2024年是高考數(shù)學(xué)題型（8+3+3+5）改革的第一年，除了較難的個(gè)別大題的末小問考查數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)之外，其它題目都能找到課本中的原型與出處，體現(xiàn)了“回歸課本應(yīng)知應(yīng)會(huì)，考查素養(yǎng)挑選人才”這兩層命題意圖．下面以試題中第9題有關(guān)正態(tài)分布的知識(shí)考查為例，闡述試題特點(diǎn)，思考2025年高考復(fù)習(xí)方略，以提高學(xué)子高考數(shù)學(xué)成績.

一、高考試題

【2024年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)第9題（多選題）】試題如下：

為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值x-=2.1，樣本方差s2=0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N1.8，0.12，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N（x-，s2），則（ ）

（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布Nu，σ2，P（Z<u+σ）≈0.8413）

A． P（X>2）>0.2 B． P（X>2）<0.5

C． P（Y>2）>0.5 D． P（Y>2）<0.8

【答案】BC

【解析】如圖1-1，根據(jù)正態(tài)分布的3σ原則，

依題可知，x-=2.1，s2=0.01，

所以Y～N2.1，0.12，

由曲線的對稱性可得：

PY>2=PY>2.1－0.1=

PY<2.1+0.1≈0.8413>0.5，

C正確，D錯(cuò)誤；

因?yàn)閄～N1.8，0.12，所以PX>2=PX>1.8+2×0.1，

因?yàn)镻X<1.8+0.1≈0.8413，所以由曲線可得PX>1.8+0.1≈1－0.8413=0.1587<0.2，

而由曲線可得PX>2=PX>1.8+2×0.1<PX>1.8+0.1<0.2，

B正確，A錯(cuò)誤，

故選：BC．

二、試題出處

試題出處在課本選擇性必修三課本P87練習(xí)第2題，習(xí)題7.5復(fù)習(xí)鞏固第2題．

1． 選擇性必修三課本P87練習(xí)第2題

設(shè)隨機(jī)變量X～N0，22，隨機(jī)變量Y～N0，32，畫出分布密度曲線草圖，并指出PX≤－2與PX≤2的關(guān)系，以及PX≤1與PY≤1之間的大小關(guān)系．

答案：分布密度曲線草圖如圖2-1．

由曲線的對稱性得PX≤－2=1－PX≤2，PX≤1>PY≤1.

2． 習(xí)題7.5復(fù)習(xí)鞏固第2題

某市高二年級男生的身高X（單位：cm）近似服從正態(tài)分布N170，52，隨機(jī)選擇一名本地高二年級的男生，求下列事件的概率：

（1）165<X≤175； （2）X≤165； （3）X>175．

答案：

（1）P165<X≤175≈0.6827．

（2）PX≤165=PX≤170－P165<X≤170

≈121－0.6827≈0.1587．

（3）PX>175=121－P165<X≤175

≈121－0.6827≈0.1587．

三、把根留住

1．正態(tài)分布的概念

（1）若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f（x）=1σ2πe－（x－μ）22σ2，x∈R，其中μ∈R，δ>0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～Nμ，δ2．如圖3-1為鐘形正態(tài)曲線，關(guān)于直線x=μ對稱．

特別地，當(dāng)μ=0，δ=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，如圖3-2．

（2）若X～Nμ，δ2，則X取不超過x的概率PX≤x為圖中陰影部分的區(qū)域A的面積，而Pa≤X≤b為區(qū)域B的面積．如圖3-3．

2．正態(tài)分布的期望與方差

若X～Nμ，δ2，則E（x）=μ D（x）=δ2.

3．正態(tài)曲線的性質(zhì)

①曲線在x軸的上方，與x軸不相交；

②曲線關(guān)于直線x=μ對稱；

③曲線在x=μx=μ時(shí)達(dá)到峰值1σ2π；

④曲線與x軸之間的面積為1；

⑤當(dāng)x<μ時(shí)，曲線從左向右上升；當(dāng)x>μ時(shí)，曲線從左向右下降．并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸進(jìn)線，向它無限靠近；

⑥曲線的形狀由σ確定，σ越大，峰值1σ2π越小，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，峰值1σ2π越大，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中．

4．3σ原則

假設(shè)X～N（μ，σ2），對于給到的k∈N*，Pμ－kδ<x≤μ+kδ是一個(gè)只與k有關(guān)的定值，特別地，

Pμ－δ<x≤μ+δ=0.6827；

Pμ－2δ<x≤μ+2δ=0.9545；

Pμ－3δ<x≤μ+3δ=0.9973．

在實(shí)際應(yīng)用中，盡管正態(tài)變量的取值范圍是－SymboleB@，+SymboleB@，但在一次試驗(yàn)中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布Nμ，δ2的隨機(jī)變量幾乎總是落在區(qū)間μ－3δ，μ+3δ內(nèi)，而在此區(qū)間以外的取值概率大約只有0.0027，我們把這一規(guī)律簡稱為3δ原則．

5．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

①在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中相應(yīng)于x0的值】x0是指總體取值小于x0的概率，即x0=Px<x0，x0≥0時(shí)，則（x0）的值可在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中查到，如圖5－1；

當(dāng)x0<0時(shí)，可利用其圖像的對稱性獲得x0=1－－x0來求出，如圖5－2；Px1<x<x2=Px<x2－Px<x1=x2－x1，如圖5－3．

圖5-2圖5-3

② Nμ，δ2與N（0，1）的關(guān)系：

（?。┤籀巍玁μ，δ2，則η=ξ－μδ～N0，1，有Pξ<x0=Fx0=x0－μδ；

（ⅱ）若ξ～Nμ，δ2，則Px1<x<x2=x2－μδ=x1－μδ．

總之，課本就像知識(shí)這棵樹的根，不管樹有多高，總歸要葉落歸根．不管高考數(shù)學(xué)試題如何出，大部分試題都源自課本，估計(jì)2025年高考數(shù)學(xué)的出題思路大體不變．所以，在平時(shí)的學(xué)習(xí)與高三的復(fù)習(xí)中，既要回歸課本，腳踏實(shí)地，掌握課本基礎(chǔ)內(nèi)容，悉知基本應(yīng)用，把應(yīng)知應(yīng)會(huì)的第一層面拿下，又要提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，仰望星空，挑戰(zhàn)探究創(chuàng)新知識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)．一句話，把根留住，探究創(chuàng)新，結(jié)出正果．

【作者簡介：中學(xué)高級數(shù)學(xué)教師，江門市新會(huì)區(qū)第四屆中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭，從發(fā)表《半圓內(nèi)的函數(shù)天地》起，至今發(fā)表論文共38篇和高考模擬試題共12套，其中論文《從近三年高考解析幾何大題談起》被人大復(fù)印報(bào)刊資料全文轉(zhuǎn)載】

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)