摘 要： 針對(duì)在遠(yuǎn)距離密集目標(biāo)情況下，因角度維誤差導(dǎo)致目標(biāo)空間定位誤差變大而航跡誤關(guān)聯(lián)率較高的問(wèn)題，提出一種基于目標(biāo)量測(cè)誤差分布的航跡抗差關(guān)聯(lián)算法。首先在分析目標(biāo)量測(cè)誤差空間概率分布特征的基礎(chǔ)上，定義了與目標(biāo)同一性密切相關(guān)的視同因子;然后利用關(guān)聯(lián)目標(biāo)對(duì)與雷達(dá)之間的幾何關(guān)系、目標(biāo)量測(cè)距離和雷達(dá)站址等先驗(yàn)信息，基于模糊數(shù)學(xué)理論中的高斯隸屬度函數(shù)，計(jì)算得到目標(biāo)航跡之間的航跡關(guān)聯(lián)度和航跡關(guān)聯(lián)代價(jià)矩陣;最后利用經(jīng)典分配法進(jìn)行航跡關(guān)聯(lián)判定。仿真結(jié)果表明，所提算法航跡誤關(guān)聯(lián)率低、抗差性好，且不受目標(biāo)數(shù)目變化的影響。

關(guān)鍵詞： 航跡關(guān)聯(lián); 誤差分布; 隸屬度函數(shù); 多維分配

中圖分類(lèi)號(hào)： TN 957.51

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.08.29

Anti-bias track association algorithm based on target measurement

error distribution

YANG Xin^*， RUAN Kaizhi， LIU Hongming， WANG Xiaoke， LIU Jingqiu， SHI Yusheng

（Shanghai Electro-Mechanical Engineering Institute， Shanghai 201109， China）

Abstract： In the case of long-range and dense targets， aiming at the problem of high track error correlation rate due to large spatial positioning error of target caused by angle dimension error， an anti-bias track association algorithm based on target measurement error distribution is proposed. Firstly， based on the analysis of the spatial probability distribution characteristics of the target measurement error， the algorithm defines the reckon factor closely related to target identity. Then， using the geometric relationship between the associated target pair and radar， the measurement distance of target， the radar site and other prior information， the track association degree and track association cost matrices between the target tracks are calculated based on the Gaussian affiliation function in fuzzy mathematics theory. Finally， the classical allocation method is used to determine the track correlation. Simulation results show that the proposed algorithm has low track error correlation rate and good robustness， and is not affected by the number of targets.

Keywords： track association; error distribution; affiliation function; multidimensional allocation

0 引 言

在分布式多傳感器多目標(biāo)跟蹤融合系統(tǒng)中，需要判斷不同傳感器上報(bào)的目標(biāo)航跡是否源于同一目標(biāo)，即航跡關(guān)聯(lián)^［1-3］。航跡關(guān)聯(lián)是目標(biāo)信息融合的前提，也是融合中心亟需解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一^［4-6］。同時(shí)，隨著軍事技術(shù)的快速發(fā)展，采用分布式雷達(dá)組網(wǎng)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同探測(cè)和戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)監(jiān)視已成為一種必然趨勢(shì)，多傳感器航跡關(guān)聯(lián)則顯得尤其重要^［7-9］。但各傳感器采樣周期不一致和開(kāi)機(jī)時(shí)間不同，致使局部節(jié)點(diǎn)上報(bào)目標(biāo)航跡異步，系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的存在也導(dǎo)致目標(biāo)觀測(cè)位置發(fā)生偏移且?guī)в姓`差，這些都大大增加了航跡關(guān)聯(lián)的難度^［10-27］。

其中，為克服系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差對(duì)航跡關(guān)聯(lián)的影響，文獻(xiàn)［14-15］將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)量和平移量，分別提出一種基于Fourier變換和Radon變換的航跡對(duì)準(zhǔn)關(guān)聯(lián)技術(shù)，但在大系統(tǒng)誤差下，算法的抗差性較差。而文獻(xiàn)［16］采用基于密度的模糊聚類(lèi)思想，將誤差帶來(lái)的不確定性模糊化，所提方法的關(guān)聯(lián)結(jié)果接近貝葉斯最小均方誤差準(zhǔn)則下的結(jié)果?？紤]系統(tǒng)誤差隨時(shí)間變化，文獻(xiàn)［17］用區(qū)間灰數(shù)來(lái)表示目標(biāo)定位的不確定性，提出一種基于區(qū)間相離度的航跡灰色關(guān)聯(lián)算法。文獻(xiàn)［18-19］同樣使用灰色關(guān)聯(lián)理論，將時(shí)變系統(tǒng)誤差的影響用灰區(qū)域來(lái)描述，分別用灰色區(qū)間相對(duì)支持度和區(qū)域覆蓋度來(lái)表征目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)程度的大小。但由于文獻(xiàn)［17-19］在計(jì)算航跡灰關(guān)聯(lián)系數(shù)時(shí)，各傳感器數(shù)據(jù)存在不可交換性，當(dāng)存在非共同觀測(cè)目標(biāo)時(shí)，航跡誤關(guān)聯(lián)率變大，故文獻(xiàn)［20］對(duì)灰關(guān)聯(lián)度進(jìn)行修正并引入了目標(biāo)航跡歷史信息，提出一種基于序貫修正灰關(guān)聯(lián)度的全局最優(yōu)航跡關(guān)聯(lián)算法，提高了局部節(jié)點(diǎn)在非共同觀測(cè)目標(biāo)情況下的航跡正確關(guān)聯(lián)率。

