1.問題的提出

典例 已知橢圓C：x26+y2b=1（b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，C是橢圓的中心，點(diǎn)M為橢圓C上的一點(diǎn)，且滿足MF1·MF2=5，MC=2.

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)定點(diǎn)Tt，0，過點(diǎn)T的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若在橢圓C上存在一點(diǎn)A，使得直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

上述題目來自于長郡中學(xué)2024屆高三年級第二次月考試卷壓軸題，筆者將其作為所帶高三年級培優(yōu)班的練習(xí)題讓學(xué)生課下思考，反饋結(jié)果不容樂觀，很多學(xué)生雖然理清題目的思路，但是由于解答過程中所含變量過多，無法進(jìn)行必要的化簡整理. 教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，很多優(yōu)秀的學(xué)生并不是計算環(huán)節(jié)不熟練，而是運(yùn)算目標(biāo)不明確，導(dǎo)致其毫無章法地盲目進(jìn)行機(jī)械運(yùn)算. 鑒于此，本文在將上述典例進(jìn)行推廣的過程中通過引入更多的參數(shù)，從更一般的角度探討關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的問題，旨在數(shù)學(xué)運(yùn)算的培養(yǎng)與實(shí)施層面與讀者進(jìn)行交流探討.

2.推廣與論證

推廣1 已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），設(shè)定點(diǎn)Tt，0，過點(diǎn)T的直線l交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，若在橢圓E上存在一點(diǎn)A，使得直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值λ，則t的取值范圍是－∞，－a∪a，+∞，點(diǎn)A的坐標(biāo)為a2t，±b1－a2t2，定值λ=2y0x0－t，其中x0=a2t，y0=±b1－a2t2.

證明：設(shè)Ax0，y0，Px1，y1，Qx2，y2，直線l的方程為x=my+t.由x2a2+y2b2=1，

x=my+t， 可得a2+b2m2y2+2mtb2y+b2t2－a2=0，故y1+y2=－2mtb2a2+b2m2，y1y2=b2t2－a2a2+b2m2，x1+x2=2ta2a2+b2m2，x1x2=a2t2－b2m2a2+b2m2，則kAP+kAQ=y1－y0x1－x0+y2－y0x2－x0=2y0－y1+y2〗x0－x1+x2y0－y1+y2t－2my1y2〗x20－x1+x2x0+x1x2=2x0y0b2m2+2x0t－a2b2m+2y0a2x0－tx20－a2b2m2+a2x0－t2.

若直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值，則滿足下式：2x0t－a2b2=0，

2x0y0b2x20－a2b2=2y0a2x0－ta2x0－t2=2y0x0－t， 據(jù)題意，由x0∈－a，a，可得t∈－∞，－a∪a，+∞，點(diǎn)A的坐標(biāo)為a2t，±b1－a2t2，定值λ=2y0x0－t，其中x0=a2t，y0=±b1－a2t2.

評注：結(jié)合典例可以看到，條件中只有a，b是已知量，而論證過程中除已有變量外，又引入了Ax0，y0，Px1，y1，Qx2，y2，以及直線l方程中的參數(shù)m等變量，那么在計算的過程中該如何處理這些變量？期望得到什么樣的化簡結(jié)果？又該如何化簡？注意到，假設(shè)定點(diǎn)T確定了，那么直線會隨著m的變化而變化，進(jìn)而會影響P，Q兩點(diǎn)的變化，因此，在計算的過程中，我們可以僅把參數(shù)m當(dāng)做變元，其余的量均看作常數(shù)進(jìn)行變形整理，也就是轉(zhuǎn)化為以參數(shù)m為主元的表達(dá)式，這樣化簡整理的方向就明確了，雖然計算環(huán)節(jié)略微復(fù)雜，但是目標(biāo)明確，變形整理也就更有針對性. 實(shí)際教學(xué)過程中，筆者也做了測試，借助共同探究使學(xué)生明晰運(yùn)算的方向后，他們能進(jìn)行合理運(yùn)算也就是水到渠成的事了.

