姚毅 黃行蓉 管曉樂 徐迅 張大義

摘要： 航空發(fā)動機轉子部件眾多，多部件高維復雜系統(tǒng)計算量大，導致動力學分析困難、計算時間長，進而影響轉子結構設計和動力學驗證的效率?；诓考B(tài)綜合方法，提出一種針對多部件高維復雜系統(tǒng)降維計算的多級模態(tài)減縮策略。對每個單獨的子結構利用固定界面模態(tài)減縮，并行減縮各子結構的內(nèi)部自由度，同時完整保留子結構間的耦合關系。通過子結構組合定義新一級的子結構，應用多級模態(tài)減縮策略提升降維減縮效果，結合多重模態(tài)減縮方法，構建界面分支模態(tài)，可顯著降低轉子有限元模型的維數(shù)，同時保留關鍵子結構的動力學特征和系統(tǒng)整體關鍵動力學特性。此計算策略被用于某彈用發(fā)動機轉子系統(tǒng)低維減縮模型的建立，利用減縮模型提升了轉子動力學分析的效率，加速軸承剛度參數(shù)的優(yōu)化設計。研究結果表明，與ANSYS計算相比，轉子動力學分析所需時間降低了99.5%，精度誤差不超過0.1%，該計算策略可用于多部件高維復雜系統(tǒng)的快速分析。

關鍵詞： 轉子動力學； 部件模態(tài)綜合； 多級模態(tài)減縮； 模態(tài)減縮； 部件優(yōu)化

中圖分類號： O347.6??? 文獻標志碼： A??? 文章編號： 1004-4523（2024）05-0737-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.05.002

引? 言

準確預測轉子系統(tǒng)的動力學特性，如臨界轉速等，對航空發(fā)動機等旋轉機械的結構設計和動力學優(yōu)化設計非常重要。有限元方法能夠充分模擬多部件轉子結構復雜的幾何、材料等結構特征，較為精確地計算轉子的動力學特性，在實際轉子的動力學分析和優(yōu)化設計中得到了廣泛應用［1?3］。然而，有限元方法的精確計算通常要求大量的自由度，轉子動力學特性預測需要在不同轉速下多次計算轉子結構的模態(tài)，需要大量的計算資源［4］。并且，在多部件轉子系統(tǒng)結構優(yōu)化設計中，對少數(shù)參數(shù)的調(diào)整（如軸承剛度參數(shù)）均需要重新計算轉子系統(tǒng)的動力學特性，進一步加重了計算資源的負擔，進而影響轉子系統(tǒng)結構設計的效率。如何在保證計算精度的前提下，實現(xiàn)多部件高維復雜模型的動力學特性快速分析成為轉子系統(tǒng)動力學優(yōu)化設計中不可回避的問題。

部件模態(tài)綜合方法是高維復雜模型常用的降維計算方法之一。左彥飛等［5?6］、馬威猛等［7］采用部件模態(tài)綜合方法減縮三維有限元轉子模型，能夠減少轉子模型87%的自由度數(shù)目，節(jié)省80%左右的計算資源。孫傳宗等［8］將固定界面模態(tài)減縮方法應用于單轉子和雙轉子系統(tǒng)的降維，通過對比臨界轉速和固有振動特性驗證了縮減模型的準確性?？芎＝龋?］建立了盤片軸一體化結構的低維減縮模型，給出了一種模態(tài)保留階數(shù)的選取原則。

對于多部件復雜結構，以傳統(tǒng)方式應用模態(tài)綜合方法建立的減縮模型自由度數(shù)量仍然很高，并且在模態(tài)綜合方法的應用過程中，模型矩陣的稀疏性會被破壞，甚至出現(xiàn)“自由度數(shù)量減少，計算量反而增加”的情況［10］。

多重模態(tài)減縮方法和多級模態(tài)減縮方法基于傳統(tǒng)模態(tài)綜合方法，進行多次減縮計算，進一步減少自由度數(shù)量，提升減縮效果。高峰等［11］應用雙重減縮建模方法建立了失諧葉盤的減縮低維模型，與實驗結果對比驗證了其準確性。黃行蓉等［12?13］、Yao等［14］結合對稱化方法提出適用于聲固耦合系統(tǒng)的多重模態(tài)減縮方法，并提出了一種選取模態(tài)保留數(shù)量的策略。Huang等［15］將多重模態(tài)減縮方法應用于控制優(yōu)化，以提升數(shù)值計算的效率。Jin等［16］在第一重模態(tài)減縮后進行模態(tài)拓展，提升雙重模態(tài)減縮方法的精度，并將其應用于雙盤轉子的減縮計算。Wang等［17］通過對比分析，發(fā)現(xiàn)雙重模態(tài)減縮和三重模態(tài)減縮兩種減縮方式的精度差別受子結構劃分方式的影響。和非線性模態(tài)理論結合，多重模態(tài)減縮方法越來越廣泛地被應用于非線性系統(tǒng)動力學特性的分析［18?19］。

