［摘 要］描述和分析數(shù)量關(guān)系是幾何直觀的內(nèi)在旨趣。在分析數(shù)量關(guān)系時，幾何直觀能夠?qū)⒊橄蟾拍罹呦蠡?，揭示隱含信息，構(gòu)建直觀模型，指明分析方向。在教學實踐中，結(jié)合問題解決的具體過程，可以通過“根據(jù)實際情況，確定圖形類型”“精準把握問題，合理繪制圖形”“培養(yǎng)析圖能力，明晰數(shù)量關(guān)系”等策略來設(shè)計教學，幫助學生學會借助幾何直觀分析數(shù)量關(guān)系。

［關(guān)鍵詞］幾何直觀；數(shù)量關(guān)系；小學數(shù)學

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）35-0096-03

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）將“數(shù)量關(guān)系”單獨列為一個學習主題，這一變化充分凸顯了數(shù)量關(guān)系教學的重要地位?！墩n程標準》指出，數(shù)量關(guān)系主要是用符號或含有符號的式子表達數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律。對數(shù)量關(guān)系的教學可以利用畫圖、實物操作等方法，引導學生用學過的知識表達情境中的數(shù)量關(guān)系，體會幾何直觀。因此，在實際教學中，教師應采用畫圖的方法幫助學生分析數(shù)量關(guān)系。

一、幾何直觀的內(nèi)在旨趣

（一）從幾何直觀的內(nèi)涵來說

幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。其定義包含三個要點：第一，幾何直觀被界定為一種意識和習慣；第二，圖表是幾何直觀研究問題的主要工具；第三，描述和分析問題是幾何直觀的主要作用。其中的第三點需要結(jié)合數(shù)學這一學科背景來思考。數(shù)學是一門探究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學，它源于對現(xiàn)實世界的抽象化過程，通過抽象數(shù)量及其關(guān)系、圖形及其關(guān)系，形成數(shù)學的研究對象及其相互關(guān)系。因此，幾何直觀所致力于描述與分析的，正是問題中的數(shù)量及其關(guān)系、圖形及其關(guān)系。

（二）從幾何直觀的主要表現(xiàn)來說

《課程標準》將幾何直觀的主要表現(xiàn)概括為以下四條：①能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進行分類；②根據(jù)語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質(zhì)；③建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型；④利用圖表分析實際情境與數(shù)學問題，探索解決問題的思路。這四條內(nèi)容清晰地展示了運用幾何直觀分析數(shù)量關(guān)系的基本過程。要用圖形來描述、分析問題，首先需要認識圖形、了解圖形。接著需要把語言文字敘述的問題抽象成圖形，把問題中的各個數(shù)量及其之間尚未被學生發(fā)現(xiàn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形或位置關(guān)系。最后通過對直觀圖形的分析、思考，找到問題的解決思路。在小學數(shù)學中，解題思路通常表述為：先用數(shù)量[a]加上數(shù)量[b]得到數(shù)量[c]，再用數(shù)量[c]乘數(shù)量[d]得到數(shù)量[e]……可見，每一步解答都包含一個數(shù)量關(guān)系式，每一個數(shù)量關(guān)系式都清晰地展示出兩個或多個數(shù)量之間的關(guān)系。因此，解題思路中包含著數(shù)量關(guān)系及其組合。

二、幾何直觀在分析數(shù)量關(guān)系中的價值意蘊

（一）變抽象為直觀

蘇聯(lián)心理學家魯賓斯坦認為，小學生的推理是建立在直接觀察所提供的直觀前提之上，即使到后來能以抽象前提為基礎(chǔ)進行推理，也只有借助于直觀形式或熟悉事例把抽象前提加以具體化，推理才能順利實現(xiàn)。幾何直觀需要根據(jù)文字敘述畫出相應的圖表描述和分析問題，幫助學生進行直觀地理解問題，分析思考，從而找到解決問題的途徑和方法，這與小學生依賴直觀前提進行推理的思維特征相吻合。

（二）揭示隱藏信息

幾何直觀還能幫助學生發(fā)掘一些不易從文字敘述中直接獲取的數(shù)量關(guān)系。以一道練習題為例：小華和小明分別從一座橋的兩端同時出發(fā)，往返于橋的兩端之間。小華的速度是65米/分，小明的速度是70米/分，經(jīng)過5分鐘兩人第二次相遇。請問，這座橋有多長？教學時教師引導學生把兩人行走的過程畫成線段圖，學生就可以清楚地發(fā)現(xiàn)兩人在第二次相遇時所走的路程之和是橋長的3倍。幾何直觀憑借其將抽象轉(zhuǎn)化為具體形象的功能，讓學生能夠從不同的視角觀察問題，從而有效地發(fā)現(xiàn)那些隱藏在文字背后的關(guān)鍵信息，為解決問題提供重要的線索和思路。

