摘 要：

區(qū)域作戰(zhàn)中，裝備保障需求呈現(xiàn)出一定分布特征，保障供應(yīng)也隨時(shí)動(dòng)態(tài)變化，如何匹配供需進(jìn)而進(jìn)行保障調(diào)度成為提升區(qū)域保障能力的關(guān)鍵。針對(duì)區(qū)域資源供需的分布特性，運(yùn)用最優(yōu)傳輸理論，建立資源分布視角下區(qū)域保障調(diào)度模型。首先，構(gòu)建分布視角下的區(qū)域保障調(diào)度基本模型，考慮決策層級(jí)將其拓展為多分辨率模型，然后基于sinkhorn算法提出保障調(diào)度概率方案作為轉(zhuǎn)換，進(jìn)而給出多分辨率模型的保障調(diào)度方案求解算法。案例分析表明，非指數(shù)分布和自由競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下，保障調(diào)度方案具有魯棒性。

關(guān)鍵詞：

裝備保障; 資源分布; 保障調(diào)度; 最優(yōu)傳輸

中圖分類(lèi)號(hào)：

TJ 02

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.09.21

Research on regional guarantee scheduling model from the perspective of resource distribution

HU Zhigang1， LOU Jingjun2，*， SHI Yuedong2

（1. Department of Management Engineering and Equipment Economics，Navy University of Engineering， Wuhan 430033， China;

2. College of Naval Architecture and Ocean， Naval University of Engineering， Wuhan 430033， China）

Abstract：

In regional operations， equipment guarantee needs exhibit distribution characteristics， and guarantee supply also dynamically changes. How to match supply and demand and then guarantee shceduling has become the key to improving regional guarantee capabilities. Based on the distribution characteristics of regional resource supply and demand， the optimal transmission theory is applied to establish a regional guarantee scheduling model from the perspective of resource distribution. Firstly， a basic model of regional guarantee scheduling is constructed from a distributed perspective， and considered expanding it into a multi resolution model at the decision-making level. And then， a guarantee scheduling probability scheme is proposed based on the sinkhorn algorithm as a transformation， and provided a solution algorithm for the multi resolution model. Case analysis shows that under non exponential distribution and free competition environments， the guarantee scheduling scheme has robustness.

Keywords：

equipment guarantee; resource distribution; guarantee scheduling; optimal transmission

0 引 言

裝備保障是通過(guò)提供人員人力、備品備件、設(shè)施設(shè)備、技術(shù)資料、法規(guī)制度等使得裝備系統(tǒng)保持和恢復(fù)規(guī)定功能的活動(dòng)，包括使用保障和維修保障［1］，在作戰(zhàn)實(shí)施階段裝備保障能力集中體現(xiàn)為保障資源調(diào)度能力。聯(lián)合作戰(zhàn)條件下多兵種聯(lián)合、跨區(qū)域作戰(zhàn)成為常態(tài)，裝備保障的“面向區(qū)域”特性顯著。區(qū)域作戰(zhàn)中，作戰(zhàn)任務(wù)、武器裝備和保障環(huán)境具有更強(qiáng)的區(qū)域約束和不確定性，表現(xiàn)為不確定任務(wù)約束、不確定需求約束和不確定環(huán)境約束。隨著作戰(zhàn)進(jìn)程推進(jìn)，武器裝備和保障單元位置發(fā)生動(dòng)態(tài)變化，也表現(xiàn)出不確定位置約束。作戰(zhàn)中保障先行，因此不確定條件下的保障調(diào)度能力直接影響甚至決定區(qū)域作戰(zhàn)勝負(fù)［2］。

