［摘 要］ 文章以“數(shù)列”的概念為例，從APOS理論所提的四個階段（活動階段、過程階段、對象階段與圖式階段）入手設計概念教學，并從“注重教學思想”“細化教學理論”“擇取教學方式”三個方面談一些思考.

［關鍵詞］ APOS理論；概念教學；數(shù)列

APOS理論是杜賓斯基等人在研究概念教學過程中提出的一種學習理論，該理論認為學習是知識建構的過程，“反省抽象”是促進學生優(yōu)化學習方式，實現(xiàn)深度學習的基礎. APOS理論認為數(shù)學學習需要經歷活動、過程、對象與圖式四個階段，學生的思維在這四個階段中轉化與升華. 本文以“數(shù)列”的概念為例，探討如何在教學中踐行APOS理論.

APOS理論模式

杜賓斯基認為個體在概念學習時需借助“心智結構”賦予概念一定的意義，心智結構的構建一般經歷如下四個階段.

1. 活動（Action）階段

心智結構的活動階段是指個體遵循一定的操作或記憶指令，對數(shù)學對象形成初步認識的過程. 此為學習的基本操作活動，如將學生的行為變化外顯與意向變化作為記憶指令，即通過適當?shù)耐獠炕顒哟碳?，讓學生對數(shù)學概念形成一定的認識與體驗，并發(fā)現(xiàn)背景環(huán)境與概念之間存在怎樣的聯(lián)系.

2. 過程（Process）階段

該階段是指在多次活動之后，學生對活動內容進行分析與反思，形成思維內化與壓縮，這是將外部活動內化成“過程”的心理變化. 這里的“過程”無需外部刺激，學生就能在腦海中實施活動，甚至可逆轉或組合整個活動.

例如橢圓的教學，教師借助GeoGebra軟件畫圖，學生在此基礎上對橢圓的形成獲得明確的認識，這樣在后續(xù)學習中，在沒有工具輔助的情況下，學生通過自己的想象也能在腦海中構建出完整的橢圓圖形.

3. 對象（Object）階段

隨著個體意識的進一步深入，學生能從整體層面對“過程”進行轉換與操作，那么“對象”則會自然而然地刻畫在學生的腦海中，為后續(xù)學習奠定基礎. 需要應用該知識時，大腦可以將這部分知識內容解壓縮，再現(xiàn)對象形成過程，使概念能在學生腦海中形成一種靜態(tài)的結構關系——實體.

4. 圖式（Schema）階段

當學生對活動、過程與對象進行整合后，形成數(shù)學概念的綜合圖式，此階段需要投入較多的精力與時間才能完成. 數(shù)學概念的綜合圖式，隨著對知識認識的逐步深入而完善，即將所學知識與其他相關內容結合構建綜合圖式，為建構完整的數(shù)學知識體系奠定基礎.

綜上分析，APOS理論實則為一個循環(huán)反饋系統(tǒng)，學生在“活動”中壓縮腦海中的“過程”，并將它轉化為“對象”，必要時又將“對象”解壓為“過程”，學生的思維經歷多次反復循環(huán)，最終形成綜合“圖式”（如圖1所示）.

基于APOS理論的概念教學設計

概念教學切忌灌輸，應結合學生真實的認知水平，將概念形成過程循序漸進地呈現(xiàn)出來，讓學生經歷觀察、辨別、猜想、驗證等過程. 以“數(shù)列”的概念為例，基于APOS理論設計如下四個階段：①辨認分化階段；②檢驗概括階段；③推廣階段；④形式階段.

1. 活動階段——辨認分化階段

活動1 探索數(shù)列的屬性.

（1）教師借助PPT展示花瓣圖（圖略），圖中顯示各朵花分別有3，5，8，13， 21，…片花瓣.

（2）呈現(xiàn)古印度國王與棋盤和麥粒的小故事.

（3）如圖2所示，每幅圖中的點分別對應數(shù)字1，3，6，10，….

如圖3所示，每幅圖中的點分別對應數(shù)字1，4，9，16，….

設計意圖 設置經典情境意在激發(fā)學生的探究興趣，滲透數(shù)學文化，讓學生自主揭開“數(shù)列”的面紗，感知數(shù)列源于生活的真諦，為更好地辨認數(shù)列奠定基礎.

