摘要：混沌運(yùn)動(dòng)是行星齒輪傳動(dòng)過(guò)程中一種常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)齒輪的可靠性和使用壽命有著消極的影響。因此，將齒輪的混沌運(yùn)動(dòng)定義為系統(tǒng)的一種失效形式，為齒輪可靠性分析提供了新思路。首先，以行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。然后，將激勵(lì)頻率、剛度波動(dòng)系數(shù)、阻尼系數(shù)、溫度作為不確定隨機(jī)因素，以最大李雅普諾夫指數(shù)（LLE）作為可靠性指標(biāo)構(gòu)建極限狀態(tài)方程。最后，采用Monte Carlo數(shù)值模擬（MCS）的方法求解系統(tǒng)可靠度，并進(jìn)一步分析了隨機(jī)變量均值、標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)可靠性的敏感程度，為齒輪振動(dòng)可靠性設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了指導(dǎo)建議。

關(guān)鍵詞：行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng);動(dòng)力學(xué);最大李雅普諾夫指數(shù);可靠性;靈敏度

中圖分類號(hào)：TH132 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1671-0797（2024）19-0028-04

DOI：10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2024.19.007

0 引言

行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)因傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)比大、傳動(dòng)平穩(wěn)以及緊湊的結(jié)構(gòu)特性，被廣泛應(yīng)用于直升飛機(jī)主減速器。然而，傳動(dòng)時(shí)非線性因素不可避免，這使得傳動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)變得復(fù)雜多變。振動(dòng)已經(jīng)成為導(dǎo)致高速齒輪傳動(dòng)發(fā)生破壞失效的一種主要形式，因此，基于齒輪動(dòng)力學(xué)的振動(dòng)可靠性分析也越發(fā)重要。

在工程實(shí)際中，由于制造、加工、裝配等誤差、磨損、潤(rùn)滑、工作環(huán)境等因素變化，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中充滿諸多不確定性因素，這些因素嚴(yán)重影響了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性和可靠性。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，孫志禮等人[1]以振動(dòng)周期內(nèi)隨機(jī)振幅超限為失效準(zhǔn)則，基于超越法將動(dòng)力學(xué)與可靠性聯(lián)系起來(lái)，定義了隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)可靠度。Nejad等人[2]基于ISO齒輪設(shè)計(jì)規(guī)范提出了一種長(zhǎng)期疲勞損傷評(píng)估方法，該方法采用荷載持續(xù)時(shí)間分布法和兩種動(dòng)態(tài)模型確定風(fēng)電傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪的可靠性和失效壽命概率。陳川[3]在研究風(fēng)電齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性模型時(shí)，運(yùn)用條件概率思想，將激振力頻率與系統(tǒng)固有頻率關(guān)聯(lián)起來(lái)構(gòu)建可靠性模型，計(jì)算了各零部件的振動(dòng)可靠性，進(jìn)而建立了串聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型，并進(jìn)一步求解了風(fēng)電齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)可靠性。Wang等人[4]建立了單級(jí)直齒輪副區(qū)間參數(shù)動(dòng)力學(xué)模型，研究了嚙合剛度、輸入轉(zhuǎn)矩、傳動(dòng)誤差和齒隙等隨機(jī)參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)速度區(qū)間和傳動(dòng)可靠性的影響。

上述齒輪可靠性分析中，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)鮮被考慮在內(nèi)。在行星齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，由于各種非線性因素的存在，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)復(fù)雜多變。尤其是復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)，不僅會(huì)降低動(dòng)力傳遞時(shí)的穩(wěn)定性，還會(huì)加劇齒輪的磨損，這將導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性和使用壽命的降低，甚至引發(fā)工程事故。消除或避免齒輪傳動(dòng)時(shí)的混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)間，降低振動(dòng)噪聲，提高傳動(dòng)系統(tǒng)平穩(wěn)性、可靠性和使用壽命，一直是齒輪動(dòng)力學(xué)分析的主要目的[5]。LLE作為衡量動(dòng)力學(xué)特征的一個(gè)重要指標(biāo)，能有效識(shí)別系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這為本文所提出的齒輪振動(dòng)可靠性模型提供了理論基礎(chǔ)。本文綜合考慮了熱效應(yīng)、齒側(cè)HtjhQZ3SqwFQ/yyJuniPRQ==間隙、時(shí)變嚙合剛度、嚙合阻尼、綜合傳動(dòng)誤差等因素，建立行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型。充分考慮齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，將系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)定義為失效形式，通過(guò)LLE構(gòu)建行星齒輪振動(dòng)可靠性模型，將激勵(lì)頻率、溫度、時(shí)變嚙合剛度、嚙合阻尼視為隨機(jī)因素，采用MCS法計(jì)算行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)可靠度，并進(jìn)一步分析隨機(jī)變量均值和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)可靠性的敏感程度，為齒輪振動(dòng)可靠性設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供指導(dǎo)建議。

