摘 要：為了研究蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)特性，本文采用集中參數(shù)法建立含齒側(cè)間隙、綜合傳動(dòng)誤差、時(shí)變嚙合剛度等非線性因素的蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型。使用4階變步長(zhǎng)Runge-Kutta法對(duì)蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值仿真。通過(guò)分岔圖、相圖和Poincaré映射圖分析系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)特性。結(jié)果表明，系統(tǒng)經(jīng)歷了擦邊分岔、跳躍分岔以及連續(xù)的倍化分岔，使其從周期1運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為混沌運(yùn)動(dòng)；隨著嚙合阻尼比逐漸增大，高周期和混沌運(yùn)動(dòng)逐漸變?yōu)榉€(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)；進(jìn)行系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)時(shí)，選取合理的嚙合阻尼比可以提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：蝸輪蝸桿；非線性；分岔

中圖分類號(hào)：TH 132" " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)效率高、工藝性好以及反向自鎖等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、自動(dòng)駕駛汽車和智能家居等高科技領(lǐng)域。隨著蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)效率和承載能力不斷提高，使其滿足更高品質(zhì)的產(chǎn)品需求并減少齒輪副沖擊振動(dòng)和噪聲是目前亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題[1]。蝸輪蝸桿齒輪副嚙合時(shí)發(fā)生沖擊振動(dòng)是不可避免的，會(huì)影響蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)甚至整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的安全性。因此，對(duì)蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的沖擊特性進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)研究十分必要。

蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)特性分析通常使用理論推導(dǎo)分析系統(tǒng)，采用數(shù)值計(jì)算進(jìn)行仿真驗(yàn)證。楊艷通過(guò)分析雙參數(shù)空間內(nèi)齒輪副動(dòng)態(tài)響應(yīng)與傳遞誤差間的關(guān)系，驗(yàn)證了極端工況條件導(dǎo)致的齒輪副跳躍、脫嚙等異常振動(dòng)現(xiàn)象[2]。莫帥等研究了高速重載人字齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定性與各類關(guān)鍵參數(shù)的正、負(fù)相關(guān)關(guān)系，探究了不同因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響[3]。

1 動(dòng)力學(xué)模型

含齒側(cè)間隙、支撐間隙的蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)彎扭軸耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示，其中主動(dòng)齒輪1為蝸桿，從動(dòng)齒輪2為渦輪。

支撐蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的滾動(dòng)軸承被等效為線性彈簧和線性阻尼。使用牛頓第二定律可得系統(tǒng)微分方程，其彎扭軸耦合運(yùn)動(dòng)微分方程如公式（1）所示。

（1）

式中：Xi、Yi、Zi（i=1，2，3，4）分別為系統(tǒng)沿X、Y、Z軸方向的振動(dòng)位移；Tg、Te分別為兩軸上的扭矩；I1、I2分別為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Kij、Cij（i=1，2；j=x，y，z）分別為系統(tǒng)的支撐剛度、支撐阻尼；M1、M2分別為蝸桿和蝸輪的質(zhì)量。

公式（1）中，蝸輪蝸桿嚙合間的動(dòng)態(tài)嚙合力及其沿坐標(biāo)方向X、Y、Z的分力依次如公式（2）所示。

（2）

公式（1）中的非線性間隙函數(shù)統(tǒng)一為公式（3）。

（3）

式中：X代表齒側(cè)位移和振動(dòng)位移；B代表齒側(cè)間隙和支撐間隙。

蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)因傳遞誤差和振動(dòng)產(chǎn)生沿嚙合線方向的相對(duì)位移Xn如公式（4）所示。

