摘 要：

本文研究了月球干涉合成孔徑雷達(dá) （interferometric synthetic aperture radar， InSAR） 衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)問(wèn)題。首先，建立了基于相對(duì)偏心率/相對(duì)傾角 （eccentricity/inclination， E/I） 矢量的月球InSAR衛(wèi)星相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型。然后，研究了月球軌道攝動(dòng)環(huán)境下的編隊(duì)飛行長(zhǎng)期穩(wěn)定飛行條件。進(jìn)一步，以相對(duì)測(cè)高精度和模糊高度為優(yōu)化指標(biāo)，同時(shí)考慮星間安全性，給出了月球InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。針對(duì)現(xiàn)有的研究方法難以解決構(gòu)型設(shè)計(jì)的多目標(biāo)問(wèn)題，應(yīng)用改進(jìn)多目標(biāo)蟻獅優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)了月球InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果表明，其在基線使用率方面更優(yōu)，從而驗(yàn)證了所提算法的適應(yīng)性和有效性。

關(guān)鍵詞：

月球InSAR衛(wèi)星編隊(duì); 構(gòu)型設(shè)計(jì); 蟻獅優(yōu)化算法

中圖分類(lèi)號(hào)：

V 448.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.09.25

Lunar InSAR satellite formation configuration design based on

multi-objective ant-lion optimization algorithm

SHU Rui1， JIA Qingxian1，*， YU Dan1， DU Yaoke2

（1. College of Astronautics， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China;

2. Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology， Shanghai 200233， China）

Abstract：

The problem of lunar interferometric synthetic aperture radar （InSAR） satellite formation configuration design is studied. Firstly， the relative dynamic model of lunar InSAR satellite based on relative eccentricity/inclination （E/I） vector is established. Then， the long-term stable flight conditions of formation flying under the perturbation environment of lunar orbit are studied. Taking the relative altimetry accuracy and fuzzy altitude as optimization indexes， and considering the inter-satellite safety， the objective function of formation configuration design is given.

In response to the existing research methods are unable to solve the multi-objective problem of configuration design， an improved multi-objective ant-lion optimization algorithm is applied to achieve the configuration design of lunar InSAR satellite formations. Simulation results show that the proposed algorithm is better in baseline utilization rate， which verifies the adaptability and effectiveness of the proposed algorithm.

Keywords：

lunar interferometric synthetic aperture radar （InSAR） satellite formation; configuration design; ant-lion optimization algorithm

0 引 言

21世紀(jì)以來(lái)，世界各國(guó)的月球探測(cè)研究越來(lái)越密集，月球也因此成為航天探測(cè)的重點(diǎn)［1］。20世紀(jì)90年代，世界各國(guó)紛紛宣布了各自的月球探測(cè)計(jì)劃［2-4］。數(shù)字高程模型 （digital elevation model，DEM） 則是人類(lèi)開(kāi)展月球相關(guān)的科學(xué)研究和空間任務(wù)的關(guān)鍵基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。隨著航天技術(shù)的發(fā)展，星載激光測(cè)高和攝影測(cè)量技術(shù)成為獲取高精度、全覆蓋的月球DEM的主要手段。例如，Clementine衛(wèi)星、SELENE （selenological and engineering explorer） 衛(wèi)星、嫦娥系列衛(wèi)星［5-9］等通過(guò)星載激光測(cè)高和攝影測(cè)量技術(shù)建立了月球DEM。

但由于方法本身的局限性，目前高精度的DEM僅能覆蓋月球兩極，對(duì)中低緯度的覆蓋率不高。在地球測(cè)高實(shí)踐中，干涉合成孔徑雷達(dá) （interferometric synthetic aperture radar， InSAR） 衛(wèi)星編隊(duì)已經(jīng)有了廣泛的成功應(yīng)用，例如TanDEM-X［10］、Sentinel-1A/B［11］、天繪二號(hào)［12］等。目前，美國(guó)在2011年已開(kāi)展由2顆無(wú)人月球探測(cè)器構(gòu)成的重力回溯及內(nèi)部結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)室 （gravity recovery and interior laboratory， GRAIL）［13］探測(cè)器編隊(duì)，完成對(duì)月球引力場(chǎng)地圖測(cè)繪任務(wù)。在此背景下，本文針對(duì)月球InSAR衛(wèi)星編隊(duì)的構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題展開(kāi)研究。InSAR衛(wèi)星編隊(duì)能突破傳統(tǒng)單星合成孔經(jīng)雷達(dá) （synthetic aperture radar， SAR）的局限性，其關(guān)鍵在于，根據(jù)任務(wù)需求調(diào)整InSAR衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)的構(gòu)型參數(shù)，能夠很大程度上提升系統(tǒng)的各項(xiàng)性能。