雖然各傳感器系統(tǒng)誤差的存在使目標(biāo)航跡發(fā)生偏移，但對(duì)目標(biāo)間的相對(duì)位置關(guān)系影響卻很小，故文獻(xiàn)［21］利用目標(biāo)間恒定的相對(duì)距離信息，將拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相似性引入到航跡關(guān)聯(lián)中;文獻(xiàn)［22］基于量測(cè)目標(biāo)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間不變性，根據(jù)目標(biāo)參照系下鄰近目標(biāo)間的拓?fù)浣y(tǒng)計(jì)距離信息進(jìn)行全局最優(yōu)關(guān)聯(lián);文獻(xiàn)［23］則采用參考拓?fù)涮卣鞅硎竞桔E的不確定性，通過(guò)非剛性變換描述航跡間的結(jié)構(gòu)差異;文獻(xiàn)［24］結(jié)合海上目標(biāo)位置變化慢、空間拓?fù)潢P(guān)系穩(wěn)定的特點(diǎn)，基于三角形穩(wěn)定結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了適用于海上目標(biāo)的航跡抗差關(guān)聯(lián)算法。不足的是，在目標(biāo)密集分布情況下，此類(lèi)算法的關(guān)聯(lián)計(jì)算量較大，且會(huì)導(dǎo)致目標(biāo)空間拓?fù)潢P(guān)系不穩(wěn)定，部分目標(biāo)航跡被錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)，尤其是當(dāng)目標(biāo)位于遠(yuǎn)距離時(shí)，由于測(cè)角誤差導(dǎo)致目標(biāo)在角度維的定位誤差變大，這一現(xiàn)象更加明顯。

進(jìn)一步，針對(duì)航跡異步、系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差并存時(shí)的航跡關(guān)聯(lián)問(wèn)題，文獻(xiàn)［25］基于高斯隨機(jī)矢量統(tǒng)計(jì)特性推導(dǎo)出一種基于距離分級(jí)聚類(lèi)的機(jī)載雷達(dá)航跡抗差關(guān)聯(lián)算法，但測(cè)角隨機(jī)誤差的增大會(huì)導(dǎo)致關(guān)聯(lián)性能惡化。文獻(xiàn)［26］分析目標(biāo)航跡間的時(shí)空交叉關(guān)系，定義廣義時(shí)空交叉點(diǎn)，提出了一種以航跡對(duì)時(shí)空交叉點(diǎn)為特征，通過(guò)特征匹配來(lái)實(shí)現(xiàn)航跡關(guān)聯(lián)的算法。文獻(xiàn)［27］則通過(guò)計(jì)算目標(biāo)航跡序列與航跡點(diǎn)之間的k近鄰平均距離，進(jìn)而用得到的不等長(zhǎng)航跡序列之間的灰色關(guān)聯(lián)度，表征目標(biāo)航跡之間的相似度，最后通過(guò)經(jīng)典分配法進(jìn)行異步航跡關(guān)聯(lián)判決，算法關(guān)聯(lián)效果較好。但以上算法仍然依賴(lài)于目標(biāo)的空間定位精度，在距離遠(yuǎn)、目標(biāo)分布密集、系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差較大條件下，航跡誤關(guān)聯(lián)率較高，算法抗差性較差。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文首先對(duì)航跡關(guān)聯(lián)問(wèn)題進(jìn)行描述，分析目標(biāo)量測(cè)誤差空間的概率分布特征，給出利用目標(biāo)量測(cè)距離信息進(jìn)行目標(biāo)關(guān)聯(lián)的基本思想，最后提出一種基于目標(biāo)量測(cè)誤差分布的航跡抗差關(guān)聯(lián)算法。

1 問(wèn)題描述

這里以?xún)刹开?dú)立的單基地雷達(dá)對(duì)同一遠(yuǎn)距離空域內(nèi)的多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行監(jiān)視和跟蹤為例，目標(biāo)在所監(jiān)視的空域內(nèi)隨機(jī)分布，雷達(dá)1位于（L₁，B₁，H₁），雷達(dá)2位于（L₂，B₂，H₂），雷達(dá)數(shù)據(jù)融合中心位于（L₀，B₀，H₀）。在某一時(shí)刻t，融合中心則會(huì)接收兩雷達(dá)局部節(jié)點(diǎn)上報(bào)的目標(biāo)航跡信息。在融合中心的一個(gè)處理周期T內(nèi)，可將兩雷達(dá)觀測(cè)得到的目標(biāo)航跡標(biāo)號(hào)集合記為

={1，2，…，i，…，m}（1）

ξ={1，2，…，j，…，n}（2）

式中：m和n分別表示雷達(dá)1和雷達(dá)2上報(bào)的目標(biāo)航跡數(shù);i和j對(duì)應(yīng)不同目標(biāo)的航跡序號(hào)。

在以雷達(dá)1站址為原點(diǎn)的北天東坐標(biāo)系下，觀測(cè)目標(biāo)航跡_i的第p個(gè)航跡點(diǎn)的極坐標(biāo)與北天東直角坐標(biāo)為

Ti（p）=［R^ip，A^ip，E^ip］^T（3）

Xⁱ（p）=［xⁱ（p），yⁱ（p），zⁱ（p）］^T（4）

式中：p=1，2，…，nⁱ，nⁱ表示雷達(dá)1采集的第i條航跡的航跡點(diǎn)數(shù)。

同理，對(duì)雷達(dá)2來(lái)說(shuō)，觀測(cè)目標(biāo)航跡ξ_j的第q個(gè)航跡點(diǎn)的極坐標(biāo)與北天東直角坐標(biāo)為T(mén)^j_ξ（q）和X^j_ξ（q），q=1，2，…，n^j_ξ，nⁱ_ξ表示雷達(dá)2采集的第j條航跡的航跡點(diǎn)數(shù)。此外，由于不同雷達(dá)傳感器的掃描周期不同，各雷達(dá)目標(biāo)航跡之間一般為不等長(zhǎng)航跡序列，即nⁱ≠n^j_ξ。

