摘 要：針對(duì)傳統(tǒng)波方程全波形反演步驟繁瑣、計(jì)算量大和難度高等問題，提出一種基于全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的早至波反演方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法在早至波反演中交并比IoU（Intersection over Union）和平均精度均值mAP（mean Average Precision）分別達(dá)到74.01%和73.72%，可對(duì)速度模型進(jìn)行有效重構(gòu)。

關(guān)鍵詞：波方程;早至波;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);反演;交并比;平均精度均值

中圖分類號(hào)：P631.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2024）30-0040-04

Abstract： Aiming at the problems of tedious steps， large amount of calculation and high difficulty in the full waveform inversion of traditional wave equation， a method for early-arrival wave inversion based on fully connected neural network is proposed. Experimental results show that the proposed method achieves 74.01% and 73.72% in the Intersection over Union（IoU） and mean Average Precision（mAP） of early-arrival wave inversion， which can effectively reconstruct the velocity model.

Keywords： wave equation; early arrival wave; neural network; inversion; Intersection over Urion; mean Average Precision

波方程主要描述自然界中的各種波動(dòng)現(xiàn)象，求解一維波動(dòng)方程的一般步驟是將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的常微分方程或特殊的偏微分方程，然后通過求解該方程得到波動(dòng)解析表達(dá)式。我們通過有限差分法求解以下波動(dòng)方程[1]進(jìn)行數(shù)值正演得到仿真波形數(shù)據(jù)集

▽P=-ρ

P=-ρc2▽u+Src（z，t） ， （1）

式中：z代表豎直方向的一維空間變量，t為時(shí)間項(xiàng)，P=P（z，t）為壓強(qiáng)，作為常規(guī)空間梯度算子，u（z，t）代表豎直方向上的位移，ρ=ρ（z）為壓強(qiáng)場(chǎng)密度分布，c=c（z）代表速度場(chǎng)，Src代表激發(fā)振動(dòng)源項(xiàng)。

相較于正演，傳統(tǒng)波方程反演的具體公式較為復(fù)雜，其本質(zhì)框架是對(duì)以下殘差平方和目標(biāo)函數(shù)J的優(yōu)化[2]

J=||dcalc-dobs||2 ， （2）

式中：dcalc代表通過反演計(jì)算得到的速度場(chǎng)數(shù)據(jù)，dobs代表原始速度場(chǎng)數(shù)據(jù)。搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)反演，意義在于使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去替代反演的過程，減少計(jì)算難度和時(shí)間。

1 方法

訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演波方程一般根據(jù)早至波或初至走時(shí)，張利振等[3]提出的根據(jù)初至走時(shí)反演地層速度求解非線性地震走時(shí)問題以及Tarantola[4]提出的基于最小二乘法的全波形反演理論對(duì)波形反演起到了很大的推進(jìn)作用，通過早至波進(jìn)行反演也已經(jīng)擁有了一定研究基礎(chǔ)[5]。甚至也有相關(guān)研究[6]將早至波和初至走時(shí)聯(lián)合反演。本文將利用早至波信息，完成基于早至波的波形反演。

近年來，深度學(xué)習(xí)在圖像識(shí)別、語音處理等領(lǐng)域得到成功應(yīng)用，為地震速度建模提供了新的方法[7-11]，例如U-Net神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生成對(duì)抗神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和全卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等都對(duì)該領(lǐng)域的研究提供便利。然而，當(dāng)前可獲取地震數(shù)據(jù)集較少，構(gòu)建豐富且具有復(fù)雜特征的地震速度模型是當(dāng)前深度學(xué)習(xí)速度建模的一大挑戰(zhàn)。本文使用已搭建好的地震波仿真器依據(jù)一定的速度場(chǎng)計(jì)算得出地震早至波的早至壓強(qiáng)，避免真實(shí)數(shù)據(jù)中噪聲對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的干擾，使訓(xùn)練更加理想化。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的具體優(yōu)化方式為反向傳播，是訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最有效且最常用的方法[12-14]：訓(xùn)練過程中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出結(jié)果與實(shí)際結(jié)果會(huì)產(chǎn)生誤差，計(jì)算過程輸出與實(shí)際輸出之間的誤差，并將該誤差從輸出層向隱藏層直至輸入層反向傳播[15]

wl→wl-η∑x δl（al-1）T

bl→bl-η∑x δl， （3）

式中：wl表示第l層權(quán)重，al-1表示第l-1層輸出，δl表示第l層誤差，bl表示第l層偏置，η表示學(xué)習(xí)率，“→”表示對(duì)內(nèi)部參數(shù)的更新。