目前，國(guó)內(nèi)外有關(guān)InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究主要圍繞基線長(zhǎng)度、測(cè)高精度、動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)、高分辨率等性能要求展開(kāi)。文獻(xiàn)［14］針對(duì)由3顆微小衛(wèi)星組成的InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)進(jìn)行了討論;文獻(xiàn)［15］以測(cè)高精度為背景對(duì)分布式SAR編隊(duì)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì);文獻(xiàn)［16］研究了超分辨率任務(wù)下的SAR編隊(duì)構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題;文獻(xiàn)［17］針對(duì)地面運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)需求給出了編隊(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)方案;也有學(xué)者同時(shí)考慮多個(gè)性能，在多項(xiàng)約束條件下探索InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)［18］。以上研究在考慮編隊(duì)穩(wěn)定性時(shí)，均采用地球攝動(dòng)模型，且以J2攝動(dòng)為主要影響項(xiàng)進(jìn)行編隊(duì)穩(wěn)定性分析。而月球攝動(dòng)中，C22攝動(dòng)以及三體攝動(dòng)的量級(jí)都與J2攝動(dòng)相當(dāng)，顯然無(wú)法直接使用地球編隊(duì)研究成果［1］。因此，本文在進(jìn)行月球InSAR衛(wèi)星編隊(duì)的構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)主要考慮兩個(gè)方面：一是在任務(wù)周期內(nèi)編隊(duì)成員間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)始終保持在有界范圍內(nèi);二是必須滿足系統(tǒng)的測(cè)高性能要求。

本文首先建立了基于相對(duì)偏心率/相對(duì)傾角 （eccentricity/inclination， E/I） 矢量的InSAR衛(wèi)星相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型。然后，研究了月球軌道攝動(dòng)環(huán)境下的編隊(duì)飛行長(zhǎng)期穩(wěn)定飛行條件。以相對(duì)測(cè)高精度和模糊高度為優(yōu)化指標(biāo)，同時(shí)考慮星間安全性，給出了編隊(duì)構(gòu)型優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。本文應(yīng)用了改進(jìn)多目標(biāo)蟻獅優(yōu)化 （ant-lion optimization， ALO）算法完成構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)，仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的遺傳算法［17］相比，使用本文優(yōu)化算法得出的構(gòu)型在基線使用率方面更優(yōu)，從而驗(yàn)證了所提算法的實(shí)用性和有效性。

1 E/I矢量法描述InSAR衛(wèi)星編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)

相對(duì)E/I矢量描述法可以用較少的軌道要素得到清晰的幾何關(guān)系，因此被廣泛應(yīng)用于編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)［19］。圖1所示為主星S1與從星S2之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系。

4.3 算法改進(jìn)

4.3.1 自適應(yīng)邊界

式（35）用于表示螞蟻隨機(jī)游走的邊界縮小規(guī)律，其取決于I的值。在標(biāo)準(zhǔn)的蟻獅算法中，I的變化呈線性趨勢(shì)，而且在每一次迭代中，所有螞蟻的游走邊界都是完全相同的，這可能導(dǎo)致算法的多樣性受到限制，進(jìn)而影響全局最優(yōu)解的搜索。為了克服這一問(wèn)題，本文提出了以下自適應(yīng)邊界策略，以增強(qiáng)螞蟻隨機(jī)游走的多樣性：

I=10υ·tT·0.5+log21+tT·rand（39）

4.3.2 位置更新策略

式（38）闡述了螞蟻的位置更新，其受輪盤(pán)賭選擇的蟻獅和精英蟻獅的影響。鑒于精英蟻獅具備更出色的適應(yīng)性，輪盤(pán)賭選擇時(shí)極有可能選定精英蟻獅。在這種情況下，RtA被RtE取代，螞蟻僅會(huì)向精英蟻獅遷移，因此位置更新的表達(dá)如下所示：

