關(guān)鍵詞：脈搏波;諧波;頻譜;心率檢測

中圖分類號：TP301.6 文獻標志碼：A

0 引言（Introduction）

脈診是中醫(yī)學一種獨特而歷史悠久的診斷方法，其臨床應(yīng)用在西漢時期就已經(jīng)發(fā)展成熟[1]。根據(jù)王唯工教授提出的氣血共振理論，脈搏波諧波分別與十二經(jīng)絡(luò)及其所屬臟腑相匹配，每一個諧波都有其相應(yīng)的中醫(yī)臨床診斷用途和意義，具體而言，前5個諧波所對應(yīng)的經(jīng)絡(luò)或臟腑依次為肝、腎、脾、肺、胃[2]。在一些動物實驗中發(fā)現(xiàn)，臟器功能的不同變化與特定的諧波有關(guān)[3]。在針灸治療時，徑向脈搏波的諧波分析可以先于一些血液動力學指標或參數(shù)出現(xiàn)相應(yīng)的變化[4]。研究脈搏波諧波產(chǎn)生機理及其基本分布特征具有重要的中西醫(yī)臨床應(yīng)用價值和意義。在實際應(yīng)用中，通常通過對脈搏波頻譜基頻的計算，實現(xiàn)心率參數(shù)的檢測，但這類方法的檢測效果不穩(wěn)定，因此本文通過實驗提出了一種基于脈搏波諧波特性的更為穩(wěn)定的心率檢測方法，此方法也可用于類似的準周期信號。

1 脈搏波諧波研究（Study of pulse wave harmonics）

根據(jù)傅里葉變換原理，包括脈搏波在內(nèi)的所有連續(xù)信號都可以分解為若干個不同頻率的正弦信號的線性組合，利用離散傅里葉變換對從連續(xù)信號中采樣處理得到的離散信號進行傅里葉分析。假設(shè)某長度為N 的離散脈搏波信號用序列x（n）表示，n=0，1，…，N -1，可以通過公式（1）離散傅里葉變換得到序列的頻譜序列：

由圖2（b）可以看出，復(fù)制并串接后的脈搏波信號頻譜在單周期頻譜相鄰的兩個頻率之間插入了零值，而偶數(shù)索引頻率處的幅值為圖1（b）所示的2倍。

為了進一步研究脈搏波信號的變化規(guī)律，復(fù)制3個脈搏波的波形并將其串接在一起，得到理想脈搏波信號的原始波形及其頻譜如圖3所示。

由圖3（b）可以看出，復(fù)制3次脈搏波并串接所得信號的頻率分辨率變成原始譜頻率分辨率的3倍，而且頻譜相當于在原始單周期頻譜的相鄰頻率之間插入了兩個零值。同時，幅值恰為原來的3倍，頻譜幅值與串接波形的個數(shù)成正比。以上現(xiàn)象給予我們啟發(fā)：當復(fù)制更多數(shù)目的波形并進行串接時，應(yīng)該存在與圖2（b）和圖3（b）相類似的頻譜分布規(guī)律。

實際上，與公式（5）的推導(dǎo)過程類似，將圖1（a）所示信號復(fù)制m 次再串接所得到的理想脈搏波信號，對其進行離散傅里葉變換，可得到如公式（6）所示的推導(dǎo)過程。

通過以上實驗和推導(dǎo)過程可以看出，在時域內(nèi)將波形復(fù)制m 次并進行串接時，對于所得到的理想脈搏波序列而言，與所涉單一周期脈搏波頻譜相比，其頻譜的頻率分辨率有一定比例的提高，并且除各個幅度不為零的幅值及其相鄰頻率間隔皆變?yōu)閙 倍外，各個諧波分布皆保持相同的順序。也就是說，新頻譜相當于在原頻譜中每對相鄰頻率之間加了m-1個零，同時對應(yīng)諧波幅值也增加到m 倍。

