基于無人機(jī)重心測(cè)量的互動(dòng)模型裝置設(shè)計(jì)魏榛 聶書嚴(yán) 劉浩

摘 ?要：該文基于飛機(jī)三點(diǎn)法重心測(cè)量的基本原理，結(jié)合工科力學(xué)課程的教學(xué)科研需求，設(shè)計(jì)一種可以用于驗(yàn)證重心測(cè)量算法的互動(dòng)模型裝置。該裝置采用一個(gè)面內(nèi)對(duì)稱設(shè)計(jì)的封閉盒體，內(nèi)置有陣列隔間用于放置配重鋼球。模型裝置可以模擬出各種復(fù)雜度的面內(nèi)重心分布。與裝置配套的3個(gè)精密電子秤可以對(duì)封閉盒體進(jìn)行不同方案的重心測(cè)量，以驗(yàn)證測(cè)量算法的可行性與精度。該裝置采用3D打印技術(shù)制作，具有低成本、高互動(dòng)性的優(yōu)點(diǎn)，在教學(xué)與科研中起到很好的作用。

關(guān)鍵詞：重心測(cè)量；互動(dòng)裝置；飛機(jī)重心；3D打印技術(shù)；無人機(jī)

中圖分類號(hào)：V216.8 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-2945（2024）18-0136-04

Abstract： Based on the basic principle of aircraft three-point center of gravity measurement and the teaching and research needs of engineering mechanics course， this paper designs an interactive model device which can be used to verify the center of gravity measurement algorithm. The device adopts a closed box body designed symmetrically in the plane， and an array compartment is built into it for placing counterweight steel balls. The model device can simulate the in-plane center of gravity distribution of various complexities. The three precision electronic scales matched with the device can measure the center of gravity of the closed box with different schemes to verify the feasibility and accuracy of the measurement algorithm. The device is made by 3D printing technology， has the advantages of low cost and high interaction， and plays a good role in teaching and scientific research.

Keywords： center of gravity measurement; interactive device; aircraft center of gravity; 3D printing technology; UAV

文章通過對(duì)飛機(jī)三點(diǎn)法重心測(cè)量的基本原理的分析和啟發(fā)，設(shè)計(jì)了一種可以用于工科力學(xué)教學(xué)和科研的簡(jiǎn)易重心測(cè)量互動(dòng)模型裝置。利用該裝置能夠模擬出平面內(nèi)的各種重心分布情況，并且能夠通過對(duì)裝置的實(shí)際測(cè)量來評(píng)估和分析各種重心算法的可行性和精度。

1 ?方案背景

現(xiàn)代無人機(jī)的應(yīng)用越來越廣泛，各種各樣布局的無人機(jī)不斷涌現(xiàn)。飛機(jī)重心變化直接影響飛機(jī)的穩(wěn)定性和操縱性能，因此分析和測(cè)量飛機(jī)的重心對(duì)于航空器的設(shè)計(jì)和飛行安全一直很重要[1]。

飛機(jī)重心測(cè)量主要分為千斤頂法[2]和機(jī)輪法[3]。千斤頂法是用帶稱重功能的千斤頂抬起飛機(jī)，讓飛機(jī)先后處于水平姿態(tài)、抬頭姿態(tài)、低頭姿態(tài)分別進(jìn)行稱重，再用公式求出飛機(jī)重心位置。機(jī)輪法則是將飛機(jī)的機(jī)輪放置在3個(gè)普通電子秤平臺(tái)上，同樣改變飛機(jī)姿態(tài)讀出重量，根據(jù)力矩平衡原理采用解析法求出。

這2種方案都是采用三點(diǎn)法重心測(cè)量原理，都是依據(jù)理論力學(xué)的靜力平衡方法進(jìn)行求解，也都被廣泛使用在各類飛行器測(cè)量中，但各有優(yōu)劣。為輔助分析三點(diǎn)法測(cè)量效果或開發(fā)更簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確的新方法[4]，本文設(shè)計(jì)了一種重心測(cè)量互動(dòng)模型裝置。

2 ?總體思路

實(shí)際無人機(jī)是一個(gè)三維實(shí)體，重心在水平面內(nèi)和豎直面內(nèi)都需要測(cè)量，本文考慮簡(jiǎn)化為平面內(nèi)的重心測(cè)量問題。