Antti=RtA+RtE2=RtE+RtE2=RtE（40）

為了提高蟻獅算法的探索能力，將螞蟻位置更新策略改進(jìn)為

Antti=k1RtA+k2RtE2（41）

式中：k1=1－t3/T3；k2=t3/T3。

這種位置更新策略讓螞蟻在初期能夠更好地進(jìn)行探索。隨著精英蟻獅逐漸接近最優(yōu)解區(qū)域，螞蟻的權(quán)重系數(shù)k2逐漸增加，使其在最優(yōu)區(qū)域附近也進(jìn)行了開(kāi)發(fā)，從而實(shí)現(xiàn)了平衡算法在全局探索和局部開(kāi)發(fā)方面的能力。這種策略的引入，促使螞蟻算法在前期有更出色的探索性，在后期更好地平衡了全局探索與局部開(kāi)發(fā)的需求。改進(jìn)后的ALO算法流程圖如圖4所示。

為了滿足實(shí)際工程需求，以獲取高精度的 DEM 產(chǎn)品，本文基于長(zhǎng)短基線搭配干涉成像的工作方式，進(jìn)行 InSAR 衛(wèi)星編隊(duì)的設(shè)計(jì)，并采用改進(jìn)的蟻獅算法進(jìn)行優(yōu)化。具體步驟如下。

步驟 1

初始化改進(jìn)蟻獅算法中算法參數(shù)，輸入InSAR衛(wèi)星系統(tǒng)仿真參數(shù)，包含帶寬、光速、圖像視數(shù)等。

步驟 2

將編隊(duì)中每顆衛(wèi)星的構(gòu)型尺寸 p， s 與相位角φ，θ設(shè)定為優(yōu)化變量，根據(jù)長(zhǎng)短基線搭配的約束條件和特定的空間任務(wù)需求，設(shè)置這些變量的優(yōu)化范圍。在種群中，每個(gè)個(gè)體由一組優(yōu)化變量組成的向量［p1，s1，φ1，θ1，…，pN，sN，φN，θN］表示，而目標(biāo)函數(shù)向量則標(biāo)記為［G1，G2，G3］。

步驟 3

根據(jù)式（30）計(jì)算種群適應(yīng)度，選擇最優(yōu)個(gè)體作為精英蟻獅RE。

步驟 4

使用輪盤(pán)賭選擇適應(yīng)度較高的另一只精英蟻獅RA，并挖掘陷阱。

步驟 5

螞蟻在邊界內(nèi)圍繞兩只精英蟻獅RE和RA按照式（34）游走，同時(shí)根據(jù)式（35）和式（39）更新游走邊界。

步驟 6

按照式（41）更新螞蟻位置并計(jì)算其適應(yīng)度，結(jié)合式（37）的判斷結(jié)果，選擇適應(yīng)度最高的為新一代精英蟻獅。

步驟 7

重復(fù)步驟3～步驟6，直到算法達(dá)到最優(yōu)或最大迭代次數(shù)時(shí)，結(jié)束進(jìn)化過(guò)程。優(yōu)化結(jié)束后，根據(jù)主星軌道要素和最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)［p1，s1，φ1，θ1，…，pN，sN，φN，θN］計(jì)算InSAR衛(wèi)星集群中從星的軌道要素，完成構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)。

5 仿真分析

5.1 仿真參數(shù)設(shè)置

本文選取了包含1顆主星、3顆從星的Cartwheel構(gòu)型，主星軌道參數(shù)如表2所示。

根據(jù)第1節(jié)分析，為保證編隊(duì)構(gòu)型穩(wěn)定性，設(shè)置Δl0=0，Δa=0，另有Cartwheel構(gòu)型對(duì)應(yīng)的構(gòu)型參數(shù)s=0，3顆從星相位角間隔120°。因此，僅需要優(yōu)化每顆從星的構(gòu)型參數(shù)p和φ即可。長(zhǎng)、短基線的可用范圍分別設(shè)置為250～550 m、700～1 050 m，InSAR衛(wèi)星系統(tǒng)參數(shù)如表3所示。