1 行星齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型

1.1 運(yùn)動(dòng)微分方程

如圖1所示，行星系統(tǒng)由一個(gè)太陽(yáng)輪s、行星輪pn（n=1，2，3，…，N）、內(nèi)齒圈r、行星架c組成。令i=spn，rpn，spn和rpn分別表示太陽(yáng)輪和行星輪、內(nèi)齒圈和行星輪之間的相互關(guān)系，θs、θpn、θr、θc分別為相應(yīng)部件的扭轉(zhuǎn)位移。

時(shí)變嚙合剛度ki（t）和靜態(tài)傳遞誤差ei（t）可由一階諧波Fourier級(jí)數(shù)表示：

ki（t）=kmi[1+κisin（ωet+φi）]，

ei（t）=Eisin（ωet+?i）（1）

式中：kmi為平均嚙合剛度;κi為剛度波動(dòng)系數(shù);ωe為嚙合頻率;φi為嚙合相位差;Ei為嚙合誤差幅值;?i為初始嚙合誤差相位。

齒輪的嚙合阻尼比可表示為：

ci=2ξi（2）

式中：ξi為阻尼系數(shù);令q=p，g表示主動(dòng)齒輪和從動(dòng)齒輪，Mq為等效質(zhì)量。

采用集中質(zhì)量建立行星齒輪扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程為：

Ic

+mpnrc 2

c-

（Fspncos α′ spn）rc，

-

（Frpncos α′ rpn）rc=-Tout，

Ipn

pn+Fspnrbpn-Frpnrbpn=0，

Ir

r+

Frpnrbr=0，

Is

s+

Fspnrbs=Tin（3）

式中：Tin為輸入扭矩;Tout為輸出扭矩;Is、Ipn、Ir、Ic分別為太陽(yáng)輪、第n個(gè)行星輪、齒圈以及行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;rc為行星架半徑;rbs、rbpn、rbr分別為太陽(yáng)輪、第n個(gè)行星輪、齒圈的基圓半徑;mpn為行星輪的質(zhì)量;α′ i為熱變形后的壓力角;Fi為動(dòng)態(tài)嚙合力，F(xiàn)i=ki（t）f（xi，bi）+

Ci f（i，bi）。

f（xi，bi）為齒輪副的相對(duì)位移函數(shù)，可表示為：

fi（xi，bi）=xi-bi， xi>bi，

0， |xi|≤bi，

xi+bi， xi<-bi（4）

式中：bi為半齒側(cè)間隙。

由于熱效應(yīng)對(duì)齒輪的運(yùn)動(dòng)特性有著顯著影響，因此有必要將溫度的影響考慮在內(nèi)[6]?？紤]熱效應(yīng)半齒側(cè)間隙可表示為[7]：

bi=b0-Δbi/2（5）

Δbi=ΔTγ（1+ΔTγ）m[π-（inv α′ i-inv αi）（zp+zg）]+

[mΔTγ（zp+zg）sin αi]/2（6）

式中：b0為固定半齒側(cè)間隙;Δbi為由溫度引起的間隙;ΔT為齒輪溫升;γ為齒輪的線性膨脹系數(shù);m為齒輪的模數(shù);αi為壓力角;α′ i為熱變形后的壓力角;zq為齒輪的齒數(shù)。

xspn和xrpn分別為太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈與第i個(gè)行星輪作用線上的相對(duì)位移：

xspn=rbsθs+rbpnθpn-rcθccos α′ spn+espn（t），

xrpn=rbrθr-rcθccos α′ rpn-rbpnθpn+erpn（t）（7）

式中：espn（t）為太陽(yáng)輪和行星輪之間的靜態(tài)傳遞誤差函數(shù);erpn（t）為行星輪和內(nèi)齒圈之間的靜態(tài)傳遞誤差函數(shù)。