此過程抽象的是研究對象在空間形式與數(shù)量關系方面的共同本質屬性，而非物理屬性. 顯然，每一種物品或事物都有各自的特點，又有相似的地方. 每幅圖所表示的數(shù)與圖中的序列號均有關系，從中也能發(fā)現(xiàn)同一個數(shù)字具備不同的屬性特征.

2. 過程階段——檢驗概括階段

活動2 抽象數(shù)列的概念.

（1）數(shù)列3，2，1與數(shù)列1，2，3是否為同一數(shù)列？（不是，它們的順序不同.）

（2）說說數(shù)列與集合在記法上的異同點是什么. （數(shù)列中的數(shù)具有順序性且可以相同，而集合中的各個元素沒有順序性且有互異性.）

設計意圖 上述兩個問題的提出，意在深化學生對數(shù)列概念的理解，明晰數(shù)列的有序性與可重復性，同時與集合中的元素進行辨析，進一步深化學生對數(shù)列概念的認識.

隨著以上探究活動的實施，學生自主獲得了數(shù)列概念的文字與符號表達式，其中要引起學生關注數(shù)列項與項數(shù)的區(qū)別，以及a與｛a｝的關系.

3. 對象階段——推廣階段

活動3 甄別函數(shù)解析式與數(shù)列通項公式.

（1）說說函數(shù)解析式y(tǒng)=f（x）與數(shù)列通項公式a=f（n）的區(qū)別.

我們可將數(shù)列視為定義域是正整數(shù)集（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）的函數(shù)a=f（n）. 也就是說，自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值，可獲得對應的一列函數(shù)值. 兩者最大的區(qū)別在于定義域上，函數(shù)的定義域可為任意的非空數(shù)集，而數(shù)列的定義域只能是正整數(shù)集（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）.

（2）函數(shù)y=2x+1的圖象與通項公式為a=2n+1的數(shù)列的圖象相同嗎？

設計意圖 學生通過兩者對比，自主發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式與數(shù)列通項公式的異同點，充分感知數(shù)列屬于一種特殊的函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上.

4. 圖式階段——形式階段

活動4 判斷數(shù)列的單調性.

（1）通過以上探索，我們都知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，那么能否利用函數(shù)求最值的方法來獲得數(shù)列的最大項或最小項呢？

（2）怎樣確定數(shù)列｛a｝的單調性？

設計意圖 問題（1）的提出意在引導學生借助函數(shù)的性質獲得數(shù)列的最大項或最小項，值得注意的是這兩者之間有一定的差異，即數(shù)列｛a｝中的n∈N*. 問題（2）意在引導學生從數(shù)列的單調性出發(fā)，來比較a與a的大小，這對發(fā)展學生的邏輯推理能力與數(shù)學運算能力具有重要意義.

幾點思考

1. 注重教學思想

知識的形成需要經歷循序漸進的過程，每一個數(shù)學概念并非獨立的個體，課堂上有限的時間并不能完全闡述清楚各個概念的內涵與外延. 因此，教師應更新教學思想，從“大概念”的角度出發(fā)，將概念置于相應的單元或學科體系中進行教學，讓學生從宏觀的角度認識它的本質，這對完善學生的知識結構具有重要意義.

2. 細化教學理論

APOS理論的應用為數(shù)學教學提供了方法指導與理論支撐. 教師應用APOS理論時，可結合學生的實際認知水平適當?shù)馗倪M與細化教學流程，從真正意義上做到因材施教. 如活動階段，教師就可以結合學情創(chuàng)設恰當?shù)那榫?，深化學生對知識的了解，培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界的能力.

3. 擇取教學方式

在概念教學時，教師可根據概念特征基于APOS理論擇取合適的方式. 若學生對概念已經有了初步認識，可以“同化”為方向實施教學；若學生對概念毫無基礎，可擇取概念形成的方式實施教學. 不論哪種教學方式的應用，其目的都是讓學生能用數(shù)學概念解決實際問題，這是實施教學的宗旨，也是提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的基本保障.

總之，時代的發(fā)展孕育著大量新的研究理論. APOS理論之所以能在眾多教育理論中脫穎而出，是因為它不僅為數(shù)學教學提供了指導，更重要的是為圖式水平的劃分提供了參考. 因此，APOS理論是一種關注學生思維發(fā)展走向的教育教學理論，是值得探討與研究的理論.