顯然，在進(jìn)行目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)時(shí)，由于雷達(dá)1航跡集合中至多有一條航跡與雷達(dá)2航跡集合中的一條航跡成功關(guān)聯(lián)，可記雷達(dá)1航跡_i與雷達(dá)2航跡ξ_j源于同一目標(biāo)為事件H_ij;雷達(dá)1航跡_i與雷達(dá)2航跡ξ_k源于同一目標(biāo)為事件H_ik。則若航跡_i與ξ_j確實(shí)來(lái)自同一個(gè)目標(biāo)并成功被關(guān)聯(lián)，應(yīng)滿(mǎn)足以下準(zhǔn)則：

p（H_ij）gt;p（H_ik）（5）

式中：k≠j，k=1，2，…，n；p（·）表征為根據(jù)某一關(guān)聯(lián)準(zhǔn)則計(jì)算出的事件發(fā)生可能的大小。

由此，航跡關(guān)聯(lián)問(wèn)題可轉(zhuǎn)換為尋找合適關(guān)聯(lián)準(zhǔn)則下的事件判決問(wèn)題，或者也可同現(xiàn)有航跡關(guān)聯(lián)算法一樣，等效于構(gòu)造某個(gè)指標(biāo)表征目標(biāo)航跡之間的相似度，如目標(biāo)航跡之間的灰色區(qū)間相對(duì)支持度^［18］和區(qū)域覆蓋度^［19］。但在大多數(shù)情況下，由于存在航跡誤關(guān)聯(lián)情況，所以一般會(huì)先獲得航跡關(guān)聯(lián)矩陣或航跡關(guān)聯(lián)代價(jià)矩陣，再利用經(jīng)典分配等算法，進(jìn)行全局最優(yōu)或代價(jià)最小的目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)判決^［27］。

2 目標(biāo)量測(cè)誤差空間的概率分布

目標(biāo)空間位置信息的獲取是雷達(dá)最基本的任務(wù)，其不外乎目標(biāo)徑向距離r、方位角a和俯仰角e等目標(biāo)參數(shù)的探測(cè)、濾波和估計(jì)。由于雷達(dá)設(shè)備工作機(jī)制、使用信號(hào)波形參數(shù)的不同，可獲取目標(biāo)參量的維度、個(gè)數(shù)、目標(biāo)量測(cè)誤差的空間概率分布特征和范圍也會(huì)有所差別^［28-29］。

這里關(guān)注跟蹤測(cè)量雷達(dá)對(duì)目標(biāo)量測(cè)誤差空間的概率分布特征，假設(shè)目標(biāo)徑向距離、方位角和俯仰角信息已知。

顯然，由熱噪聲引起的角度和距離誤差一般認(rèn)為都服從高斯隨機(jī)分布，角度和距離誤差均方根表示如下：

σ_θ=θ_0.5k2SNR（6）

σ_R=cτ_e22n·SNR（7）

式中：θ_0.5為雷達(dá)半波束寬度;SNR為雷達(dá)信號(hào)匹配輸出的信噪比;k為常數(shù);c為光速;τ_e是脈壓后的脈寬;n為平滑脈沖個(gè)數(shù)。

而其他因目標(biāo)閃爍、數(shù)據(jù)量化和脈沖抖動(dòng)等因素引起的角度和距離誤差成分各自共同疊加在一起，均可認(rèn)為距離向和角度向的誤差分布近似為非零的高斯噪聲分布。

但不同的是，僅從數(shù)值上看，角度誤差不隨目標(biāo)距離變化。但若在笛卡爾空間觀察，隨目標(biāo)探測(cè)距離變遠(yuǎn)，目標(biāo)在方位向和俯仰向的空間不確定范圍將逐步增大，遠(yuǎn)大于有限的距離誤差，目標(biāo)的空間定位誤差變大。

最終，目標(biāo)的誤差空間分布為典型的“西瓜皮”形狀，如圖1所示。

3 基于目標(biāo)量測(cè)誤差分布的航跡抗差

關(guān)聯(lián)算法3.1 基本思想

為便于描述將當(dāng)前時(shí)刻探測(cè)的兩條目標(biāo)航跡的航跡點(diǎn)關(guān)聯(lián)為同一目標(biāo)程度的大小，有如下定義。

定義視同因子。對(duì)目標(biāo)進(jìn)行同一性識(shí)別時(shí)，用以表征將目標(biāo)觀測(cè)值視為來(lái)源于對(duì)同一個(gè)目標(biāo)觀測(cè)的可能性大小，取值范圍為0～1。視同因子越大，關(guān)聯(lián)為同一目標(biāo)的可能性越大。

以?xún)衫走_(dá)目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)為例，兩雷達(dá)在對(duì)空間中同一遠(yuǎn)距離目標(biāo)進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，其目標(biāo)量測(cè)誤差空間分布的不確定區(qū)域如圖2所示。

其中，目標(biāo)量測(cè)值是雷達(dá)在測(cè)量誤差條件下對(duì)目標(biāo)真實(shí)位置觀測(cè)的先驗(yàn)概率值;高概率定位點(diǎn)則是指基于另一雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的量測(cè)值、誤差分布特征、雷達(dá)和目標(biāo)的空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)關(guān)系等各種先驗(yàn)信息對(duì)目標(biāo)進(jìn)行二次定位后得到的后驗(yàn)概率估計(jì)值;雷達(dá)1和雷達(dá)2對(duì)目標(biāo)的量測(cè)誤差范圍（藍(lán)色“西瓜皮”區(qū)域和紅色“西瓜皮”區(qū)域），則是為囊括目標(biāo)誤差空間分布范圍，且因距離和角度維誤差分布為高斯分布，對(duì)其距離向和角度向的最大單側(cè)誤差分布范圍均取1倍系統(tǒng)誤差與4倍起伏誤差均方根之和組成。

顯然，如果選用測(cè)距精度較高的雷達(dá)，兩雷達(dá)目標(biāo)量測(cè)誤差空間存在明顯的互補(bǔ)特性，其相交區(qū)域?yàn)槟繕?biāo)探測(cè)存在的高概率空間（黑色區(qū)域），可在其中計(jì)算得到兩雷達(dá)各自對(duì)目標(biāo)的高概率定位點(diǎn)（不唯一）。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，利用同源目標(biāo)的先驗(yàn)信息，計(jì)算兩雷達(dá)各自目標(biāo)的高概率定位點(diǎn)與其雷達(dá)觀測(cè)值的誤差大小，均在其誤差空間分布范圍內(nèi)。