Xn=（X1-X2+R1θ1）cosαnsinβ+（Y1-Y2）sinαn-（Z1-Z2-R2θ2）cosαncosβ-En（τ） （4）

式中：Ri（i=1，2）為蝸桿和渦輪的分度圓半徑；αn為齒輪法向壓力角；β為蝸桿的導(dǎo)程角；En（）為綜合傳遞誤差，如公式（5）[4]所示。

En（τ）=Emcos（Ωτ+ψ1） " "（5）

為使公式簡(jiǎn)潔，令a1=cosαnsinβ，a2=sinαn，a3=cosαncosβ。

引入齒輪系統(tǒng)的特征頻率，選定特征尺寸bc，對(duì)系統(tǒng)的辨識(shí)參數(shù)進(jìn)行處理，可得xi=，yi=，zi=，

b=，em=，無(wú)量綱時(shí)間t=ωnτ，無(wú)量綱頻率ω=Ω/ωn。將上述無(wú)量綱參數(shù)帶入公式（1），可得蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的無(wú)量綱微分方程，如公式（6）所示。

（6）

公式（6）中的參數(shù)經(jīng)過(guò)無(wú)量綱化后，如公式（7）所示。

（7）

2 非線性動(dòng)態(tài)特性分析

將蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)嚙合周期作為龐加萊截面，選擇合理的龐加萊截面可以更簡(jiǎn)潔、清晰地分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。使用C語(yǔ)言進(jìn)行編程，采用4階變步長(zhǎng)龍格庫(kù)塔法為數(shù)值計(jì)算方法。利用計(jì)算機(jī)對(duì)無(wú)量綱化后的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行計(jì)算求解，得到系統(tǒng)的全局分岔圖、相軌跡和Poincaré映射的疊加圖，結(jié)合這些圖像全面分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的主要設(shè)計(jì)參數(shù)如下：模數(shù)m=4mm，蝸桿齒數(shù)z1=3，蝸桿的直徑d1=44mm，渦輪齒數(shù)z1=37，法向壓力角αn=20°，主要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)見(jiàn)表1。

2.1 嚙合頻率對(duì)系統(tǒng)的影響

在以上述設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)不變的情況下，選擇渦輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合阻尼比ξ＝0.08，變量參數(shù)選擇無(wú)量綱嚙合頻率ω∈[0.1，2.5]，輸出參數(shù)選擇系統(tǒng)的相對(duì)嚙合位移，蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的位移-頻率分岔圖如圖2所示。從圖2中可以得出，當(dāng)無(wú)量綱嚙合頻率ω∈[0.1，0.5089]時(shí)，蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行周期1運(yùn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的齒輪副為完全嚙合狀態(tài)。齒輪系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，每對(duì)輪齒始終嚙合，齒輪間的無(wú)沖擊振動(dòng)發(fā)生。當(dāng)嚙合頻率ω=0.5089時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)始發(fā)生擦邊運(yùn)動(dòng)，此時(shí)齒輪副仍無(wú)沖擊振動(dòng)，虛線表示兩齒間的間隙，可以看到系統(tǒng)的相對(duì)位移剛好碰上。當(dāng)ω繼續(xù)增大時(shí)，齒側(cè)逐漸開(kāi)始產(chǎn)生沖擊振動(dòng)，系統(tǒng)進(jìn)行單次碰撞的周期1運(yùn)動(dòng)。ω=0.5673時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生跳躍分岔。雖然系統(tǒng)處于周期1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但跳躍分岔的出現(xiàn)導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生明顯變化，說(shuō)明跳躍分岔干擾了系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)行。繼續(xù)增大無(wú)量綱嚙合頻率ω，當(dāng)系統(tǒng)穿越倍化分岔點(diǎn)ω=0.8736時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期發(fā)生改變，由周期1運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ω=0.9時(shí)，相軌跡2次穿越Poincaré截面，齒輪副發(fā)生沖擊碰撞的次數(shù)增加。當(dāng)ω繼續(xù)增大時(shí)，系統(tǒng)再次發(fā)生跳躍分岔，齒輪副的運(yùn)動(dòng)由此發(fā)生改變，使系統(tǒng)變成單次碰撞，系統(tǒng)還處于周期2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)ω接近1.3時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變得不穩(wěn)定，在較短時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)連續(xù)發(fā)生倍化分岔且速度越來(lái)越快，系統(tǒng)由周期2運(yùn)動(dòng)迅速轉(zhuǎn)遷為周期4運(yùn)動(dòng)，繼而進(jìn)入周期8運(yùn)動(dòng)等高周期運(yùn)動(dòng)，最終變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)混亂，有很多點(diǎn)穿過(guò)Poincaré截面，無(wú)法查看運(yùn)動(dòng)周期。此時(shí)，蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪間的碰撞次數(shù)變多，齒輪受到較大沖擊，處于危險(xiǎn)狀態(tài)。隨著ω繼續(xù)增大，高周期和混沌行為逐漸減弱，呈下降趨勢(shì)。系統(tǒng)又在較短時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)連續(xù)逆倍化分岔，從混沌轉(zhuǎn)遷為周期4運(yùn)動(dòng)，最終變?yōu)橹芷?運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的運(yùn)行慢慢恢復(fù)穩(wěn)定。當(dāng)ω≥1.7195時(shí)，系統(tǒng)最終退化為穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)，可以看出系統(tǒng)在高頻區(qū)穩(wěn)定運(yùn)行，嚙合狀態(tài)保持良好。