多重模態(tài)減縮方法是根據(jù)子結構間耦合關系，依次對各子結構進行減縮降維，只能串行計算；而多級模態(tài)減縮方法在子結構劃分階段即區(qū)分了子結構間的從屬關系，同一級子結構的減縮可以同時進行，下級子結構減縮模型作為上級子結構的一部分參與上級子結構的減縮計算。Elssel等［20］采用“二叉樹”的形式分級劃分子結構，每一級子結構分解為兩個下級子結構自由度、交界處自由度和保留自由度，通過忽略下級子結構的高階模態(tài)，逐級組合得到整體模型的減縮模型。在大型轉子系統(tǒng)特征值求解中的應用證明了此多級模態(tài)減縮方法的有效性。但“二叉樹”形的子結構劃分方式不一定完全適應大型轉子結構各部件間的復雜耦合關系。

本文針對多部件高維復雜模型計算量大的問題，基于部件模態(tài)綜合方法，提出了一種多級模態(tài)減縮策略。首先，基于固定界面模態(tài)減縮方法，介紹了多級模態(tài)減縮策略的原理和流程。接著，利用彈簧單元等效模擬軸承，將其定義為關鍵子結構，通過某彈用發(fā)動機轉子系統(tǒng)的減縮建模實例，詳細說明了多級模態(tài)減縮策略，以及與多重模態(tài)減縮方法結合的應用過程。然后，借助該實例的減縮效果和修改關鍵子結構剛度參數(shù)后的動力學特性快速分析，證明了多級模態(tài)減縮策略的有效性和優(yōu)勢，為多部件高維復雜模型的快速分析、提升優(yōu)化設計效率提供了參考。

1 多級模態(tài)減縮方法

1.1 固定界面模態(tài)減縮方法

固定界面模態(tài)減縮方法是高維復雜結構降維過程中較為常用的方法之一，也被稱為Craig?Bampton方法［21］。將轉子系統(tǒng)分解為內(nèi)部子結構和界面子結構，轉子系統(tǒng)的動力學方程可寫為：

式中 K，G 和M 分別表示剛度矩陣、陀螺矩陣和質(zhì)量矩陣；X 表示位移；下標b 和i 分別用來標記界面子結構和內(nèi)部子結構；Ω 表示轉子轉速；Fe 為外部激勵力。

式中 U 表示位移振幅；j 表示虛數(shù)單位；ω 表示自由振動頻率；t 表示時間。

對內(nèi)部子結構進行減縮，其位移變量Ui 可以看作由兩部分組成：（1）當界面子結構被約束，作用在內(nèi)部子結構上的外載荷產(chǎn)生的位移；（2）由界面子結構引起的靜態(tài)位移。表示為：

Ui = Φi qi + ΨiUb （3）

式中 Φi 表示通過求解內(nèi)部子結構的自由度振動方程保留前Nir 階的模態(tài)得到的模態(tài)矩陣；qi 為對應的模態(tài)坐標；約束模態(tài)Ψi =-K -1ii Kib。

減縮變量關系可表示為：

式中 Ib 表示與Ub 維數(shù)對應的單位陣；Ti 為減縮矩陣。通過對內(nèi)部子結構的減縮，整體系統(tǒng)的維數(shù)降低，減縮后的自由振動方程為：

式中? 減縮內(nèi)部子結構后的各矩陣分別為：

1.2 多級模態(tài)減縮策略

為了解決多部件高維復雜結構計算的困難，本文基于固定界面模態(tài)減縮方法提出多級模態(tài)減縮策略。依據(jù)自然邊界，將多部件復雜結構劃分為n個一級子結構，且在各一級子結構內(nèi)部區(qū)分界面自由度和內(nèi)部自由度。將界面（boundary）自由度定義為和其他子結構有直接耦合的部分；內(nèi)部（interior）自由度和其他子結構沒有直接耦合關系，通過界面自由度和其他子結構間接耦合。