推廣2 已知雙曲線E：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），設(shè)定點(diǎn)Tt，0，過點(diǎn)T的直線l交雙曲線E于P，Q兩點(diǎn)，若在雙曲線E上存在一點(diǎn)A，使得直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值λ，則t的取值范圍是t∈－a，0∪0，a，點(diǎn)A的坐標(biāo)為a2t，±ba2t2－1，定值λ=2y0x0－t，其中x0=a2t，y0=±ba2t2－1.

推廣3 已知拋物線E：y2=2px（p>0），設(shè)定點(diǎn)Tt，0，過點(diǎn)T的直線l交拋物線E于P，Q兩點(diǎn)，若在拋物線E上存在一點(diǎn)A，使得直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值λ，則t的取值范圍是－∞，0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為－t，±－2pt，定值λ=2y0x0－t，其中x0=－t，y0=±－2pt.

上述推廣證明類同推廣1，此略.

推廣4 過圓錐曲線Ax2+By2=1上一點(diǎn)Px0，y0作直線PM，PN分別交曲線于M，N兩點(diǎn)，若直線PM的斜率與直線PN的斜率之積為定值λ，則直線MN過定點(diǎn)QA+BλBλ－Ax0，－A+BλBλ－Ay0. 特別地，若λ=－AB，定點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時M，N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

證明：令Mx1，y1，Nx2，y2，則直線PM的斜率kPM=y1－y0x1－x0，直線PN的斜率kPN=y2－y0x2－x0. 令x′=x－x0，

y′=y－y0， 則kPM = y1 x1 ，kPN = y2 x2 ，圓錐曲線的方程即為Ax′+x02+By′+y02=1，整理可得Ax′2+By′2+2Ax0x′+By0y′=0，設(shè)直線MN的方程為mx′+ny′=1，則Ax′2+By′2+2Ax0x′+By0y′·mx′+ny′=0，整理可得B+2By0n·y′x′2+2Ax0n+By0m·y′x′+A+2Ax0m=0. 由kPM·kPN=λ，可知A+2Ax0mB+2By0n=λ，整理可得2Ax0m－2By0nλ=Bλ－A，據(jù)題意Bλ－A≠0，由此可知2Ax0Bλ－Am－2By0λBλ－An=1.由x = x' + x0 = 2Ax0 Bλ-A + x0 = A + BλBλ-Ax0 ，y = y' + y0 = -2By0 λBλ-A + y0 = -A + BλBλ-Ay0 ，可得直線MN過定點(diǎn)A+BλBλ－Ax0，－A+BλBλ－Ay0.特別地，當(dāng)λ=－AB時，等式2Ax0m－2By0nλ=Bλ－A即為mx0+ny0=－1，則直線MN過定點(diǎn)0，0.

評注：上面給出的論證方法不同于傳統(tǒng)的解答，通過構(gòu)造經(jīng)過M，N兩點(diǎn)的曲線系，結(jié)合齊次化整理，得到以兩直線斜率為根的二次方程，進(jìn)而得到定點(diǎn)坐標(biāo). 這種計算方法的優(yōu)點(diǎn)是能簡化運(yùn)算，缺點(diǎn)是思維量較大，需要較多知識模塊的融合. 教學(xué)過程中引入多角度解決問題的目的是能夠幫助學(xué)生開拓思路，熟悉各種運(yùn)算的優(yōu)缺點(diǎn)及適用條件，為運(yùn)算能力的提升打下堅實(shí)的基礎(chǔ).

類似地，我們也可以將上述結(jié)論推廣至拋物線.

推廣5 過拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)Ax0，y0作直線AM，AN分別交拋物線于M，N兩點(diǎn)，若直線AM的斜率與直線AN的斜率之積為定值λ，則直線MN過定點(diǎn)x0－2pλ，－y0.

3.教學(xué)思考

解析幾何問題求解需更高的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的過程中，要兼顧算理和算法，知其然也要知其所以然，同時，在做算法層面的教學(xué)時，盡可能挖掘多樣化的算法，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性與靈活性，在學(xué)生得到多樣化算法的基礎(chǔ)上，需引導(dǎo)他們進(jìn)一步分析算法之間的區(qū)別與聯(lián)系，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)膬?yōu)化. 運(yùn)算能力的提升也是一個緩慢的過程，需要教師在日常教學(xué)過程中慢慢引導(dǎo)與培育.