5.2 仿真結(jié)果分析

利用改進(jìn)ALO算法進(jìn)行月球InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型優(yōu)化，迭代次數(shù)為900，種群規(guī)模為20，得到的最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)為

p1=p2=p3=521.7 m，

φ1=154.47°，φ2=274.47°，φ3=34.47°。

根據(jù)該最優(yōu)解可得到各從星的軌道根數(shù)，如表4所示，其中S、S1、S2和S3分別表示主星以及3顆從星的初始位置。圖5給出了所設(shè)計(jì)的構(gòu)型在三維空間的軌跡圖，圖6為一個(gè)軌道周期內(nèi)編隊(duì)各成員之間的相對(duì)距離變化曲線。R1、R2和R3表示3顆從星與主星之間的距離，R12、R13和R23則表示從星之間的相對(duì)距離?？梢钥闯觯情g距離始終在500 m以上，符合構(gòu)型安全性要求。圖7呈現(xiàn)了在月球攝動(dòng)環(huán)境下30天內(nèi)的構(gòu)型發(fā)散情況，可以看出，所設(shè)計(jì)的構(gòu)型在無(wú)控制情況下的穩(wěn)定性良好。

圖8給出了主從星形成的短基線B1、B2和B3以及從星之間形成的長(zhǎng)基線B12、B13和B23，考慮長(zhǎng)、短基線對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度約束范圍，*表示滿足長(zhǎng)度約束的部分。圖9所示為一個(gè)軌道周期內(nèi)各垂直有效基線的相對(duì)測(cè)高誤差變化曲線圖。圖10給出了三顆從星的成像模糊高度，其中滿足約束的部分在圖11中詳細(xì)呈現(xiàn)。

從圖10可以看出，基線越長(zhǎng)，相對(duì)測(cè)高誤差越大。為了定量分析所優(yōu)化的編隊(duì)構(gòu)型的測(cè)高性能，表5給出了改進(jìn)ALO算法優(yōu)化出的構(gòu)型在一個(gè)周期內(nèi)相對(duì)測(cè)高精度小于1 m的時(shí)間占比。同時(shí)，為了體現(xiàn)本文所改進(jìn)ALO算法的實(shí)用性和優(yōu)越性，在表5中還給出了使用標(biāo)準(zhǔn)ALO算法、非支配排序遺傳算法-3 （nondominated sorting genetic algorithm-3， NSGA-3）［30］和粒子群優(yōu)化算法［31］的最優(yōu)構(gòu)型對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)數(shù)據(jù)?？紤]到模糊高度約束也是優(yōu)化目標(biāo)之一，表6統(tǒng)計(jì)了各算法優(yōu)化出的構(gòu)型在一個(gè)周期內(nèi)滿足模糊高度約束的時(shí)間占比，結(jié)合表5中的數(shù)據(jù)，不難得出結(jié)論：

（1） 各優(yōu)化算法優(yōu)化出的構(gòu)型在測(cè)高性能上無(wú)明顯差距;

（2） 在同時(shí)考慮測(cè)高誤差指標(biāo)和模糊高度約束的條件下，本文所提出的改進(jìn)ALO算法能提供時(shí)間占比為75.56%的指標(biāo)覆蓋率，其他3種算法分別只能保證時(shí)間占比為55.67%、48.89%和73.89%的覆蓋率。

由于在構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)垂直有效基線的長(zhǎng)度范圍進(jìn)行了約束，因此表5和表6的數(shù)據(jù)并不能完全反映優(yōu)化構(gòu)型的性能。考慮在測(cè)高任務(wù)中，實(shí)際可用基線需要同時(shí)滿足給定的基線長(zhǎng)度約束以及對(duì)應(yīng)的相對(duì)測(cè)高精度和模糊高度約束。表7和表8將長(zhǎng)、短基線的長(zhǎng)度約束以及兩項(xiàng)測(cè)高性能指標(biāo)同時(shí)考慮在內(nèi)，給出了其實(shí)際可用時(shí)間占比。對(duì)比其中的數(shù)據(jù)可以得出以下結(jié)論：

（1） 標(biāo)準(zhǔn)ALO算法和粒子群算法在長(zhǎng)、短基線的可用時(shí)間占比上都低于改進(jìn)ALO算法;

（2） NSAG-3算法優(yōu)化出的構(gòu)型可用長(zhǎng)基線時(shí)間占比相對(duì)于改進(jìn)ALO算法僅高出1.11%;

（3） 在短基線的可用時(shí)間占比上，NSAG-3算法僅能達(dá)到38.89%，而改進(jìn)ALO算法可提供時(shí)間占比為63.33%的可用短基線。

綜上所述，改進(jìn)ALO算法能夠提供的可用基線時(shí)間占比最高。

從上述數(shù)據(jù)分析可知，在給定的月球測(cè)高任務(wù)目標(biāo)約束下，本文所提改進(jìn)ALO算法能夠提供更加優(yōu)越的編隊(duì)構(gòu)型，使得編隊(duì)的垂直有效基線可用時(shí)間占比最高，得到既滿足相對(duì)測(cè)高誤差小于1 m精度要求、又滿足模糊高度30～80 m約束的DEM成像。