所以，基于上述特點(diǎn)，可對(duì)目標(biāo)航跡進(jìn)行關(guān)聯(lián)。雖然兩雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的高概率定位點(diǎn)A和B均未知，但仍可利用另一雷達(dá)對(duì)目標(biāo)測(cè)量的距離信息，基于兩雷達(dá)和觀測(cè)目標(biāo)之間的幾何關(guān)系，近似計(jì)算兩雷達(dá)目標(biāo)量測(cè)值T^ip和T^jq_ξ距離的高概率定位點(diǎn)在方位向上的橫向距離偏差，并將其轉(zhuǎn)換成方位向上的角度偏差，最后利用該角度偏差計(jì)算得到視同因子。

若兩目標(biāo)量測(cè)值同源，則計(jì)算得到的方位向的角度偏差最小，用于判斷其關(guān)聯(lián)為同一目標(biāo)T的視同因子p（T|T^ip）和p（T|T^jq_ξ）之積應(yīng)最大。故可計(jì)算多幀下的視同因子之積，將其取平均后用以表征兩條目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)程度的大小，再利用經(jīng)典分配等算法進(jìn)行全局最優(yōu)航跡關(guān)聯(lián)。

3.2 目標(biāo)關(guān)聯(lián)度函數(shù)

判斷兩雷達(dá)目標(biāo)量測(cè)值是否同源，需要計(jì)算視同因子，其計(jì)算函數(shù)為目標(biāo)關(guān)聯(lián)度函數(shù)。函數(shù)值表征的是兩目標(biāo)關(guān)聯(lián)為同一個(gè)目標(biāo)的可能性大小，也可以說(shuō)是一個(gè)目標(biāo)隸屬于另一個(gè)目標(biāo)的程度大小?；诖?，可利用模糊理論中的隸屬度函數(shù)計(jì)算視同因子的大小，隸屬度函數(shù)取值范圍為0～1，也正與視同因子的取值范圍一致。

由第3.1節(jié)可知，同源目標(biāo)關(guān)聯(lián)時(shí)，方位向上計(jì)算的角度偏差越小，視同因子越大，所以隸屬度函數(shù)的選取應(yīng)確保角度偏差越?。ㄉ踔翞榱悖r(shí)，隸屬度函數(shù)取值越大并趨于1;反之，角度偏差越大，隸屬度函數(shù)的取值應(yīng)越小并趨于0。此外，隸屬度函數(shù)曲線(xiàn)應(yīng)具備較好的連續(xù)性、平滑性和可調(diào)節(jié)性，以適應(yīng)雷達(dá)在不同測(cè)量誤差和系統(tǒng)誤差條件下觀測(cè)的目標(biāo)航跡數(shù)據(jù)。

綜上所述，可選用高斯隸屬度函數(shù)作為目標(biāo)關(guān)聯(lián)度函數(shù)，計(jì)算視同因子的大小。

高斯隸屬度函數(shù)，又稱(chēng)為正態(tài)分布隸屬度函數(shù)，函數(shù)表達(dá)式為

式中：f（x）為參數(shù)x的隸屬度;μ為分布期望，即高斯函數(shù)的中心;σ為高斯函數(shù)的寬度。

高斯隸屬度函數(shù)圖像是一條位于x軸正上方的鐘形曲線(xiàn)，中心點(diǎn)處的隸屬度最高，隨著距離中心點(diǎn)的距離增加，隸屬度逐漸減小。

需要注意的是，當(dāng)用高斯隸屬度函數(shù)計(jì)算視同因子時(shí)，μ=0，x為方位向上計(jì)算的角度偏差，而盡可能地囊括雷達(dá)在方位向上觀測(cè)所有目標(biāo)的單側(cè)誤差范圍，σ可取雷達(dá)在方位向上的系統(tǒng)誤差與4倍隨機(jī)起伏誤差均方根之和。

所以，目標(biāo)關(guān)聯(lián)度函數(shù)表達(dá)式為

3.3 算法步驟

3.3.1 時(shí)空統(tǒng)一

在實(shí)際工程中，雷達(dá)數(shù)據(jù)融合中心收到的各雷達(dá)上傳的目標(biāo)航跡均是異步航跡，在進(jìn)行目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)前，需要完成各雷達(dá)數(shù)據(jù)間的空間統(tǒng)一和時(shí)間配準(zhǔn)。

空間統(tǒng)一，主要指坐標(biāo)統(tǒng)一，這里指不同觀測(cè)坐標(biāo)系之間的互相轉(zhuǎn)換關(guān)系?？紤]地球曲率和雷達(dá)布站等影響，且為符合工程實(shí)際應(yīng)用，選擇雷達(dá)數(shù)據(jù)融合中心坐標(biāo)系為大地坐標(biāo)系，將兩雷達(dá)觀測(cè)目標(biāo)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到雷達(dá)數(shù)據(jù)融合中心下。

時(shí)間配準(zhǔn)的一般做法則是將各傳感器數(shù)據(jù)統(tǒng)一到掃描周期較長(zhǎng)的一個(gè)傳感器上。目前，常用的方法有兩種：Blair等^［30］提出的最小二乘配準(zhǔn)法^［30］和王寶樹(shù)等^［31］提出的內(nèi)插外推法。此外，也可利用濾波器得到的目標(biāo)速度，將目標(biāo)位置外推至需要的時(shí)刻，完成航跡同步。

雷達(dá)i在l時(shí)刻觀測(cè)目標(biāo)T的北天東坐標(biāo)為（X_Ti（l），Y_Ti（l），Z_Ti（l）），i=1，2，而需要對(duì)準(zhǔn)的時(shí)刻為l+Δt。若目標(biāo)速度為（V_x，V_y，V_z），則外推公式如下所示：

3.3.2 視同因子的計(jì)算

在對(duì)兩雷達(dá)目標(biāo)航跡完成時(shí)空統(tǒng)一后，在每一個(gè)時(shí)刻下，可依次計(jì)算用于判斷任意兩條目標(biāo)航跡之間的航跡點(diǎn)是否關(guān)聯(lián)為同一目標(biāo)的視同因子。

