黃春林 彭建設(shè)

收稿日期：2023-01-19

基金項(xiàng)目：四川省自然科學(xué)基金（2022NSFSC1968）

作者簡(jiǎn)介：黃春林（1996—），男，碩士，從事計(jì)算固體力學(xué)研究.Email： huangchunlin2023@163.com

摘要：以歐拉—伯努利梁模型和黏彈性地基模型為基礎(chǔ)，說明了黏彈性地基上雙模量梁在振動(dòng)過程中有效抗彎剛度不變，推導(dǎo)出中性層在梁內(nèi)部時(shí)，雙模量梁在地基上的受迫振動(dòng)控制方程.利用其中性層跳變時(shí)位移和速度沒有突變，用時(shí)域微分求積法求解了控制方程，并分別探討了地基的線性剛度和剪切參數(shù)，以及雙模量特性對(duì)簡(jiǎn)支雙模量梁受迫振動(dòng)的影響.結(jié)果表明，地基的2個(gè)參數(shù)越大，受迫振動(dòng)到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間越短；雙模量比值越大，受迫振動(dòng)幅值越小.

關(guān)鍵詞：雙模量梁；地基梁；受迫振動(dòng)；微分求積法

中圖分類號(hào)：O302;O321

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

一些多晶石墨、高聚合物和復(fù)合材料具有拉壓彈性模量不同的特性，但是在工程應(yīng)用中一般不考慮材料的雙模量特性，這可能導(dǎo)致某些結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)存在安全隱患［1］.這類雙模量力學(xué)問題的求解依賴于中性層位置.基于Ambartsumyan的雙線性本構(gòu)模型，在梁振動(dòng)問題方面已有相關(guān)研究.Lucchesi等［1］證明了除無張力材料外，雙模量桿的縱向振動(dòng)存在唯一解.Yang等［2］用光滑函數(shù)法避免本構(gòu)關(guān)系不連續(xù)，研究了雙模量桿的縱向振動(dòng).劉相斌等［3］和王銘慧等［4］用不同方法研究了雙模量梁的自由振動(dòng).吳曉等［5］在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上考慮剪切效應(yīng)研究了雙模量梁的自由振動(dòng).楊洋等［6］推導(dǎo)出了鐵木辛科梁模型下的雙模量梁，求解并模擬了雙模量梁的前幾階固有頻率.文獻(xiàn)［7］用微分求積法（DQ法）研究了雙參數(shù)地基上的雙模量梁的頻率響應(yīng).文獻(xiàn)［8］基于雙模量梁向上彎曲和向下彎曲時(shí)彎矩表達(dá)式不變，簡(jiǎn)單求解了雙模量梁的受迫振動(dòng).本研究考慮材料的雙模量特性，從應(yīng)變能角度說明矩形等截面的雙模量梁在受迫振動(dòng)過程中有效抗彎剛度不變.基于此，本研究推導(dǎo)了雙參數(shù)地基上雙模量梁的受迫振動(dòng)控制方程，用時(shí)域DQ法求解，并討論了雙參數(shù)地基的參數(shù)和雙模量特性對(duì)受迫振動(dòng)的影響.

1黏彈性地基上雙模量梁的控制方程

1.1幾何方程

雙模量梁長(zhǎng)L，橫截面寬b，高h(yuǎn)（見圖1），其材料的拉伸彈性模量和壓縮彈性模量分別記為Et和Ec.定義梁幾何中面位移為（u0，w0）時(shí)，則截面上任意一點(diǎn)的位移可表示為（u，w），小變形時(shí)，幾何關(guān)系為，

u，w=u0－ydwdx，w0（1）

式中，y為橫截面上軸向纖維的縱坐標(biāo).

那么靜態(tài)小變形時(shí)，應(yīng)變可表示為，

ε=dudx=ε0－yd2wdx2（2）

式中，ε0=du0dx，為幾何中面的應(yīng)變.需注意雙模量梁的中性層不在幾何中面.

