摘 要：【目的】解決高速公路平面坐標(biāo)系的建立問題，提高平面坐標(biāo)系的測(cè)設(shè)精度，有效確保工程建設(shè)質(zhì)量?！痉椒ā扛鶕?jù)高斯正形投影誤差計(jì)算公式和誤差限差理論，分析高斯正形投影誤差的組成及各部分的大小，利用平移量計(jì)算高速公路平面坐標(biāo)系的中央子午線和投影高，將標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下控制點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為新坐標(biāo)系下坐標(biāo)?！窘Y(jié)果】對(duì)新坐標(biāo)進(jìn)行精度驗(yàn)算，兩點(diǎn)間通過坐標(biāo)反算獲得的平距與實(shí)測(cè)平距的差值處于允許范圍之內(nèi)，建立了滿足高速公路工程精度需要的新坐標(biāo)系?！窘Y(jié)論】實(shí)踐表明：高速公路平面坐標(biāo)系可根據(jù)計(jì)算所得的中央子午線和投影高來建立具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系，且新建平面坐標(biāo)系下各控制點(diǎn)的變形量都能滿足規(guī)范精度與設(shè)計(jì)要求。

關(guān)鍵詞：平面控制測(cè)量；任意帶；高斯投影；高程投影面

中圖分類號(hào)：P217????? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A???? 文章編號(hào)：1003-5168（2024）08-0066-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.08.013

Exploration Problems of Establishing the Plane Coordinate System for

Highways

HU Yi

（Sichuan Transportation Survey and Design Research Institute Co.， Ltd.， Chengdu 610017， China）

Abstract： [Purposes] This paper aims to solve the problem of establishing a plane coordinate system for highways， improve the measurement accuracy of the plane coordinate system， and effectively ensure the quality of engineering construction. [Methods] Based on the calculation formula and error tolerance theory of Gaussian conformal projection error， the author analyzed the composition of Gaussian conformal projection error and the size of each part. Using the translation amount， the central meridian and projection height of the highway plane coordinate system were calculated， and the control point coordinates under the standard coordinate system were transformed into coordinates under the new coordinate system. [Findings] The accuracy of the new coordinates was checked， and the difference between the horizontal distance obtained through coordinate inverse calculation and the measured horizontal distance between the two points was within the allowable range. A new coordinate system was established to meet the accuracy requirements of highway engineering. [Conclusions] Practice has shown that the plane coordinate system of highways can be established into any Gaussian orthomorphic projection plane rectangular coordinate system with compensated elevation plane based on the calculated central meridian and projection height， and the deformation of each control point under the new plane coordinate system can meet the specification accuracy and design requirements.

Keywords： plane control survey; arbitrary band; gaussian projection; elevation projection surfaces

0 引言

隨著我國(guó)高速公路建設(shè)由平原丘陵地區(qū)向山區(qū)不斷延伸，工程建設(shè)技術(shù)要求不斷提高，新興勘察技術(shù)不斷地被應(yīng)用，國(guó)家統(tǒng)一的3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系［1］難以滿足現(xiàn)階段高速公路建設(shè)的需要，特別是特大橋、特長(zhǎng)隧道的投影變形量應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于基本變形量25 mm/km［2］，因此，在高速公路初步設(shè)計(jì)階段，結(jié)合線路走向、線路設(shè)計(jì)高度、沿線重要構(gòu)筑物尺寸等，建立合理有效的線路平面坐標(biāo)系，以控制投影變形對(duì)工程建設(shè)的影響，從而保證工程各階段的順利實(shí)施。

具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系不僅能高效控制投影變形，還能與3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系建立聯(lián)系，被廣泛應(yīng)用于工程建設(shè)各個(gè)階段。通過分析投影變形引起的誤差，可以建立滿足項(xiàng)目需求且具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系［3-6］，從而作為高速公路的平面坐標(biāo)系。