圖3為視同因子計(jì)算示意圖，本文在北天東直角坐標(biāo)系下對(duì)兩雷達(dá)和目標(biāo)進(jìn)行分析。

首先，在O₁T^jq_ξO₂平面內(nèi)的線(xiàn)段O₁T^jq_ξ上，取O點(diǎn)滿(mǎn)足|O₁O|=|O₁T^ip|=R^ip;同時(shí)在O₁T^jq_ξO₂平面，取O₂為原點(diǎn)，以|O₂T^jq_ξ|=R^jq_ξ為半徑作弧線(xiàn)段BT^jq_ξ，滿(mǎn)足線(xiàn)段OB垂直于線(xiàn)段O₁O，得到B點(diǎn)。

然后，視同因子可按如下步驟進(jìn)行計(jì)算。

步驟 1 計(jì)算T^jq_ξ到雷達(dá)1的距離|O₁T^jq_ξ|。

步驟 2 計(jì)算雷達(dá)1到目標(biāo)T^ip和T^jq_ξ的距離誤差|OT^jq_ξ|：

|OT^jq_ξ|=||O₁O|－|O₁T^jq_ξ||（11）

雖然雷達(dá)1到目標(biāo)T^jq_ξ的距離|O₁T^jq_ξ|隱含了雷達(dá)2角度測(cè)量誤差帶來(lái)的影響，但若目標(biāo)T^ip和T^jq_ξ為同一目標(biāo)，其徑向距離偏差|OT^jq_ξ|的數(shù)值不會(huì)太大，故可設(shè)置一較大距離誤差門(mén)限η，對(duì)關(guān)聯(lián)目標(biāo)進(jìn)行粗篩選。

若滿(mǎn)足距離誤差門(mén)限，繼續(xù)步驟3;反之，兩雷達(dá)目標(biāo)觀測(cè)值關(guān)聯(lián)為同一目標(biāo)T的視同因子p（T|T^jq_ξ）值為零。

步驟 3 計(jì)算兩雷達(dá)與目標(biāo)T^jq_ξ的視線(xiàn)夾角∠O₁T^jq_ξO₂=θ_{ip_jq}，表達(dá)式為

步驟 4 連接線(xiàn)段BT^jq_ξ，假設(shè)兩雷達(dá)目標(biāo)觀測(cè)值屬于同一目標(biāo)T，基于兩雷達(dá)目標(biāo)量測(cè)距離信息，可暫把B點(diǎn)（不唯一）當(dāng)做T^jq_ξ的高概率定位點(diǎn)。

顯然，若兩雷達(dá)目標(biāo)觀測(cè)值屬于同一目標(biāo)，其方位向上的角度誤差∠BO₂T^jq_ξ應(yīng)小于雷達(dá)2在方位向上觀測(cè)目標(biāo)的最大單側(cè)角度誤差分布范圍（最多為2°～3°）內(nèi)，且由于目標(biāo)距離較遠(yuǎn)，弧線(xiàn)段BT^jq_ξ和直線(xiàn)段BT^jq_ξ長(zhǎng)度可近似相等，可用|BT^jq_ξ|表征目標(biāo)量測(cè)值T^jq_ξ與其高概率定位點(diǎn)B在方位向上的橫向距離偏差。

進(jìn)一步地，在遠(yuǎn)距離情況下，在雷達(dá)目標(biāo)視線(xiàn)切線(xiàn)方向上，基于幾何近似，∠BT^jq_ξO₂可近似為90°，則有∠OBT^jq_ξ≈θ_{ip_jq}。

故跨雷達(dá)計(jì)算的目標(biāo)距離誤差|OT^jq_ξ|可轉(zhuǎn)換為在雷達(dá)2方位向上帶來(lái)的橫向距離偏差|BT^jq_ξ|，從而可將|OT^jq_ξ|轉(zhuǎn)換為角度偏差u_{ip_jq}：

u_{ip_jq}=|BT^jq_ξ|R^jq_ξ=|OT^jq_ξ|sin（θ_{ip_jq}）R^jq_ξ（13）

步驟 5 計(jì)算視同因子p（T|T^jq_ξ）：

式中：ω_A2為雷達(dá)2在方位向上的最大單側(cè)角度誤差范圍，ω_A2=ΔA₂+4σ_A2，ΔA₂是雷達(dá)2在方位向上的系統(tǒng)誤差，σ_A2是雷達(dá)2在方位向上的隨機(jī)誤差均方根值。

步驟 6 交換目標(biāo)T^jq_ξ和T^ip，基于以上步驟，同理可得p（T|T^ip）。

步驟 7 實(shí)際上，若兩雷達(dá)目標(biāo)觀測(cè)值T^jq_ξ和T^ip屬于不同目標(biāo)，計(jì)算出的p（T|T^ip）和p（T|T^jq_ξ）值偏差較大或兩者都很小，故可取一較大的視同因子偏差門(mén)限φ進(jìn)行判別，0lt;φl(shuí)t;1。

若p（T|T^ip）和p（T|T^jq_ξ）兩者數(shù)值偏差大于φ，則用于判斷兩目標(biāo)航跡之間的航跡點(diǎn)最終是否關(guān)聯(lián)為同一目標(biāo)的視同因子p（T|T^ip，T^jq_ξ）的值為0;反之，可取兩視同因子p（T|T^ip）和p（T|T^jq_ξ）的乘積表征p（T|T^ip，T^jq_ξ）：

p（T|T^ip，T^jq_ξ）=p（T|T^ip）p（T|T^jq_ξ）（15）

3.3.3 航跡關(guān)聯(lián)度

航跡關(guān)聯(lián)度主要用于判斷兩條或多條目標(biāo)航跡是否關(guān)聯(lián)為同一目標(biāo)。

在對(duì)目標(biāo)航跡進(jìn)行時(shí)空統(tǒng)一后，兩雷達(dá)間任意目標(biāo)航跡_i和ξ_j可組成一對(duì)航跡序列等長(zhǎng)的航跡關(guān)聯(lián)對(duì)（_i，ξ_j），可令nⁱ=n^j_ξ=N。

