［摘 要］ 高中數(shù)學(xué)學(xué)科具有較強的抽象性與邏輯性，很多學(xué)生對定義存在理解困難，對解題存在認知障礙. 巧用問題驅(qū)動實施教學(xué)，可從一定意義上提升學(xué)生在課堂中的探究效率，從而更好地梳理知識結(jié)構(gòu)，理解知識本質(zhì)，提高解題效率. 研究者以“雙曲線”的拓展教學(xué)為例，分別從研究緣起、教學(xué)實踐與教學(xué)思考三個方面展開探索.

［關(guān)鍵詞］ 問題；探究；拓展

以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教學(xué)更關(guān)注學(xué)生探究意識與思維能力的培養(yǎng). 借助問題驅(qū)動學(xué)生的思維，讓學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)的視角去認識生活實際問題，并形成解決問題的能力是發(fā)展核心素養(yǎng)的重要途徑之一［1］. 從數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程來看，數(shù)學(xué)每一次的重大發(fā)現(xiàn)與突破都與問題有著密不可分的聯(lián)系，一些數(shù)學(xué)問題的解決促使數(shù)學(xué)理論的發(fā)展. 因此，借助問題驅(qū)動教學(xué)的模式值得深入探索與推廣，它是學(xué)生提升探索能力與學(xué)習(xí)能力的重要通道.

研究緣起

學(xué)海無涯. 學(xué)習(xí)過程中難免遇到一些困惑，如學(xué)習(xí)雙曲線之后，一些思維活躍的學(xué)生對雙曲線的概念就產(chǎn)生了疑惑：初中階段研究的反比例函數(shù)圖象為雙曲線，高中階段探索的雙曲線與之是不是同一個東西呢？除了反比例函數(shù)之外，還存在其他可以描述雙曲線的方程嗎？為了幫助學(xué)生解開這個謎團，筆者特地設(shè)計了本節(jié)課教學(xué)，以期通過問題驅(qū)動的方式來拓展學(xué)生對雙曲線的認識.

教學(xué)實踐

1. 反比例函數(shù)圖象、分式函數(shù)圖象與雙曲線之間的關(guān)系的探索

（1）函數(shù)y=的圖象的探索

以雙曲線的定義為教學(xué)起點，引導(dǎo)學(xué)生通過兩個定點的探索，感知這兩定點與反比例函數(shù)上的任意點之間的距離差的絕對值是定值，而且這兩定點之間的距離大于該定值.

師：首先我們一起來探索反比例函數(shù)y=.

問題1 倘若M（x，y）為反比例函數(shù)y=圖象上的一點，探尋定點P（x，y），Q（x，y），使得PM -QM 為一個固定的數(shù)值.

面對這個問題，學(xué)生表示無從下手，于是筆者啟發(fā)如下：關(guān)于點P（x，y），Q（x，y）的探尋，可以嘗試從雙曲線的定義與性質(zhì)著手.

生1：點P，Q必然位于反比例函數(shù)y=圖象的對稱軸上.

師：它的對稱軸是什么呢？

生2：對稱軸為直線y=x，倘若咱們探尋的點為P（a，a）與Q（b，b），這兩點必然關(guān)于原點對稱，故這兩點坐標可重新設(shè)成P（a，a）與Q（-a，-a），列式為MP -MQ =

-

.

問題2 想要確定PM -QM 是不是常數(shù)，該怎么處理？

生3：可通過運算來分析，主要思考式子中a取什么值的時候，式子（x-a）2+

-a

能以代數(shù)式的平方來表達. 因為=，假設(shè)x+=t（t≤-2或t≥2），則（x-a）2+

-a

=t2+2a2-2at-2=（t-a）2+a2-2，得a2=2，也就是當a=±時，（x-a）2+

-a

=（t±）2. 即當M（x，y）為反比例函數(shù)y=第一象限的圖象上的點時，且t≥2，PM -QM =2恒為常數(shù). 與之類似，若M（x，y）為反比例函數(shù)y=第三象限的圖象上的點時，且t≤-2，MP -MQ =2同樣恒為常數(shù)，且2<PQ=4.