由彈性力學(xué)可知，在圖1坐標(biāo)系下，向下彎曲時(shí)，梁的近似曲率為－1ρ0=d2wdx2（ρ0為梁彎曲變形后幾何中面的曲率半徑）.設(shè)中性層到幾何中面距離為y0，則由式（2）可得向下彎曲時(shí)修正的應(yīng)變表達(dá)式為，

ε=ε0+yρ0=y+y0ρ0（3）

同理，當(dāng)梁向上彎曲時(shí)，近似曲率為1ρ0=d2wdx2，此時(shí)向上彎曲時(shí)修正的應(yīng)變表達(dá)式為，

ε=ε0－yρ0=y0－yρ0（4）

式（3）和式（4）分別對(duì)應(yīng)圖1坐標(biāo)系下雙模量梁向下彎曲和向上彎曲時(shí)的應(yīng)變表達(dá)式.其中，式（3）滿足當(dāng)y=-y0時(shí)，應(yīng)變?yōu)?；式（4）滿足當(dāng)y=y0時(shí)，應(yīng)變?yōu)?.但是中性層的位置y0未知，需要確定.

1.2本構(gòu)方程

根據(jù)文獻(xiàn)［2］的廣義胡克定律.由式（3）和式（4）結(jié)合壓縮彈性模量和拉伸彈性模量分別滿足下列應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：

橫截面受壓縮區(qū)域?yàn)椋?/p>

σc=Ecε（5）

橫截面受拉伸區(qū)域?yàn)椋?/p>

σt=Etε（6）

式中，σt和σc分別為受拉和受壓區(qū)域的正應(yīng)力.

1.3地基上雙模量梁的應(yīng)變能

靜態(tài)小變形時(shí)，橫截面上的軸力為零，即，

∫AtσtdAt+∫AcσcdAc=0（7）

式中，At和Ac分別表示橫截面上的受拉和受壓區(qū)域的面積.

將式（3）、式（5）和（6）代入式（7），或?qū)⑹剑?）、式（5）和式（6）代入式（7），均可得中性層到幾何中面的距離為，

y0=h2Ec－EtEc+Et（8）

由上述確定中性層位置的過程可知，雙模量梁向上彎曲和向下彎曲時(shí)，幾何中面到中性層的距離不變.考慮通常材料的壓縮彈性模量大于拉伸彈性模量，此時(shí)，梁橫截面的應(yīng)力分布及中性層位置如圖2所示.

同理，靜態(tài)彎曲時(shí)橫截面上的彎矩可表示為，

∫AtσtydAt+∫AcσcydAc=M（9）

將式（3）、式（5）與式（6）代入式（9），或?qū)⑹剑?）、式（5）和式（6）代入式（9）可得相同的彎矩表達(dá)式為，

M = D*d2wdx2 = b24

h + y0 h-2y0 2Ec ?+ h-y0 h + 2y0 2Et d2wdx2（10）

當(dāng)y0=0，E=Et=Ec時(shí)，上式彎矩表達(dá)式可退化為經(jīng)典歐拉梁的彎矩表達(dá)式.由上述確定彎矩的過程可知，雙模量梁在振動(dòng)過程中，隨著彎曲方向的變化，中性層位置會(huì)跳變［3］，但是彎矩的表達(dá)式不變.

因?yàn)檩S力為0且雙模量梁的彎矩可以用1個(gè)公式描述，所以振動(dòng)過程中梁的形變勢(shì)能可表示為，

Ub=12∫LM2wx2dx=12∫LD*2wx22dx（11）

式（11）經(jīng)一階變分處理后得到的常系數(shù)，即為梁的有效抗彎剛度.因?yàn)閺澗乇磉_(dá)式在振動(dòng)過程中不變，所以有效抗彎剛度D*也不變.由此簡(jiǎn)化控制方程的推導(dǎo)和求解過程.

