摘 要：對隨機事件的獨立性進行了探究，分析了兩個事件、三個事件獨立性的本質(zhì)，說明條件的不可或缺性，并從多個角度給出了判斷事件獨立性的方法。通過數(shù)形結合闡述事件間相互獨立、互不相容和互不影響的區(qū)別與聯(lián)系，進一步加深對獨立性的理解。最后通過例題，證明相互獨立的三個事件的一些結論，并說明三個事件兩兩獨立與相互獨立的不同。

關鍵詞：概率論 隨機事件 獨立性 相容

中圖分類號：O211.2-4

Exploration of the Independence of Random Events

FAN Feiya WU Wenbin YANG Zehui

China Maritime Police Academy， Ningbo， Zhejiang Province， 315801 China

Abstract： This article explores the independence of random events and analyzes the essence of the independence of two or three events， explains the indispensability of conditions， and proposes methods for judging event independence from multiple perspectives. By combining numbers and shapes， it explains the differences and connections between events that are mutually independent， incompatible， and have no impact on each other， we can further deepen our understanding of independence. Finally， through examples， it proves some conclusions about the three indeikb+hSAfuntWs+izu9qsHlue9HFSRL9mkQjyP+VnGak=pendent events and explains the differences between the pairwise independence and mutual independence of the three events.

Key Words： Probability theory; Random events; Independence; Compatible

隨機事件的獨立性是概率論中一個基本的概念，對多個事件概率的計算，隨機變量的數(shù)字特征等相關問題，都有著重要的應用。在教材中，通常是用公式來定義事件的獨立性，看似簡潔明了，卻缺乏對獨立性的深刻闡述。這使得學生只知道用公式驗證事件的獨立性，而對什么是獨立性，仍是一知半解[1]。劉淑環(huán)[2]與周越[3]對事件的獨立性進行了粗略的探討，指出事件的獨立性就是事件在發(fā)生的可能性上沒有相互影響，但是沒有對獨立性進行深刻剖析。本文先是對獨立性的本質(zhì)進行探究，較全面地分析了事件的相互獨立、互不相容與互不影響的異同，并進一步用例題加以說明。

1 概念準備

1.1 兩事件相互獨立

設是兩個事件，如果滿足等式，則稱事件相互獨立，簡稱獨立[4，5]。

1.2 三事件相互獨立

設是三個事件，如果滿足等式

則稱事件相互獨立[4，5]。

2 事件獨立的本質(zhì)

2.1 兩事件相互獨立的本質(zhì)

設有全集，事件，令表示中樣本點的個數(shù)，表示中樣本點的個數(shù)，表示中樣本點的個數(shù)。判斷與獨立的方法如下：

（1）通過獨立的定義得出

（2）當時，的發(fā)生與否對的發(fā)生與否沒有影響，即[6]

（3）當時，在中的占比等于在全集中的占比，或者在中的占比等于在中的占比[7]，即

或

2.2 三個事件相互獨立的本質(zhì)

設有全集，事件如圖1所示。

對于3個事件的相互獨立，除了要有與、與、與相互獨立，還要有與（或與、或與）相互獨立，這樣就能保證與形成的任何事件（或與形成的任何事件，或與形成的任何事件）都是獨立的，即有[8]

在上述小節(jié)1.2中，若只滿足條件（1）-（3），則稱事件是兩兩獨立。即一組事件中，任何一個事件發(fā)生都不會影響另一個事件發(fā)生的概率。只有當滿足（1）-（4）時，才稱事件是相互獨立。即一組事件中，任何個事件的發(fā)生都不會影響另一個事件發(fā)生的概率。相互獨立包括兩兩獨立，但一般比兩兩獨立的要求更高一些。

