[摘 要] 在中學數(shù)學教學中普遍存在對標準差理解不深刻的現(xiàn)象，從標準差的歷史發(fā)展、內涵，以及整合中學數(shù)學教材的角度，重構課堂教學，以使學生厘清標準差的內涵，深刻認識標準差的作用.

[關鍵詞] 中學數(shù)學;標準差;教學

問題提出

標準差在初高中教材中多次出現(xiàn)，但大部分中學師生對標準差的內涵的理解局限于“是反映數(shù)據(jù)離散程度大小的量”. 一是初高中的數(shù)學教材關于標準差沒有更多的說明，僅僅是為數(shù)不多的關于標準差的概念、樣本估計總體的離散程度的內容介紹. 二是教師基本遵循中學數(shù)學教材編排體系進行教學，使得學生對標準差的理解是碎片化的，且常常局限于教材那一小節(jié)的理解. 三是標準差在考試內容、日常生活中涉及很少，也是造成師生理解不深刻的一個重要原因.

標準差的理解

1. 從標準差的來源進行理解

標準差的來源與平均數(shù)、誤差有關. 誤差的定義是測定值減去真實值，而真實值又認為總是得不到的，所以真實值往往用測定值的平均值來代替. 托勒密（Ptolemy）在《天文學大成》中指出：取最大值和最小值的平均數(shù)是一條法則，這樣做的目的是降低觀察值的誤差，使所得的結果介于最大值和最小值之間，也就是說誤差和平均數(shù)總是聯(lián)到一起的“孿生姐妹”. 說到平均數(shù)，不得不想到算術平均數(shù)有消除誤差、提高精度的作用，這是因為一般測量誤差的概率分布符合正態(tài)分布. 為了尋找一組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，數(shù)學家勒讓德（Legendre）發(fā)明了最小二乘法，即對于一組觀測數(shù)據(jù)x，使誤差平方和∑（x-a）2達到最小的a是這組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)[1]. 英國科學家卡爾·皮爾遜（Karl Pearson）進軍生物統(tǒng)計學時發(fā)現(xiàn)生物現(xiàn)象缺乏數(shù)量描述和定量分析，于是根據(jù)正態(tài)分布的密度函數(shù)和最小二乘法結構特點提出了“標準差”概念及其符號（σ）表示[2qTbMk1kuruMNVkolWTI8zA==]. 因此，標準差的教學，可以從平均數(shù)與誤差的發(fā)展關系開始.

2. 從標準差的含義進行理解

標準差是隨機誤差的代表，是衡量隨機誤差的標準. 對于一個測量過程來說，可以得到很多隨機誤差值δ，但不管用哪個具體的隨機誤差值來代表隨機誤差都不合適. 怎么辦呢？能否構造一個參數(shù)，讓它從總體意義上來表征隨機誤差呢？人們自然想到用各隨機誤差的平均值來代表它，可是這行不通，因為隨機誤差的總和為零，于是人們又想到用各隨機誤差絕對值的平均值來代表它，即令δ=，并稱它為平均偏差，但是最受歡迎的參量是標準差σ，具體表達式為σ==. 標準差的最佳估計值是實驗標準差s，具體表達式為s=，公式中除以n-1而不是n，是因為實驗標準差的分布一般不是正態(tài)分布，是偏分布;公式中的是算術平均值，=x，它是期望u的最佳估計值[3]. 因此，可以用標準差來比較兩組數(shù)據(jù)離散程度的大小，但如果兩組數(shù)據(jù)的測量尺度相差太大，或者數(shù)據(jù)量綱不同，就需要用變異系數(shù)來比較兩組數(shù)據(jù)的變異程度的大小了[3].

標準差的結構特征使它的應用很廣泛. 標準差的平方是方差，對于一個變量的誤差用方差表示，對于兩個變量的總體誤差則用協(xié)方差COV表示（COV=（x-）（y-））. 協(xié)方差可以表示兩個變量的相關性的正負，若考慮量綱，又可演變成相關系數(shù)rr=. 因此，標準差的教學還可以從它自身的結構特征分析出發(fā)，適當突出它在誤差理論、數(shù)理統(tǒng)計、測量方法等領域的應用.

3. 從標準差的教材分布進行理解

在小學階段，教材中的統(tǒng)計只有平均數(shù)的算法，沒有涉及標準差的概念和含義，但在教材中有“量一量，比一比”的內容，涉及誤差的說法，也就是說小學教材滲透了誤差的思想方法.