1 投影變形分析

地球形狀是橢球形，是一種立體的形狀，應(yīng)使用三維坐標(biāo)才能對(duì)其進(jìn)行表達(dá)。然而，在工程建設(shè)中常使用二維坐標(biāo)。為了將三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為二維坐標(biāo)，通常使用高斯正形投影將橢球面上的元素投影到平面上。在這個(gè)過程中，角度不發(fā)生變化，但長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變形。這個(gè)變形量的大小由實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)歸算到橢球面上時(shí)產(chǎn)生的變形量和橢球面上邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面上時(shí)產(chǎn)生的變形量共同決定［7］。可由式（1）、式（2）、式（3）求得。

[△s1= -sHmR] （1）

[△s2≈s0y2m2R2m] （2）

[△s=△s1+△s2≈ y2m2R2m-HmRs]?? （3）

以上式中：[Hm]為歸算邊高出參考橢球面的平均高度，m；[s]為歸算邊的長(zhǎng)度，m；[R]為歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑，m；[ym]為歸算邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)平均值，m；[Rm]為參考橢球面平均曲率半徑，m；[s0]為投影到參考橢球面上的歸算邊長(zhǎng)度，m，[s0=s+△s1]。

當(dāng)取[Rm]≈R=6 371 393 m時(shí)，根據(jù)式（3）計(jì)算可得每公里投影變形隨[ym]和[Hm]變化的情況，見表1。

由式（1）、式（2）、式（3）和表1，可以歸納出高斯投影變形有以下特征：①在將地面實(shí)測(cè)長(zhǎng)度歸算至參考橢球體面上時(shí)，長(zhǎng)度總是變短。變形量的大小與歸算邊相較于參考橢球面的平均高度的差值呈正相關(guān)。②橢球面上長(zhǎng)度歸算至高斯面上，長(zhǎng)度總是變長(zhǎng)，距離中央子午線越遠(yuǎn)變形越大。③以上兩種變形符號(hào)相反，且在一定的范圍內(nèi)，可以實(shí)現(xiàn)兩種變形的相互抵消。

2 建立原理

高速公路工程是典型的線性工程，呈帶狀，沿線地形地貌變化多端，特別是線路呈東西走向、橫跨國(guó)家統(tǒng)一3°帶或者處于地形起伏變化巨大的地區(qū)時(shí)，投影變形量幾乎無法滿足25 mm/km的基本要求。因此，需要根據(jù)具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系的特性，選擇合適的中央子午線、投影面高度，建立高速公路平面坐標(biāo)系。結(jié)合投影變形計(jì)算公式，滿足投影變形要求的條件式可以表示為式（4）。

[|y2m2R2m-HmR|≤140 000]??????? （4）

式（4）展開后得式（5）。

[ y2m2Rm-R4 000≤Hm≤y2m2Rm+R4 000]???????? （5）

式中：[R]、[Rm]近似相等。

3 平面坐標(biāo)系的建立

本研究以某全長(zhǎng)約60 km、呈南北走向，且全線處于國(guó)家3°帶坐標(biāo)系第35帶中的高速公路工程為實(shí)例，結(jié)合具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系的建立原理，建立高速公路工程的平面坐標(biāo)系。

3.1 控制點(diǎn)埋設(shè)測(cè)量及變形驗(yàn)算

根據(jù)該高速公路初步設(shè)計(jì)階段基本穩(wěn)定的線路平面及設(shè)計(jì)高度，依據(jù)相應(yīng)規(guī)范，在路線沿線埋設(shè)90個(gè)控制點(diǎn)。利用4臺(tái)GNSS接收機(jī)，采用邊連式的方式對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，并與3個(gè)國(guó)家點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)測(cè)，以獲得90個(gè)控制點(diǎn)在國(guó)家3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。依據(jù)式（3）檢驗(yàn)各控制點(diǎn)處的每公里投影變形量，最小變形量為-60.6 mm/km，最大變形量為-106.9 mm/km。由于沒有控制點(diǎn)滿足25 mm/km的投影變形要求，因此無法直接使用國(guó)家3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系作為線路平面坐標(biāo)系，需要另行設(shè)計(jì)。

3.2 繪制[ym—Hm]斷面圖

根據(jù)各控制點(diǎn)的[ym]值和[Hm]值，繪制控制點(diǎn)[ym—Hm]斷面。為了直觀顯示各控制點(diǎn)處的投影變形量與目標(biāo)量之間的差距，根據(jù)式（5）繪制滿足25 mm/km要求的投影變形區(qū)域界限，如圖1所示。