2.3 事件的相互獨立、互不相容和互不影響

（1） 如圖2所示，。當發(fā)生時，必然導致不發(fā)生，即的發(fā)生與否對的發(fā)生與否造成了影響，故與互不相容，相互不獨立，相互有影響。

（2）如圖3所示，。因，故與相互獨立，互不影響但是相容。

由（1）與（2）可知，當時，相互獨立與互不影響等價，且有相互獨立與互不相容不能同時成立。

（3）當時，不管或，都有

此時，與同時滿足相互獨立，互不影響以及互不相容。

（4）如圖4所示，：線段ef，：gbdh圍成的矩形，即，于是有：

此時，與滿足相互獨立與互不影響，但是與相容。

（5）如圖5所示，：線段ac，：S中去掉ac剩下的部分，即，于是有：

此時，與滿足相互獨立與互不相容，但是與相互有影響。

由上述（3）-（5）敘述可知，概率為的事件與任意事件獨立，但是兩事件獨立不一定沒有影響，兩事件無影響則一定相互獨立。

3 例題講解

例1 設三事件相互獨立，試證[9，10]：

（1）與相互獨立；

（2）與相互獨立；

（3）與相互獨立；

（4）與相互獨立。

解：因三事件相互獨立，由1.2得

（1）

故與相互獨立。

（2）故與相互獨立。

（3）

，故與相互獨立。

（4）

故與相互獨立。

當三事件相互獨立時，必然會有與形成的任何事件都獨立，與形成的任何事件都獨立，與形成的任何事件都獨立。

例2 試驗：拋擲一枚骰子兩次，：第一次擲出了一個偶數(shù)，：第二次擲出了一個偶數(shù)，：兩次擲出的點數(shù)之和是偶數(shù)，：試驗的樣本空間。

解：用分別表示集合中樣本點的個數(shù)，得

于是

從而有，即兩兩獨立，但是

即不是相互獨立。

對本題分析可知，因為，所以發(fā)生時，必有發(fā)生，與具有一定的依賴關系。且有

故的發(fā)生對造成了影響。

例3 班里共100個學生，有71人參加運動會。其中參加跑步的有50人，參加跳遠的有20人，參加游泳的有30人，跑步和跳遠都參加的有9人，跑步和游泳都參加的有13人，跳遠和游泳都參加的有10人，跑步，跳遠和游泳三項都參加的有3人。試分析參加跑步的學生、參加跳遠的學生和參加游泳的學生，這三個事件之間的獨立性。

解：記參加跑步的學生為，參加跳遠的學生為，參加游泳的學生為，如圖6所示。

可得由形成的事件的概率分別為

從而有，但是

綜上所述，對于三個事件，即使有成立，也不一定有兩兩獨立，更別說相互獨立了。

4 結語

獨立性是概率論中的一個重要概念，在深刻理解事件獨立性的基礎上，準確把握事件的相互獨立、互不相容與互不影響的區(qū)別與聯(lián)系。如此，可以讓學生從本質(zhì)上理解事件的獨立性，在判斷多個事件的獨立性時更加邏輯清晰，條理分明。

參考文獻

[1]朱德剛，何念念，陳仕榮.關于獨立性的若干反例[J].高等數(shù)學研究，2019，22（1）：79-80，114.

[2]劉淑環(huán).隨機事件相互獨立和兩兩獨立性的探究[J].中小企業(yè)管理與科技（上旬刊），2019（4）：181-182.

[3]周越.隨機事件獨立性的三個認識誤區(qū)[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2016，37（29）：164-165.

[4]盛驟，謝士千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[5]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理教程[M].3版.北京：高等教育出版社，2019.

[6]程?？?，章建躍.通過隨機變量刻畫隨機現(xiàn)象加深理解隨機思想[J].數(shù)學通報，2022，61（1）：9-14，19.

[7]段燕.淺析概率論的獨立性[J].呂梁教育學院學報，2014，31（2）：99-100.

[8]程?？?，章建躍.用樣本空間刻畫隨機現(xiàn)象定義隨機事件的概率發(fā)展學生的隨機觀念[J].數(shù)學通報，2021，60（5）：1-9，17.

[9]楊芝艷.概率論中事件獨立性的幾個命題[J].佳木斯職業(yè)學院學報，2015（4）：277-278.

[10]韓燕玲.隨機事件的獨立性及其應用[J].數(shù)學學習與研究，2023（14）：8-10.