1.4受迫振動(dòng)控制方程

黏彈性地基對(duì)雙模量梁的反力為，

P=－k1w+k22wx2－cwt（12）

式中，P為地基反力，k1為地基線性剛度系數(shù)，k2為地基土剪切系數(shù)，c為黏性系數(shù).那么，地基的形變勢(shì)能為，

Us=12∫Lk1w2+k2wx2+cwtwdx（13）

均布外加載荷q的外力勢(shì)能為，

Uq=∫Lqwdx（14）

雙模量梁的動(dòng)能為，

K=ρbh∫Lwt2dx（15）

式中，ρ為材料密度.基于哈密頓原理，考慮模量粱的動(dòng)能、勢(shì)能和外力做功滿足以下關(guān)系：

δ∫t0∫LK－Ub+Us－Uqdxdt=0（16）

將式（11）、式（13）、式（14）和式（15）代入式（16）即可推導(dǎo)出雙模量梁在黏彈性地基上的橫向受迫振動(dòng)控制方程為，

D*4wx4+k1w－k22wx2+cwt+m2wt2=q（17）

式中，D*是雙模量梁的有效抗彎剛度，x是梁沿軸向的自變量，t是時(shí)間，w是梁的振動(dòng)小撓度，m=ρbh是梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量，k1為地基線性剛度，k2為地基剪切參數(shù)，c為黏性系數(shù)，q為均布動(dòng)載荷.

式（17）與黏彈性地基上的單模量梁控制方程的主要區(qū)別在于有效抗彎剛度不同，當(dāng)y0=0，E=Et=Ec時(shí)，該控制方程可退化為經(jīng)典地基梁模型.

值得注意的是，由于雙模量梁在振動(dòng)過程中，中性層位置會(huì)隨著彎曲方向的變化而跳變［3］，所以本模型選擇在幾何中面建立x坐標(biāo)軸來避免描述動(dòng)態(tài)位移時(shí)撓度函數(shù)不連續(xù).從歐拉梁模型來看，小變形受迫振動(dòng)時(shí)只關(guān)注中性層的動(dòng)撓度，而橫截面上任一點(diǎn)的動(dòng)撓度看作與中性層的動(dòng)撓度相等，因此，選擇在雙模量梁的幾何中面建立x軸來描述動(dòng)撓度是可行的；從地基上雙模量梁的中性層跳變瞬間來看，梁的位移和速度都是連續(xù)的，沒有突變.綜上所述，本研究的黏彈性地基上的雙模量梁模型在經(jīng)典彈性地基梁的基礎(chǔ)上，修正了有效抗彎剛度，通過求解控制方程可以近似地求解其受迫振動(dòng).

2時(shí)域DQ法求解

令ζ=x/L，Γ=t/T，對(duì)式（17）無量綱化得：

D4wζ4+k1w－G2wζ2+H1wΓ+H22wΓ2=q（18）

式中，D=D*L4，G=k2L2，H1=cT，H2=mT2.

取未變形時(shí)黏彈性地基梁的軸線為ζ空間域，在空間域取Nζ個(gè)節(jié)點(diǎn)，在Γ時(shí)間域取NΓ個(gè)節(jié)點(diǎn)，則全域有Nζ×NΓ個(gè)節(jié)點(diǎn).根據(jù)DQ法基本原理，用各節(jié)點(diǎn)的加權(quán)和表示，可得到全域的DQ線性方程為，

D∑Nζk=1C4ikwk，j+k1wi，j－G∑Nζk=1C2ikwk，j+H1∑NΓl=1C1jlwi，l+H2∑NΓl=1C2jlwi，l=qi，k（19）

式中，i=1，2，···，Nζ;j=1，2，···，NΓ.式中簡(jiǎn)寫的動(dòng)撓度和動(dòng)載荷具體形式為α，β=（ζα，Γβ）（=w，q）.由式（19）可得，在全域內(nèi)有Nζ×NΓ個(gè)線性方程組，將式（19）改寫為成矩陣形式：

