【摘 要】不同版本的教材在編排思想、內(nèi)容邏輯上各具特色，吸收借鑒不同版本教材的特點(diǎn)，有助于給教師提供更豐富的教學(xué)設(shè)計(jì)視角。文章圍繞“比賽場次”這一內(nèi)容，選取滬教版與北師大版兩個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材作比較研究，對(duì)比教材內(nèi)容編排方式和特點(diǎn)，分析“比賽場次”的教學(xué)功能和價(jià)值，得出兩個(gè)版本的教材在教學(xué)策略、推理方法、結(jié)論表達(dá)、習(xí)題安排上側(cè)重點(diǎn)不同的結(jié)論，得到同樣的題材能實(shí)現(xiàn)不同的目標(biāo)、不同的題材能實(shí)現(xiàn)同樣的目標(biāo)的教學(xué)啟示。

【關(guān)鍵詞】比賽場次 教材比較 教學(xué)啟示

許多版本的教材都安排了“比賽場次”這一教學(xué)內(nèi)容，要解決的是若干參賽隊(duì)伍進(jìn)行單循環(huán)賽需要安排多少場比賽，這本質(zhì)上是一個(gè)簡單的組合問題：從n個(gè)元素中取兩個(gè)有多少種組合？由于組合問題與元素排列的順序無關(guān)，所以，組合數(shù)=n×（n-1）÷2。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，與其數(shù)學(xué)本質(zhì)相同的問題還包括“數(shù)線段”“數(shù)圖形”“握手問題”等。我們不禁要問：同樣的教學(xué)內(nèi)容，不同版本的教材采取的學(xué)習(xí)路徑與教學(xué)策略相同嗎？對(duì)我們的教學(xué)有什么啟發(fā)？

本文選取滬教版和北師大版教材“比賽場次”的正文內(nèi)容和習(xí)題作為研究對(duì)象，作教材的呈現(xiàn)內(nèi)容對(duì)比，同時(shí)從教材與教學(xué)、學(xué)情與起點(diǎn)等方面作進(jìn)一步的定性分析。

一、教材的呈現(xiàn)內(nèi)容對(duì)比

（一）滬教版教材描述

滬教版教材以中國女排參加2004年奧運(yùn)比賽獲得金牌的情境引入，提出“中國隊(duì)在小組賽中要進(jìn)行幾場 比賽？”的問題，引導(dǎo)學(xué)生用連線、列表的方法展開有序思考，通過不重復(fù)、不遺漏的枚舉解決問題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生用算式表示思考的過程和結(jié)果。在鞏固練習(xí)中創(chuàng)設(shè)了學(xué)校乒乓球比賽的情境，引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)到的方法解決問題，意圖讓學(xué)生體會(huì)乘除法計(jì)算方法在數(shù)量較大時(shí)的優(yōu)勢。

（二）北師大教材描述

北師大版教材先引入“10名同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽”的實(shí)際情境，引導(dǎo)學(xué)生從簡單的情形開始，用列表或畫圖的方法，數(shù)出相應(yīng)的比賽場次。進(jìn)而，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)比賽場次與參賽人數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。鞏固練習(xí)安排了“聯(lián)絡(luò)方式”的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)“從簡單情形開始”尋找規(guī)律解決問題的優(yōu)勢。

顯然，兩個(gè)版本的教材都以“問題解決”為出發(fā)點(diǎn)，但它們在年級(jí)安排、情境創(chuàng)設(shè)、教學(xué)策略、推理方法、習(xí)題安排等方面都有所不同，側(cè)重點(diǎn)也有所不同。

二、教材的定性比較

（一）教材與教學(xué)：同為“問題解決”

相對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率的主流知識(shí)而言，“比賽場次”研究的是一個(gè)非常規(guī)的問題，列出“5+4+3+2+1”和“6×5÷2”這兩個(gè)算式的依據(jù)不是通常所說的“數(shù)量關(guān)系”，即使涉及運(yùn)算意義，那也不是源于簡單的識(shí)別，而是經(jīng)歷了頗為艱難的探索才認(rèn)識(shí)到它與運(yùn)算意義的關(guān)聯(lián)，即便如此，“6×5÷2”中“÷2”的意義也看不出與“等分除”“包含除”之間有什么明顯的關(guān)聯(lián)。使用了畫圖、列表的方法，卻與圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)沒什么關(guān)系，凸顯的是解決問題的策略，兩套教材基本上都遵循了波利亞提出的問題解決四步驟：審題、擬訂方案、執(zhí)行方案、反思。

從情感態(tài)度與價(jià)值觀的角度來看，滬教版教材重在通過有德育意義的問題情境展開探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，使學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)；北師大版教材重在使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中感受發(fā)現(xiàn)的樂趣。