（三）構(gòu)建直觀模型

幾何直觀通過建立形與數(shù)之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型。對于一些特定的數(shù)學問題，可以使用圖式模型來幫助學生分析數(shù)量關(guān)系。例如，用矩形模型表示乘法分配律，學生可以通過觀察矩形的面積計算公式，理解乘法分配律的數(shù)量關(guān)系。雙重編碼理論認為，如果同時呈現(xiàn)文本和圖形組成的多元表征信息，兩類表征可以通過模型建構(gòu)和模型檢驗進行相互轉(zhuǎn)譯和補充，從而形成概念性的抽象認識。

（四）指明分析方向

當學生面臨復雜的數(shù)量關(guān)系問題時，教師可以引導他們將抽象的數(shù)字和符號轉(zhuǎn)化為直觀的圖形來表示數(shù)量關(guān)系。通過分析圖形的形狀、數(shù)量及位置關(guān)系，學生能夠洞察數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征，從而明確解題的思路與具體方法。因此，將幾何直觀作為一種解題習慣加以培養(yǎng)，能夠讓學生在紛繁復雜的文字敘述中撥云見日，迅速找到解題的正確方向，提高解決問題的效率和準確性。

三、借助幾何直觀分析數(shù)量關(guān)系的教學策略

（一）根據(jù)實際情況，確定圖形類型

幾何直觀在小學數(shù)學問題解決中的直接體現(xiàn)，是根據(jù)問題的描述繪制相應的圖形，以分析數(shù)量關(guān)系。這些圖形依據(jù)其抽象程度，可被劃分為示意圖與幾何圖兩大類。示意圖又可以進一步細分為實物圖與模型圖。實物圖采用實物圖像替代實物本身，既生動形象，又便于觀察與分析。模型圖則利用不同的圖形符號來模擬并代表不同的實物，如使用圓圈來替代花朵，用長方形表示行進中的車輛等，這一過程蘊含抽象思維。幾何圖則是指將問題的內(nèi)容抽象為小學生所熟知的由點、線、面、體等幾何元素構(gòu)成的圖形，涵蓋一維的線段圖、二維的平面圖以及三維的立體圖等。

面對這些不同類型的圖形，教學時教師需要根據(jù)實際情況做出合理的選擇。其中既要考慮學生的年齡特點和認知經(jīng)驗，也要考慮問題情境和知識特點。

1.尊重學生經(jīng)驗

學生的圖形認知經(jīng)驗是幾何直觀的基礎(chǔ)，學生只有基于已有經(jīng)驗來選擇圖形，才能發(fā)揮幾何直觀的價值。低年段學生的思維發(fā)展還處于具體形象思維階段，通常采用動手操作以及對實物圖或模型圖的觀察與分析來幫助思考。中年段學生已經(jīng)有了一定的知識基礎(chǔ)，對一般圖形的基本特征也有所了解，可以從模型圖向幾何圖形過渡，一般通過畫線段圖或平面圖來分析數(shù)量關(guān)系。高年段學生的觀察和分析能力、空間思維都有了進一步發(fā)展，能夠依據(jù)題目內(nèi)容，靈活選用線段圖、平面圖或立體圖進行解題。

2.依據(jù)問題特征

在利用圖形表征問題時，還要依據(jù)情境內(nèi)容的知識特點，同時考慮圖形表征的適切性。如在教學行程問題、相差關(guān)系問題、倍數(shù)關(guān)系問題時，一般選擇畫線段圖；涉及面積或體積的變化問題時，一般選擇平面圖或立體圖；遇到數(shù)量之間有交叉關(guān)系的，一般選用集合圖；等等。

（二）精準把握問題，合理繪制圖形

1.保證題意理解的準確性

繪圖，首先要理解題意。教學中，部分學生因未能準確理解題意而感覺畫圖困難或者畫圖出現(xiàn)錯誤。這種情況通常源于信息獲取不全面、詞句理解不準確、條件間的關(guān)系未厘清等因素。例如，有這樣一道習題：新莊小學的操場原來是一個正方形，擴建校園時，操場的一組對邊各增加18米，這樣操場的面積就增加了900平方米。原來操場的面積是多少平方米？題中“一組對邊各增加18米”是指相對的兩條邊分別增加18米（如圖1-1），有的學生錯誤地理解成相對的兩條邊的兩端都增加18米（如圖1-2），圖畫錯了，直接導致數(shù)量關(guān)系的理解出錯。這就屬于圖意理解問題。事實上，學生的解題錯誤很多是審題不清、題意理解錯誤造成的。