1.2 真實脈搏波頻譜中諧波分布的特征

從以上實驗和分析可以發(fā)現(xiàn)，通過波形復(fù)制和串接得到的理想脈搏波的頻譜呈現(xiàn)出規(guī)則的諧波分布規(guī)律，諧波的振幅和頻譜分辨率都與脈搏波的長度有關(guān)。然而在真實情形下，脈搏波并不是規(guī)整地對單一波形進行重復(fù)復(fù)制和串接，其最終得到的頻譜應(yīng)當是許多個非常相似的串接脈搏波波形頻譜的疊加，并且相應(yīng)的諧波幅度所在頻率位置相對于彼此，一般都略有偏移。因此，隨著波形數(shù)目的增加和頻率分辨率的提高，在各個諧波附近彼此疊加進而形成波群。雖然理想脈搏波信號的諧波幅值與所含波形的數(shù)目成正比，但是因為每個串接的脈搏波不再嚴格的相同，所以真實脈搏波頻譜中的諧波幅值并不會隨著波形數(shù)的增加而按比例地增加。為了考察真實脈搏波信號頻譜中的諧波分布規(guī)律，在原來截取的單個周期的脈搏波繼續(xù)沿著時間軸截取多個周期進行實驗，此時截取信號的第一個周期與本文“1.1”節(jié)中的單周期相同。其中，截取連續(xù)兩個周期的真實脈搏波信號及其頻譜如圖4所示。

對比圖4（b）和圖2（b）可以看出，真實脈搏波信號的頻譜分布特征與兩個周期的理想脈搏波的頻譜分布特征基本相似，即諧波的基頻分布的位置相對幅度的變化規(guī)律相一致。顯而易見，真實脈搏波的頻譜幅值在偶數(shù)索引頻率點處并不完全為零，這也表明脈搏波實際上不是一個理想的周期信號。

圖5和圖6分別顯示了繼續(xù)沿著時間軸截取連續(xù)3個周期和6個周期的真實脈搏波信號及其頻譜。

由圖5和圖6可以發(fā)現(xiàn)，除一些雜波的幅值接近于零外，真實脈搏波的頻譜幅值與理想脈搏波的頻譜幅值變化規(guī)律基本一致，但其相對于復(fù)制并串接后的理想脈搏波信號對應(yīng)的各諧波分量的幅度峰值略有減小，這是由于真實脈搏波具有明顯的準周期特性。觀察圖6（b）發(fā)現(xiàn)，在0～1 Hz還存在較大幅值的分量，這是由于該脈搏波存在一定的基線漂移，觀察圖6（a）也可以明顯看出其信號呈現(xiàn)出先下降后上升的漂移趨勢。

真實脈搏波與通過復(fù)制相同數(shù)目的脈搏波波形并串接得到的理想脈搏波序列的頻譜中存在相似的諧波分量，這與前面的理論分析結(jié)果一致?？紤]到脈搏可以看作由心臟的跳動信號沿著時間線不斷綿延和準周期重復(fù)，再經(jīng)過血管及器官的影響所形成的，這與上述實驗中基于將信號進行周期延拓后進行傅里葉變換的諧波分析方法和過程完全相似。實驗中采用傅里葉頻譜諧波分析方法所得結(jié)論在很大程度上適用于真實脈搏波信號的頻譜分析。