包括n個一級子結構的整體系統(tǒng)的自由振動方程可寫為：

式中 S = K + jωΩG - ω2 M；上標b 和i 表示界面自由度和內(nèi)部自由度；下標1，2 和n 表示子結構編號。

為減縮第k 個子結構內(nèi)部自由度，通過固定界面模態(tài)減縮方法構建減縮矩陣Tk，分為兩部分：（1）求解第k 個子結構內(nèi)部自由度的局部模態(tài)Φik，保留前N irk 階；（2）求解約束模態(tài)Ψ ibk 。最終組合得到減縮矩陣為：

式中 I 表示單位矩陣，其維數(shù)為N irk 。

應用Tk 減縮k 號子結構的內(nèi)部自由度，完成第一級模態(tài)減縮：

在結構減縮過程中，基于子結構內(nèi)部自由度和界面自由度的定義，對于k 號和k'號的兩個子結構，其耦合關系體現(xiàn)在子結構的界面自由度之間的耦合矩陣Sbbkk'，k ≠ k'中，該項在多級模態(tài)減縮的單獨一級模態(tài)減縮過程中不受影響，被完整保留在減縮子結構中，此特點可以保證子結構連接界面的動力學特性。

完成一次內(nèi)部自由度的減縮后，有可能出現(xiàn)“自由度減少，計算量反而增加”的現(xiàn)象。其原因為減縮前的大型多部件動力學模型中的各項矩陣均為稀疏矩陣，而在減縮計算中，模態(tài)矩陣Φik 和約束模態(tài)Ψ ibk均為稠密矩陣。經(jīng)過減縮計算，包括剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣在內(nèi)的各項矩陣均變稠密，導致計算量增加，數(shù)據(jù)存儲和矩陣計算更加困難。如果矩陣維數(shù)并未下降到一定量級，如103 量級，計算量仍然顯著，甚至會超過減縮前的計算模型。

為了解決該問題，本文提出多級模態(tài)減縮策略，提升模型降維的程度，進一步降低減縮模型的計算量。在完成第一級模態(tài)減縮后，將鄰近的若干一級子結構組合得到m 個二級子結構。將k 號二級子結構包含的自由度Vk 重新區(qū)分界面自由度V bk 和內(nèi)部自由度V ik，轉子整體系統(tǒng)的自由振動方程可寫為：

式中 組合若干一級子結構得到二級子結構的局部動力學系統(tǒng)SS = K + jωΩG - ω2 M；V 表示二級子結構的幅值。

對二級子結構的內(nèi)部自由度進行固定界面模態(tài)減縮，即可進一步降低整體系統(tǒng)的自由度數(shù)量。

在完成上一級子結構減縮計算后，評估子結構數(shù)量和自由度數(shù)量，如二者均比較多，則根據(jù)子結構耦合關系組合下一級的子結構，再次減縮其內(nèi)部自由度；如果子結構數(shù)量較少，而自由度數(shù)量較多，則可以應用多重模態(tài)減縮策略進一步減縮子結構自由度；如果自由度數(shù)量較少，則完成減縮計算，得到多部件高維復雜結構的減縮模型。

在結構優(yōu)化設計中，通常有部分結構參數(shù)需要多次調(diào)整，每次參數(shù)調(diào)整都需要進行動力學分析，計算其動力學特性，如航空發(fā)動機中的軸承剛度等。對于存在需要進行優(yōu)化設計部件的多部件大型復雜結構，可以將其定義為關鍵子結構，不參與模態(tài)減縮，從而被完整保留到減縮模型中，以便在減縮模型中直接替換關鍵子結構參數(shù)，避免重復進行減縮計算。

綜上，考慮關鍵子結構的多級模態(tài)減縮流程如下：

步驟1：確定需要進行優(yōu)化設計的部件，作為關鍵子結構。

步驟2：劃分子結構，將關鍵部件劃分為單獨子結構。

步驟3：根據(jù)子結構耦合關系，區(qū)別界面自由度和內(nèi)部自由度。

步驟4：對各子結構的內(nèi)部自由度進行減縮。

步驟5：將子結構間耦合項中的零矩陣縮減至減縮模型對應維數(shù)，得到一級減縮模型。

步驟6：評估子結構數(shù)量和自由度數(shù)量：如二者均比較多，則根據(jù)子結構耦合關系組合下一級的子結構，返回步驟3；如果子結構數(shù)量較少，而自由度數(shù)量較多，則應用多重模態(tài)減縮策略進一步減縮子結構自由度；如果自由度數(shù)量較少，則完成減縮計算，得到多部件高維復雜結構的減縮模型。