（二）多樣與單一：教學(xué)策略不同

兩個(gè)版本的教材都采用了探索發(fā)現(xiàn)的教學(xué)策略，但兩者的使用目的完全不同。滬教版中畫圖、列表的作用是解釋性的，功能比較單一，教材中連線畫圖、列表均是解釋列式的算法不正確，從而引出正確的算法。北師大版中畫圖、列表的作用是探索性的，功能比較多樣。學(xué)生第一次用畫圖或列表策略嘗試解決問題時(shí)，由于參賽人數(shù)比較多，不容易數(shù)清楚，從而引出“退”的策略。第二次使用這一策略不僅需要根據(jù)參賽人數(shù)探究比賽場數(shù)，還要探究兩者之間的關(guān)系以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并說明規(guī)律的合理性，進(jìn)而解決復(fù)雜問題。

（三）演繹與遞推：推理方式不同

一般而言，本質(zhì)上邏輯推理只有演繹推理和歸納推理兩種形式。滬教版?zhèn)戎氐氖茄堇[推理。教材中在解釋中國隊(duì)在小組賽中為什么要比賽5場，整個(gè)B組比賽場次的計(jì)算方法為什么是“5×6÷2”或“5+4+3+2+1”時(shí)，都是演繹推理。北師大版?zhèn)戎氐氖菤w納推理，特別是遞推思想的滲透。教材利用畫圖、列表的方法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律是n名學(xué)生比賽時(shí)，比賽場數(shù)是從1加到n-1。教材把一個(gè)復(fù)雜的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為每次在前面的基礎(chǔ)上增加一個(gè)，滲透了遞推的思想方法，為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)作好鋪墊。

（四）乘法與加法：結(jié)論表達(dá)不同

滬教版教材呈現(xiàn)了兩種計(jì)算比賽場次的方法：5+4+3+2+1和6×5÷2，側(cè)重的是后者，即簡單的組合問題的公式算法。教材基于第一個(gè)問題得出結(jié)論：一個(gè)隊(duì)要比賽5場，再提出“6個(gè)隊(duì)要賽幾場”的問題，學(xué)生自然地認(rèn)為是6×5=30。教材通過連線、列表法驗(yàn)證，30場中有重復(fù)，需要“÷2”去除重復(fù)部分。教材雖然通過有序列舉，給出了加法算式“5+4+3+2+1=15（場）”，起到的主要作用還在于體會(huì)重復(fù)——為了避免重復(fù)所以出現(xiàn)了算式中的數(shù)字遞減。可見，滬教版教材在加法和組合公式算法之間選擇了側(cè)重后者，當(dāng)然，這對(duì)解決復(fù)雜問題是有利的。

北師大版教材通過畫圖、列表讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，解答此題的列式是“1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（場）”。同樣是加法，但與滬教版的加法有本質(zhì)的區(qū)別，滬教版的加法指向“6個(gè)隊(duì)賽幾場”的問題解決，加法算式中的數(shù)字是遞減的，這與有序列舉時(shí)需要避免重復(fù)的要求是一致的。北師大版教材的加法算式是與遞推思想一致的，因此式子中的數(shù)字是遞增的。

（五） 類題與異題：練習(xí)安排不同

兩個(gè)版本的教材提供的課后習(xí)題完全不相同。滬教版教材安排了三道習(xí)題，都是圍繞有關(guān)比賽場次進(jìn)行鞏固練習(xí)，都是解決不同情境的同類問題。北師大版教材安排了1道習(xí)題“聯(lián)絡(luò)方式”，這道題與比賽場次的學(xué)習(xí)內(nèi)容毫無關(guān)聯(lián)，也不能用解決比賽場次問題的結(jié)論來解答這道題。要解決這道題，就只能從簡單的情形開始尋找規(guī)律，這就凸顯了“從簡單情形開始尋找規(guī)律”，也就是“退”的解決問題策略的重要性，側(cè)重體會(huì)圖表的簡潔性和有效性，培養(yǎng)綜合應(yīng)用意識(shí)。

同樣的教學(xué)內(nèi)容，練習(xí)安排不同，源于兩個(gè)版本教材的教學(xué)目標(biāo)不同，滬教版的目標(biāo)是得出解決比賽場次問題的計(jì)算方法，北師大版是讓學(xué)生經(jīng)歷探索過程，通過“退”的策略尋找規(guī)律，強(qiáng)調(diào)的是解決問題的策略（思想方法）。

三、比較研究的啟示

比較研究不能簡單地就滬教版、北師大版哪個(gè)更好輕易下結(jié)論，但給我們帶來了一些啟示：同樣的載體可以有幾乎迥然不同的用法，產(chǎn)生大不相同的教學(xué)效果。特別地，北師大版和滬教版的教材處理似乎能互成教學(xué)系列，先以北師大版的教學(xué)思路幫助學(xué)生經(jīng)歷探究過程、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，再以滬教版的教學(xué)思路提煉活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建立數(shù)學(xué)模型。這將促使我們進(jìn)一步思考：在同一套教材中，如何用同樣的主題實(shí)現(xiàn)不同的目標(biāo)？如何用不同的主題實(shí)現(xiàn)同樣的目標(biāo)？