在人教版八年級下冊教材的“數(shù)據(jù)的波動程度”中，學生學習了標準差的公式及它反映數(shù)據(jù)的離散程度的意義，并利用標準差來比較平均數(shù)相等或者比較案例優(yōu)劣. 教材在“閱讀與思考”中設置了“數(shù)據(jù)波動程度的幾種度量”，介紹極差、平均差、標準差等反映數(shù)據(jù)波動程度的特點. 教材還設置了數(shù)學活動和課題學習，要求學生進行統(tǒng)計實踐活動并計算標準差，最后做出實際的說明判斷. 但閱讀與思考、數(shù)學活動和課題學習并沒有引起教師的注意，大部分教師關注的只是教材中的“數(shù)據(jù)的波動程度”的正文內容，使得大部分學生在學習中只知道標準差的“離散程度”作用和會用公式計算標準差.

人教A版（2019）高中數(shù)學必修第二冊教材的“9.2.4 總體離散程度的估計”給出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都相同的兩個運動員的射擊數(shù)據(jù)，讓教練用標準差來選擇運動員，并提出總體標準差、樣本標準差的概念，這個案例和上述初中教材選取的案例的功能基本一致. 教材最后指出平均數(shù)和方差一起能反映數(shù)據(jù)的取值信息，給出的案例是居民月均用水量的100個數(shù)據(jù)落在[-2s，+2s]外只有7個，也就是說絕大部分數(shù)據(jù)落在[-2s，+2s]內，但這個案例并沒有在教材中得到重視，只是淡淡地提到而已，不能引起師生的重視.

人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第三冊教材的“7.3.2 離散型隨機變量的方差”，以兩名同學射擊環(huán)數(shù)的分布列為例，在期望相同的情況下判斷射擊水平，從考慮穩(wěn)定性的角度出發(fā)引出方差、標準差的概念，并研究了方差的性質（D（aX+b）=a2D（X）），然后給出例題用方差進行決策判斷，還指出方差的大小可以反映技能的穩(wěn)定性、加工的精度、投資風險的高低等，但沒有給案例進行說明. 7.3.2的內容和9.2.4的內容相差不大，只是站在離散型隨機變量的角度思考問題，且教材也沒有突出此角度的標準差和7.3.2中的標準差的區(qū)別. 在“二項分布”中推導二項分布的方差np（1-p），在“正態(tài)分布”中給出誤差分布函數(shù)后，研究標準差大小與圖形的關系，并給出“3σ”法則，且在信息技術應用中給出概率分布圖及概率計算，強化“3σ”法則. 在成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析中，給出“樣本相關系數(shù)”的推導過程，其中數(shù)據(jù)“中心化”出現(xiàn)了統(tǒng)計量L（即協(xié)方差），為了統(tǒng)一量綱而“標準化即”形成樣本相關系數(shù). “一元線性回歸模型及其應用”中假設隨機誤差e=0、方差為定值σ2的一元線性回歸模型Y=bx+a+e，并用最小二乘法得到經驗回歸方程=x+，教材著重體現(xiàn)了最小二乘法的形成使用過程，但是對“隨機誤差e=0、方差為定值σ2”沒有解釋. 也就是說，標準差在教材中出現(xiàn)的頻率很高，但是很“碎”很“散”.

教材在“標準差”部分的編寫思考：一是作為“數(shù)字特征”，作為刻畫離散程度數(shù)學化的一個量，研究它的性質、計算，這是教材主要體現(xiàn)的部分;二是作為“決策”手段，進行決策判斷，比如判斷射擊水平，選拔運動員等;三是與平均數(shù)一起表征數(shù)據(jù)信息，如“3σ”法則，教材限于篇幅，欲語還休，在“總體離散程度的估計”和“正態(tài)分布”中都只是簡單提及;四是與“標準化”的聯(lián)系，這在樣本相關系數(shù)的形成中提到過;五是與隨機誤差的關系，在一元線性回歸模型中蘊含著.

不足的是，教材正文并沒有強調標準差與平均數(shù)之間的關系;標準差的應用案例很少，且教材將關于標準差的應用和內涵，相當一部分放在選修、閱讀中去了，比較散亂;教材不看重歷史，關于標準差的歷史篇幅很少. 這些不足給師生的整體理解帶來了一定困惑，因此教師有必要重構教學標準差.

標準差的教學重構

1. 從誤差、統(tǒng)計、概率三個角度重構教學“標準差的概念”

（1）情境引入

公元4世紀，在古印度有一個估計果樹上果實數(shù)目的故事：一棵枝葉茂盛的大樹長有兩條大的樹枝，Rtupama需要估計這兩條樹枝上果實的數(shù)目.他首先估計根部的一條細枝上的果實數(shù)目，然后乘以樹枝上的細枝數(shù)目，得到估計值為2095. 經過一夜計數(shù)，證明Rtupama所估計的果實數(shù)目十分接近實際的果實數(shù)目.