2 減縮實例

本節(jié)將多級模態(tài)減縮策略應用于某彈用發(fā)動機的簡化轉子模型動力學特性分析，以該實例具體介紹多級模態(tài)減縮策略的過程：建立發(fā)動機轉子結構的有限元模型；轉子模型被劃分為18個一級子結構，定義關鍵子結構；首先減縮一級子結構的維數(shù)；在組合一級子結構得到二級子結構進行進一步降維的同時，縮減子結構數(shù)量；最后應用三重模態(tài)綜合建立轉子的減縮模型；基于減縮模型實現(xiàn)高效的轉子動力學特性分析和關鍵子結構優(yōu)化設計。流程圖如圖1所示。

2.1 一級子結構模態(tài)減縮

轉子前后兩個軸承處分別建有遠程節(jié)點，通過建立彈簧單元等效軸承剛度［22］，將兩個遠程節(jié)點定義為1號子結構，其余一級子結構根據(jù)轉子結構部件定義。轉子整體結構共有18個一級子結構，各子結構的編號如圖2所示。1號子結構定義為“關鍵子結構”，將關鍵子結構完全保留，不對其進行減縮。

轉子轉軸劃分為2，3，4，12，13，16和17號子結構，軸流葉盤由5和6號子結構組成，7和8號子結構分別表示防振彈性環(huán)和軸?離轉接座，離心葉盤由9，10，11和18號子結構組成，渦輪葉盤由14和15號子結構組成。轉子各部件的自由度數(shù)量如表1所示，共有790569個自由度。

子結構內(nèi)區(qū)分界面自由度和內(nèi)部自由度，k號一級子結構的局部自由振動方程可寫為：

以2 號一級子結構為例，2 號子結構僅與3 號子結構直接耦合，2 號子結構和3 號子結構的局部剛度矩陣的非零元素分布圖如圖3 所示。子結構之間的耦合關系體現(xiàn)為計算矩陣的非零元素，矩陣的計算量和非零元素的數(shù)量呈正相關，矩陣中非零元素的數(shù)量標注為圖3 中的nz。紅色框內(nèi)為2 號子結構剛度矩陣，以黑色線分割為四部分，分別為K bb22，K ib22，K bi22和K ii22。其界面自由度和3 號子結構的界面自由度直接耦合，體現(xiàn)為非零矩陣K bb

23 和K bb

32；其余自由度之間

無直接耦合，耦合矩陣對應部分均為0 矩陣。

應用固定界面模態(tài)綜合減縮k號一級子結構的內(nèi)部自由度分4個步驟進行。

首先，求解內(nèi)部自由度的局部自由振動方程：

K iikkU ik - ω2 M iikkU ik = 0 （11）

通過式（11）計算k 號一級子結構模態(tài)Φki，Φki滿足：

式中 Λki 表示k 號一級子結構內(nèi)部自由度被保留的前100 階子結構模態(tài)對應的頻率組成的對角矩陣；Iki 表示單位陣。

其次，根據(jù)k 號一級子結構內(nèi)部自由度和邊界自由度的耦合關系，求解約束模態(tài)Ψ ibkk：

Ψ ibkk =-K ii-1kk K ibkk （13）

再次，組合約束模態(tài)和k 號一級子結構內(nèi)部自由度子結構模態(tài)得到k 號一級子結構的減縮矩陣Tk：

最后，對k號一級子結構剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣的減縮如下：

在一級子結構內(nèi)部自由度減縮完成后，將各一級子結構之間的0耦合項縮減到對應維數(shù)。以2號一級子結構為例，一級子結構減縮后的2號子結構和3號子結構的局部剛度矩陣不再稀疏，如圖4所示，稠密矩陣中的非零元素數(shù)量為43965194，遠遠大于圖3所示稀疏矩陣中的3443638，維數(shù)降低，計算量反而增加。

經(jīng)過一級子結構模態(tài)減縮，各子結構的自由度數(shù)量如表2所示，轉子整體模型的維數(shù)從790569降低至148229。

2.2 二級子結構模態(tài)減縮

一級子結構模態(tài)減縮完成后，轉子整體模型維數(shù)仍然較高，需要進行第二級子結構模態(tài)減縮。轉子整體結構共有18個一級子結構，組合一級子結構得到的二級子結構如圖5所示，圖中斜體數(shù)字表示二級子結構的編號。1號子結構保持不變，1號子結構和其他子結構的耦合表征軸承剛度信息作為關鍵子結構保留；轉軸段子結構合并為2號二級子結構，包括2，3，4，12，13，14，16和17號一級子結構；5，6，7和8號一級子結構組成3號二級子結構；9，10，11，15和18號一級子結構組成4號二級子結構。