而對(duì)于目標(biāo)航跡_i和ξ_j的航跡關(guān)聯(lián)度?_ij，0≤?_ij≤1，可用關(guān)于兩條目標(biāo)航跡之間每一幀的航跡點(diǎn)對(duì)（T^ip，T^jq_ξ），計(jì)算視同因子p（T|T^ip，T^jq_ξ）并對(duì)其取平均后的值表征：

?_ij=1N∑Np=q=1p（T|T^ip，T^jq_ξ）（16）

3.3.4 航跡關(guān)聯(lián)判決

當(dāng)求得目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)度?_ij后，可將目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)錯(cuò)誤代價(jià)定義為γ_ij=1－?_ij，得m×n維的目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)代價(jià)矩陣Φ_m×n=［γ_ij］。

令變量：

χ_ij=1， 表示航跡i和航跡j對(duì)應(yīng)同一個(gè)目標(biāo)

0， 表示航跡i和航跡j對(duì)應(yīng)不同目標(biāo)

目標(biāo)函數(shù)記為

L=∑mi=1∑nj=1χ_ijγ_ij（17）

則可構(gòu)成以下二維分配^［27］問(wèn)題：

對(duì)于該二維分配問(wèn)題，可將其等價(jià)為一個(gè)帶權(quán)二分圖的最優(yōu)匹配問(wèn)題，γ_ij即為二分圖的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j之間的權(quán)值，可采用KM（Kuhn-Munkres）算法進(jìn)行求解。

3.4 算法流程

綜上所述，基于目標(biāo)量測(cè)誤差分布的航跡抗差關(guān)聯(lián)算法流程圖如圖4所示。

4 仿真驗(yàn)證分析

為驗(yàn)證本文所提航跡抗差關(guān)聯(lián)算法的性能，且在因角度維誤差而導(dǎo)致遠(yuǎn)距離目標(biāo)空間定位誤差變大的情況下，能很好地解決密集目標(biāo)航跡誤關(guān)聯(lián)率高的問(wèn)題，將本文所提航跡抗差關(guān)聯(lián)算法同文獻(xiàn)［20］和文獻(xiàn)［27］所提現(xiàn)有航跡關(guān)聯(lián)算法性能較好的算法進(jìn)行對(duì)比。

通過(guò)設(shè)置不同參數(shù)下的場(chǎng)景進(jìn)行仿真，采用正確關(guān)聯(lián)概率E_c和錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)概率E_e作為航跡關(guān)聯(lián)結(jié)果的評(píng)價(jià)指標(biāo)，給出各算法之間的仿真結(jié)果和對(duì)比分析。

4.1 仿真環(huán)境

為突顯本文所提算法的優(yōu)越性，考慮兩雷達(dá)均有較大的測(cè)距和測(cè)角隨機(jī)誤差，這里假設(shè)某分布式系統(tǒng)中有兩部異地配置且相距40 km的單基地雷達(dá)，雷達(dá)1采樣周期為0.4 s，雷達(dá)2采樣周期為0.6 s。兩雷達(dá)的最大測(cè)距系統(tǒng)誤差為100 m，測(cè)角系統(tǒng)誤差為0.5°，測(cè)距隨機(jī)誤差均方根為200 m，測(cè)角隨機(jī)誤差均方根則為2°。

兩雷達(dá)對(duì)300 km外同一空域內(nèi)的200批目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，并假設(shè)所有目標(biāo)在空間中的不同高度下等高勻速平飛，目標(biāo)起始運(yùn)動(dòng)方向隨機(jī)分布在0～2π rad內(nèi)，而初速度大小則隨機(jī)分布在200～400 m/s內(nèi)。兩雷達(dá)對(duì)目標(biāo)持續(xù)跟蹤20 s后，將目標(biāo)航跡數(shù)據(jù)上傳至融合中心，共進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)。

其中在對(duì)目標(biāo)航跡進(jìn)行關(guān)聯(lián)時(shí)，由于目標(biāo)在遠(yuǎn)距離情況下因角度誤差導(dǎo)致目標(biāo)空間定位精度變差，跨雷達(dá)計(jì)算同一目標(biāo)量測(cè)距離的誤差值也會(huì)較大。故距離誤差門(mén)限η的取值可通過(guò)預(yù)估目標(biāo)的最大測(cè)角誤差，基于兩雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的量測(cè)距離和視線(xiàn)夾角，依據(jù)式（13）取一預(yù)估值。而在本文所設(shè)目標(biāo)仿真場(chǎng)景下，η可取5～9 km。在100次的蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)中，η取值為7 km，視同因子偏差門(mén)限φ則可取較大值，一般取0.5即可。

4.2 算法關(guān)聯(lián)效果對(duì)比

首先，改變仿真環(huán)境中的目標(biāo)數(shù)目，其他參數(shù)保持不變，目標(biāo)密集程度對(duì)算法正確關(guān)聯(lián)率和錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)率的影響如圖5所示。

從圖5可以看出，當(dāng)目標(biāo)數(shù)目增多時(shí)，文獻(xiàn)［20］和文獻(xiàn)［27］算法的正確關(guān)聯(lián)率下降較明顯，目標(biāo)航跡錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)率均逐步增大至25%左右。而本文算法不受目標(biāo)密集程度的影響，其正確關(guān)聯(lián)率均較高且都在98.5%以上，錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)率在1.5%以下。這是由于文獻(xiàn)［20］的序貫修正灰關(guān)聯(lián)法和文獻(xiàn)［27］的k近鄰平均距離法均利用了目標(biāo)航跡點(diǎn)在空間中的歐式距離信息，算法關(guān)聯(lián)效果與目標(biāo)的空間定位精度的大小有關(guān)。

