[摘 要] 概念是數(shù)學的細胞，是學生思維的起點. 研究者以“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”教學為例，從教學分析、教學實踐與教學思考三個維度具體談一談設計理念與一些感悟. 教學實踐主要從如下幾方面展開：創(chuàng)設情境，引發(fā)認知沖突;合作探究，重溫概念發(fā)展;借鑒史料，自主構建新知;應用概念，鞏固提升理解;總結歸納，促進概念升華.

[關鍵詞] 概念;核心素養(yǎng);復數(shù)

數(shù)學是由概念、命題等經(jīng)推理而形成的邏輯體系. 其中，概念反映了數(shù)學事物的特征與本質屬性，體現(xiàn)的是現(xiàn)實世界的數(shù)量關系與空間形式，它在數(shù)學學科中占有重要地位. 但一些教師在實施概念教學時，常采用“一個定義和幾個注意事項”去完成，導致學生應用概念時問題百出.

對于數(shù)學學科核心素養(yǎng)背景下的概念教學，究竟該如何實施呢？筆者對此進行了大量研究，現(xiàn)以“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”教學為例，談一談設計理念與一些感悟.

教學分析

“數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念”是高中階段重要的基礎知識之一. 其中數(shù)系的擴充看似簡單，但對學生后續(xù)學習有著深遠的影響. 有些教師在此處常常忽略其作用，直接將概念呈現(xiàn)給學生，導致學生無法感知數(shù)系的擴充源于生活實際需要，以及數(shù)學內部的矛盾，更無法借助概念的學習促進理性思維與數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

基于以上分析，筆者在執(zhí)教本節(jié)課時進行了大量思考與研究，力求通過與學生的積極互動，以及數(shù)學史料的應用，拓寬學生的數(shù)學視野，讓學生對數(shù)系的擴充產(chǎn)生別樣的情感，為學生后續(xù)學習奠定基礎.

教學實踐

1. 創(chuàng)設情境，引發(fā)認知沖突

課堂伊始，教師借助多媒體展示意大利數(shù)學家卡爾丹的故事，讓學生重溫數(shù)學發(fā)展史，體驗數(shù)學概念的發(fā)現(xiàn)是多么有趣且有意義，而且每一個發(fā)現(xiàn)并不神秘，數(shù)學家也是從生活中的一些小問題著手進行分析的.

問題1 有什么辦法可以將10分為兩部分，讓這兩部分的乘積恰巧為40？

設計意圖 播放數(shù)學家的故事，意在激發(fā)學生的學習興趣，讓學生感知數(shù)學家嚴謹?shù)目蒲芯?，為課堂教學奠定良好的情感基礎. 問題的提出，是為了引發(fā)學生認知沖突，讓學生處于“憤、悱”的狀態(tài)，對接下來的教學內容充滿探究欲.

問題2 實數(shù)集中是否存在滿足上一個問題的兩個數(shù)？

設計意圖 此問可打破學生的思維定式，讓學生在一定的認知沖突下感知現(xiàn)有認知無法滿足生活實際需要，一方面體現(xiàn)出新知學習的必要性，另一方面激發(fā)學生的創(chuàng)造意識，為接下來的深入探究奠定基礎.

2. 合作探究，重溫概念發(fā)展

問題3 大家說說數(shù)集的形成，經(jīng)歷了幾次擴充？分別是在什么情況下發(fā)生的？

設計意圖 學生在本節(jié)課前已經(jīng)接觸過整數(shù)、自然數(shù)、分數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)與實數(shù)等，要求學生回顧數(shù)集擴充過程，也就是讓學生將數(shù)集的發(fā)展史捋一遍，即“自然數(shù)集—整數(shù)集—有理數(shù)集—實數(shù)集”. 通過梳理數(shù)集擴充歷程，可發(fā)現(xiàn)學生的最近發(fā)展區(qū)，為本節(jié)課新知的教學奠定基礎.

問題4 數(shù)集的每一次擴充都能解決一些問題，請大家以合作學習的方式來探討每一次數(shù)集擴充所解決的問題都有哪些.

設計意圖 引導學生通過小組合作學習的方式來回顧、思考、總結每一次數(shù)集擴充的情況，感知數(shù)集擴充的必要性，完善認知結構.

師生、生生積極互動后，將每一次數(shù)集擴充與所解決的問題板書（如圖1所示）.

由此學生充分體驗到每一個數(shù)集都是因為實際需求而產(chǎn)生的，而非無中生有. 此過程，也讓學生體驗到數(shù)集擴充源于數(shù)學內部矛盾與社會發(fā)展.

問題5 數(shù)集的幾次擴充存在什么共同點？

設計意圖 此問意在培養(yǎng)學生概括、表達與觀察的能力. 通過梳理與整理四次數(shù)集擴充的情況，為再次數(shù)集擴充做鋪墊，從中感知數(shù)集擴充的合理性與科學性，并嘗試提煉一般性的原則.

