錯位相減法是一種重要的數(shù)列求和方法.若數(shù)列[an]為等比數(shù)列、數(shù)列[bn]為等差數(shù)列，則數(shù)列[anbn]較為復(fù)雜，很難采用常規(guī)方法進(jìn)行求和，往往需靈活運(yùn)用錯位相減法來求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

設(shè)數(shù)列[an]是首項(xiàng)為[a1]、公差為[d]的等差數(shù)列，數(shù)列[bn]是首項(xiàng)為[b1]，公比為[q（q≠1）]的等比數(shù)列.運(yùn)用錯位相減法求數(shù)列[anbn]的前[n]項(xiàng)和[Sn]的步驟為：

（1）列出數(shù)列的前[n]項(xiàng)和[Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn]①；

（2）在①式的兩邊同時乘以數(shù)列[bn]的公比[q]，得：[qSn=a1?qb1+a2?qb2+a3?qb3+…+an?qbn]，由[qbk=bk+1]得：[qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1]②；

（3）將①②兩式錯開一位，使指數(shù)相同的項(xiàng)對齊并相減，得：

[（1-q）Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn-（a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1）=a1b1+（a2-a1）b2+（a3-a2）b3+…+（an-an-1）bn-anbn+1]；

（4）因?yàn)閿?shù)列[an]是公差為[d]的等差數(shù)列，故[ak-ak-1=d]，可得：

[1-qSn=a1b1+db2+db3+…+dbn-anbn+1]

[=a1b1+db2+b3+b4+…+bn-anbn+1]

[=a1b1+db1q+b1q2+b1q3+…+b1qn-1-anbn+1]；

（5）由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：

運(yùn)用錯位相減法求和的運(yùn)算量較大，且運(yùn)算過程較為繁瑣，同學(xué)們在計算時需謹(jǐn)慎.

例題：設(shè)數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，且[a1=1，an+1=2Sn+1].

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)[cn=（2n-1）?an]，求數(shù)列[cn]的前[n]項(xiàng)和[Tn].

解：（1）因?yàn)閿?shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，

由[an+1=2Sn+1]可得[an=2Sn-1+1n≥2]，

將上述兩式相減得[an+1-an=2Sn+1-2Sn-1+1=2an]，

整理得[an+1=3ann≥2].

當(dāng)[n=1]時，由[an+1=2Sn+1]可得[a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1]，

所以[an+1=3ann≥1]，

所以數(shù)列[an]是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式為[an=3n-1].

（2）由（1）可知[cn=（2n-1）?an=（2n-1）?3n-1]，

所以[Tn=1×30+3×3+…+（2n-1）×3n-1]①，

可得[3Tn=1×3+3×32+…+（2n-3）×3n-1+（2n-1）×3n]②，

將①式-②式，得：

可見，運(yùn)用錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵在于將[Sn]與[qSn]的表達(dá)式作差，以便根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：[ak-ak-1=d]，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式來求和.同學(xué)們在求解復(fù)雜的數(shù)列求和問題時，要學(xué)會運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列問題，以直接運(yùn)用等差和等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式來求得問題的答案.