將各二級子結構分別劃分內(nèi)部自由度和界面自由度，再次應用固定界面模態(tài)綜合減縮各二級子結構的內(nèi)部自由度。經(jīng)過二級子結構模態(tài)減縮，轉子各子結構自由度數(shù)量對比如表3所示，整體模型的維數(shù)從148229降低至56757。

2.3 三重模態(tài)減縮

經(jīng)過兩級子結構模態(tài)減縮，轉子整體模型自由度數(shù)量從790569降低至56757，軸承剛度作為關鍵結構參數(shù)得以保留。模型的子結構數(shù)量較少，自由度數(shù)量仍然較多。在多級模態(tài)減縮的基礎上，結合三重模態(tài)減縮方法，進一步降維。

2.3.1 4號子結構模態(tài)減縮

經(jīng)過兩級子結構模態(tài)減縮，轉子整體模型共有4個二級子結構、56757個自由度。轉子整體模型的自由振動方程可寫為：

其中，關鍵子結構——軸承等效彈簧的剛度參數(shù)被保留在子結構剛度矩陣K11 中。

4號子結構和2號，3號子結構之間存在直接耦合關系，其子結構位移可看作由三部分構成：一是由2號子結構引起4號子結構的位移；二是由3號子結構引起4號子結構的位移；三是其他子結構被約束時，作用在4號子結構上的外力引起的位移。表示為：

U4 = Ψ42U2 + Ψ43U3 + Φ4 q4 （17）

式中 約束模態(tài)Ψ42 =-K -144 K42，Ψ43 =-K -144 K43；q4 為4 號子結構前100 階模態(tài)幅值變量；4 號子結構前100 階子結構模態(tài)Φ4 通過求解如下局部自由振動方程計算：

K44U4 - ω2 M44U4 = 0 （18）

且滿足：

4號子結構的減縮矩陣構建為：

對4號子結構變量、剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣的減縮表示為：

轉子整體模型的自由度數(shù)量從56757降低至40125。

對4號子結構的減縮中，作用在4號子結構上的外力引起的位移部分的高階模態(tài)組分被忽略；由2號和3號子結構運動引起4號子結構的位移分別被凝縮在2號和3號子結構上。

2.3.2 3號子結構模態(tài)減縮

考慮靜力學耦合效果，經(jīng)過對4號子結構的減縮后，3號子結構和2號子結構之間存在直接耦合關系，其子結構位移可看作由兩部分構成：一是由2號子結構引起3號子結構的位移；二是其他子結構被約束時，作用在3號子結構上的外力引起的位移。

由于在第一重模態(tài)減縮時，由3號子結構引起4號子結構的振動被凝縮在3號子結構的動力學系統(tǒng)中，此時求解的3號子結構的子結構模態(tài)為界面分支模態(tài)，包含了4號子結構對3號子結構的影響：

U3 = Ψ32U2 + Φ3 q3 （22）

式中 約束模態(tài)Ψ32 =-K r4-133 K r432；q3 為3 號子結構前100 階模態(tài)幅值變量；3 號子結構前100 階子結構模態(tài)Φ3 通過求解如下局部自由振動方程計算：

K r433U3 - ω2 M r433 U3 = 0 （23）

且滿足：

3號子結構的減縮矩陣構建為：

對3號子結構變量、剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣的減縮表示為：

轉子整體模型的自由度數(shù)量從40125降低至26085。

2.3.3 2號子結構模態(tài)減縮

只考慮靜力學耦合，經(jīng)過對4號和3號子結構的減縮后，2號子結構和1號子結構之間存在直接耦合關系，其子結構位移可看作由兩部分構成：一是由1號子結構引起2號子結構的位移；二是其他子結構被約束時，作用在2號子結構上的外力引起的位移，表示為：

U2 = Ψ21U1 + Φ2 q2 （27）

式中 約束模態(tài)Ψ21 =-K r3-122 K r321；q2 為2 號子結構前100 階模態(tài)幅值變量；2 號子結構前100 階子結構界面分支模態(tài)Φ2 通過求解如下局部自由振動方程計算：

K r322U2 - ω2 M r322 U2 = 0 （28）

且滿足：

2號子結構的減縮矩陣構建為：

對2號子結構變量、剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和陀螺矩陣的減縮表示為：

轉子整體模型的自由度數(shù)量從26085降低至309。

三重模態(tài)減縮依次對4，3和2號二級減縮子結構進行模態(tài)減縮，轉子整體模型的自由度數(shù)量從56757降低至309，得到最終的低維減縮模型。