基于型號(hào)的裝備保障是通過(guò)提高保障系統(tǒng)效率更好地恢復(fù)單裝的功能狀態(tài)，聚焦點(diǎn)主要在于保障系統(tǒng)的分析和建模，通常是根據(jù)保障系統(tǒng)組成要素及關(guān)系構(gòu)建定性和定量模型［3］。定性模型主要分析保障系統(tǒng)的基本框架、主要流程和運(yùn)行機(jī)理，定量模型主要進(jìn)行保障需求預(yù)測(cè)、保障資源配置、保障任務(wù)調(diào)度和保障資源調(diào)度。保障任務(wù)調(diào)度和保障資源調(diào)度的區(qū)別在于保障系統(tǒng)粒度，任務(wù)調(diào)度是粗粒度層面，資源調(diào)度是細(xì)粒度層面，也可統(tǒng)稱(chēng)為保障調(diào)度。定量模型主要4類(lèi)：① 考慮系統(tǒng)目標(biāo)和資源約束，可建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，適用于簡(jiǎn)單系統(tǒng);② 考慮任務(wù)層次和領(lǐng)域知識(shí)，基于確定任務(wù)和保障需求，可建立層次任務(wù)網(wǎng)絡(luò)模型，充分利用決策者認(rèn)知，適用于大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng);③ 考慮人力約束和工序調(diào)度，可建立資源受限項(xiàng)目調(diào)度模型，適用于人力受限和工序明確的系統(tǒng);④ 考慮智能體及智能體交互，可建立仿真模型，適用于解析模型難以建立和信息缺失的系統(tǒng)。以上研究的共同點(diǎn)是認(rèn)為保障資源需求是已知的確定數(shù)量或概率分布，并且是從任務(wù)裝備的時(shí)間視角上看。而區(qū)域保障問(wèn)題中，是多個(gè)裝備同時(shí)需要保障系統(tǒng)來(lái)保障，此時(shí)保障系統(tǒng)需要統(tǒng)籌考慮區(qū)域裝備任務(wù)、技術(shù)狀態(tài)、環(huán)境條件等進(jìn)行區(qū)域保障調(diào)度。因此，區(qū)域保障調(diào)度反映的是一定時(shí)間和區(qū)域內(nèi)作戰(zhàn)裝備體系和保障組織體系之間的資源互動(dòng)，保障資源需求不僅具有時(shí)間屬性還具有空間屬性，即具有一定的空間分布特征，相應(yīng)的保障資源供應(yīng)也隨著任務(wù)進(jìn)程變化而具有一定的空間分布特征，此時(shí)區(qū)域保障調(diào)度問(wèn)題即為兩個(gè)體系中分布資源的最優(yōu)匹配。目前，關(guān)于區(qū)域保障的研究，主要以體系結(jié)構(gòu)、保障流程、保障機(jī)制等內(nèi)容的定性分析為主，定量研究有任務(wù)分配模型［4-5］?，F(xiàn)有研究存在3個(gè)問(wèn)題：① 基于時(shí)間的保障需求反映不出來(lái)區(qū)域保障需求的空間分布特點(diǎn)，模型缺乏區(qū)域整體視角;② 現(xiàn)有保障模型不具有宏觀和微觀的結(jié)構(gòu)一致性，無(wú)法滿足不同層級(jí)間互動(dòng)時(shí)模型轉(zhuǎn)換的需求;③ 傳統(tǒng)調(diào)度問(wèn)題中，保障資源數(shù)量的準(zhǔn)確掌握是模型計(jì)算的前提，而由于實(shí)際任務(wù)中存在大量不確定性往往無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)資源數(shù)量，如何基于資源分布特征建立保障調(diào)度模型成為面向任務(wù)裝備保障中的關(guān)鍵問(wèn)題。

文獻(xiàn)［6-10］ 中指出，需求特征可從需求到達(dá)時(shí)間間隔和需求到達(dá)規(guī)模進(jìn)行分析，分為不穩(wěn)定需求、平滑需求、塊狀需求和間歇性需求。在區(qū)域任務(wù)中，保障需求與區(qū)域特性、裝備特性、機(jī)構(gòu)功能、使用強(qiáng)度、任務(wù)環(huán)境等密切相關(guān)，是上述4種需求類(lèi)型的綜合體現(xiàn)，表現(xiàn)出一定分布特征，同時(shí)保障供應(yīng)也隨之呈現(xiàn)一定分布特性。

可以看到，區(qū)域保障調(diào)度問(wèn)題的本質(zhì)是資源的供應(yīng)分布如何以最優(yōu)方式匹配到資源的需求分布。近年來(lái)，引起廣泛關(guān)注的最優(yōu)傳輸理論，給出兩個(gè)分布之間的距離度量，描述兩個(gè)分布之間數(shù)據(jù)傳輸?shù)淖顑?yōu)方式，給出不同層級(jí)分布數(shù)據(jù)的信息傳遞路徑，為區(qū)域保障調(diào)度問(wèn)題提供新的思路。最優(yōu)傳輸由推土機(jī)問(wèn)題而來(lái)，考慮如何以最小的成本將質(zhì)量從源分布運(yùn)輸?shù)侥繕?biāo)分布。給定兩個(gè)非負(fù)質(zhì)量u和v，在總質(zhì)量相等的情況下，尋求一種將質(zhì)量從分布u中移動(dòng)的傳輸圖T：xay到v使得運(yùn)輸成本∫C（x，y）dx最低，此時(shí)最優(yōu)傳輸記為T(mén)#u=v。這里C（x，y）為從點(diǎn)x到y(tǒng)每單位質(zhì)量的運(yùn)輸成本［11］。2013年，Cuturi［12］提出熵正則化的最優(yōu)傳輸問(wèn)題，并提出近似算法sinkhorn［13-15］，之后最優(yōu)傳輸理論廣泛用于圖像處理、機(jī)器學(xué)習(xí)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、故障診斷、資源配置等領(lǐng)域中。

本文的基本思路是基于資源的空間分布特征，運(yùn)用最優(yōu)傳輸理論，建立區(qū)域保障調(diào)度模型，包括區(qū)域任務(wù)層面的“作戰(zhàn)編組-保障機(jī)構(gòu)”粗粒度模型和具體任務(wù)層面的“作戰(zhàn)裝備-保障單元”細(xì)粒度模型，然后以案例為基礎(chǔ)進(jìn)行模型的拓展討論，得出資源分布視角下保障調(diào)度的一些新結(jié)論。

1 模型構(gòu)建

1.1 資源分布視角下區(qū)域保障調(diào)度基本模型

假設(shè)區(qū)域內(nèi)有m個(gè)保障機(jī)構(gòu)和n個(gè)保障對(duì)象，如何以最優(yōu)的方案從保障機(jī)構(gòu)中調(diào)度某種資源以滿足保障對(duì)象的任務(wù)需要。其中，保障機(jī)構(gòu)集合為{X1，X2，…，Xm}，保障機(jī)構(gòu)供應(yīng)的資源分布為{（x1，u1），…，（xi，ui），…，（xm，um）}，xi和ui分別為Xi的位置和資源數(shù)量;保障對(duì)象集合為{Y1，Y2，…，Yn}，保障對(duì)象需要的資源分布為{（y1，v1），…，（yj，vj），…，（yn，vn）}，yj和vj分別為Yj的位置和資源數(shù)量;資源從Xi輸送到Y(jié)j的成本為Cij，資源從Xi輸送到Y(jié)j的數(shù)量為T(mén)ij。