3. 借鑒史料，自主構建新知

將數(shù)學史應用在課堂中可有效提高學生學習積極性，通過對數(shù)學史與現(xiàn)狀的了解，學生會對當下學習產(chǎn)生濃厚的探究興趣. 實踐發(fā)現(xiàn)，數(shù)學史的應用對發(fā)展學生的數(shù)學精神，促進學生成人成長等具有重要價值與意義. 數(shù)學史是連接人文與數(shù)學的橋梁，是促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展的重要載體.

本節(jié)課的教學，可借助五百多年前卡爾丹所面臨的一個“怪東西”——-15的開平方問題為材料，帶領學生感知的解決需要新知識. 在-15的開平方問題的牽引下，將學生的思維轉移到找一個數(shù)的平方等于-1的問題上——板書：（？）2=-1.

設計意圖 卡爾丹問題的再現(xiàn)，將學生的思維轉移到找一個數(shù)的平方等于-1的問題上，板書的應用使學生對問題的理解更加明晰，這是留白藝術中的一種，為學生提供了更加充足的思考空間，以及為復數(shù)的引入做好了鋪墊.

師：為什么我們要引入i這個字母呢？究竟是誰引入的呢？

生1：i為英文單詞imaginary（虛幻）的首字母. 雖然這個數(shù)學矛盾是卡爾丹發(fā)現(xiàn)的，但引入i這個字母的是瑞士數(shù)學家歐拉，他被譽為“分析的化身”. 公元1777年，他將i這個字母引入“數(shù)”這個大家族. 縱觀其發(fā)展過程，從16～18世紀，歷史的車輪推進了兩百多年，由此也能看出如今我們信手拈來的知識是多么來之不易，學科發(fā)展的每一步都充滿了艱辛與創(chuàng)造性.

問題6 當我們引入字母i后，能解決卡爾丹發(fā)現(xiàn)的數(shù)學矛盾嗎？

問題7 嘗試寫出其他含有i的數(shù).

設計意圖 引導學生借助新學的概念來解決卡爾丹發(fā)現(xiàn)的問題，這是促使學生掌握i的過程. 要求學生嘗試寫出其他含有i的數(shù)，意在培養(yǎng)學生對新知的應用意識，深化學生對復數(shù)的理解，也為構建復數(shù)的代數(shù)形式夯實基礎.

問題8 嘗試寫一種形式，將你所寫出來的數(shù)都包含到里面去.

設計意圖 數(shù)學講究符號化與形式化，復數(shù)的代數(shù)形式就將符號化與形式化完全包含在里面，這是本節(jié)課的教學重點與難點. 隨著問題的逐漸深入而讓學生感知從特殊到一般的數(shù)學思想，復數(shù)的代數(shù)形式也在此過程中自然生成，這對促進學生發(fā)展抽象能力具有重要意義.

問題9 思考a+bi（a，b∈R）是否一定為虛數(shù).

設計意圖 此問意在引發(fā)學生自主分類復數(shù)，深化學生對復數(shù)概念的認識，從根本上突破本節(jié)課的教學難點. 當學生給出相應結論后，可進一步要求學生說一說N，Z，Q，C，R這幾個集合間的關系. 在完善學生認知結構的同時進一步提升學生的應用能力.

4. 應用概念，鞏固提升理解

例1 寫出下列復數(shù)的實部和虛部，分別指出相應的實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)：2-3i，4，-+i，3i，2+3i，0.

變式題：說一說下列數(shù)中的虛數(shù)、實數(shù)與純虛數(shù)，并指出復數(shù)的實部及虛部：0.618，0，i，i2，2-9i，i3，7+3i，2+.

例2 當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z=m（m-1）+（m-1）i分別為實數(shù)、虛數(shù)與純虛數(shù)？

變式題：當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z=m2+m-3+（m2-1）i分別為實數(shù)、虛數(shù)與純虛數(shù)？

問題10 什么情況下，復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）與復數(shù)z=c+di（c，d∈R）相等？

例3 若（x+y）+（x-3y）i=（2x-5）+（3x+y）i，x，y∈R，求出x，y.

變式題：已知（2x2-3x-2）+（x2-5x+6）i=0，實數(shù)x的值是多少？

設計意圖 前兩個例題與變式題的應用，意在強化學生對復數(shù)分類標準的認識;問題10的設置，以及第三個例題與變式題的應用，主要是為了深化學生對復數(shù)相等的充要條件的理解，讓學生靈活應用復數(shù)概念的內涵與外延實施解題.

5. 總結歸納，促進概念升華

師：請大家回顧本節(jié)課的學習，說說你的收獲與感悟.