師：很完整，以上探索明確反比例函數(shù)y=的圖象必然為雙曲線形狀. 該特殊情況可否推廣到一般呢？

問題3 分析反比例函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象形狀是不是雙曲線.

有了以上探索作為方法基礎(chǔ)，學(xué)生通過合作交流很快就獲得定點（k，k）和（-k，-k）滿足雙曲線的定義.

至此，有些教師認為該探究結(jié)束了. 事實上，學(xué)生的潛能是無窮的，教師還可以帶領(lǐng)學(xué)生進入深層次探究，借助問題驅(qū)動學(xué)生的思維引發(fā)聯(lián)想，為學(xué)生實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)與發(fā)展創(chuàng)新意識做鋪墊.

（2）坐標軸旋轉(zhuǎn)公式的探索

問題4 關(guān)于反比例函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象，大家通過探索都已經(jīng)明確了. 有沒有同學(xué)想過這樣一個問題：反比例函數(shù)y=的圖象是雙曲線，但雙曲線的標準方程與y=的差異太大了些，這是為什么呢？

學(xué)生沉默，一名學(xué)生猶豫地提出：“是不是與坐標系有關(guān)？”

師：這個思維跨度有些大，想法很好，值得探索. 接下來我們就從坐標軸旋轉(zhuǎn)的角度來分析，類似于物理的參照物，坐標軸旋轉(zhuǎn)本身就是因為參照系發(fā)生了改變，導(dǎo)致點的坐標發(fā)生了變化，與之對應(yīng)的方程必然也會發(fā)生改變.

此環(huán)節(jié)比較抽象，學(xué)生理解起來有些困難，因此需要教師加以點撥.

師：坐標軸的旋轉(zhuǎn)是指坐標的單位長度與位置都不發(fā)生改變，僅僅將坐標軸的方向進行變化. 現(xiàn)在我們要探索這樣兩個問題：坐標軸圍繞原點進行旋轉(zhuǎn)，坐標系內(nèi)的點會隨之怎么改變？這個問題怎么轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題？

生4：我用數(shù)學(xué)語言來描述這個問題，假設(shè)點M（x，y）是平面直角坐標系xOy內(nèi)的一點，若該坐標系的坐標軸逆時針旋轉(zhuǎn)角θ，此時的平面直角坐標系為x′Oy′，旋轉(zhuǎn)后的點M位于（x′，y′）處，那么（x，y）與（x′，y′）之間的關(guān)系是什么？

師：旋轉(zhuǎn)坐標軸時，什么條件發(fā)生了變化，什么條件沒有發(fā)生變化？

生5：如圖1所示，原點與點M之間的距離沒有發(fā)生變化，但旋轉(zhuǎn)之后的角度發(fā)生了變化.

師：因此我們該怎么探索這個問題呢？

生6：假設(shè)OM=r，則x=rcosα，

y=rsinα.旋轉(zhuǎn)坐標軸后獲得一個新的坐標系x′Oy′，此時點M的坐標是（x′，y′），則x′=rcos（α-θ），

y′=rsin（α-θ），即x′=xcosθ+ysinθ，

y′=ycosθ-xsinθ.

師：除此之外，還可以怎么理解？

生7：借助逆向思維分析，即將坐標系xOy視為坐標系x′Oy′順時針旋轉(zhuǎn)角θ或逆時針旋轉(zhuǎn)角-θ而來的，因此列式為x=x′cosθ-y′sinθ，

y=y′cosθ+x′sinθ.

至此，學(xué)生在探索中獲得了相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)公式. 但拓展教學(xué)并未畫上句號，而應(yīng)隨著學(xué)生的思維順勢而上，以旋轉(zhuǎn)公式為跳板，繼續(xù)探尋雙曲線與一次分式函數(shù)圖象之間的聯(lián)系.

拓展1 分析一次分式函數(shù)y=（p≠0）的圖象與雙曲線之間的聯(lián)系.

師：眾所周知，反比例函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象經(jīng)平移可得一次分式函數(shù)的圖象，既然大家對反比例函數(shù)圖象為雙曲線有了明確認識，接下來，就從轉(zhuǎn)化坐標軸的角度來討論它們圖象之間的聯(lián)系.