從區(qū)域資源分布視角看，資源的供應(yīng)分布為u=∑mi=1uiδxi，資源的需求分布為v=∑nj=1vjδyj。δxi、δyj為狄拉克函數(shù)，含義如下：

δxi=1， 區(qū)域內(nèi)xi處有某資源

0， 區(qū)域內(nèi)xi處無(wú)某資源

δyj=1， 區(qū)域內(nèi)yj處需要某資源

0， 區(qū)域內(nèi)yj處不需某資源

建立區(qū)域資源分布視角下保障調(diào)度基本模型如下：

argminT∈U（u，v）∑mi=1∑nj=1CijTij（1）

∑nj=1Tij=ui，i=1，2，…，m（2）

∑mi=1Tij=vj，j=1，2，…，n（3）

式中：模型中資源供應(yīng)ui、資源需求vj、輸送成本Cij、輸送數(shù)量Tij均為非負(fù)數(shù);U（u，v）為u和v的聯(lián)合分布，u和v分別為資源的供應(yīng)分布向量和資源的需求分布向量。

顯然，形式上這是一個(gè)典型的線性規(guī)劃問(wèn)題，但不同于經(jīng)典線性規(guī)劃。這里的u和v為聯(lián)合分布U（u，v）在u和v的邊緣分布，u分布與保障區(qū)域劃分、區(qū)域機(jī)構(gòu)位置及資源配置有關(guān)，v分布與保障區(qū)域劃分、區(qū)域裝備位置及受擊概率有關(guān)。

1.2 資源分布視角下區(qū)域保障調(diào)度模型內(nèi)涵

根據(jù)保障調(diào)度模型，結(jié)合最優(yōu)傳輸理論，從成本結(jié)構(gòu)、分布距離、分布特征和計(jì)算結(jié)果4個(gè)方面進(jìn)行模型內(nèi)涵解讀。

（1） 成本結(jié)構(gòu)

成本Cij可以考慮輸送距離、保障關(guān)系和重要度等要素。考慮距離時(shí)，定義Cij=d（xi，yj）p，d（xi，yj）=|xi－yj|，d（xi，yj）為xi和yj的距離。p為正整數(shù)，一般情況下取1和2;如還考慮Xi和Yj之間的保障關(guān)系θij，定義Cij=Cij/θij，θij取值集合如設(shè)定為{1e－3，1，1e3}，1e－3表示無(wú)關(guān)系，1表示有關(guān)系，1e3表示Yj在Xi具有較高優(yōu)先級(jí);如還考慮Yj重要度ej，定義Cij=Cij/ej，ej可以由專(zhuān)家打分得到相應(yīng)重要度分值。

（2） 分布距離

本文中考慮資源分布特征，需要衡量?jī)蓚€(gè)分布之間的距離。兩個(gè)分布之間的距離度量一般采用KL（Kullback-Leibler）散度和JS（Jensen-Shannon）散度，KL散度描述兩個(gè)概率分布之間差別的非對(duì)稱(chēng)性的度量，JS散度為KL散度的變體，解決了KL散度非對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，但當(dāng)兩個(gè)分布沒(méi)有重疊的時(shí)候，KL散度值沒(méi)有意義，JS散度為一個(gè)常數(shù)，梯度消失。此時(shí)，這兩個(gè)散度無(wú)法衡量分布之間的距離，而最優(yōu)傳輸理論中的Wasserstein距離，可在兩個(gè)分布沒(méi)有重疊或重疊非常少時(shí)，仍然能夠反映兩個(gè)分布的遠(yuǎn)近。

根據(jù)最優(yōu)傳輸理論［16-22］，分布距離是兩個(gè)點(diǎn)云之間的距離，用任意一對(duì)點(diǎn)依照一個(gè)聯(lián)合分布采樣之后其距離的期望的最小值來(lái)度量，數(shù)學(xué)定義如下：

dw（u，v）=infT∈U（u，v）" Ex，y～T［d（xi，yj）］（4）

此時(shí)，使得這個(gè)期望達(dá)到最小值的分布T即為最優(yōu)傳輸方案。

由此，區(qū)域保障調(diào)度模型中資源從供應(yīng)分布到需求分布的距離定義為

Lc（u，v）=defmin∑mi=1∑nj=1CijTij，T∈U（u，v）（5）

當(dāng)找到最優(yōu)傳輸T使得模型的目標(biāo)函數(shù)最小時(shí)的距離為L(zhǎng)c（u，v），稱(chēng)為Wasserstein距離［23-26］。當(dāng)Cij=d（Xi，Yj）p時(shí)，Wp（u，v）=defLdp（u，v）1/p，稱(chēng)Wp（u，v）為p-Wasserstein距離。