C=F（20）

式中，C是Nζ×NΓ行，列的權(quán)系數(shù)矩陣；是待定動(dòng)撓度組成的Nζ×NΓ行的列陣；F是Nζ×NΓ行的廣義載荷列陣.以簡(jiǎn)支邊界條件為例，利用黏彈性地基梁在任意時(shí)間節(jié)點(diǎn)Γj（j=1，2，···，NΓ）都有的4個(gè)邊界條件和2個(gè)初始條件.可將簡(jiǎn)支梁的邊界條件表示為，

ζ=0∶w=0，2wζ2=0（21）

ζ=1∶w=0，2wζ2=0（22）

用DQ法離散為，

w0，Γj=0，∑Nζk=1C21k·wζk，Γj=0w1，Γj=0，∑Nζk=1C2Nζk·wζk，Γj=0 （23）

式中，j=1，2，...，NΓ.

將初始條件設(shè)為，

Γ=0∶w=w0，wΓ=v0（24）

用DQ法離散為，

wζi ，0 = w0 ζi ∑Nζ k = 1C（1）1k·wζi ，Γ k ?= v0 ζi （25）

式中，i=1，2，…，Nζ.

由式（23）和式（25）得到的4NΓ個(gè)邊界條件和2Nζ個(gè)初始條件，分別取代式（19）中i=1，2，Nζ－1，Nζ表示的線性方程，j=1，2表示的線性方程，得到可解線性方程組，進(jìn)而得到式（20）的系數(shù)矩陣C，從而在全域內(nèi)求解出撓度列陣，得到已知節(jié)點(diǎn)在每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值.至此，ζ域內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)的時(shí)程響應(yīng)已得到.可通過對(duì)已得到的ζ域節(jié)點(diǎn)在任意時(shí)間節(jié)點(diǎn)的位移，對(duì)時(shí)間求一階偏導(dǎo)，可分別得到Γ域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的速度作為下一時(shí)間段的初始條件，即可求得下一個(gè)時(shí)間段的動(dòng)撓度.

3數(shù)值結(jié)果與分析

為驗(yàn)證算法和編程，首先將控制方程退化為經(jīng)典的單模量地基梁情況.以文獻(xiàn)［9］的例1為例：兩端簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)50 cm，橫截面寬1 cm，高2 cm，彈性模量E=1.5×107 N/cm2，質(zhì)量密度ρ=0.008 kg/cm3，線性剛度k1=3.5×103 N/cm2，剪切參數(shù)k2=5.92×104 N，初速度和初位移均為0，在該地基梁上作用以均布載荷q=10sin（500t） N/cm，求該地基梁中點(diǎn)處的位移響應(yīng).

驗(yàn)證結(jié)果如圖3所示，在該梁的1個(gè)振動(dòng)周期0.016 s內(nèi)該算例的時(shí)域DQ法數(shù)值解和Galerkin法求得的近似解對(duì)比，結(jié)果吻合良好.其中，時(shí)域DQ法的空間域節(jié)點(diǎn)13個(gè)，時(shí)間域節(jié)點(diǎn)21個(gè).

現(xiàn)考慮黏彈性地基上的雙模量梁?jiǎn)栴}：一兩端簡(jiǎn)支的雙模量梁，長(zhǎng)50 cm，寬1 cm，高2 cm，其拉伸彈性模量Et=2.55×106 N/cm2，壓縮彈性模量Ec=5.7×106 N/cm2，質(zhì)量密度ρ=0.01 kg/cm3，黏性系數(shù)c=1.732 5 N·s·cm-2.

算例1上述簡(jiǎn)支雙模量梁位于一黏彈性地基上，在簡(jiǎn)支梁上作用q=10sin（500t） N/cm均布交變載荷，初始位移和初始速度均為0.地基的剪切參數(shù)k2=0，分別求出線性剛度k1為1×103、2×103和4×103 N/cm2時(shí)，該梁x=25 cm處的動(dòng)撓度.