問題1 Rtupama所選擇的細枝上的果實數(shù)目代表什么樣的數(shù)學含義？Rtupama所估計的果實數(shù)目與實際的果實數(shù)目之間的差異叫做什么？

設計意圖 選擇的細枝上的果實數(shù)目代表平均數(shù)，差異是誤差，揭示誤差和平均數(shù)是相隨相伴的關系.

（2）誤差角度理解

16世紀，天文學家通過計算多個觀測值的平均數(shù)，以便把誤差降低到較小的程度. 英國天文學家、數(shù)學家辛普森（1710—1761）試圖推廣天文學界計算平均數(shù)的方法，他證明，若以觀測值的平均數(shù)去估計真值，誤差將比單個觀測值要小，而且隨著觀測次數(shù)的增加，誤差會進一步減小.

問題2 下面（表1）是某天一個女生身高的10次測量值（單位：cm）.

這個女生的身高平均值是多少？用身高平均值代替女生的真實身高，每次測量的誤差是多少？

這10個數(shù)的平均數(shù)=（x+x+…+x）=165.09（cm），用它代表該女生的真實身高，測量隨機誤差如表2所示.

追問：代表10次身高數(shù)據(jù)的是身高的平均數(shù)，那么代表10個隨機誤差的是什么數(shù)呢？

設計意圖 銜接問題1，根據(jù)辛普森的介紹，引導學生思考追問，學生自然想到用隨機誤差的平均數(shù)來代表它，但平均數(shù)之和為零，不得不想到加絕對值、簡便運算、單位統(tǒng)一等要素，從而理解標準差的含義，引出標準差的概念.

（3）統(tǒng)計角度理解

標準差的概念是誰提出來的？為什么叫標準差呢？

問題3 甲、乙兩名射擊隊員在一次射擊測試中各射靶10次，每一次命中的環(huán)數(shù)如下（表3）：

如果你是教練，你會如何評價這兩名運動員的射擊情況？如果這是一次選拔考核，你會如何選擇？

追問：通過上面計算標準差的過程，如果知道數(shù)據(jù)x，x，...，x的頻率，那么還可以怎樣計算標準差？

設計意圖 介紹提出標準差概念的卡爾·皮爾遜及標準差的含義，借助問題3進行驗證，同時通過結論分析去認識樣本標準差的局限，以及s=的形式，為隨機變量的標準差的形成做好鋪墊.

（4）統(tǒng)計概率的結合理解

伯努利大數(shù)定律是數(shù)理統(tǒng)計的一塊基石，是指在n重伯努利試驗中，在實驗次數(shù)足夠大的條件下，某一事件發(fā)生的頻率無限接近其發(fā)生的概率.

問題4 要從甲、乙兩名同學中選一名代表班級參加射擊比賽，根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如表4和表5所示. 如何評價甲、乙兩名同學的射擊水平？

追問：如果甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)的平均數(shù)不同，又怎么比較呢？

設計意圖 借助伯努利大數(shù)定律體會隨機變量的標準差和樣本標準差的聯(lián)系和區(qū)別，借助問題4的追問延伸出變異系數(shù)的知識.

上述四個問題從誤差理解開始，過渡到統(tǒng)計學、數(shù)理統(tǒng)計，促使學生明白標準差的生成發(fā)展，整體認識標準差，解決教材知識分散導致學習碎片化的問題.

2. 從真實案例的角度重構教學“標準差的作用”

（1）真實數(shù)據(jù)，引出課題

情境 某校6個理科班289人參加數(shù)學競賽選拔考試，成績如表6所示，平均分61，標準差12. 其中前10名成績分別為100，98，95，95，93，88，88，88， 88，87，86，86，85，84，83. 如何根據(jù)平均分和標準差確定最佳的參賽人數(shù)？

設計意圖 用一個實例引入課題，調動學生的積極性，并闡明學習標準差的作用.

（2）公式剖析，揭示本質

問題5 標準差的公式是什么？反映的意義是什么？

設計意圖 通過問題引導學生回顧標準差反映數(shù)據(jù)離散程度大小的作用，理解標準差反映數(shù)據(jù)離散程度大小的本質是它與數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的平均距離有關，并從這個本質引出偏離平均數(shù)n個標準差距的三個區(qū)間（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）（u指平均數(shù)，σ指標準差），以及數(shù)據(jù)落在這三個區(qū)間上的頻率有某種規(guī)律.

（3）計算發(fā)現(xiàn)，探索新知

例1 算一算上述情境中的成績數(shù)據(jù)落在（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）區(qū)間上的頻率.