本文計(jì)算不同速度場(chǎng)的波方程得出縱深-時(shí)間的時(shí)空壓強(qiáng)場(chǎng)數(shù)組，對(duì)于速度場(chǎng)而言：由長(zhǎng)度為2 000 ft的縱深上的速度值構(gòu)成速度場(chǎng);對(duì)于壓強(qiáng)場(chǎng)而言：每一列代表縱軸上某一個(gè)接收器在不同時(shí)間上的壓強(qiáng)大小，共有30列，每一行代表某個(gè)時(shí)間點(diǎn)上不同接收點(diǎn)處的壓強(qiáng)大小，根據(jù)波傳導(dǎo)到最深處的時(shí)間行數(shù)會(huì)有所變化，約在1 000行以內(nèi)，且早至拾取完畢的時(shí)刻也會(huì)根據(jù)速度場(chǎng)的變化而變化，假定每0.01 s進(jìn)行一次壓強(qiáng)快照，接收點(diǎn)獲取一次壓強(qiáng)值。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以地震早至波的早至壓強(qiáng)作為輸入標(biāo)簽，速度場(chǎng)作為輸出標(biāo)簽，通過兩層隱藏層將地震數(shù)據(jù)由（z，t）域映射到速度模型（z，c）域，并在訓(xùn)練過程中不斷更新隱藏層的權(quán)重w和偏置b，以達(dá)到使反演速度場(chǎng)貼近于真實(shí)速度場(chǎng)的目的。該過程可以用如下公式表示

θ（w，b）=argmin[θ（d）-v] ， （4）

式中：θ表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算，w表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中的權(quán)重，b表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中的偏置，d表示地震早至波數(shù)據(jù)，θ（d）表示預(yù)測(cè)速度場(chǎng)，v表示真實(shí)速度場(chǎng)。

使用網(wǎng)格搜索的方式進(jìn)行超參數(shù)調(diào)優(yōu)，在訓(xùn)練過程中不斷優(yōu)化得到適合該網(wǎng)絡(luò)模型的超參數(shù)：學(xué)習(xí)率為0.01，迭代次數(shù)為256次，每批次加載64組數(shù)據(jù)。輸入層神經(jīng)元數(shù)量為30，代表由30個(gè)接收器接收到的早至波壓強(qiáng)，兩層隱藏神經(jīng)元數(shù)量分別為300和1 000，輸出層神經(jīng)元數(shù)量為2 000，代表波傳導(dǎo)的深度為2 000 ft。使用FCN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理回歸問題最常用的ReLU函數(shù)作為激活函數(shù)，用于引入非線性因素，使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠擬合復(fù)雜的非線性關(guān)系。損失函數(shù)則使用普適的均方差損失函數(shù)。

具體方法的流程如圖1所示。

數(shù)據(jù)選?。河?jì)算不同速度場(chǎng)的波方程得出縱深-時(shí)間的時(shí)空數(shù)組，拾取每一列上的早至壓強(qiáng)數(shù)據(jù)。

輸入層：輸入層神經(jīng)元數(shù)量為30，代表由30個(gè)接收器接收到的早至波壓強(qiáng)，將64批次的早至波向量構(gòu)成的混淆矩陣作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入。

隱藏層：設(shè)置兩層隱藏層神經(jīng)元，數(shù)量分別為300和1 000，可以有效且平穩(wěn)地從輸入層30個(gè)神經(jīng)元傳播到輸出層2 000個(gè)神經(jīng)元。在訓(xùn)練過程中不斷計(jì)算梯度和更新神經(jīng)元層之間的偏置與權(quán)重，實(shí)現(xiàn)誤差的反向傳播。

輸出層：輸出層神經(jīng)元數(shù)量為2 000，代表波傳導(dǎo)的深度為2 000 ft，以64批次的真實(shí)速度場(chǎng)作為輸出。

反演對(duì)比：將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演出的速度場(chǎng)與真實(shí)速度場(chǎng)進(jìn)行對(duì)比，觀察神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是否能準(zhǔn)確反演波方程。

2 數(shù)據(jù)來源和選取

有限差分法有計(jì)算迅速、精度較高、易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，故使用此方法求解波方程，對(duì)速度場(chǎng)進(jìn)行正演，得到其數(shù)值解，使用傳統(tǒng)STA/LTA方法拾取早至波壓強(qiáng)，在理想的低信噪比環(huán)境下快速且簡(jiǎn)易[16]，最終將早至波壓強(qiáng)場(chǎng)與真實(shí)速度場(chǎng)構(gòu)成的數(shù)據(jù)對(duì)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練標(biāo)簽，劃分80%的訓(xùn)練標(biāo)簽用于訓(xùn)練，20%的訓(xùn)練標(biāo)簽用于測(cè)試。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練結(jié)果很大程度上依賴數(shù)據(jù)集規(guī)模，不合適的數(shù)據(jù)集往往會(huì)造成以下問題。