當(dāng)目標(biāo)距離越遠(yuǎn)時(shí)，尤其目標(biāo)密集分布且位于300 km外的遠(yuǎn)距離情況下，測(cè)角誤差會(huì)導(dǎo)致目標(biāo)在空間中的定位精度變得極差，特別是當(dāng)測(cè)角隨機(jī)誤差較大時(shí)，這一現(xiàn)象更加明顯，所以文獻(xiàn)［20］和文獻(xiàn)［27］算法的關(guān)聯(lián)準(zhǔn)確率越來(lái)越低，錯(cuò)誤關(guān)聯(lián)率越來(lái)越高。此外，相對(duì)文獻(xiàn)［27］算法而言，文獻(xiàn)［20］的算法雖然需要對(duì)異步航跡進(jìn)行同步，但由于在航跡關(guān)聯(lián)時(shí)，考慮了目標(biāo)歷史時(shí)間序列的航跡信息，對(duì)灰關(guān)聯(lián)度進(jìn)行了修正，所以算法效果相對(duì)較好。

相比測(cè)角誤差導(dǎo)致遠(yuǎn)距離目標(biāo)在角度維存在較大的空間定位誤差的情況，本文算法利用了遠(yuǎn)距離目標(biāo)的距離向誤差有限這一特征，引入目標(biāo)量測(cè)距離信息，充分利用目標(biāo)與兩雷達(dá)的空間關(guān)系和雷達(dá)站址等先驗(yàn)信息，計(jì)算視同因子和目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)度，進(jìn)行全局最優(yōu)航跡關(guān)聯(lián)，大大降低了測(cè)角誤差給航跡關(guān)聯(lián)帶來(lái)的影響，算法正確關(guān)聯(lián)率高，效果最好。

4.3 抗差關(guān)聯(lián)性能比較

為檢驗(yàn)兩雷達(dá)在不同測(cè)距與測(cè)角系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差情況下，本文所提算法的抗差關(guān)聯(lián)性能，這里將兩雷達(dá)測(cè)角隨機(jī)誤差均方根值設(shè)為1°，仿真環(huán)境中的其他參數(shù)不變。然后，進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)，得到文獻(xiàn)［20］和文獻(xiàn)［27］算法對(duì)200批目標(biāo)航跡的正確關(guān)聯(lián)概率分別為94.95%和95.78%，本文算法的正確關(guān)聯(lián)率則為99.81%，再次證明了本文算法關(guān)聯(lián)性能最好。最后，分別改變雷達(dá)2的測(cè)距與測(cè)角系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差均方根，觀察不同誤差條件對(duì)兩雷達(dá)算法正確關(guān)聯(lián)率的影響。

圖6（a）和圖6（b）分別給出了3種算法在不同測(cè)距和測(cè)角系統(tǒng)誤差情況下的關(guān)聯(lián)結(jié)果。圖6（c）和圖6（d）則分別給出了3種算法在不同測(cè)距和測(cè)角隨機(jī)誤差均方根情況下的關(guān)聯(lián)結(jié)果。

如圖6（b）和圖6（d）所示，對(duì)測(cè)角系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差均方根變化來(lái)說(shuō)，當(dāng)測(cè)角系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差均方根逐漸增大時(shí)，文獻(xiàn)［20］算法的正確關(guān)聯(lián)率也同圖6（a）和圖6（c）一樣呈明顯下降趨勢(shì)，且因角度維誤差引起的目標(biāo)空間定位誤差較大，目標(biāo)的航跡正確關(guān)聯(lián)率變化較大，整體分別下降了7.51%和10.94%。

同理，測(cè)角系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差均方根變化對(duì)文獻(xiàn)［27］的航跡關(guān)聯(lián)算法影響也較大。不同的是，當(dāng)雷達(dá)2測(cè)角系統(tǒng)誤差和測(cè)角隨機(jī)誤差均方根分別在0.6°和0.8°向左右兩側(cè)擴(kuò)散時(shí)，前者算法的正確關(guān)聯(lián)率在左右兩側(cè)分別下降025%和11.22%，后者則分別下降了7.69%和10.12%。

這是由于文獻(xiàn)［27］算法關(guān)聯(lián)的前提是應(yīng)使用觀測(cè)目標(biāo)精度差距不大的兩雷達(dá)，因?yàn)橐坏﹥蓚€(gè)雷達(dá)觀測(cè)同一空間目標(biāo)的精度差距較大，在對(duì)密集目標(biāo)進(jìn)行航跡關(guān)聯(lián)時(shí)，航跡間的k近鄰平均距離增大，目標(biāo)正確關(guān)聯(lián)的可靠性降低，導(dǎo)致航跡誤關(guān)聯(lián)率增大。如圖6（b）和圖6（d）所示，雷達(dá)1測(cè)角系統(tǒng)誤差和測(cè)角隨機(jī)誤差均方根分別為0.5°和1°，加之受雷達(dá)布站影響，當(dāng)雷達(dá)2測(cè)角系統(tǒng)誤差和測(cè)角隨機(jī)誤差均方根分別在0.6°和0.8°向左右兩側(cè)擴(kuò)散時(shí)，兩雷達(dá)觀測(cè)同一空間目標(biāo)的精度差距增大，航跡間的k近鄰平均距離增大致使在進(jìn)行全局最優(yōu)航跡關(guān)聯(lián)時(shí)，航跡誤關(guān)聯(lián)率升高，文獻(xiàn)［27］算法的航跡正確關(guān)聯(lián)率才在其左右兩側(cè)存在下降趨勢(shì)。

由于本文算法核心是不依賴(lài)于目標(biāo)測(cè)角信息，而是基于兩雷達(dá)對(duì)遠(yuǎn)距離目標(biāo)的量測(cè)距離誤差有限這一特征，將跨雷達(dá)計(jì)算的目標(biāo)距離誤差轉(zhuǎn)換為其方位向的角度偏差，基于角度偏差信息進(jìn)行視同因子計(jì)算和后續(xù)目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)，雷達(dá)測(cè)角誤差的變化對(duì)算法關(guān)聯(lián)性能影響不大。