一般重心測(cè)量模型裝置通過推桿或螺絲調(diào)節(jié)模型重心位置來改變測(cè)試條件[5]。這種方法雖然調(diào)節(jié)精度高，但是結(jié)構(gòu)復(fù)雜，制作和維護(hù)成本高，且調(diào)節(jié)后的重心位置不容易精確給出。本文采用棋盤格的結(jié)構(gòu)，把配重離散分配到固定隔間內(nèi)，只需知道配重位置即可給出重心。雖然棋盤的配重方式不能連續(xù)調(diào)節(jié)重心位置，但是模型精度大大提高，并且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單成本低廉。

本文重心測(cè)量模型設(shè)計(jì)了上下?lián)醢逵糜凇皢蚊ぁ睖y(cè)試。目前飛機(jī)重心測(cè)試算法會(huì)針對(duì)某類重心分布優(yōu)化，這就導(dǎo)致測(cè)試的通用性不佳。采用平面模型則可方便設(shè)計(jì)模型裝置擋板以實(shí)現(xiàn)盲測(cè)，真正檢驗(yàn)測(cè)試算法的精度和能力。盲測(cè)即在平面模型裝置內(nèi)的配重?cái)?shù)量和分布未知時(shí)，通過測(cè)試計(jì)算其數(shù)量與分布。

綜上，本文提出了一種陣列式隔間，以精密鋼球?yàn)榕渲?，帶有上下?lián)醢宓钠矫嬷匦臏y(cè)量模型裝置。該裝置設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單合理，重量分布精度高，可用于教學(xué)和科研，以檢驗(yàn)重心測(cè)量算法。配重物數(shù)量和位置可隨機(jī)設(shè)置，并且具有不可見擋板，因此，可進(jìn)行盲測(cè)，增加模型裝置的互動(dòng)性。

3 ?設(shè)計(jì)方案

模型裝置主體由3部分組成，即棋盤格陣列隔間、上下?lián)醢?、配重鋼球?/p>

假設(shè)每個(gè)鋼球的質(zhì)量為m0，陣列隔間的質(zhì)量為m1，上下?lián)醢宓馁|(zhì)量合計(jì)為m2，其他安裝件（如螺栓等）的總質(zhì)量為m3，那么采用b個(gè)配重鋼球時(shí)模型裝置的總質(zhì)量即為

圖1坐標(biāo)系中模型裝置左下角位置為（1，1）位置，其他各位置也可以同樣使用其所在隔間的序號(hào)（i，j）表示。不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)i≠j時(shí)，將一個(gè)配重鋼球放置在（i，j）位置或（j，i）位置，求解所得模型的最終重心坐標(biāo)是不同的。因此，一共有n×n個(gè)隔間的模型裝置，在所示坐標(biāo)系下每一個(gè)隔間都是不同的。那么當(dāng)使用b個(gè)配重鋼球時(shí)，根據(jù)排列組合原理，一共存在的配重鋼球分布為C種。這些鋼球分布能夠產(chǎn)生足夠多種的重心位置結(jié)果，但是根據(jù)式（5）的求和計(jì)算可知，最終重心位置可能性是少于配重鋼球分布種數(shù)的，即有些鋼球分布方式會(huì)產(chǎn)生同一種重心坐標(biāo)。但是即便如此，只要n×n的數(shù)值夠大，重心位置的可能性也將足夠多。

總之，采用棋盤格陣列隔間來設(shè)計(jì)的平面重心測(cè)量模型裝置具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、精確可靠、可以模擬多種重心分布等特點(diǎn)。

4 ?測(cè)量方案

以典型的機(jī)輪法為例，需要2次將飛機(jī)前輪抬起不同高度，以獲得足夠的力矩方程求解水平和豎直方向的重心坐標(biāo)取值。這并不是唯一的測(cè)量方法，目前仍不斷有新的測(cè)試方法被提出和使用。尤其對(duì)于無人機(jī)而言，因?yàn)槠涑叽缧『椭亓枯p的原因，在傳統(tǒng)大型飛機(jī)上不適合使用的一些重心測(cè)量技巧也能得到應(yīng)用。

本文公式（1）—（6）給出了重心測(cè)量模型裝置的設(shè)計(jì)，推導(dǎo)了基于配重鋼球分布的重心計(jì)算公式。在對(duì)三點(diǎn)法重心測(cè)量設(shè)備的實(shí)際檢測(cè)中，并不能直接采用上述公式求解鋼球分布或重心坐標(biāo)。因?yàn)樵谀Ｐ脱b置中布置鋼球時(shí)是已知鋼球分布求重心坐標(biāo)問題，而采用模型裝置對(duì)三點(diǎn)法重心測(cè)量設(shè)備檢驗(yàn)時(shí)是鋼球分布未知的情況，或者說是“單盲”的情況下。