（3） 分布特征

供應(yīng)分布反映的是保障資源配置情況，與所在區(qū)域機(jī)構(gòu)及其屬性有關(guān)，需求分布反映的是保障資源需求情況，與所在區(qū)域裝備及其屬性有關(guān)。屬性發(fā)生變化時(shí)，u和v發(fā)生變化，成本Cij發(fā)生變化，保障調(diào)度方案發(fā)生變化。

1.3 資源分布視角下區(qū)域保障調(diào)度多分辨率模型

區(qū)域任務(wù)中，不同層次決策者需要建立相應(yīng)層級(jí)保障調(diào)度模型。在上述問(wèn)題背景中，進(jìn)一步獲得拓展的高分辨率信息：保障機(jī)構(gòu)的所有保障單元的位置和資源數(shù)量、保障對(duì)象的所有裝備單元的位置和資源數(shù)量。問(wèn)題進(jìn)一步描述如下：保障機(jī)構(gòu)Xi是保障單元{Xi1，…，Xik，…，XiiK}的集合，保障機(jī)構(gòu)Xi供應(yīng)的資源分布為{（xi1，hi1），…，（xik，hik），…，（xiiK，hiiK）}，xik和hik分別為Xik的位置和資源數(shù)量，hi={hi1，…，hik，…，hiik}為Xi的資源供應(yīng)向量;保障對(duì)象Yj是裝備單元{Yj1，…，Yjl，…，YjjL}的集合，保障對(duì)象Yj需要的資源分布為{（yj1，gj1），…，（yjl，gjl），…，（yjjL，gjjL）}，yjl和gjl分別為Yjl的位置和資源數(shù)量，gj={gj1，…，gjl，…，gjjL}為Yj的資源需求向量。同樣，有hi=∑iKk=1uiδxik，為gj=∑jLj=1vjδyjl。δxik、δyjl為狄拉克函數(shù)?！苖i=1iK=M，∑nj=1jL=N，M和N分別為保障單元和裝備單元總數(shù)。資源從Xik輸送到Y(jié)jl的成本為Cijkl，資源從Xik輸送到Y(jié)jl的數(shù)量為T(mén)ijkl。

進(jìn)一步，建立區(qū)域保障調(diào)度多分辨率模型，包括粗粒度模型和細(xì)粒度模型。粗粒度模型同上，細(xì)粒度如下：

dw（hi，gj）=arg minT∈U（hi，gj）∑iKk=1∑jLl=1CijklTijkl（6）

∑jLl=1Tijkl=hik，k=1，2，…，iK（7）

∑iKk=1Tijkl=gjl，l=1，2，…，jL（8）

Cijkl=d（xik，yjl）p（9）

其中，粗粒度模型中的Cij無(wú)法再用Xi到Y(jié)j的歐式距離d（xi，yj）計(jì)算，因其各自都包含多個(gè)單元，而每個(gè)單元位置、供需情況均不同，此時(shí)可以用最優(yōu)傳輸理論的分布距離作為Cij，即Xi中保障單元的供應(yīng)分布到Y(jié)j中裝備單元的需求分布的Wasserstein距離dw（hi，gj）。可以看到，分布距離與成本結(jié)構(gòu)的這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，使得粗、細(xì)粒度模型之間可以很好地實(shí)現(xiàn)信息傳遞，同時(shí)由于粗、細(xì)粒度模型的結(jié)構(gòu)一致性，改模型在復(fù)雜系統(tǒng)層次化調(diào)度中具有明顯優(yōu)勢(shì)。

因此，區(qū)域保障調(diào)度問(wèn)題用最優(yōu)傳輸理論來(lái)解讀，其本質(zhì)就是找到供應(yīng)方資源分布到需求方資源分布的最優(yōu)傳輸方案。

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 sinkhorn算法

最優(yōu)傳輸?shù)挠?jì)算復(fù)雜度過(guò)高使得應(yīng)用一直受限［27］。求解最優(yōu)傳輸?shù)乃惴ㄖ饕?類(lèi)，一是采用線性規(guī)劃可求得精確解，由于線性規(guī)劃最優(yōu)解是從可行域多面體上的頂點(diǎn)中去找，存在無(wú)最優(yōu)解和多個(gè)最優(yōu)解情況，尤其在大規(guī)模復(fù)雜線性規(guī)劃模型中，最優(yōu)解具有稀疏性，計(jì)算效率低，同時(shí)計(jì)算復(fù)雜度為O（n3），即當(dāng)數(shù)據(jù)量增大n倍時(shí)，計(jì)算耗時(shí)增加n的立方倍;二是采用最優(yōu)傳輸設(shè)定下的標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化算法，包括加速梯度下降法和擬牛頓法，該算法十分有效，但是理論分析還有待發(fā)展;三是熵正則化方法，該方法通過(guò)將目標(biāo)函數(shù)熵正則化，可以使得問(wèn)題在解空間上更加光滑，增加了問(wèn)題的凸性，保證有唯一最優(yōu)解，目前應(yīng)用最為普遍［28-33］。以粗粒度模型為例，通過(guò)傳輸計(jì)劃對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行正則化，即在Wasserstein距離基礎(chǔ)上加入熵正則化項(xiàng)，得到sinkhorn距離，即LλC（u，v）=minT∈U（u，v）∑mi=1∑nj=1Cij·Tij－1/λ·H（T），其中H（T）=－∑mi=1∑nj=1Tij（lnTij－1）。H（T）為T(mén)的信息熵，T分布越均勻，信息熵越大。熵正則化參數(shù)λ負(fù)責(zé)調(diào)整信息熵的影響程度，λ越大，表示信息熵的影響越小，最終結(jié)果受成本矩陣的影響越大，即表示傾向于集中式保障;反之，λ越大，表示傾向于分布式保障。