而針對(duì)本文所設(shè)仿真場(chǎng)景，在圖6（c）中，當(dāng)雷達(dá)2測(cè)距隨機(jī)誤差增大時(shí)，本文算法正確關(guān)聯(lián)率雖然明顯下降，但關(guān)聯(lián)性能是最優(yōu)的。這主要是由于在計(jì)算目標(biāo)視同因子和航跡關(guān)聯(lián)度時(shí)，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性和分散區(qū)域不同，本文算法關(guān)注了目標(biāo)歷史航跡信息，且在計(jì)算多幀視同因子并取平均來(lái)表征目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)度后，進(jìn)行全局最優(yōu)航跡關(guān)聯(lián)判決，最大可能地降低了測(cè)距隨機(jī)誤差對(duì)目標(biāo)航跡正確關(guān)聯(lián)的影響。此外，由于目標(biāo)測(cè)距誤差增大，目標(biāo)在空間中的定位誤差也增大，故文獻(xiàn)［20］和文獻(xiàn)［27］算法的目標(biāo)航跡正確關(guān)聯(lián)率同圖6（a）中一樣，出現(xiàn)下降趨勢(shì)。

對(duì)于距離向來(lái)說(shuō)，同樣在圖6（a）中，在本文所設(shè)仿真場(chǎng)景下，雷達(dá)1測(cè)距系統(tǒng)誤差為100 m，當(dāng)雷達(dá)2測(cè)距系統(tǒng)誤差增大時(shí)，若兩雷達(dá)測(cè)距系統(tǒng)的誤差不超過(guò)1 200 m，相比文獻(xiàn)［20］和文獻(xiàn)［27］所提算法，本文算法仍具有較高的正確關(guān)聯(lián)率;反之，算法正確關(guān)聯(lián)率會(huì)迅速下降。這是由于本文所提算法隱含了跨雷達(dá)計(jì)算同一目標(biāo)的距離偏差|OT^jq_ξ|最小這一假設(shè)，當(dāng)兩雷達(dá)的測(cè)距精度差距比較大時(shí)，尤其是當(dāng)其中某一雷達(dá)存在較大距離系統(tǒng)誤差時(shí)，在三維空間中跨雷達(dá)計(jì)算的同一目標(biāo)的距離偏差|OT^jq_ξ|會(huì)變大。由式（13）和式（14）可知，這雖然會(huì)影響視同因子的計(jì)算，降低關(guān)聯(lián)正確率，但是只要兩雷達(dá)對(duì)目標(biāo)測(cè)距精度的差距不超過(guò)某個(gè)范圍，加之考慮了目標(biāo)歷史航跡信息、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性和分散區(qū)域的不同，本文所提算法的假設(shè)仍然成立，且通過(guò)進(jìn)行全局最優(yōu)航跡關(guān)聯(lián)判決，在一定程度上盡可能保證了算法的有效性，正確關(guān)聯(lián)率下降不明顯;反之，本文算法關(guān)聯(lián)性能則會(huì)迅速下降。這也進(jìn)一步表明了本文所提目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)算法適用于在雷達(dá)之間測(cè)距精度較高且測(cè)距誤差不是很大的情況下進(jìn)行目標(biāo)航跡關(guān)聯(lián)。

需要說(shuō)明的是，前文所述兩雷達(dá)對(duì)目標(biāo)測(cè)距精度的差距范圍的大小，與雷達(dá)和目標(biāo)之間的相對(duì)位置關(guān)系、目標(biāo)密集程度和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性有關(guān)。但在實(shí)際工程中，無(wú)論是系統(tǒng)誤差還是隨機(jī)起伏誤差，雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的測(cè)距和測(cè)角誤差不可能很大，且雷達(dá)之間的測(cè)量精度也基本差距不大。本文所述仿真場(chǎng)景只用于進(jìn)行綜合仿真論證，凸顯本文所提算法的優(yōu)越性，也進(jìn)一步表明了本文算法的適用性較高。

綜上所述，在實(shí)際工程中，在不同測(cè)距與測(cè)角的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差情況下，本文所提算法的航跡誤關(guān)聯(lián)率最高，抗差關(guān)聯(lián)性能最好。

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于目標(biāo)量測(cè)誤差分布的航跡抗差關(guān)聯(lián)算法，算法主要利用雷達(dá)目標(biāo)量測(cè)距離信息，基于測(cè)距誤差有限這一特征，充分考慮了兩雷達(dá)站址、目標(biāo)量測(cè)誤差分布特征和雷達(dá)與目標(biāo)的空間幾何關(guān)系，計(jì)算得到用于判斷目標(biāo)航跡點(diǎn)是否關(guān)聯(lián)的視同因子與航跡關(guān)聯(lián)度，最后利用經(jīng)典分配法進(jìn)行航跡關(guān)聯(lián)判決。

仿真結(jié)果表明，本文所述算法在距離遠(yuǎn)、目標(biāo)密集、系統(tǒng)誤差與隨機(jī)起伏誤差較大場(chǎng)景下，航跡正確關(guān)聯(lián)率高、抗差性好，克服了現(xiàn)有航跡關(guān)聯(lián)算法由測(cè)角誤差導(dǎo)致遠(yuǎn)距離目標(biāo)空間定位誤差較大而存在航跡誤關(guān)聯(lián)率高的不足。

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作者簡(jiǎn)介

楊 鑫（1998—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楹桔E關(guān)聯(lián)、多傳感器數(shù)據(jù)融合。

阮開(kāi)智（1985—），男，高級(jí)工程師，碩士，主要研究方向?yàn)槲淦飨到y(tǒng)設(shè)計(jì)。

劉紅明（1967—），男，高級(jí)工程師，博士，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理、MIMO雷達(dá)。

王曉科（1984—），男，高級(jí)工程師，博士，主要研究方向武器系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

劉靜秋（1991—），女，工程師，碩士，主要研究方向?yàn)檐浖到y(tǒng)設(shè)計(jì)。

施裕升（1996—），男，助理工程師，碩士，主要研究方向?yàn)樘綔y(cè)制導(dǎo)與系統(tǒng)設(shè)計(jì)。