測(cè)量方案根據(jù)難度可以分為3個(gè)部分：①配重鋼球的數(shù)量確定；②模型裝置的重心確定；③配重鋼球的分布確定。下面依據(jù)從容易到復(fù)雜的順序依次討論測(cè)量方案。

首先是配重鋼球的數(shù)量確定。設(shè)三點(diǎn)法中測(cè)得3個(gè)電子天平的讀數(shù)分別為R1、R2、R3，那么配重鋼球的數(shù)量可以由如下表達(dá)式直接給出

式中：[ ]為不大于其值的最大整數(shù)。顯然，確定配重鋼球的數(shù)量是測(cè)量任務(wù)中最簡(jiǎn)單的環(huán)節(jié)。

第二個(gè)是模型裝置的重心測(cè)量。除了傳統(tǒng)飛機(jī)經(jīng)常采用的千斤頂法和機(jī)輪法等三點(diǎn)式重心測(cè)量方法外，其他依然有很多方法可以選擇。千斤頂法和機(jī)輪法已經(jīng)有不少文獻(xiàn)進(jìn)行介紹與分析，在此就不贅述。

本文以面內(nèi)移動(dòng)的三點(diǎn)式重心測(cè)量方法為例介紹。如圖2所示，模型裝置采用3個(gè)電子天平支撐保持水平，若支撐點(diǎn)分別記為1，2，3，則其天平讀數(shù)記為（R1，R2，R3）（t），其中，t表示第t次測(cè)量的天平讀數(shù)。若建立一個(gè)模型裝置的平面重心坐標(biāo)系（gx，gy），假設(shè)坐標(biāo)系原點(diǎn)在重心位置上，2個(gè)坐標(biāo)軸分別沿著x軸和y軸，3個(gè)電子天平支點(diǎn)在重心坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別記為（xi，yi）g。

將1，2，3支撐點(diǎn)的受力分別對(duì)gx軸和gy軸列力矩平衡方程可得到如下表達(dá)式

當(dāng)該方程組有唯一非零解時(shí)，可以解出重心x坐標(biāo)，同理可以求得重心的y坐標(biāo)。多次移動(dòng)支點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可以獲得多個(gè)力矩平衡方程，因此，可以采用基于最小二乘法的求解方式獲得更準(zhǔn)確解。

第三個(gè)是模型裝置的配重鋼球分布的測(cè)量。當(dāng)求得了配重鋼球的數(shù)量和重心坐標(biāo)后，可以采用反解的方法找到滿足重心坐標(biāo)的鋼球分布矩陣Tb，但事實(shí)上是比較難操作的：一是從Tb求解重心坐標(biāo)的過程是“降維”操作，丟失了關(guān)于鋼球分布的特征信息；二是配重鋼球的重心坐標(biāo)與分布存在多種配重鋼球分布對(duì)應(yīng)一種重心坐標(biāo)的情況。

測(cè)量配重鋼球分布是有現(xiàn)實(shí)意義的，如無人機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)定時(shí)，獲得無人機(jī)初始轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后要考慮在增減載荷時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變，就需要測(cè)定重心點(diǎn)的新位置和測(cè)定新載荷對(duì)重心點(diǎn)的分布情況。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)定常采用動(dòng)力學(xué)方法如復(fù)擺法等[6]，對(duì)于較重的無人機(jī)有較大操作難度。當(dāng)無人機(jī)載荷僅發(fā)生增減時(shí)，完全可以通過測(cè)定重心和載荷分布重新計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，簡(jiǎn)單、高效。

配重鋼球分布測(cè)量難度與模型的尺寸、規(guī)模和鋼球數(shù)量正相關(guān)。當(dāng)規(guī)模增加時(shí)，需考慮采用計(jì)算機(jī)模擬和一些簡(jiǎn)化方法輔助。如可以將模型改為豎直放置，這樣模型裝置可以看成是沿著x軸或y軸的一維結(jié)構(gòu)，就可以通過2個(gè)電子天平測(cè)量相對(duì)于已測(cè)得重心位置的質(zhì)量分布，從而得到分布矩陣Tb按列或按行求和的向量。得到行列方向的求和向量之后，再恢復(fù)分布矩陣Tb的難度大大降低。