針對(duì)sinkhorn距離LλC（u，v）=∑i，jCijTij－1/λ·∑i，jTij·（lnTij－1），對(duì)其求偏導(dǎo)有LλC/Tij=Cij－1/λ·（（lnTij－1）+Tij·1/Tij），得到LλC/Tij=Cij－1/λ·lnTij，令LλC/Tij=0，得到Tij=eλCij。由此得到最優(yōu)傳輸模型的近似算法，即sinkhorn算法，基本流程如算法1所示。顯然，該算法流程簡(jiǎn)單，具有高效性和收斂性，在解決大規(guī)模問(wèn)題上表現(xiàn)出優(yōu)越性能。

2.2 區(qū)域保障調(diào)度多分辨率模型算法

在區(qū)域保障調(diào)度多分辨率模型求解時(shí)，還需考慮量綱差異和不均衡調(diào)度問(wèn)題。針對(duì)信息在粗、細(xì)粒度模型傳遞中的量綱差異，如歐式距離、分布距離等，采用歸一化處理;針對(duì)粗、細(xì)粒度模型中的資源數(shù)量不均衡調(diào)度，采用概率化處理，將其轉(zhuǎn)化為概率層面的均衡調(diào)度問(wèn)題，即供應(yīng)數(shù)量分布轉(zhuǎn)換為供應(yīng)的空間概率密度分布，需求數(shù)量分布轉(zhuǎn)換為需求的空間概率密度分布。概率化處理后，首先通過(guò)sinkhorn算法計(jì)算得到保障調(diào)度概率方案，然后乘以資源的需求總量和配置總量分別得到相應(yīng)的保障調(diào)度方案。模型算法步驟如下。

步驟 1

輸入數(shù)據(jù)xik，yjl，hik，gjl，概率化處理hik，gjl得到各供需點(diǎn)的概率向量phi，pgj。

步驟 2

根據(jù)細(xì)粒度模型計(jì)算Xi到Y(jié)j的分布距離dw（phi，pgj）及其保障調(diào)度概率方案PTij。

步驟 3

得到粗粒度模型的成本Cij=dw（phi，pgj）。

步驟 4

輸入數(shù)據(jù)Cij，ui，vj，概率化處理ui，vj得到概率向量u，v。

步驟 5

根據(jù)粗粒度模型計(jì)算得到dw（u，v）及其保障調(diào)度概率方案PT。

步驟 6

計(jì)算粗粒度模型保障調(diào)度方案T。

最少資源配置T1=PT·sum（v）和最多資源輸送T2=PT·sum（u）。若sum（u）≥sum（v），此時(shí)需求可以滿足，最優(yōu)保障方案為T(mén)1;若sum（u）lt;sum（v），此時(shí)需求部分滿足，最優(yōu)保障方案包括兩部分，前方調(diào)度方案T2和后方調(diào)度方案sum（T1－T2，2）。

步驟 7

計(jì)算細(xì)粒度模型保障調(diào)度方案Tij。

最少資源配置T1ij=PT·sum（gj）和最多資源輸送T2ij=PT·sum（hi）。

若sum（hi）≥sum（gj），此時(shí)需求可以滿足，最優(yōu)保障方案為T(mén)1ij;若sum（hi）lt;sum（gj），此時(shí)需求部分滿足，最優(yōu)保障方案包括兩部分，前方調(diào)度方案T2ij和后方調(diào)度方案sum（T1ij－T2ij，2）。

步驟 8

輸出粗粒度模型保障調(diào)度方案T和細(xì)粒度模型保障調(diào)度方案Tij。

根據(jù)以上算法，可以得到基于一定供需分布的粗、細(xì)粒度模型保障調(diào)度方案。

3 案例驗(yàn)證

3.1 案例背景

某次任務(wù)前，根據(jù)計(jì)劃，執(zhí)行作戰(zhàn)任務(wù)共4個(gè)編組20型裝備，參與保障任務(wù)共5個(gè)保障機(jī)構(gòu)12個(gè)保障單元，編組和機(jī)構(gòu)的單元、位置、資源供需量等信息如表1和表2所示，保障關(guān)系如表3所示，制定任務(wù)前保障調(diào)度方案。表1和表2中方括號(hào)內(nèi)數(shù)據(jù)前兩個(gè)為位置坐標(biāo)，后一個(gè)為資源數(shù)量。

進(jìn)一步的保障關(guān)系，由表3得到，各保障機(jī)構(gòu)與裝備編組內(nèi)部所有保障單元與裝備單元之間的保障關(guān)系相同，并且為該機(jī)構(gòu)與編組的保障關(guān)系值，如X1 和Y1的保障關(guān)系都是1e-3。