2.把握形與數(shù)的一致性

幾何直觀的過程是要把文字表達的數(shù)量信息轉(zhuǎn)化為圖形進行分析，然而，在這個直觀化的過程中學生容易忽略圖形的量的特征，導致畫出的圖形比例失調(diào)。例如，有這樣一道習題：學校圖書室里，科技書比故事書少240本，故事書的數(shù)量是科技書的3倍，故事書有多少本？部分學生畫出的線段圖（如圖2）并未能夠體現(xiàn)兩條線段倍數(shù)關(guān)系，不能直觀看出240本對應的份數(shù)，最終影響了對數(shù)量關(guān)系的思考，不能起到幾何直觀應有的作用。

對于這類情況，教師在教學中，一是要重視畫圖方法的指導，引導學生注意形與數(shù)關(guān)系的一致性，避免數(shù)形分離；二是要有意識地開展錯例分析，分析畫錯的原因及其造成的影響，讓學生在糾錯過程中規(guī)范畫圖，盡可能在圖中能較為準確地體現(xiàn)量與量之間的倍數(shù)關(guān)系或相差關(guān)系。

3.關(guān)注圖示信息的完整性

在解題過程中，畫圖能輔助學生理解題意。雖說有的簡圖也可啟發(fā)思維，但多數(shù)情況下，仍需引導學生繪制清晰且完整的圖形。教師要重視對學生畫圖習慣的培養(yǎng)。首要，要精確地在圖形中反映題目中的有效條件及待求解問題；其次，需在圖上明確標注題目中的每一項數(shù)據(jù)；最后，需排除多余條件的干擾，關(guān)注隱含條件的表達，并掌握將隱含關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀形式的能力。例如，對于“今年強強8歲，媽媽32歲，幾年后媽媽的年齡是強強的3倍？”這一年齡差倍問題，隱含條件是“兩人的年齡差保持不變”。在繪制圖形時，既要體現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系，也需標明年齡差，以便于對數(shù)量關(guān)系進行分析。

（三）培養(yǎng)析圖能力，明晰數(shù)量關(guān)系

分析圖形需要一定的基礎(chǔ)、經(jīng)驗和能力。要增強學生的圖形分析能力及提煉數(shù)量關(guān)系的技能，必須重視學生基本數(shù)量關(guān)系的積累，并加強對其圖形抽象能力的培養(yǎng)。

1.注重基本數(shù)量關(guān)系的積累

小學涉及的大部分解決問題的內(nèi)容，都可以歸結(jié)為“總量=分量+分量”和“總價=單價×數(shù)量”“路程=速度×時間”及其變式和拓展的應用。教師可以結(jié)合四則運算的意義、混合運算的教學展開解jmbeJATN72RccFbLmkyS1w==決實際問題的教學，重視“總量=分量+分量”和“總價=單價×數(shù)量”“路程=速度×時間”及其在實際問題中衍生出的各種數(shù)量關(guān)系的積累和運用。這些基本數(shù)量關(guān)系的積累與儲備為學生分析復雜數(shù)量關(guān)系提供了知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗準備。

2.提高學生的圖形抽象能力

學生分析圖形困難的原因，通常在于其對圖形的抽象能力不足，即對圖形的敏感度不高，不能準確對應每個“部分量”在圖中所處的位置。例如，有這樣一道習題：甲、乙兩車同時分別從A、B兩地相向而行，甲車每小時行80千米，乙車每小時行90千米，甲車行至離兩地中點還有30千米的地方與乙車相遇，A、B兩地相距多少千米？學生雖然正確畫出了示意圖，但卻誤認為路程差就是30千米，導致解答錯誤。這時，教師應引導學生在圖上指一指、比一比，讓其明確路程差是兩個30千米。

提高學生的圖形抽象能力，需注重日常積累與實踐。一是提供“讀圖”機會。日常教學中，教師要經(jīng)常有意識地設(shè)計看圖編題、看圖列式等題型，多為學生提供“讀圖”的機會，增強學生識圖本領(lǐng)。二是鼓勵表述圖意。鼓勵學生在畫圖、觀圖的基礎(chǔ)上，相互交流圖意并在全班匯報圖意，通過表述圖意，訓練學生圖形表征與語言表征的轉(zhuǎn)譯能力。三是訓練抽象關(guān)系。引導學生根據(jù)圖形提煉數(shù)量之間的關(guān)系，以及表述數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系。經(jīng)過日復一日的訓練，逐步提升學生的圖形抽象能力和數(shù)學建模水平。

綜上所述，圖形可以是現(xiàn)實中可視的，也可以是學生腦海中想象的。引導學生利用表象在頭腦中進行思維加工是教師的教學目的，在教學中，教師要致力于讓學生從眼中有圖到心中有圖，促使其思維向更高處跨越，最終發(fā)展想象力。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 徐利治.談談我的一些數(shù)學治學經(jīng)驗[J].數(shù)學通報，2000（5）：0-3.

[3] 朱智賢、林崇德.思維發(fā)展心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2002.

[4] 唐劍嵐.數(shù)學多元表征學習及教學[M].北京：北京師范大學出版社，2009.

（責編 梁桂廣）