為解決各激勵(lì)參數(shù)之間數(shù)量級(jí)相差過(guò)大的問(wèn)題，需對(duì)行星齒輪動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行無(wú)量綱化處理。引入無(wú)量綱時(shí)間變量τ和位移標(biāo)尺bc對(duì)動(dòng)力學(xué)模型無(wú)量綱化，τ=ωnt，t為時(shí)間;固有頻率ωn=，其中，kmspn為太陽(yáng)輪與行星輪之間的平均嚙合剛度，Ms和Mpn分別為太陽(yáng)輪和行星輪等效質(zhì)量。無(wú)量綱激勵(lì)頻率Ω=ωe/ωn，無(wú)量綱齒側(cè)間隙bi=bi/bc，無(wú)量綱相對(duì)位移xi=xi/bc，無(wú)量綱速度xi=xi/bcωn，無(wú)量綱加速度xi=xi/bcω2 n，無(wú)量綱綜合傳遞誤差ei=ei/bc。無(wú)量綱化處理后的動(dòng)力學(xué)方程可參考文獻(xiàn)[8]。

1.2 動(dòng)力學(xué)分析

最大李雅普諾夫指數(shù)（LLE）是衡量動(dòng)力學(xué)特征的一個(gè)重要指標(biāo)，能有效識(shí)別系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[9]。LLE識(shí)別系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方法為：當(dāng)LLE>0時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);反之，系統(tǒng)則處于周期或擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。以行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)隨ΔT變化的運(yùn)動(dòng)特性為例，取系統(tǒng)參數(shù)如下：激勵(lì)頻率Ω=1，太陽(yáng)輪和行星輪齒側(cè)間隙bspn=4 μm，行星輪和內(nèi)齒圈的齒側(cè)間隙brpn=4 .5μm，阻尼系數(shù)ξi=0.1，綜合傳遞誤差幅值Ei=3 μm，剛度波動(dòng)系數(shù)κi=0.25。圖2為系統(tǒng)隨ΔT變化的分岔圖和LLE圖。當(dāng)ΔT處于[0 ℃，39.5 ℃）區(qū)間時(shí)，系統(tǒng)以混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為主，并伴隨著短暫的周期運(yùn)動(dòng)，此區(qū)間的LLE曲線整體大于零并出現(xiàn)小部分區(qū)間小于零。當(dāng)ΔT在[39.5 ℃，100 ℃]時(shí)，系統(tǒng)在多處發(fā)生逆倍化分岔，由7周期運(yùn)動(dòng)→4周期運(yùn)動(dòng)→2周期運(yùn)動(dòng)→1周期運(yùn)動(dòng)，在此區(qū)間內(nèi)LLE的值小于零?？梢?jiàn)，LLE可以很好地反映出系統(tǒng)在不同參數(shù)下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這為本文所提出的振動(dòng)可靠性模型提供了理論依據(jù)。

2 行星齒輪振動(dòng)可靠性靈敏度分析

2.1 可靠度定義與靈敏度分析方法

在以往的研究中，Jan N. Fuhg等人研究了結(jié)合彈塑性摩擦力模型Duffing型振子的行為，提出將LLE作為非線性模型的可靠性指標(biāo)，求解系統(tǒng)可靠性[10]。LLE作為非線性動(dòng)力學(xué)的全局分岔分析方法之一，廣泛應(yīng)用于齒輪動(dòng)力學(xué)分析[11]，可作為行星齒輪振動(dòng)可靠性分析的評(píng)價(jià)指標(biāo)。本文采用劉夢(mèng)軍等人提出的方法求解系統(tǒng)的LLE[12]，根據(jù)LLE識(shí)別系統(tǒng)是否處于混沌運(yùn)動(dòng)的判斷方法，系統(tǒng)的極限狀態(tài)函數(shù)可定義為：

