概率是我們理解世界的一種工具，同學(xué)們要從概率的角度認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中存在的隨機(jī)現(xiàn)象。這一部分內(nèi)容常伴隨各種現(xiàn)實(shí)問題融入題目中進(jìn)行考查。下面，我們就以中考中常見的幾類問題為例，進(jìn)行分析，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、放回還是不放回

例1 （2024·江蘇蘇州）一個(gè)不透明的盒子里裝有4張書簽，分別描繪“春”“夏”“秋”“冬”四個(gè)季節(jié)，書簽除圖案外都相同，并將4張書簽充分?jǐn)噭颉?/p>

（1）若從盒子中任意抽取1張書簽，恰好抽到“夏”的概率為 ；

（2）若從盒子中任意抽取2張書簽（先抽取1張書簽，且這張書簽不放回，再抽取1張書簽），求抽取的書簽恰好1張為“春”，1張為“秋”的概率。

【解析】（1）所有等可能結(jié)果共有4種，其中抽到“夏”的結(jié)果有1種，所以P（抽到“夏”）=[14]。

（2）抽取2張，相當(dāng)于每次抽取1張且不放回地抽取2次，第一次出現(xiàn)4種等可能結(jié)果，第二次由于書簽不放回，所以在每個(gè)分支下有3種等可能結(jié)果，用樹狀圖表示如下：

共有12種等可能結(jié)果，其中1張為“春”，1張為“秋”出現(xiàn)了2次，所以P（抽取的書簽恰好1張為“春”，1張為“秋”）=[212]=[16]。

【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題時(shí)，一定要看清楚試驗(yàn)是“放回”還是“不放回”。兩種試驗(yàn)的區(qū)別在于第2次試驗(yàn)過程中是否會(huì)出現(xiàn)與第1次試驗(yàn)相同的結(jié)果。同學(xué)們?cè)谧鲱}的過程中要仔細(xì)區(qū)分兩種情況。

二、等可能還是不等可能

例2 （2021·江蘇南京節(jié)選）不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別。（1）略。（2）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，如果是紅球，不放回，再隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果是白球，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出1個(gè)球。兩次摸出的球都是白球的概率是 。

【解析】（2）根據(jù)題目要求，有的同學(xué)可能會(huì)畫出如下樹狀圖：

其實(shí)以上樹狀圖是錯(cuò)誤的。我們很容易誤認(rèn)為共有7種等可能結(jié)果，其中2次都是白球的概率為[17]。但仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，第1次試驗(yàn)當(dāng)中，出現(xiàn)紅1、紅2、白球三種結(jié)果是等可能的，均為[13]。但第2次試驗(yàn)當(dāng)中，每種結(jié)果可能性并不相同。當(dāng)?shù)?次試驗(yàn)結(jié)果為紅1、紅2時(shí)，進(jìn)行第2次試驗(yàn)后每種結(jié)果的可能性為[12]；第1次試驗(yàn)結(jié)果為白球時(shí)，進(jìn)行第2次試驗(yàn)后每種結(jié)果的可能性為[13]。所以這7種結(jié)果并不是等可能的。

我們可以嘗試將其轉(zhuǎn)化為等可能事件，將[12]改寫為3個(gè)[16]，[13]改寫成2個(gè)[16]。改寫后的樹狀圖如下：

這樣一來，試驗(yàn)的所有結(jié)果就具有了等可能性，可以看作共有18種等可能結(jié)果，其中兩次摸出都是白球的情況出現(xiàn)了2次，所以P（兩次摸出的球都是白球）=[218]=[19]。

【點(diǎn)評(píng)】同學(xué)們?cè)谟龅揭?guī)則突破“常規(guī)”時(shí)，一定要仔細(xì)分析，避免出現(xiàn)思維定式的錯(cuò)誤。

同學(xué)們，題目變化萬千，我們要回歸概率本質(zhì)，明晰試驗(yàn)過程，體會(huì)不同事件的可能性，理清思路，選擇合適的策略解決問題。

（作者單位：江蘇省張家港市實(shí)驗(yàn)學(xué)校）