圖7對應(yīng)的提取到的脈搏波頻譜中諧波頻率的分布如表1所示。

表1中各個真實脈搏波信號的諧波數(shù)與諧波群中心頻率之間的線性關(guān)系如圖8所示。

從圖8中可以看出，脈搏波頻譜的諧波數(shù)與波群峰值對應(yīng)的頻率之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系，說明我們的推論是合理的。真實脈搏波的第1諧波是第一個波群的中心頻率，與理想脈搏波頻譜的第1諧波相對應(yīng)，而且第1諧波對應(yīng)了平均心率，同時數(shù)據(jù)擬合中線性關(guān)系的存在表明關(guān)于諧波次數(shù)所擬合直線的斜率也應(yīng)對應(yīng)平均心率。每個波群幅值峰值所在位置對應(yīng)于每個諧波頻率，而且相應(yīng)諧波分量的頻率是心跳頻率的整數(shù)倍。這也與王唯工提出的氣血共振理論的基本結(jié)論一致[5]。為了驗證此結(jié)論的可靠性和適用性，本研究獲取858份采樣頻率為125 Hz的真實脈搏波信號，并求得每份數(shù)據(jù)的12個諧波群中心頻率與諧波數(shù)的皮爾森相關(guān)系數(shù)（PearsonCorrelation Coefficient）。皮爾森相關(guān)系數(shù)可以反映兩個變量的線性相關(guān)程度，其值為-1～1，其值越接近1，說明兩個變量的線性相關(guān)程度越強。表2為858份脈搏波諧波群中心頻率與諧波數(shù)的皮爾森相關(guān)系數(shù)分布情況。從表2的數(shù)據(jù)可以看出，所有數(shù)據(jù)的皮爾森相關(guān)系數(shù)都大于0.990且計算出系數(shù)的平均值為0.998。該結(jié)果進一步證明了上述結(jié)論具有普適性。

因此，對于真實的脈搏波，諧波的幅值會隨著信號長度的增加（周期個數(shù)）而增大。但是，由于脈搏波具有準周期性，每個周期對應(yīng)的諧波并非完全等同的，從而在頻域每個周期對應(yīng)的各個諧波數(shù)據(jù)也不完全相等，各周期對應(yīng)諧波疊加時彼此略有錯位，進而在信號頻譜中導(dǎo)致諧波群出現(xiàn)。通過對真實脈搏波的相對孤立波群幅度峰值進行定位，證實了真實脈搏波頻譜中各個諧波所在位置體現(xiàn)為頻譜各個相對孤立波群幅度峰值所對應(yīng)的頻率，并且各個諧波幅度峰值對應(yīng)頻率是呈線性的。即第n 個波群幅度峰值對應(yīng)頻率約為第1波群幅度峰值對應(yīng)頻率（也就是基頻）的n 倍，這與理論推導(dǎo)得出的結(jié)論一致。

2 基于脈搏波諧波分布規(guī)律穩(wěn)定計算心率（Stableheart rate calculation based on the harmonicsdistribution of pulse）

靜息心率是冠心病的預(yù)前因素[6]，并且與中風、猝死等非心血管等疾病高度相關(guān)[7]。本文針對脈搏波頻譜的諧波數(shù)與波群峰值位置對應(yīng)的頻率之間存在顯著的線性關(guān)系的研究，為相對穩(wěn)定檢測心率提供了新的可能。如前文所述，脈搏波信號頻譜第1諧波的頻率對應(yīng)平均心率，但由于脈搏波不是理想的周期信號，所以各心動周期所對應(yīng)的時間間隔和相應(yīng)的脈搏波波形并不一致，并體現(xiàn)于其各個諧波的幅度和相位變化之中[8]，這使得基于第1諧波的心率檢測并不準確。XU等[9]利用了心率信號的高次諧波估計心率和減少呼吸干擾。每個波群幅值的峰值所在位置對應(yīng)于每個諧波頻率，并且其所對應(yīng)諧波分量的頻率是心跳頻率的整數(shù)倍，那么可以利用每個波群幅值的峰值計算心率?；诒疚摹?.2”的研究成果，為了探究參與計算的脈搏波諧波數(shù)和心率的關(guān)系，本文針對5種基于諧波的心率計算方法進行了實驗比較，5種計算方法分別為第1諧波頻率、諧波線性擬合斜率、線性擬合斜率加上截距、諧波頻率加權(quán)平均值（Weighted Average of Harmonic Frequencies，WAoHF）和相鄰諧波頻率平均差（Mean Difference of AdjacentHarmonic Frequencies， MDoAHF）。其中，第1諧波頻率、多個諧波線性擬合斜率、線性擬合斜率加上截距所對應(yīng)的心率值分別由第1諧波頻率H、多個諧波擬合斜率a、線性擬合斜率a 加上截距b，即（a+b）乘以60得到，而諧波頻率加權(quán)平均HR 對應(yīng)心率數(shù)由公式（7）得到，其中H為第n 次諧波。