Z（x）=-LEE（x）>0， 安全，

-LEE（x）≤0， 失效（8）

式中：LEE（x）表示輸入隨機(jī)變量x時(shí)對(duì)應(yīng)的LLE值。

采用Monte Carlo方法近似計(jì)算失效概率：

Pf=IF[Z（x）]（9）

式中：NMC為總樣本;IF（·）為失效域指數(shù)函數(shù)，IF（·）=1表示行星齒輪系統(tǒng)振動(dòng)失效，IF（·）=0表示行星齒輪系統(tǒng)可靠。

通常表示為：

IF[Z（x）]=1， Z（x）≤0，

0， Z（x）>0（10）

對(duì)于統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，可靠性靈敏度表示為失效概率Pf對(duì)基本隨機(jī)變量xi的分布參數(shù)θ （k）（包含均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ）的偏導(dǎo)[13]：

=dx=E

（11）

式中：Xi為第i個(gè)隨機(jī)變量;θ （k）為分布參數(shù)，k表示分布參數(shù)的個(gè)數(shù);fX（x）為隨機(jī)變量xi的概率密度函數(shù);E（·）為期望算子。

可靠性靈敏度的估計(jì)值?f/?θ （k）為：

=

（12）

式中：N為總樣本數(shù);xj為第j個(gè)樣本;IF（xj）為極限狀態(tài)函數(shù)。

無(wú)量綱處理后的均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的靈敏度可表示為：

Sμ=×=IF（xi）×（13）

Sσ=×=×（14）

2.2 可靠性靈敏度分析

本文以某型直升機(jī)主減速器的行星齒輪系統(tǒng)為研究對(duì)象，行星齒輪個(gè)數(shù)為3，系統(tǒng)的基本參數(shù)如表1所示。

行星齒輪長(zhǎng)時(shí)間工作將導(dǎo)致溫度的升高，當(dāng)溫度升高時(shí)，齒側(cè)間隙也會(huì)隨之減小，也從側(cè)面反映了間隙對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，但在對(duì)齒輪可靠性分析當(dāng)中卻很少考慮此因素。因此，本文將激勵(lì)頻率Ω、剛度波動(dòng)系數(shù)κi、阻尼系數(shù)ξi、溫度ΔT視為隨機(jī)參數(shù)，且符合正態(tài)分布，采用經(jīng)驗(yàn)法選取變異系數(shù)，均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示。給定齒側(cè)間隙bsp=4 μm，brp=4.5 μm，綜合傳遞誤差幅值Ei=3 μm。

本文設(shè)計(jì)變量有4個(gè)，總樣本NMC=8×104，采用MCS對(duì)系統(tǒng)可靠性求解，所求得的失效概率為Pf=7.125×

10-3。由圖3可得，這4個(gè)隨機(jī)變量的均值對(duì)系統(tǒng)的可靠性有著積極的影響，這說(shuō)明隨著隨機(jī)變量均值的增加，系統(tǒng)的可靠性也在增加，其中ΔT的影響程度最大，ξ次之，隨后是κ和Ω。而隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差均對(duì)系統(tǒng)的可靠性有著消極的影響，隨著隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差的增大，系統(tǒng)可靠性會(huì)降低，且各隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差的影響程度先后排序與均值相同。綜上分析，建議在齒輪振動(dòng)可靠性設(shè)計(jì)中重點(diǎn)關(guān)注阻尼系數(shù)和溫度以及與溫度相關(guān)的齒側(cè)間隙，嚴(yán)格控制其精度。

3 結(jié)論

1）本文基于行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，將混沌運(yùn)動(dòng)視為系統(tǒng)的失效形式，以LLE作為可靠性指標(biāo)構(gòu)建極限狀態(tài)函數(shù)，為行星齒輪振動(dòng)可靠性分析提供了一種新的方法。

2）溫度和阻尼系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)系統(tǒng)的可靠性影響程度較大，在進(jìn)行行星齒輪系統(tǒng)振動(dòng)可靠性設(shè)計(jì)和優(yōu)化時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮溫度（溫度與齒側(cè)間隙的關(guān)系）和阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響，嚴(yán)格控制其精度。

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收稿日期：2024-05-27

作者簡(jiǎn)介：崔燦（1999—），男，山東濟(jì)寧人，碩士，研究方向：齒輪動(dòng)力學(xué)及可靠性。