2.2 嚙合阻尼比對(duì)系統(tǒng)的影響

嚙合阻尼比是保證蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵參數(shù)，對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)行可靠性和減振降噪具有重要作用。為分析嚙合阻尼比對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，選取系統(tǒng)的嚙合阻尼比ξ=1.0和ξ=1.2，無(wú)量綱嚙合頻率ω區(qū)間依舊為[0.1，2.5]，輸出參數(shù)為系統(tǒng)的相對(duì)位移，保持設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)不變，得到如圖3所示的位移-頻率分岔圖。與圖2進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)，在低頻區(qū)，系統(tǒng)的運(yùn)行基本一致，嚙合阻尼比ξ的變化對(duì)系統(tǒng)發(fā)生的跳躍分岔無(wú)明顯影響。在系統(tǒng)從低頻區(qū)向高頻區(qū)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，齒側(cè)間的沖擊振動(dòng)會(huì)突然增大2次，影響了齒輪的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。但是隨著嚙合阻尼比ξ增大，系統(tǒng)在ω∈[1.35，1.6]內(nèi)的復(fù)雜混沌行為開(kāi)始慢慢消失，運(yùn)動(dòng)周期逐漸減少，最終轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。說(shuō)明嚙合阻尼比對(duì)蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)在高頻區(qū)的運(yùn)行影響較大，通過(guò)選擇合理的嚙合阻尼比，不僅可有效減少高頻區(qū)的混沌運(yùn)動(dòng)，降低齒輪間的沖擊振動(dòng)，還能保證齒輪嚙合傳動(dòng)穩(wěn)定運(yùn)行，有利于提升系統(tǒng)精度和性能，滿足更高的工業(yè)需求。

3 結(jié)論

本文建立了含彎扭軸三方向的蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了不同嚙合頻率和嚙合阻尼比下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，主要結(jié)論如下所示。1）隨著ω增大，系統(tǒng)經(jīng)歷擦邊分岔、跳躍分岔和連續(xù)倍化分岔后，快速進(jìn)入高周期直至混沌運(yùn)動(dòng)，又通過(guò)連續(xù)逆倍化分岔退化為穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)。2）隨著ξ不斷增大，系統(tǒng)的高周期和混沌運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜行為逐漸消失，最終穩(wěn)定運(yùn)行。合理提高齒輪副的嚙合阻尼比ξ，可以有效減少系統(tǒng)在高頻域的復(fù)雜行為，有利于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減少齒輪間的沖擊振動(dòng)和噪聲。

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