3.2 計(jì)算結(jié)果

本案例中總供需平衡，取p=2，λ=1，迭代次數(shù)為300次，計(jì)算結(jié)果如下。

（1） 采用sinkhorn、admm、線性規(guī)劃3種算法的粗粒度模型結(jié)果T如圖1所示，行表示保障機(jī)構(gòu)，列表示裝備編組。

（2） sinkhorn算法細(xì)粒度模型結(jié)果Tij如圖2所示，行表示各單元內(nèi)保障單元，列表示各單元內(nèi)裝備單元。

3.3 算法性能及相關(guān)討論

（1） 不同算法性能比較

admm算法是一種求解具有可分離的凸優(yōu)化問(wèn)題的重要方法，處理速度好，收斂性能好。本案例模型正則化處理后雖然是凸優(yōu)化問(wèn)題，但可分離特點(diǎn)不明顯，因此需要尋找新的算法。前面論證過(guò)sinkhorn算法可行性，這里主要用admm算法檢驗(yàn)sinkhorn算法的計(jì)算準(zhǔn)確性。從誤差迭代曲線看，二者差異很小;從計(jì)算結(jié)果看，二者粗粒度模型相差幾乎相同，細(xì)粒度模型在局部區(qū)域有一定差異。驗(yàn)證結(jié)果表明，所建模型用sinkhorn算法具有較好優(yōu)勢(shì)。后續(xù)采用sinkhorn算法求解模型并進(jìn)行討論。

（2） 不同成本結(jié)構(gòu)比較

本案例中，當(dāng)p=1時(shí)，計(jì)算結(jié)果不變。當(dāng)保障關(guān)系矩陣從現(xiàn)有數(shù)據(jù)（保障關(guān)系1：固定組合保障關(guān)系）調(diào)整為矩陣元素全為1（保障關(guān)系2：自由競(jìng)爭(zhēng)保障關(guān)系）時(shí)，計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖4所示，行表示保障機(jī)構(gòu)，列表示裝備編組。p=1和p=2前后不變是因?yàn)榧?xì)粒度模型成本矩陣發(fā)生極微小變化，沒(méi)有對(duì)粗粒度模型計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響。后者變化是因?yàn)榧?xì)粒度模型成本矩陣中前3行的對(duì)角線元素發(fā)生很大變化，導(dǎo)致粗粒度模型計(jì)算結(jié)果中前3行元素產(chǎn)生較大影響，尤其是對(duì)角線元素影響最大。說(shuō)明成本矩陣對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響具有輻射效應(yīng)，即某個(gè)Cij變化大，相應(yīng)Tij變化也大，同時(shí)相應(yīng)行列均發(fā)生一定變化。

（3） 不同分布函數(shù)比較

以粗粒度模型為例，固定成本矩陣進(jìn)行不同供需分布條件下的計(jì)算結(jié)果分析。

在小規(guī)模模型條件下，如案例中5個(gè)供應(yīng)點(diǎn)和4個(gè)需求點(diǎn)，成本為Cij=dw（phi，pgj），分別考慮固定供應(yīng)分布和固定需求分布兩種情況下的模型求解。第一種情況下，供應(yīng)分布為正態(tài)分布，需求分布分別為正態(tài)分布、指數(shù)分布和均勻分布，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。第二種情況下，需求分布為正態(tài)分布，供應(yīng)分布分別為正態(tài)分布、指數(shù)分布和均勻分布，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。

從圖5和圖6可以看到，當(dāng)供需分布中有指數(shù)分布時(shí)，保障方案差異較大，當(dāng)供需分布為正態(tài)分布、均勻分布組合時(shí)，保障方案變化很小，尤其在供需均為正態(tài)分布時(shí)，保障方案幾乎無(wú)變化。因此，在供需位置和保障關(guān)系不變條件下，供需均為正態(tài)分布時(shí)，保障方案穩(wěn)定;供需無(wú)指數(shù)分布時(shí)，保障方案相對(duì)穩(wěn)定;供需有指數(shù)分布時(shí)，保障方案偏差很大。兩種情況下誤差均值如表4所示。在大規(guī)模條件下，將本案例擴(kuò)展為50個(gè)供應(yīng)點(diǎn)和40個(gè)需求點(diǎn)，成本矩陣采用repmat（Cij，10，10），也分別考慮固定供應(yīng)分布和固定需求分布兩種情況下的模型求解。限于篇幅，這里未給出計(jì)算結(jié)果誤差圖，兩種情況下誤差均值如表5所示。

綜上，得到3點(diǎn)結(jié)論：① 供需不同分布函數(shù)對(duì)保障方案的影響和小規(guī)模條件下的規(guī)律相同;② 隨著規(guī)模增大，余弦距離的誤差基本不變，方差的誤差明顯變小，保障方案越具有穩(wěn)定性;③ 指數(shù)分布在大規(guī)模條件下雖然方差的誤差明顯變小，但余弦距離的誤差無(wú)明顯變化，仍然很大，保障方案不具有穩(wěn)定性。

（4） 綜合分析

進(jìn)一步擴(kuò)展，將成本矩陣調(diào)整為元素全為1（自由競(jìng)爭(zhēng)保障關(guān)系）時(shí)，在小規(guī)模和大規(guī)模兩種條件下進(jìn)行不同供需分布的計(jì)算結(jié)果分析，綜合分析如圖7所示。橫軸分布類(lèi)型中1、2、3分別對(duì)應(yīng)正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布。