問題5 y=±x為反比例函數(shù)圖象的對稱軸所在的直線方程，x軸、y軸為雙曲線的對稱軸，若將坐標軸旋轉(zhuǎn)至與y=±x重合的位置，情況是怎樣的呢？

生8：坐標系xOy以原點為中心，順時針旋轉(zhuǎn)后獲得坐標系x′Oy′，那么原來y=上的點P（x，y）就轉(zhuǎn)變成了點P′（x′，y′），則

x=x′+

y′，

y=

y′-x′，代入y=可得

x′+y′

·

y′-x′

=k，化簡得y′2-x′2=2k.

師：通過以上探索發(fā)現(xiàn)，隨著坐標軸的旋轉(zhuǎn)，等軸雙曲線的標準方程和反比例函數(shù)的解析式之間存在一致性.

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生自主交流，提煉出如下結(jié)論：一次分式函數(shù)y=（p≠0）的圖象為等軸雙曲線.

2. 雙曲線與對勾函數(shù)圖象之間的關(guān)系的探索

拓展2 關(guān)于y=mx+（mn≠0）（對勾函數(shù)）的圖象的探索.

問題6 大家對函數(shù)y=mx+的圖象存在兩條漸近線非常熟悉，該特點和雙曲線有高度相似性，那么對勾函數(shù)的圖象是雙曲線嗎？

為了幫助學(xué)生厘清探索思路，筆者通過問題啟發(fā)的形式與學(xué)生展開交流.

師：若明確點P與兩個定點A（1，2），B（-1，-2）之間的距離差的絕對值為4，則點P的軌跡方程是什么？

生9：假設(shè)點P（x，y），根據(jù)題設(shè)條件可得4=

-

，經(jīng)化簡得y=+x.

師：很好，在探索過程中，大家有沒有發(fā)現(xiàn)該曲線與雙曲線也有關(guān)系？y=+x從本質(zhì)上來說就是一個對勾函數(shù)，據(jù)此你們有什么想法？

生10：結(jié)合以上探索，猜想y=mx+（mn≠0）的圖象為雙曲線.

師：這個猜想是否成立呢？現(xiàn)在請大家合作交流并驗證，然后將結(jié)論展示出來.

生11：從函數(shù)y=mx+（mn≠0）的圖象來看，它的漸近線分別是y=mx與x=0，將坐標系xOy的坐標軸順時針旋轉(zhuǎn)角θ或逆時針旋轉(zhuǎn)角-θ獲得坐標系x′Oy′，-=1的圖象（雙曲線）有一條漸近線y′軸. 若點P（x，y）是雙曲線-=1位于坐標系xOy內(nèi)的一點，與之相對應(yīng)的在坐標系x′Oy′內(nèi)的點為P′（x′，y′），則x=x′cosθ+y′sinθ，

y=-x′sinθ+y′cosθ. 假設(shè)銳角α為-=1的一條漸近線的傾斜角，那么α+θ=. 因為tanα=，所以sinα

=，

cosα

=，sinθ

=，

cosθ

=.根據(jù)點P（x，y）至點P′（x′，y′）的旋轉(zhuǎn)公式得

x′=·

x-·y，

y′=·

x+·y，即

x=·

x′+·y′，

y=-·x′

+·y′，則焦點F（c，0）轉(zhuǎn)化成點F′（b，a），同時頂點A（a，0）轉(zhuǎn)化成A′

，

，那么-=1的標準方程就轉(zhuǎn)化成-=1，經(jīng)化簡得y′=+x′（對勾函數(shù)）.

由此，師生通過共同探索，得到結(jié)論：-=1（雙曲線的標準方程）的圖象經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，使y軸與其漸近線重合，獲得y=mx+（mn≠0）（對勾函數(shù)）的圖象.

3. 關(guān)于雙曲線方程的探索

拓展3 探索中心點位于原點的雙曲線的方程.