5 ?實(shí)施驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)是否可以用于實(shí)際的重心測(cè)量驗(yàn)證，開發(fā)了一款小尺寸的重心測(cè)量互動(dòng)模型裝置。該重心測(cè)量裝置的尺寸為200 mm×200 mm×32 mm。陣列式隔間部分采用5×5的布局，每個(gè)隔間可以容納1顆直徑30 mm的精密鋼球，相鄰隔間的距離d為40 mm。隔間部分采用光固化3D打印制作。上下蓋板部分采用1 mm厚度的鋁基板CNC工藝制作，測(cè)量則采用了3臺(tái)精度為0.01 g的桌面電子秤。整個(gè)模型裝置的三維結(jié)構(gòu)和實(shí)物如圖3所示。

取10套模型實(shí)際測(cè)量加工完成后的裝置中各部分的重量值見表1。

從表1可以看出，鋼球的重量精度足夠高，誤差僅0.7‰，打印的陣列隔間的重量誤差最大在3.3‰左右。本文在實(shí)際模型中放置了3個(gè)鋼球，以滿足式（2）的敏感性要求。然后對(duì)3個(gè)鋼球的5種分布情況進(jìn)行了實(shí)際測(cè)試。測(cè)試共采用了3臺(tái)紀(jì)銘衡器的JM-B500g/0.001 g電子天平，天平測(cè)量前均進(jìn)行了高精度砝碼的校準(zhǔn)。每一種配重鋼球分布的測(cè)量均采用了3種測(cè)量辦法，包括千斤頂法、機(jī)輪法、本文提到的面內(nèi)移動(dòng)法等。然后對(duì)測(cè)量得到的重心位置和實(shí)際重心位置進(jìn)行誤差分析，并按公式（11）記錄誤差

式中：GT為測(cè)量得到的重心坐標(biāo)；G0為實(shí)際的重心位置坐標(biāo)；d為隔間的中心間距。最終得到測(cè)試結(jié)果見表2。

從表2中可以看出，傳統(tǒng)的千斤頂法和機(jī)輪法的測(cè)量精度總體都是比較好的，在對(duì)5種重心分布的測(cè)量中誤差均未超過4%，面內(nèi)移動(dòng)法的測(cè)量結(jié)果誤差偏大，并且測(cè)量精度存在發(fā)散。表2的結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的重心測(cè)量互動(dòng)模型裝置能夠有效地用于檢驗(yàn)重心測(cè)量算法的可行性和精度。

此外，利用該測(cè)試模型還在基礎(chǔ)力學(xué)課程教學(xué)中開展了“重力盲盒”的互動(dòng)游戲?qū)嶒?yàn)。游戲中，將2個(gè)配重鋼球按不同分布放置在所制作的模型裝置中，然后通過上下蓋板封閉使之成為一個(gè)“盲盒”。學(xué)生使用3個(gè)電子秤和自己設(shè)計(jì)的重心測(cè)試方法，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成重心位置的測(cè)量和配重鋼球的分布測(cè)定。該實(shí)驗(yàn)不同于一般的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的興趣很高，證明該模型對(duì)基礎(chǔ)力學(xué)教學(xué)也有幫助。

6 ?結(jié)束語

無人機(jī)重心測(cè)量是關(guān)系飛行器安全和操控的重要因素之一。該文提出了一種簡(jiǎn)便可靠的，用于重心測(cè)量算法可行性和精度驗(yàn)證的互動(dòng)模型裝置。裝置利用陣列式隔間和精密鋼球?qū)崿F(xiàn)了對(duì)重心分布的精確與多樣調(diào)節(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張安.探討飛機(jī)重量與重心測(cè)量技術(shù)的應(yīng)用與發(fā)展[J].科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新，2019（23）：40-41.

[2] 賈恒信，張志剛，李明波，等.千斤頂式飛機(jī)重量重心測(cè)量系統(tǒng)的研究及應(yīng)用[J].衡器，2014，43（9）：12-17.

[3] 姜東曉，何建新，曹俊，等.機(jī)輪法在某型號(hào)通用飛機(jī)重心測(cè)量的應(yīng)用與分析[J].通訊世界，2019，26（12）：4-5.

[4] 李鵬宇，姚天祺.低成本飛機(jī)重量重心測(cè)量方法研究[C]//2020中國航空工業(yè)技術(shù)裝備工程協(xié)會(huì)年會(huì)論文集，2020.

[5] 朱金華，范洪亮，劉傳鑫，等.飛機(jī)重量與重心測(cè)量系統(tǒng)的研究[J].新技術(shù)新工藝，2019（1）：58-61.

[6] 王國剛，劉玉寶，劉強(qiáng)，等.一種測(cè)量無人機(jī)重心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法[J].航空兵器，2013（5）：7-11.