當(dāng)數(shù)據(jù)量過多，模型可能會(huì)過度擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)，過度學(xué)習(xí)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的噪聲和特定的樣本特征，而忽略了一般化的模式。這導(dǎo)致模型在未見過的數(shù)據(jù)上表現(xiàn)不佳。

過少的數(shù)據(jù)集模型可能無法捕捉到數(shù)據(jù)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)和泛化模式，導(dǎo)致模型在訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測(cè)試數(shù)據(jù)上都表現(xiàn)不佳，從而無法在真實(shí)反演中推廣到新數(shù)據(jù)上。

不合理的數(shù)據(jù)集需要更多的計(jì)算資源進(jìn)行訓(xùn)練，包括更多的內(nèi)存、更長(zhǎng)的訓(xùn)練時(shí)間和更高的計(jì)算成本。本文通過多次實(shí)驗(yàn)，最終選定數(shù)據(jù)集大小為1 280組，其次限制所有類型速度場(chǎng)的范圍為[1 219.2 m/s，2 743.2 m/s]，速度場(chǎng)層數(shù)為4層。本文仿真了上述速度場(chǎng)類型，在此基礎(chǔ)上對(duì)速度場(chǎng)求解波方程的到壓強(qiáng)場(chǎng)。圖2展示了其中2種速度場(chǎng)類型對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)場(chǎng)的求取過程。

3 結(jié)果

3.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果與分析

如圖3所示，可以看到通過輸入早至波反演出速度場(chǎng)，將真實(shí)速度場(chǎng)與反演速度場(chǎng)進(jìn)行對(duì)比，顯示了該方法可以精細(xì)刻畫層狀速度場(chǎng)，整體而言較為接近真實(shí)速度場(chǎng)，反演效果較好，但加入小范圍凹陷后，其并不能有效刻畫凹陷處速度場(chǎng)，KnI/SPfLCXzvEwHxSknstA==對(duì)于凹陷處速度場(chǎng)反演并不夠充分，精確度有待提高。

3.2 模型評(píng)估

使用常見回歸模型評(píng)價(jià)指標(biāo)，包括交并比IoU（Intersection over Union）、平均精度AP（Average Precision）和平均精度均值mAP（mean Average Precision）。這些指標(biāo)統(tǒng)稱為測(cè)試誤差，是測(cè)試集的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值的統(tǒng)計(jì)量通過多方位標(biāo)準(zhǔn)評(píng)估該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力和預(yù)測(cè)高效性。將速度場(chǎng)與x軸形成的區(qū)域視為待預(yù)測(cè)物體，可得出本模型訓(xùn)練集平均IoU約為0.98，測(cè)試集平均IoU約為0.74，故將IoU閾值設(shè)定為0.8，IoU≥0.8的測(cè)試用例視為正確預(yù)測(cè)，將模型轉(zhuǎn)換為分類任務(wù)，畫出精準(zhǔn)率-召回率PR（Precision-Recall）曲線、計(jì)算方波狀速度場(chǎng)和階梯狀速度場(chǎng)情況下的AP和總的mAP。

PR曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積是用于評(píng)估分類模型優(yōu)劣的常用方法，圖4表明本模型PR曲線較為理想，且表1中2種分類AP值波動(dòng)不大且得出平均值mAP符合預(yù)期，這說明本文神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有一定泛化能力，在測(cè)試范圍內(nèi)預(yù)測(cè)精確性較高。

但是本模型依然存在一定的局限性：在選取數(shù)據(jù)集時(shí)，選定速度場(chǎng)為層狀速度場(chǎng)，且規(guī)定速度場(chǎng)的層數(shù)和范圍，這使本神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演其他類型的速度場(chǎng)時(shí)效果不佳。其次，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界中的地震波而言，速度場(chǎng)不可避免會(huì)存在一定塌陷[17]，即小范圍孤立異常體，在后續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化中，可針對(duì)這一問題進(jìn)行進(jìn)一步研究。

4 結(jié)論

本文通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究了面向早至波的波方程反演方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果顯示，早至波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演方法可以精確地刻畫層狀速度場(chǎng)，具有一定反演精度。隨機(jī)訓(xùn)練過程對(duì)相同層狀速度模型的建模結(jié)果顯示，模型預(yù)測(cè)精度不具有隨機(jī)性，是比較穩(wěn)定的，并且花費(fèi)較少的時(shí)間成本和運(yùn)算成本[18]。但在現(xiàn)實(shí)世界的地震波或者其他應(yīng)用場(chǎng)景中，需要獲取足夠數(shù)量且具有不同特征的數(shù)據(jù)集，以提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的的泛化能力和應(yīng)用范圍。

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基金項(xiàng)目：江蘇省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（202310293095Y，202210293098Y）

*通信作者：余瀚（1984-），男，博士，副教授。研究方向?yàn)榉囱莩上?、機(jī)器學(xué)習(xí)。