第3章 數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度

領(lǐng)" 銜" 人：鄧昌濱（正高級教師）

組稿團隊：江蘇省鄧昌濱網(wǎng)絡(luò)名師工作室

“數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度”屬于“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域中的“統(tǒng)計”部分。初中與“統(tǒng)計”有關(guān)的內(nèi)容分別為八（下）“數(shù)據(jù)的收集、整理、描述”、九（上）“數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度”和九（下）“概率與統(tǒng)計的簡單應(yīng)用”。本章主要介紹了刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量——平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，以及刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量——極差、方差和標準差，以此掌握數(shù)據(jù)分析（如圖1）的方法，從而能對數(shù)據(jù)進行簡單處理并作出評判。

分析數(shù)據(jù)，用數(shù)據(jù)說話

生活離不開數(shù)據(jù)。一般地，我們常用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)表示數(shù)據(jù)的集中趨勢，用極差和方差表示數(shù)據(jù)的離散程度。這些數(shù)可以幫助我們從不同角度更加全面地認識生活中的數(shù)據(jù)，掌握處理數(shù)據(jù)的方法，從而能對研究對象做出合理的推斷和預測。

在小學階段，我們主要從動態(tài)的生活情境中，經(jīng)歷、體驗簡單數(shù)據(jù)的統(tǒng)計過程，學會了收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，并會用統(tǒng)計圖表直觀形象地描述數(shù)據(jù)。初中階段，我們會在已有數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，分析其蘊含的規(guī)律，進而獲取需要的信息，為做出決策提供依據(jù)。到了高中階段，我們還會進一步學習數(shù)據(jù)收集和整理的方法、直觀圖表的表示方法、數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征的刻畫方法等，感悟在實際生活中進行科學決策的必要性和可能性。

集中趨勢與離散程度

在統(tǒng)計學中，平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，其大小不僅受一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)值大小的影響，而且受這組數(shù)據(jù)中各個數(shù)值出現(xiàn)的頻數(shù)的影響，即“權(quán)”的差異的影響。中位數(shù)是唯一的，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則數(shù)據(jù)從大到小（或從小到大）排列后，中間的那個數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)是偶數(shù)個，則數(shù)據(jù)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┡帕泻螅虚g兩個數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的“中等水平”，當一組數(shù)據(jù)的個別數(shù)據(jù)偏大或偏小時，用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢就比較合適。眾數(shù)不一定唯一，它反映一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”，其大小只與部分數(shù)據(jù)有關(guān)。

方差是表示一組數(shù)據(jù)波動大小的統(tǒng)計量。方差越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定。當一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時，它們的波動大小可以通過畫圖觀察得到。如何引入方差呢？為什么用方差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度相對合理呢？這是本章的學習難點。

在學習方差的過程中，我們通過觀察折線統(tǒng)計圖，可以直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的波動（離散）程度。當數(shù)據(jù)的大小比較接近時，我們通過觀察很難直接判斷，這時就需要引入一個類似于平均數(shù)的統(tǒng)計量來分析數(shù)據(jù)。通過計算最大值和最小值的差，我們發(fā)現(xiàn)它們能夠刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，于是試著引入極差，發(fā)現(xiàn)極差雖能刻畫數(shù)據(jù)的波動范圍，但不能刻畫每個數(shù)據(jù)的離散情況。我們又通過計算每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差，發(fā)現(xiàn)它能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)相對平均水平的偏離情況，但偏差之和經(jīng)過正負抵消后為“0”，直接“求和”并不能反映這組數(shù)據(jù)的離散程度。這時，我們找到解決這個問題的兩種方法。方法一：先求偏差的絕對值，再求和；方法二：先求偏差的平方，再求和。這樣，通過分別計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)這兩種方法都能刻畫這組數(shù)據(jù)的離散程度，但偏差平方的和相對更好一些。最后，通過計算波動相同而個數(shù)不同的兩組數(shù)據(jù)的偏差平方和，我們發(fā)現(xiàn)其結(jié)果還受數(shù)據(jù)個數(shù)的影響，從而探究出用偏差平方和除以數(shù)據(jù)個數(shù)的方法，進而引入方差的概念。

（作者單位：江蘇省興化市楚水初級中學）