學生在回顧環(huán)節(jié)中提出：卡爾丹提出了問題，歐拉引入i而解決了問題. 由此可見，發(fā)現(xiàn)問題與解決問題是推動數(shù)學發(fā)展的原動力. 卡爾丹發(fā)現(xiàn)問題為歐拉解決問題提供了基礎，說明發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要. 在交流過程中，不少學生還提出：是否存在復數(shù)之外的數(shù)呢？教師趁機滲透“學無止境”“科學嚴謹”等理念：若將數(shù)學比喻成一片無邊無際的大海，那么我們每一個人都是海洋上漂浮的一葉扁舟，需要在廣闊的海洋中永無止境地不斷探索.

設計意圖 師生共同總結，不僅是對知識、方法與思想等的梳理與提煉，更是引導學生體會數(shù)集擴充過程中所蘊含的實踐能力與創(chuàng)新精神，促使學生深切感知人類理性思維的偉大，以激發(fā)學生的數(shù)學情懷，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

教學思考

1. 情境揭露教學規(guī)律

恰當?shù)慕虒W情境能有效激活學生的思維，將學生帶入探究狀態(tài). 對概念教學情境的創(chuàng)設，教師首先要對學生的“情境需要”有一個宏觀的認識，這里所說的“情境需要”包含真實情境、科學情境、歷史情境與數(shù)學情境等.

本節(jié)課，教師基于學生已有認知結構，將著名數(shù)學家卡爾丹所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學問題作為情境，一方面讓學生感知數(shù)學家也會遇到解不開的問題，另一方面讓學生充分體驗與數(shù)學家一起發(fā)現(xiàn)問題、思考問題與解決問題的過程. 這個情境告訴我們，數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)源于生活，而解決數(shù)學問題則需要一定的創(chuàng)造意識.

2. 問題突破教學難點

問題是數(shù)學的心臟，是學生思維的源泉，“學貴有疑”的理念同樣離不開問題的支撐. 事實證明，一些重要的數(shù)學概念、定理、公式與應用等都是在解決問題中逐漸形成的. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力（簡稱“四能”）.

縱觀本節(jié)課，教師以問題驅動的方式啟發(fā)學生思維. 學生在問題鏈的引導下追溯數(shù)的發(fā)展史，通過前幾次數(shù)集擴充的分析與整理，形成了課堂中的“火熱思考”與知識的“再創(chuàng)造”，并從中抽象出數(shù)集擴充需要遵循的基本原則與方法，成功突破了本節(jié)課的教學重點和難點.

3. 合作拓展教學深度

合作探究是抽象數(shù)學概念最主要的方式. 從數(shù)學學科核心素養(yǎng)的角度來看，抽象素養(yǎng)處于首要位置，其具體表現(xiàn)形式為數(shù)學概念、規(guī)則、命題與思想方法等的形成. 概念教學的關鍵點是引導學生依靠抽象思維與積極互動對數(shù)學事物進行歸納、分析、類比，概括事物本質，實現(xiàn)思維從感性到理性的轉變.

本節(jié)課，關于數(shù)系的發(fā)展與復數(shù)的引入等，都由學生的合作探究而來，教師只是在適當?shù)臅r候給予引導. 尤其是虛數(shù)的形成史告訴我們：哪怕是數(shù)學家，對數(shù)的認識也是由淺入深、從無到有的過程. 課堂中，學生親歷數(shù)系的發(fā)展過程，不僅切身感知數(shù)學家的認知發(fā)展，還真切體會數(shù)學精神和數(shù)學魅力.

4. 史料滲透數(shù)學文化

數(shù)學文化是數(shù)學史不可分割的一部分，它可以充分體現(xiàn)“真、善、美”三重維度，培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)和社會主義核心價值觀. 數(shù)學史滲透數(shù)學文化可促進學生更好地體驗數(shù)學概念、數(shù)學語言、數(shù)學方法等的發(fā)展歷程，深化學生對它們的理解.

復數(shù)的形成與發(fā)展經(jīng)歷了艱辛的過程，是數(shù)學家們辛勤耕耘的結果，是一項偉大的創(chuàng)新. 課堂上，教師帶領學生感知復數(shù)的形成歷程，從真正意義上理解它的來龍去脈，發(fā)現(xiàn)虛數(shù)屬于一種發(fā)明、創(chuàng)造，從中感知它的力量、精神與文化.

總之，概念教學促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展，值得我們深入思考與研究. 教師不僅要對教材所呈現(xiàn)的知識了如指掌，還要對其來龍去脈有所了解，只有知道了它的“前世今生”，才能帶領學生從真正意義上理解教學內容，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，實現(xiàn)教學相長.

作者簡介：梁榮花（1984—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學工作.