從圖7中可以得到如下結(jié)論：① 因供需分布引起的保障方案誤差，大規(guī)模條件下小于小規(guī)模條件下，誤差從小到大依次為正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布，正態(tài)分布和均勻分布誤差相近，指數(shù)分布誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于前兩者;② 因保障關(guān)系引起的保障方案誤差，保障關(guān)系1總體大于保障關(guān)系2，小規(guī)模條件下誤差更大。

4 結(jié) 論

本文基于資源空間分布視角，運(yùn)用最優(yōu)傳輸理論，建立區(qū)域保障調(diào)度多分辨率模型，有效挖掘保障供需與保障方案之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。主要貢獻(xiàn)和結(jié)論在于：

（1） 提出資源分布視角下的區(qū)域保障調(diào)度模型。傳統(tǒng)模型的前提假設(shè)是已準(zhǔn)確預(yù)測(cè)資源數(shù)量，實(shí)際任務(wù)中資源數(shù)量無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，但可以獲得分布特征。本文運(yùn)用最優(yōu)傳輸理論，將區(qū)域保障調(diào)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何以最優(yōu)方式實(shí)現(xiàn)區(qū)域中保障需求分布與保障供應(yīng)分布的匹配。

（2） 解決區(qū)域保障調(diào)度模型層級(jí)結(jié)構(gòu)一致性問(wèn)題。傳統(tǒng)模型粗細(xì)粒度模型結(jié)構(gòu)差異較大，信息傳遞復(fù)雜，導(dǎo)致復(fù)雜系統(tǒng)層次化調(diào)度問(wèn)題難以解決。本文模型所建立的區(qū)域保障調(diào)度粗、細(xì)粒度模型，具有結(jié)構(gòu)一致性、分布距離與成本結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換方便的特點(diǎn)，使得在分辨率轉(zhuǎn)換時(shí)模型切換自如。

（3） 根據(jù)所建立模型的案例分析，得出關(guān)于保障調(diào)度的一些新結(jié)論。供需中有指數(shù)分布時(shí)，需要單獨(dú)制定方案;供需中無(wú)指數(shù)分布時(shí)，保障方案具有穩(wěn)定性，尤其在大規(guī)模條件下更具有穩(wěn)定性;固定組合保障關(guān)系時(shí)，保障方案在小規(guī)模條件下具有較大敏感性，自由競(jìng)爭(zhēng)保障關(guān)系時(shí)，保障方案在大小規(guī)模條件下均具有穩(wěn)定性。

參考文獻(xiàn)

［1］ 曹軍海， 郭一鳴， 張闖， 等. 復(fù)雜裝備維修保障模式和人力資源仿真優(yōu)化研究［J］. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)， 2021， 33（10）： 2307-2314.

CAO J H， GUO Y M， ZHANG C， et al. Research on simulation and optimization of maintenance support mode and human resources auocation for complex equipment［J］. Journal of System Simulation， 2021， 33（10）： 2307-2314.

［2］ 楊帆， 王鐵寧， 高晟. 面向任務(wù)的裝備器材需求預(yù)測(cè)［J］. 火力與指揮控制， 2021， 46（4）： 48-53.

YANG F， WANG T N， GAO S. Demand forecasting of equipment materials oriented to tasks［J］. Fire Control amp; Command Control， 2021， 46（4）： 48-53.

［3］ 王琮， 沈會(huì)良， 夏永祥， 等. 裝備保障體系關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)分析［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2022， 44（10）： 3134-3142.

WANG C， SHEN H L， XIA Y X， et al. Analysis of critical nodes in equipment support system［J］. Systems Engineering and Electronics， 2022， 44（10）： 3134-3142.

［4］ 王堅(jiān)浩， 張亮， 史超， 等. 裝備保障任務(wù)分配建模與DLS-BCIWBA算法求解［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2018， 40（9）： 1979-1985.

WANG J H， ZHANG L， SHI C， et al. Task allocation modeling and solving algorithm for equipment support using DLS-BCIWBA［J］. Systems Engineering and Electronics， 2018， 40（9）： 1979-1985.

［5］ 李峻森， 方依寧， 張?jiān)瓢玻?等. 面向任務(wù)的裝備保障體系多Agent建模與評(píng)估方法［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2023， 45（1）： 279-290.

LI J S， FANG Y N， ZHANG Y A， et al. Multi-agent modeling and evaluation method for mission-oriented equipment support SoS［J］. Systems Engineering and Electronics， 2023， 45（1）： 279-290.

［6］ MAO W T， LIU J， CHEN J X， et al. An interpretable deep transfer learning-based remaining useful life prediction approach for bearings with selective degradation knowledge fusion［J］. IEEE Trans.on Instrumentation and Measurement， 2022， 71： 3508616.

［7］ MAO W T， LIU K Y. ZHANG Y N， et al. Self-supervised deep tensor domain-adversarial regression adaptation for online remaining useful life prediction across machines［J］. IEEE Trans.on Instrumentation and Measurement， 2023， 72： 2509916.

［8］ LIU P P， MING W， HUANG C C. Intelligent modeling of abnormal demand forecasting for medical consumables in smart city［J］. Environmental Technology amp; Innovation. 2020， 20（1）： 1104-1111.

［9］ BABAI M Z， CHEN H， SYNTETOS A A， et al. A compound-poisson Bayesian approach for spare parts inventory forecasting［J］. International Journal of Production Economics， 2020， 232（8）： 107954.

