反應(yīng)，也就是力學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)正對(duì)稱、外力反對(duì)稱問(wèn)題，即在兩個(gè)半無(wú)限體交界面上徑向正應(yīng)力正對(duì)稱、豎向正應(yīng)力反對(duì)稱、剪應(yīng)力反對(duì)稱，故交界面上的豎向正應(yīng)力只能為零，符合半無(wú)限體邊界條件，交界面上的剪應(yīng)力可不為零，不符合半無(wú)限體邊界條件。因此本文得出的單樁在樁側(cè)線性增長(zhǎng)阻力條件下樁外任何一點(diǎn)土體的環(huán)向正應(yīng)力、徑向正應(yīng)力解是合理的解析解；豎向正應(yīng)力公式直接采用的是本問(wèn)題的R.D.Mindlin積分解；本文得出的徑豎向剪應(yīng)力公式對(duì)于分布力共線對(duì)稱布置的全無(wú)限空間體是合理的解析解，對(duì)于本問(wèn)題的半無(wú)限空間體的水平界面的一定鄰域內(nèi)是非合理的，應(yīng)用于樁基問(wèn)題的計(jì)算時(shí)這個(gè)鄰域范圍內(nèi)的應(yīng)力解應(yīng)舍去，進(jìn)一步分析會(huì)發(fā)現(xiàn)，距離水平界面及樁身較遠(yuǎn)的區(qū)域本文給出的徑豎向剪應(yīng)力的誤差會(huì)越來(lái)越小。

（2）本文得出的單樁在線性增長(zhǎng)三角形分布樁側(cè)阻力條件下樁外任何一點(diǎn)土體的環(huán)向正應(yīng)力、徑向正應(yīng)力及豎徑向剪應(yīng)力的理論解計(jì)算公式可為樁基礎(chǔ)的極限承載力計(jì)算提供必要的理論支撐，本文得出的同類問(wèn)題的土體的豎向位移、水平位移計(jì)算公式亦可為樁基礎(chǔ)的沉降和變形計(jì)算提供必要的理論支撐。

（3）本文給出的VB機(jī)算程序可以使有關(guān)計(jì)算方便、快捷，可以直接進(jìn)行快速工程應(yīng)用。

（4）本文雖然只給出了一種力邊界條件下的單樁周圍巖土多軸向應(yīng)力和位移的計(jì)算公式，但這些公式也可與其他力邊界條件同時(shí)作用下的情況進(jìn)行疊加計(jì)算，綜合應(yīng)用于實(shí)際復(fù)雜的樁基工況，例如群樁效應(yīng)、成樁擠土穿刺效應(yīng)等問(wèn)題的研究。

（5）本文在建立有關(guān)力學(xué)模型時(shí)，把樁側(cè)阻力假設(shè)成柔性的線荷載，未考慮樁徑和樁體自身剛度對(duì)單樁周圍巖土效應(yīng)的影響，這樣會(huì)使樁土界面附近的巖土顆粒各向應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)誤差，關(guān)于這方面的研究有待進(jìn)一步的深入。

參考文獻(xiàn)

［1］ Raymond D. Mindlin. Force at a Point in the Interior of a Semi-infinite Solid［J］.Physics，1936，7（5）：195-202.

［2］ 宋東輝，徐晶.半無(wú)限空間體Mindlin問(wèn)題的新解法及應(yīng)用［J］.水電能源科學(xué)，2010，28（9）：101-103.

［3］ 中華人民共和國(guó)住房與城鄉(xiāng)建設(shè)部.建筑樁基技術(shù)規(guī)范： JGJ 94-2008［S］. 北京：中國(guó)建筑出版社，2013.

［4］ 薛守義.彈塑性力學(xué)［M］. 北京：中國(guó)建材工業(yè)出版社，2005.

［5］ 中華人民共和國(guó)住房與城鄉(xiāng)建設(shè)部.建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范： GB 50007-2011［S］. 北京：中國(guó)建筑出版社，2012.

［6］ 中華人民共和國(guó)住房與城鄉(xiāng)建設(shè)部.建筑地基處理技術(shù)規(guī)范： JGJ 79-2012［S］. 北京：中國(guó)建筑出版社，2013.

［7］ 彭衛(wèi)平.巖土工程參數(shù)分析評(píng)價(jià)［J］.中國(guó)勘察設(shè)計(jì)，2005（4）：38-40.

［8］ 葉建忠，周健.關(guān)于樁端阻力問(wèn)題的分析與研究現(xiàn)狀［J］.建筑科學(xué)，2006，22（2）：64-68.