關鍵子結構的剛度矩陣K11 被保留，通過修改1號子結構的剛度矩陣來調(diào)整前后軸承的剛度，利用減縮模型核算轉子動力學特性，快速反饋優(yōu)化設計結果。但需要注意的是，在修改替換矩陣元素時，需要考慮減縮附加項-K12 K r3-1

22 K21。

3 多級和多重模態(tài)減縮效果及其在關鍵部件優(yōu)化設計上的應用

3.1 減縮策略效果

前后軸承的剛度分別設置為1×107和1×108 N/m，Y，Z兩個方向剛度相同，忽略剛體模態(tài)，計算第2～5階模態(tài)，得到坎貝爾圖如圖6所示。第一階正進動臨界轉速為17443 r/min，第二階正進動臨界轉速為44580 r/min。

采用ANSYS計算結果作為參考標準，各階模態(tài)頻率計算中，轉速50000 r/min時第二階反進動模態(tài)頻率誤差最大，ANSYS計算結果為595.38 Hz，減縮模型計算結果為595.76 Hz，最大相對誤差為0.064%。

零轉速下，根據(jù)ANSYS計算所得振型和減縮模型所得振型，計算修正模態(tài)置信因子［23］（ModMAC， Modified Modal Assurance Criterion），結果如圖7所示。

ANSYS振型和ANSYS振型計算得到的MAC圖如圖7（a）所示，同階模態(tài)振型計算得到的MAC值均為1，相鄰對稱模態(tài)振型計算得到的MAC值分布于0～1之間，其他模態(tài)計算得到的MAC值為0。第二階和第三階模態(tài)振型如圖8所示。減縮模型振型和ANSYS振型計算得到的MAC圖如圖7（b）所示，其中由于振型減縮誤差，減縮模型第二階模態(tài)的MAC值稍小，其他振型的計算誤差均在誤差許可范圍內(nèi)。

ANSYS計算所用時間是3091 s，減縮模型計算用時12 s，計算效率提升了99.6%。

3.2 關鍵子結構優(yōu)化設計

該轉子工作轉速范圍為23750～47500?r/min，轉子動力學分析得到第二階正進動臨界轉速為44580 r/min。通過優(yōu)化軸承設計調(diào)整軸承剛度，避免轉子的正進動臨界轉速位于工作轉速范圍內(nèi)。

當修改軸承參數(shù)時，減縮前自由振動方程式（6）中只有關鍵子結構1 號子結構的剛度矩陣K11 被修改，即減縮模型式（31） 中，僅K11 - K12 K r3-122 K21 中的K11 被修改，只要替換此剛度矩陣中的局部少量元素即可，該部分元素在減縮模型剛度矩陣的對應位置如圖9 所示。無需計算減縮前的高維模型或重新建立減縮模型，可以節(jié)省大量的計算時間。

將前軸承Y方向、Z方向和后軸承Y方向、Z方向的剛度分別修改為1.07×107 ，3.63×106 ，9.82×106和3.94×106 N/m，計算得到坎貝爾圖如圖10所示。轉子的一階正進動臨界轉速為23295 r/min，小于23750 r/min，不在轉子工作范圍之內(nèi)，可以確認轉子工作安全。

采用ANSYS計算結果作為參考標準，前四階模態(tài)頻率計算中，轉速50000 r/min時第三階反進動模態(tài)頻率誤差最大，ANSYS計算結果為241.52 Hz，減縮模型計算結果為241.63 Hz，相對誤差為0.046%。

4 結? 論

本文針對多部件大型轉子系統(tǒng)數(shù)值計算困難的問題，基于固定界面模態(tài)減縮方法，提出多級模態(tài)減縮策略，并應用于某彈用發(fā)動機轉子結構的減縮計算和軸承剛度的優(yōu)化設計，得到主要結論如下：

（1）解釋了減縮過程中“自由度減少，計算量增加”數(shù)值現(xiàn)象的原因，所提出的多級模態(tài)減縮策略可以有效解決這一問題。

（2）多級模態(tài)減縮策略可以有效提升計算效率，并保證計算精度。在某彈用發(fā)動機轉子結構的應用中，與多重模態(tài)減縮方法結合，模型維數(shù)從790569降低至309，2～5階模態(tài)的最大誤差不超過0.1%，計算效率提升了99.5%以上。

（3）當修改關鍵部件的參數(shù)時，多級模態(tài)減縮策略可以保留關鍵子結構，利用建立的低維減縮模型，可以快速進行數(shù)值驗證，大大提升了關鍵部件優(yōu)化設計的效率。

參考文獻：

［1］????? 張大義，劉燁輝，梁智超，等.航空發(fā)動機雙轉子系統(tǒng)臨界轉速求解方法［J］.推進技術，2015，36（2）：292?298.