6 結(jié) 論

本文研究了月球InSAR衛(wèi)星編隊(duì)的構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，同時(shí)考慮構(gòu)型穩(wěn)定性、安全性和編隊(duì)測(cè)高性能，基于改進(jìn)多目標(biāo)蟻獅優(yōu)化算法進(jìn)行構(gòu)型的優(yōu)化設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的構(gòu)型能夠滿足各約束，且通過(guò)對(duì)比仿真分析證明，相比標(biāo)準(zhǔn)蟻獅算法、NSGA-3算法和粒子群優(yōu)化算法，本文提供的改進(jìn)蟻獅算法具有一定的優(yōu)越性。

參考文獻(xiàn)

［1］ MARICA B， MAURIZIO F， JAN H， et al. Lunar gravitational-wave detection［J］. Space Science Reviews， 2023， 219： 67.

［2］ NOZETTE S. The Clementine mission： past， present， and future［J］. Acta Astronautica， 1995， 35（1）： 161-169.

［3］ OCKELS W J. EuroMoon 2000-a plan for European lunar south pole expedition［J］. Acta Astronautica， 1997， 41（4）： 579-583.

［4］ YOUNG A. The twenty-first century commercial space imperative［M］. Berlin： Springer International Publishing， 2015： 43-57.

［5］ EMERSON J. SPEYERER， MARK S， et al. Precise mapping of the Moon with the Clementine ultraviolet/visible camera［J］. Icarus： International Journal of Solar System Studies， 2023， 398： 115506.

［6］ WILSON T， XIONG X. Surface corrected lunar MTF measurements in MODIS and VIIRS using the SP model［J］. IEEE Trans.on Geoscience and Remote Sensing， 2022， 60： 5110112.

［7］ XIAO X， YU S R， HUANG J， et al. Thermophysical properties of the regolith on the lunar far side revealed by the in-situ temperature probing of the Chang’E-4 mission［J］. National Science Review， 2022， 9（11）： 175-183.

［8］ LAMY P L， GILARDY H， LLEBARIA A. Observations of the solar F-Corona from space［J］. Space Science Review， 2022： 218（6）： 53-124.

［9］ JIN S， ARIVAZHAGAN S， ARAKI H. New results and questions of lunar exploration from SELENE， Chang’E-1， Chandrayaan-1 and LRO/LCROSS［J］. Advances in Space Research， 2013， 52（2）： 285-305.

［10］ MATHAVARAJ S， RADHAKANT P. Satellite formation flying［M］. India： Springer， 2021.

［11］ LI Z H， YU C， XIAO R Y， et al. Entering a new era of InSAR： advanced techniques and emerging applications［J］. Journal of Geodesy and Geoinformation Science， 2022， 5（1）： 1-4.

［12］ ZHANG H， JU B， GU D F， et al. Precise orbit determination for TH02-02 satellites based on BDS3 and GPS observations［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2023， 36（5）： 475-485.

［13］ CHAPPAZ L， SOOD R， MELOSH H J， et al. Evidence of large empty lava tubes on the Moon using GRAIL gravity［J］. Geophysical Research Letters， 2017， 44（1）： 105-112.

［14］ GRASSO M， RENGA A， FASANO G， et al. Design of an end-to-end demonstration mission of a formation-flying synthetic aperture radar （FF-SAR） based on microsatellites［J］. Advances in Space Research， 2021， 67（11）： 3909-3923.

［15］ 許麗穎， 王海濤. 基于雙星編隊(duì)SAR三軌法差分干涉技術(shù)的基線設(shè)計(jì)［J］. 上海航天， 2017， 34（3）： 60-65.

XU L Y， WANG H T. Baseline design based on dual satellite formation sar three orbit differential interferometry technology［J］. Shanghai Aerospace， 2017， 34（3）： 60-65.

［16］ 冉承其. 分布式SAR超分辨成像的衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法［J］. 中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)， 2006， 26（3）： 52-58.

RAN C Q. Optimization design method for satellite formation configuration in distributed SAR superresolution imaging［J］. China Space Science and Technology， 2006， 26（3）： 52-58.

［17］ 楊鳳鳳， 黃海風(fēng)， 梁甸農(nóng). 基于遺傳算法的分布式星載SAR-GMTI編隊(duì)優(yōu)化［J］. 電子學(xué)報(bào)， 2007， 35（6）： 1037-1041.