圖1中滿足25 mm/km投影變形要求的區(qū)域位于兩條二次曲線之間，所有控制點(diǎn)的斷面均不滿足投影變形要求。為了使斷面處于允許的變形區(qū)域內(nèi)，需要改變投影面的高度或移動(dòng)中央子午線。因此，可以采用具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系作為線路平面坐標(biāo)系。

3.3 投影高和中央子午線經(jīng)度的確定

將控制點(diǎn)[ym—Hm]斷面線移動(dòng)，使其處于投影變形要求的區(qū)域內(nèi)，如圖2所示。沿[Hm]軸方向移動(dòng)導(dǎo)致投影面高度發(fā)生變化，沿[ym]軸方向移動(dòng)導(dǎo)致中央子午線發(fā)生變化。

在圖2中，可直接獲取在[Hm]軸、[ym]軸方向上的平移量[-H0]、[-y0]。對(duì)直線[y=y0]與設(shè)計(jì)路線的交點(diǎn)（[x0]，[y0]），進(jìn)行高斯投影坐標(biāo)反算獲得其大地坐標(biāo)（[B0]，[L0]），最終獲得抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系的中央子午線為[L0]，投影高為[H0]。

經(jīng)計(jì)算，某高速公路平面坐標(biāo)系的中央子午線經(jīng)度為105°07′17″，投影面高580 m。

3.4 線路平面坐標(biāo)系下的變形驗(yàn)算

根據(jù)線路平面坐標(biāo)系的投影高及中央子午線，將各控制點(diǎn)的3°帶坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為路線平面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，將各控制點(diǎn)的大地高換算為相對(duì)于新的投影面的高程。然后對(duì)線路平面坐標(biāo)系下的各控制點(diǎn)進(jìn)行投影變形驗(yàn)算，以及對(duì)實(shí)測(cè)邊的邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差進(jìn)行計(jì)算，以確保各控制點(diǎn)的投影變形和相對(duì)中誤差滿足設(shè)計(jì)要求?？刂泣c(diǎn)變形驗(yàn)算結(jié)果見表2，邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差見表3。

各控制點(diǎn)處的投影變形量最小值為0.3 mm/km、最大值為23.3 mm/km；邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差最小值為-1/624 726、最大值為1/40 413。檢驗(yàn)結(jié)果表明：中央子午線為105°07′17″、投影高為580 m的具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系能夠滿足工程需要。

4 結(jié)論與建議

具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系是一種能夠高效控制投影變形的坐標(biāo)系統(tǒng)。通過選擇合適的中央子午線和投影高，建立具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系，可以作為高速公路的平面坐標(biāo)系。本研究同時(shí)提出以下幾點(diǎn)建議。

①在控制點(diǎn)埋設(shè)時(shí)，相鄰控制點(diǎn)之間以及控制點(diǎn)與設(shè)計(jì)路線之間的高差應(yīng)盡量小，以防止因高差引起的變形量過大。

②在計(jì)算控制點(diǎn)處的投影誤差時(shí)，使用的高度是相對(duì)于投影面的大地高度。

③當(dāng)路線呈東西走向或者路線設(shè)計(jì)中的標(biāo)高高差起伏過大，一個(gè)平面坐標(biāo)系無法滿足全線的投影變形要求時(shí)，可以采用分段建立具有不同抵償高程面、不同帶高斯正形投影平面的直角坐標(biāo)系作為第二平面坐標(biāo)系。為了保證兩個(gè)平面坐標(biāo)系的良好銜接，需要確保兩個(gè)平面坐標(biāo)系有一定的重疊區(qū)域，并且重疊區(qū)域的投影變形在兩個(gè)平面坐標(biāo)系中均要小于或等于25 mm/km，且兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系的分割區(qū)域不能位于重大的構(gòu)筑物內(nèi)。

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收稿日期：2023-08-11

作者簡(jiǎn)介：胡毅（1989—），男，本科，工程師，研究方向：工程測(cè)量、激光雷達(dá)數(shù)據(jù)處理。