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        源于教材的中考“圓”題

        2024-08-08 00:00:00陳平
        初中生世界·九年級(jí) 2024年6期
        關(guān)鍵詞:中考教材數(shù)學(xué)

        教材中的習(xí)題時(shí)常被修飾后,改頭換面變成我們的中考題。但在中考中,我們有可能因?yàn)樽R(shí)別不出它的原型,從而浪費(fèi)很多時(shí)間。因此,我們?cè)谄綍r(shí)要多關(guān)注教材中的習(xí)題,特別是一些有價(jià)值的習(xí)題,可以以它們?yōu)槟割},深度挖掘其價(jià)值,深入研究解題方法,發(fā)展思維的廣闊性和靈活性。比如,我們可以變換例題、習(xí)題的條件和結(jié)論,還可以一題多變,多題歸一。現(xiàn)以蘇科版數(shù)學(xué)八(上)第58頁(yè)的第10題為例,談?wù)劷滩牧?xí)題的重要性。

        【原題呈現(xiàn)】已知,如圖1,∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F,求證:BE=CF。

        本題考查的是三角形全等部分的知識(shí)。要想證明兩條線段相等,從我們已有的經(jīng)驗(yàn)來看,可結(jié)合角平分線和垂直平分線的性質(zhì),聯(lián)想到利用三角形全等的知識(shí)來證明。

        但是,我們做完之后,往往會(huì)忽略它的發(fā)展價(jià)值。其實(shí),這是一道很好的母題。我們?nèi)绻麑?duì)它進(jìn)行深度挖掘,將其與蘇科版數(shù)學(xué)九(上)圓的知識(shí)建立聯(lián)系,可以延伸出新的有價(jià)值的問題。

        延伸 如圖2,BC為⊙O的直徑,A為BC上方⊙O上的一動(dòng)點(diǎn),∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F。

        (1) 求證:BE=CF;

        (2) 若CF=1,△ABC的面積為12,求AB的長(zhǎng)。

        本題在母題的基礎(chǔ)上添加了圓的背景。第(1)問還是通過構(gòu)造全等來證明;第(2)問可以先證明四邊形DEAF是正方形,然后抓住△ABC的面積為12這個(gè)條件設(shè)未知數(shù),列一元二次方程來解決。其實(shí),我們還可以將第(2)問的條件弱化,思考AB、AC與AD的數(shù)量關(guān)系。我們不難發(fā)現(xiàn),AB+AC=[2]AD。如果我們?cè)賹l件隱藏,就延伸出2023年江蘇省泰州市的數(shù)學(xué)中考第26題第(3)問。

        已知:A、B為圓上兩定點(diǎn),點(diǎn)C在該圓上,∠C為[AB]所對(duì)的圓周角。

        (1)略。

        (2)如圖3,若P為圓內(nèi)一點(diǎn),且∠APB<120°,PA=PB,∠APB=2∠C。求證:P為該圓的圓心。

        (3)如圖4,在(2)的條件下,若∠APB=90°,點(diǎn)C在⊙P位于直線AP上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)D在⊙P上,滿足CD=[2]CB-CA的所有點(diǎn)D中,必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變。請(qǐng)證明。

        這時(shí),我們不難發(fā)現(xiàn),第(3)問就是對(duì)教材習(xí)題的進(jìn)一步改編,通過隱藏條件、弱化條件、改變問法等方式,得到令人耳目一新的新內(nèi)容。如果我們平時(shí)多注重思考,問題的解決豈不是手到擒來?因此,只要我們堅(jiān)持這樣的思考,多問幾個(gè)為什么,就會(huì)對(duì)我們數(shù)學(xué)思維的提升有很大的幫助。

        (作者單位:江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué))

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