YANG F F， HUANG H F， LIANG D N. Optimization of distributed spaceborne SAR-GMTI formation based on genetic algorithm［J］. Journal of Electronics， 2007， 35（6）： 1037-1041.

［18］ 李楠， 叢琳， 陳重華， 等. 多約束條件分布式InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型工程優(yōu)化方法［J］. 測(cè)繪學(xué)報(bào)， 2022， 51（12）： 2440-2447.

LI N， CONG L， CHEN C H， et al. Distributed InSAR formation configuration engineering optimization method with multiple constraints［J］. Journal of Surveying and Mapping， 2022， 51（12）： 2440-2447.

［19］ WANG J H， ZHANG C X， ZHANG J X. Analytical solution of satellite formation impulsive reconfiguration considering passive safety constraints［J］. Aerospace Science and Technology， 2021， 119： 107108.

［20］ SHAO X W， WANG J H， ZHANG D X， et al. Optimal satellite-formation collision-avoidance maneuver based on relative E/I vectors［J］. Journal of Aerospace Engineering， 2016， 29（6）： 04016048.

［21］ DE-SAEDELEER B， HENRARD J. The combined effect of J2 and C22 on the critical inclination of a lunar orbiter［J］. Advances in Space Research， 2006， 37（1）： 80-87.

［22］ FOLTA D， QUINN D. Lunar frozen orbits［C］∥Proc.of the AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit， 2006： 1915-1932.

［23］ NIE T， GURFIL P. Lunar frozen orbits revisited［J］. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy， 2018， 130（10）： 61-95.

［24］ HE Y C， MING X. Design and maintenance of InSAR configuration for digital elevation measurement under J2 perturbation［C］∥Proc.of the 12th World Congress on Intelligent Control and Automation， 2016： 804-808.

［25］ GIM D W， ALFRIEND K T. State transition matrix of relative motion for the perturbed noncircular reference orbit［J］. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 2003， 26（6）： 956-971.

［26］ ABAD A， ELIPE A， TRESACO E. Analytical model to find frozen orbits for a lunarorbiter［J］. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 2009， 32（3）： 888-898.

［27］ ELIPE A， LARA M. Frozen orbits about the moon［J］. Journal of Guidance， Control， and Dynamics， 2003， 26（2）： 238-243.

［28］ 樓良盛， 繆劍， 陳筠力， 等. 衛(wèi)星編隊(duì)InSAR衛(wèi)星系統(tǒng)設(shè)計(jì)系列關(guān)鍵技術(shù)［J］. 測(cè)繪學(xué)報(bào)， 2022， 51（7）： 1372-1385.

LOU L S， MIU J， CHEN J L， et al. Key technologies for sate-llite formation InSAR system design series［J］ Journal of Surveying and Mapping， 2022， 51（7）： 1372-1385.

［29］ TIAN T， CHANG Y L， QI G， et al. An improved ant lion optimization algorithm and its application in hydraulic turbine governing system parameter identification［J］. Energies， 2018， 11（1）： 95.

［30］ ZHAO Q S， DING J Y， LI J C， et al. Network-based structure optimization method of the anti-aircraft system［J］. Journal of Systems Engineering and Electronics， 2023， 34（2）： 374-395.

［31］ 劉明， 楊明， 高興， 等. 基于粒子群的非規(guī)則區(qū)域連續(xù)覆蓋星座設(shè)計(jì)［J］. 航天控制， 2020， 38（2）： 31-37.

LIU M， YANG M， GAO X， et al. Design of irregular region continuous coverage constellations based on particle swarm optimization［J］. Aerospace Control， 2020， 38（2）： 31-37.

作者簡(jiǎn)介

舒 睿（1999—），女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榫庩?duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)與容錯(cuò)控制。

賈慶賢（1986—），男，副研究員，博士，主要研究方向?yàn)楹教炱骶庩?duì)/集群構(gòu)控制、航天器智能任務(wù)規(guī)劃與協(xié)同調(diào)度、空間攻防與博弈對(duì)抗。

于 丹（1988—），女，講師，博士，主要研究方向?yàn)榉植际胶教炱飨到y(tǒng)、機(jī)器人智能控制。

杜耀珂（1982—），男，研究員，博士，主要研究方向?yàn)镮nSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型設(shè)計(jì)與控制。