（一）用同樣的題材實(shí)現(xiàn)不同的目標(biāo)

用同樣的題材實(shí)現(xiàn)不同的目標(biāo)，一方面要挖掘題材不同側(cè)面的教學(xué)功能，通過教學(xué)，使學(xué)生在達(dá)成學(xué)科教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)形成對(duì)主題的多角度、立體認(rèn)知，這有利于深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界緊密聯(lián)系的認(rèn)知；另一方面要挖掘同一側(cè)面在不同學(xué)習(xí)階段的教學(xué)功能，隨著學(xué)習(xí)的深入不斷深刻認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)。如浙教版教材中有“一莢豌豆有幾?！钡闹黝}，這一主題出現(xiàn)在三年級(jí)下冊統(tǒng)計(jì)單元的實(shí)踐活動(dòng)中，三年級(jí)學(xué)生對(duì)此有一定的生活經(jīng)驗(yàn)，但這種經(jīng)驗(yàn)是零散的，他們對(duì)其中蘊(yùn)含的規(guī)律的認(rèn)識(shí)也是不清晰的，通過調(diào)查統(tǒng)計(jì)可以使之系統(tǒng)化和清晰化。四年級(jí)下冊學(xué)習(xí)可能性時(shí)，就可以用這一題材認(rèn)識(shí)可能性及大小，并由此推斷1000莢豌豆的情形。

實(shí)際上，三年級(jí)上冊實(shí)踐活動(dòng)所得的數(shù)據(jù)還可以作為四年級(jí)上冊條形統(tǒng)計(jì)圖學(xué)習(xí)的作圖和數(shù)據(jù)分析的題材，通過條形統(tǒng)計(jì)圖表示數(shù)據(jù)多少，體驗(yàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的規(guī)律性，感悟眾數(shù)和正態(tài)分布；也可以作為六年級(jí)上冊扇形統(tǒng)計(jì)圖的作圖和數(shù)據(jù)分析題材，引導(dǎo)學(xué)生用樣本的頻率分布估計(jì)總體，驗(yàn)證可能性大小，從而作出合理推斷，學(xué)會(huì)用數(shù)據(jù)說話，形成數(shù)據(jù)分析觀念。這樣的主題教學(xué)，緊密聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)與概率之間的緊密聯(lián)系，既能有效降低學(xué)生理解揣摩教材情境的難度，又能使其充分利用之前的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，不斷深化對(duì)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，更好地實(shí)現(xiàn)不同的教學(xué)目標(biāo)。

（二）用不同的題材實(shí)現(xiàn)共同的目標(biāo)

在同一版本的教材里，教材選用的主題應(yīng)該豐富多樣，貼近學(xué)生生活實(shí)際而又有所拓展。

用不同的題材實(shí)現(xiàn)共同的目標(biāo)，常見的是用不同的題材來實(shí)現(xiàn)共同的知識(shí)與技能目標(biāo)。題材的使用通常有兩種方法：一是先后使用，如滬教版教材先使用比賽場次情境，再使用兩人組合拍照；二是并列使用，為學(xué)生提供選擇學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，如學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)同時(shí)提供以下不同主題的問題情境：（1）已知上衣和褲子的單價(jià)，求5套衣服的價(jià)格；（2）在3元店里（每樣物品單價(jià)都是3元），買5個(gè)小喇叭和12條彩帶的總價(jià)是多少；（3）求兩個(gè)共邊長方形的面積和；（4）6行4列和6行8列的點(diǎn)子數(shù)量和。

較少見到的是用不同的主題實(shí)現(xiàn)共同的過程與方法目標(biāo)。比如本文中北師大教材中的比賽場次問題與聯(lián)絡(luò)方式問題。要注意分析不同主題的問題情境中過程與方法目標(biāo)的內(nèi)涵，形成序列和群組，通過反復(fù)運(yùn)用積累經(jīng)驗(yàn)，形成意識(shí)。如數(shù)學(xué)中“轉(zhuǎn)化”的思想方法，首先要基于基本的原理，如加減法中的“同單位數(shù)才能直接相加減”，由此小數(shù)加減法可以轉(zhuǎn)化為同單位前提下的整數(shù)加減法，分?jǐn)?shù)加減法也可以轉(zhuǎn)化為同單位前提下的整數(shù)加減法。

【參考文獻(xiàn)】

戚洪祥.數(shù)學(xué)問題解決：演變、內(nèi)涵及實(shí)踐路徑[J].上海教育科研，2020（11）.