總人數(shù)為289，平均分u=61，標準差σ=12，因此成績數(shù)據(jù)落在（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）區(qū)間上的頻率分別約為66.06%，94.98%，99.48%.

例2 下面是27人每30秒的心跳次數(shù)紀錄：

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)u=34.4，標準差σ=6.8，因此其落在（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）區(qū)間上的頻率分別約為74.07%，96.29%，100%.

追問：結合這兩個例子，數(shù)據(jù)落在上述三個區(qū)間的頻率有什么共同特點？當樣本數(shù)據(jù)很多時，數(shù)據(jù)落在上述三個區(qū)間的概率有什么特點？

思考：換個角度，區(qū)間（u-3σ，u+3σ）外的概率有什么特點？

設計意圖 通過小組合作討論交流，揭示數(shù)據(jù)落在偏離平均數(shù)n個標準差距的（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）區(qū)間上的概率分別約為66%，95%，99%，以及小概率事件原理.

（4）應用鞏固，體會作用

練習1 圖1是工廠生產零件時的質量監(jiān)控圖，即在生產過程中，每隔一定的時間任取一個零件進行檢查，并將檢查零件的尺寸用圓點標注在圖中，若圓點在控制界（u-3σ，u+3σ）外，就要進行停機檢查，請解釋這樣做的理由.

練習2 回到前面情境中的問題，根據(jù)平均分和標準差，你能確定最佳的參賽人數(shù)嗎？

學生通過計算判斷，得98分和100分的兩位學生為最佳人選，因為分數(shù)在區(qū)間（u-3σ，u+3σ）外.

練習3 某同學在這次數(shù)學競賽選拔中考了84分（平均分61，標準差12），同時又在物理競賽選拔中考了76分（平均分30，標準差15），84分、76分屬于（u-σ，u+σ），（u-2σ，u+2σ），（u-3σ，u+3σ）中的哪個區(qū)間？他的數(shù)學成績和物理成績哪個更好？

84分在區(qū)間（u-2σ，u+2σ）內，76分在區(qū)間（u-3σ，u+3σ）外，所以物理成績更好.

設計意圖 通過練習，引導學生體會標準差不僅可以為決策服務，還可以比較不同類別的數(shù)據(jù)優(yōu)劣. 上述案例著重體現(xiàn)標準差的應用與其含義緊密相關，并揭示標準差在生產生活中有著廣泛應用，以彌補教材發(fā)揮標準差作用的不足，還可以讓學生在課后收集標準差的應用案例，促使學生對標準差的作用有更深刻的認識.

反思與建議

重構后的標準差的教學設計在實踐中得到了教師的認可，學生有更大的收獲和情感體驗. 課堂教學實踐選擇的是普通中學的高二學生，在標準差的概念教學中，學生經歷了標準差的形成過程，了解了標準差的起源，知道了標準差在統(tǒng)計概率中的不同表達形式、區(qū)別、聯(lián)系和其中的歷史文化，形成了標準差的知識結構，學生也興趣盎然地投入到課堂中，這是重構后很成功的地方. 標準差的應用使學生理解到標準差與平均數(shù)一起反映的信息到底在生活中的具體作用是什么，從而彌補教材“欲言又止，輕描淡寫，忽視本源作用”的不足. 但是這種跨越式學習的前提是學生要有一定的知識積累，對教師整合教材的要求也比較高，同時考慮到學情，沒有選取標準差作用于生產生活中的更多案例.

通過實踐，建議教師用單元整體教學思想教學標準差知識內容，這樣可以避免按照教材順序教學的時間浪費. 另外，可以擇取標準差知識縱深發(fā)展的閱讀材料供學生選擇性學習，使學生對標準差的認識不局限于“反映離散程度大小”的視角，便于學生整體認識和理解標準差的地位和作用.

參考文獻：

[1] 吳駿，黃青云. 基于數(shù)學史的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解[J]. 數(shù)學通報，2013，52（11）：16-21.

[2] 陳希孺. 數(shù)理統(tǒng)計學簡史[M]. 長沙：湖南教育出版社，2002.

[3] 李謙. 縱談標準差[J]. 廣東電力，2001（2）：76-78.

基金項目：重慶市教育科學“十三五”規(guī)劃2020年一般規(guī)劃課題“基于學科大觀念的高中數(shù)學單元教學設計策略研究”（2020-07-494）.

作者簡介：吳家全（1973—），教育碩士，中學數(shù)學正高級教師，重慶市骨干教師，主要從事中學數(shù)學教育教學教研工作，主持的市級課題“中學數(shù)學自然目的式教學”獲市教育學會成果評比二等獎.