問題7 已知-=1為坐標系xOy內(nèi)的雙曲線的標準方程，若將坐標系xOy順時針旋轉(zhuǎn)角θ或逆時針旋轉(zhuǎn)角-θ獲得一個新的坐標系x′Oy′，則x′Oy′內(nèi)的雙曲線的方程是怎樣的？

生12：假設(shè)坐標系xOy中的點P（x，y）位于坐標系x′Oy′中是P′（x′，y′），則x=x′cosθ+y′sinθ，

y=-x′sinθ+y′cosθ，將其代入-=1可得-a2（-x′sinθ+y′cosθ）2+b2（x′cosθ+y′sinθ）2=a2b2，經(jīng)化簡得雙曲線方程（b2cos2θ-a2sin2θ）x′2+2sinθ·cosθ（a2+b2）x′y′+（b2sin2θ-a2cos2θ）·y′2=a2b2①.

結(jié)合前面的探索得到結(jié)論：若b2sin2θ-a2cos2θ=0，也就是當tanθ=時，①式就轉(zhuǎn)化成y′=+x′（對勾函數(shù)）；當a=b，且cos2θ≠0時，①式就是x′2+2x′y′tan2θ-y′2=（等軸雙曲線）；當a=b，且θ=時，①式就是y′=（反比例函數(shù)）.

幾點思考

1. 問題是啟發(fā)探究行為的起點

數(shù)學(xué)課堂由多個問題構(gòu)成，想要激起學(xué)生的探究行為，教師在課前除了研究教材與課標要求，還要研究學(xué)生，并基于學(xué)生的實際認知水平提出恰當?shù)膯栴}，讓學(xué)生的思維隨著問題的提出逐漸深入，由此進入真正意義上的探索狀態(tài).

本節(jié)課，筆者根據(jù)本班學(xué)生的實際情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生除了對反比例函數(shù)是雙曲線有所了解外，對其他的雙曲線一知半解. 因此，筆者就以此作為課堂教學(xué)重點，引導(dǎo)學(xué)生分別從不同的維度拓展知識面，通過探索問題讓學(xué)生對雙曲線產(chǎn)生更加深刻的理解，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu).

2. 總結(jié)提煉是提高探究效率的關(guān)鍵

師生、生生積極的互動與交流可提高探索效率，然而有些教師只關(guān)注“過程性”教學(xué)，不關(guān)注探索活動的總結(jié)與反思，導(dǎo)致學(xué)生雖然經(jīng)歷了探究過程，但因為缺乏總結(jié)與提煉，無法形成完整的知識結(jié)構(gòu)，只能做到知其然而不知其所以然的狀況. 實踐證明，總結(jié)與反思是構(gòu)建學(xué)生認知結(jié)構(gòu)不可或缺的環(huán)節(jié).

如本節(jié)課，學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)中雖然存在反比例函數(shù)與對勾函數(shù)等知識，對雙曲線也有所了解，但這些知識都是以獨立的形態(tài)存在的. 課堂上，在問題的驅(qū)動下，學(xué)生將零散的知識有機地融合到一起，驚喜地發(fā)現(xiàn)了它們之間的關(guān)系. 這一發(fā)現(xiàn)進一步深化了學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，為構(gòu)建完整的知識體系創(chuàng)造了條件.

3.過程評價是提高探究效率的催化劑

新課標引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)要將評價貫穿課堂的始終，即關(guān)注“過程性評價”的重要性. 想要提高課堂探究效率，就要關(guān)注到課堂每一個探究過程的評價，此為提升探究活動效率的催化劑. 如本節(jié)課，在師生互動過程中，筆者對學(xué)生所反饋的每一個問題或解題思路，都及時給予點評與引導(dǎo)，以此不斷推動學(xué)生的探究行為，讓探究過程更加豐富，獲得的結(jié)論更加精確. 實踐證明，恰如其分的評價可幫助學(xué)生更清晰地認識自己，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

總之，巧用問題驅(qū)動是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力，提升學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力的重要方式之一. 教師應(yīng)在教學(xué)前做好精心預(yù)設(shè)，為教學(xué)時能更好地點撥與引導(dǎo)學(xué)生打下基礎(chǔ). 同時，課堂上與學(xué)生積極的互動，以及恰當?shù)脑u價可促使學(xué)生將感性思維轉(zhuǎn)向理性思維，此為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑.

參考文獻：

［1］ 陳德燕. 基于情境、問題導(dǎo)向的探究體驗式課堂教學(xué)實踐［J］. 數(shù)學(xué)通報，2020，59（4）：35-38.