Zhang Dayi， Liu Yehui， Liang Zhichao， et al. Prediction for critical speed of double spools system in aero engines［J］. Journal of Propulsion Technology， 2015，36（2）：292?298.

［2］????? 章健，張大義，王永鋒，等.共用支承?轉子結構系統(tǒng)振動耦合特性分析［J］.北京航空航天大學學報，2019，45（9）：1902?1910.

Zhang Jian， Zhang Dayi， Wang Yongfeng， et al. Coupling vibration characteristics analysis of shared support?rotors system［J］. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2019，45（9）：1902?1910.

［3］????? 曾振坤，張大義，黃巍，等.徑向支承剛度非對稱轉子系統(tǒng)振動特性分析［J］.推進技術，2022，43（2）：250?259.

Zeng Zhenkun， Zhang Dayi， Huang Wei， et al. Analysis of vibration characteristics of rotor system with asymmetric radial support stiffness［J］. Journal of Propulsion Technology，2022，43（2）：250?259.

［4］????? 張大義，劉燁輝，洪杰，等.航空發(fā)動機整機動力學模型建立與振動特性分析［J］.推進技術，2015，36（5）：768?773.

Zhang Dayi， Liu Yehui， Hong Jie， et al. Investigation on dynamical modeling and vibration characteristics for aero engine［J］. Journal of Propulsion Technology， 2015，36（5）：768?773.

［5］????? 左彥飛，王建軍，馬威猛.3?D有限元轉子模型減縮的旋轉子結構法［J］.航空動力學報，2014，29（4）：894?900.

Zuo Yanfei， Wang Jianjun， Ma Weimeng. Rotating substructure method for 3?D finite element rotor model reduction［J］. Journal of Aerospace Power， 2014， 29（4）： 894?900.

［6］????? 左彥飛，王建軍.3?D有限元轉子系統(tǒng)動力減縮的部件模態(tài)綜合方法及應用［J］.航空動力學報，2016，31（8）：1929?1934.

Zuo Yanfei， Wang Jianjun. Component mode synthesis for dynamic reduction of 3?D finite element rotor system and its application［J］. Journal of Aerospace Power， 2016， 31（8）：1929?1934.

［7］????? 馬威猛，王建軍.非對稱轉子支承系統(tǒng)動力分析的約束模態(tài)減縮方法［J］.推進技術，2016，37（3）：534?539.

Ma Weimeng， Wang Jianjun. Restraint modal reduction method for dynamic analysis of asymmetric rotor bearing system［J］. Journal of Propulsion Technology， 2016， 37（3）：534?539.

［8］????? 孫傳宗，陳予恕，侯磊.復雜結構雙轉子系統(tǒng)的建模及模型縮減［J］.航空動力學報，2017，32（7）：1747?1753.

Sun Chuanzong， Chen Yushu， Hou Lei. Modeling method and reduction of dual?rotor system with complicated structures［J］. Journal of Aerospace Power， 2017，32（7）：1747?1753.

［9］????? 寇海江，袁惠群，李巖，等.一體化轉子系統(tǒng)動力分析的預應力模態(tài)綜合法［J］.東北大學學報（自然科學版），2014，35（2）：263?267.

Kou Haijiang， Yuan Huiqun， Li Yan， et al. A prestressed component mode synthesis method for dynamics analysis of blisk?shaft integrated rotor［J］. Journal of Northeastern University （Natural Science）， 2014， 35（2）： 263?267.

［10］??? Monjaraz Tec C D， Gross J， Krack M. A massless boundary component mode synthesis method for elastodynamic contact problems［J］. Computers & Structures， 2022， 260： 106698.

［11］??? 高峰，孫偉.涂敷硬涂層的失諧整體葉盤減縮建模及振動分析［J］.航空動力學報，2018，33（7）：1595?1605.

Gao Feng， Sun Wei. Reduced?order modeling and vibration analysis of mistuned blisk with damping hard coating［J］. Journal of Aerospace Power， 2018， 33（7）： 1595?1605.