［10］ BAISARIYEV M， BAKYTZHANULY A， SERIK Y， et al. Demand forecasting methods for spare parts logistics for aviation： a real-world implementation of the bootstrap method［J］. Procedia Manufacturing， 2021， 55（11）： 500-506.

［11］ GABRIEL P， MARCO C. Computational optimal transport ［M］. Cham： Springer， 2018.

［12］ CUTURI M. Sinkhorn distances： lightspeed computation of optimal transport［C］∥Proc.of the 26th International Confe-rence on Neural Information Processing Systems， 2013.

［13］ GENEVAY A， PEYRE G， CUTURI M. Learning generative models with sinkhorn divergences［C］∥Proc.of the 21st International Conference on Artificial Intelligence and Statistics， 2018.

［14］ GENEVAY A， CHIZAT L， BACH F， et al. Sample complexity of sinkhorn divergences［C］∥Proc.of the 22nd International Conference on Artificial Intelligence and Statistics， 2018.

［15］ GENEVAY A， PEYRE G， CUTURI M. Learning generative models with sinkhorn divergences［C］∥Proc.of the International Conference on Artificial Intelligence and Statistics， 2018.

［16］ BRANDON A， LEI X， KOLTER J Z. Input convex neural networks［C］∥Proc.of the International Conference on Machine Learning， 2017： 146-155.

［17］ MUHAMMAD A， MAX D， OSCAR L， et al. Invertible generative models for inverse problems： mitigating representation error and dataset bias［C］∥Proc.of the International Confe-rence on Machine Learning， 2020： 399-409.

［18］ SEBASTIAN B， AXEL R， JONAS A， et al. Data-driven nonsmooth optimization［J］. SIAM Journal on Optimization， 2020， 30（1）： 102-131.

［19］ JOSHUA B， LOIC R. Noise2self： blind denoising by self-supervision［C］∥Proc.of the International Conference on Machine Learning， 2019： 524-533.

［20］ GEORGIOS B， MARCELLO C， CHRISTIAN E， et al. CAFLOW： conditional autoregressive flows［EB/OL］. ［2023-10-04］. http：∥doi.org/10.48550/arXiv.2106.02531.

［21］ BLONDEL M， SEGUY V， ROLET A. Smooth and sparse optimal transport［C］∥Proc.of the 21st International Conference on Artificial Intelligence and Statistics， 2018.

［22］ CUTURI M， KLEIN M， ABLIN P. Monge， bregman and occam： interpretable optimal transport in high-dimensions with feature-sparse maps［C］∥Proc.of the 40th International Conference on Machine Learning， 2023： 6671-6682.

［23］ GRAVE E， JOULIN A， BERTHET Q. Unsupervised alignment of embeddings with wasserstein procrustes［C］∥Proc.of the 22nd International Conference on Artificial Intelligence and Statistics， 2019： 1880-1890.

［24］ MARTIN A， SOUMITH C， LEON B. Wasserstein generative adversarial networks［C］∥Proc.of the 34th International Conference on Machine Learning， 2017： 214-223.

［25］ NEKRASHEVICH M， KOROTIN A， BURNAEV E. Neural Gromov-Wasserstein optimal transport［EB/OL］. ［2023-10-04］. http：∥doi.org/10.48550/arXiv.2303.05978.

［26］ NILES-WEED J， RIGOLLET P. Estimation of Wasserstein distances in the spiked transport model［J］. Bernoulli： Official Journal of the Bernoulli Society for Mathematical Statistics and Probability， 2022， 28（4）： 2663-2688.

［27］ ZHANG Z X， GOLDFELD Z， MROUEH Y， et al. Gromov-Wasserstein distances： entropic regularization， duality， and sample complexity［EB/OL］. ［2023-10-04］. http：∥doi.org/10.48550/arXiv.2212.12848.

［28］ RIOUX G， GOLDFELD Z， KATO K. Entropic Gromov-Wasserstein distances： stability， algorithms， and distributional li-mits［EB/OL］. ［2023-10-04］. http：∥doi.org/10.48550/arXiv.2306.00182.

［29］ JANATI H， CUTURI M， GRAMFORT A. Wasserstein regularization for sparse multi-task regression［C］∥Proc.of the 22nd International Conference on Artificial Intelligence and Statistics， 2019： 1407-1416.

［30］ SCETBON M， KLEIN M， PALLA G， et al. Unbalanced low-rank optimal transport solvers［EB/OL］. ［2023-10-04］. http：∥doi.org/10.48550/arXiv.2305.19727.

［31］ AMBROGIONI L， GUCLU U， GERVEN M V. Wasserstein variational gradient descent： from semi-discrete optimal transport to ensemble variational inference［EB/OL］. ［2023-10-04］. http：∥doi.org/10.48550/arXiv.1811.02827.

［32］ BACKURS A， DONG Y， INDYK P， et al. Scalable nearest neighbor search for optimal transport［C］∥Proc.of the International Conference on Machine Learning， 2020： 497-506.

［33］ PEYRE G， CUTURI M. Computational optimal transport： with applications to data science［J］. Foundations and Trends in Machine Learning， 2019， 11（56）： 355-607.

作者簡(jiǎn)介

胡志剛（1983—），男，講師，博士研究生，主要研究方向?yàn)檠b備保障、數(shù)字化建模。

樓京俊（1976—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)檠b備保障、數(shù)字化建模。

史躍東（1982—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)檠b備保障。