本研究截取采樣率為125 Hz、時長為5 s，共計625個點的脈搏波進行心率計算，對于每段信號計算不同諧波個數(shù)對應(yīng)的上述5種心率，總共計算960段信號，計算每種計算方法在不同諧波數(shù)參與下的心率，再以臨床測得的心跳數(shù)為標準值計算絕對平均誤差（Mean Absolute Error， MAE），計算結(jié)果如圖9所示。

通常，利用頻譜計算心率時，主要是通過傅里葉變換將信號分解為不同頻率的成分，從而找到主要的周期性成分作為心率，即第1諧波的頻率。但是，從圖9中可以看出，基于第1諧波頻率得到5 s平均心率誤差為4.526 46 BPM，而且在相較于第1諧波的計算方法，其他4種方法在3～6個諧波參與計算時的MAE明顯小于第1諧波主頻的結(jié)果，但當諧波數(shù)目增加到6個之后，誤差會都大于第1諧波的心率計算結(jié)果。這可能是由諧波位置提取的準確性降低導(dǎo)致的：對于時長為5 s、采樣頻率為125 Hz的信號，其對應(yīng)的頻域分辨率為125/625=0.2 Hz，對應(yīng)的心率分辨率為12 BPM，分辨率不高的同時，高次諧波波群不明顯且易受噪聲影響，難以提取到準確的諧波位置，最終導(dǎo)致心率計算的誤差增大。從圖9中還可以看出，采用4個或者5個諧波進行計算得到的心率MAE是最小的，而前4個諧波頻率加權(quán)得到的心率MAE是最小的。除了擬合斜率方法，其他的算法都在第4次諧波之后開始出現(xiàn)MAE逐漸增大的情況。

將脈搏波信號時長增加到10 s，實驗結(jié)果如圖10所示。

10 s的信號頻率分辨率為0.1 Hz，對應(yīng)的心率分辨率為6 BPM。從圖10中可以看出，所有方法對應(yīng)的心率MAE都遠小于5 s信號的心率MAE，說明頻率分辨率對心率計算的準確性有影響，理論上頻率分辨率越高，則計算越準確。圖10中，第1諧波計算出的心率MAE為2.042 BPM，可以看出在利用前4 個諧波進行心率的計算時，所獲得的平均絕對誤差依然最小，為1.011 BPM。并且，通過加權(quán)平均算法計算得到的心率MAE一直小于其他算法的心率MAE。由此可以得出，在利用頻譜計算短時脈搏波信號的心率時，利用前4個諧波進行加權(quán)計算的心率是接近臨床真實心率的。此外，這種算法具有廣泛的應(yīng)用潛力，可以運用于各種具有諧波性質(zhì)的信號中，同時它也為利用各類相關(guān)生理信號計算心率的研究提供了新的思路和方向。

3 結(jié)論（Conclusion）

對比理想脈搏波和真實脈搏波發(fā)現(xiàn)：隨著周期個數(shù)的增加，理想脈搏波的諧波幅值成比例地增加，而非諧波位置處則不斷增加零值。真實脈搏波各個周期相似但不完全相同，導(dǎo)致頻譜非諧波處插入相對應(yīng)周期個數(shù)的近零值，諧波處各周期對應(yīng)諧波彼此錯位偏移形成諧波群。脈搏波頻譜中，各諧波所在位置體現(xiàn)為各波群幅度峰值所在位置，各個波群峰值對應(yīng)頻率的線性關(guān)系證明了該結(jié)論。進一步從脈搏波頻譜出發(fā)對心率進行計算，發(fā)現(xiàn)基于前4個諧波加權(quán)方法得到的心率更準確和穩(wěn)定。

作者簡介：

陳佳（1999-），男，碩士生。研究領(lǐng)域：醫(yī)學圖像與生物醫(yī)學信號處理。

王思研（1992-），女，碩士生。研究領(lǐng)域：醫(yī)學圖像與生物醫(yī)學信號處理。

顧金聯(lián)（2003-），男，本科生。研究領(lǐng)域：醫(yī)學圖像與生物醫(yī)學信號處理。

陳兆學（1975-），男，博士，副教授。研究領(lǐng)域：醫(yī)學圖像與生物醫(yī)學信號處理。本文通信作者。