［12］??? 黃行蓉，劉久周，李琳.基于非線性模態(tài)的復雜系統(tǒng)動力學特性分析方法［J］.北京航空航天大學學報，2019，45（7）：1337?1348.

Huang Xingrong， Liu Jiuzhou， Li Lin. Dynamic characteristics analysis method of complex systems based on nonlinear mode［J］. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics， 2019， 45（7）：1337?1348.

［13］??? 黃行蓉，姚毅，張大義.適用于優(yōu)化建筑結構聲振特性的多重模態(tài)減縮策略［J］. 振動工程學報，2023，36（4）：1015?1023.

Huang Xingrong， Yao Yi， Zhang Dayi. Hybrid mode synthesis strategy for optimizing vibro?acoustic characteristics of building structures［J］. Journal of Vibration Engineering，2023，36（4）：1015?1023.

［14］??? Yao Y， Huang X R， Yang X D， et al. Symmetric formulations combined with component mode synthesis for analyzing coupled fluid?structure problems. Reviews and extensions［J］. Applied Mathematical Modelling， 2023， 115： 645?660.

［15］??? Huang X R， Jézéquel L， Besset S， et al. Optimization of the dynamic behavior of vehicle structures by means of passive interface controls［J］. Journal of Vibration and Control， 2018， 24（3）： 466?491.

［16］??? Jin Y L， Lu K， Huang C X， et al. Nonlinear dynamic analysis of a complex dual rotor?bearing system based on a novel model reduction method［J］. Applied Mathematical Modelling， 2019， 75： 553?571.

［17］??? Wang B B， Liu J Z， Cao Z F， et al. A multiple and multi?level substructure method for the dynamics of complex structures［J］. Applied Sciences， 2021， 11（12）： 5570.

［18］??? Huang X R， Jézéquel L， Besset S， et al. Nonlinear hybrid modal synthesis based on branch modes for dynamic analysis of assembled structure［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2018， 99： 624?646.

［19］??? Huang X R， Jézéquel L， Besset S， et al. Nonlinear modal synthesis for analyzing structures with a frictional interface using a generalized masing model［J］. Journal of Sound and Vibration， 2018， 434： 166?191.

［20］??? Elssel K， Voss H. Reducing huge gyroscopic eigenproblems by automated multi?level substructuring［J］. Archive of Applied Mechanics， 2006， 76： 171?179.

［21］??? Craig R R Jr， Bampton M C C. Coupling of substructures for dynamic analyses［J］. AIAA Journal， 1968， 6（7）： 1313?1319.

［22］??? 馬艷紅，何天元，張大義，等.支承剛度非線性轉子系統(tǒng)的不平衡響應［J］.航空動力學報，2014，29（7）：1527?1534.

Ma Yanhong， He Tianyuan， Zhang Dayi， et al. Imbalance response of rotor system with nonlinear bearing stiffness［J］. Journal of Aerospace Power， 2014， 29（7）： 1527?1534.

［23］??? Brehm M， Zabel V， Bucher C. An automatic mode pairing strategy using an enhanced modal assurance criterion based on modal strain energies［J］. Journal of Sound and Vibration， 2010， 329（25）： 5375?5392.

A multi?stage hybrid modal reduction strategy and its application to rotor dynamics analysis

Abstract： The large number of aero-engine rotor components and the large computational volume of high-dimensional complex models lead to difficult dynamic analysis and long computation times， which are disadvantageous to the efficiency of rotor structure design and dynamics verification. Based on the component modal synthesis method， a novel multi-stage modal reduction strategy is proposed for the modal reduction of a large complex system with many components. The internal freedom degrees of each sub-structure are reduced in parallel using fixed interface modal reduction， while the couplings between the substructures are retained completely. By defining a new level of substructure through substructure combination， the multi-stage modal reduction is applied to an additional reduction， and the hybrid mode synthesis is subsequently combined to construct the branch mode and significantly reduce the dimensionality of the rotor FEM model. Meanwhile， the dynamic characteristics of key substructures and the key dynamic characteristics of the vibration system are preserved. This computational strategy is used to establish a low-dimensional reduced model of a missile engine rotor system， and the reduced model is used to improve the efficiency of rotor dynamics analysis and accelerate the design optimization of bearing stiffness parameters. The results show that the time required for rotor dynamics analysis is reduced by 99.5%， and the accuracy error does not exceed 0.1% compared with ANSYS calculations. The computational strategy can be used for rapid analysis of multi-component high-dimensional complex systems.

Key words： rotor dynamics；component mode synthesis；multi?stage modal reduction；modal reduction；structural optimization of components