算例2上述簡(jiǎn)支雙模量梁位于一黏彈性地基上，在簡(jiǎn)支梁上作用q=10sin（500t） N/cm均布交變載荷，初始位移和初始速度均為0.地基的線性剛度k1=1×103 N/cm2，分別求出剪切參數(shù)k2為0、6×104和6×105 N時(shí)，該梁x=25 cm處的動(dòng)撓度.

算例3地基的參數(shù)同算例1，當(dāng)上述簡(jiǎn)支雙模量梁位于該地基上時(shí)，在簡(jiǎn)支梁上作用q=1 N/cm的均布突加載荷，求出該梁x=25 cm處的動(dòng)撓度.

算例4當(dāng)上述簡(jiǎn)支雙模量梁位于黏彈性地基上，梁上作用q=1 N/cm的均布突加載荷，地基的線性剛度k1=1×103 N/cm2，分別求出剪切參數(shù)k2為0、5×104和1×105 N時(shí)，該梁x=25 cm處的動(dòng)撓度.

算例5為探討雙模量特性對(duì)黏彈性地基梁的影響，簡(jiǎn)支梁的幾何參數(shù)、密度與黏性系數(shù)同上，地基的線性剛度k1=3×103 N/cm2，剪切系數(shù)k2=5×104 N，突加載荷q=1 N.材料的拉伸彈性模量Et=2.55×106 N/cm2，試探討壓縮彈性模量與拉伸彈性模量的比值r=0.5、1和2時(shí)該梁的受迫振動(dòng).

算例1～算例4均按空間域節(jié)點(diǎn)13個(gè)，時(shí)間域節(jié)點(diǎn)51個(gè)，求解0.1 s內(nèi)的振動(dòng)情況.算例結(jié)果分別如圖4～圖7所示.

將圖4和圖5對(duì)比分析可知，黏彈性地基上簡(jiǎn)支雙模量梁在均布的交變載荷作用下，線性剛度k1對(duì)受迫振動(dòng)的影響強(qiáng)于剪切參數(shù)k2；但是線性剛度或剪切參數(shù)越大，梁中點(diǎn)處的受迫振動(dòng)到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間越短，且到達(dá)穩(wěn)定時(shí)的振動(dòng)幅值越大.其中，剪切參數(shù)按數(shù)量級(jí)增大才會(huì)產(chǎn)生明顯的影響.而通過圖6和圖7對(duì)比分析，也驗(yàn)證了地基線性剛度對(duì)受迫振動(dòng)的影響更明顯.原因是彈性地基增加了雙模量梁的有效剛度，導(dǎo)致系統(tǒng)的頻率增大，從而導(dǎo)致振動(dòng)響應(yīng)周期減小.

由圖8可知，當(dāng)簡(jiǎn)支雙模量梁在相同突加的均布載荷作用下，地基參數(shù)一定時(shí)，隨著壓縮彈性模量Ec與拉伸彈性模量Et的比值增大，振動(dòng)幅值減小，

且到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間縮短.其中Ec∶Et=1時(shí)，即為經(jīng)典單模量時(shí)地基梁的受迫振動(dòng).該現(xiàn)象是材料的壓拉彈性模量比值r越大，雙模量梁的有效抗彎剛度越大所導(dǎo)致.

4結(jié)論

本研究推導(dǎo)了黏彈性地基上的簡(jiǎn)支雙模量梁的受迫振動(dòng)控制方程，并基于其中性層跳變時(shí)有效抗彎剛度不變，位移和速度無突變的實(shí)際現(xiàn)象，用時(shí)域DQ法近似求解，并討論了地基參數(shù)和梁材料的壓縮與拉伸彈性模量比值對(duì)黏彈性地基梁受迫振動(dòng)的影響，得到以下結(jié)論：

1）黏彈性地基的線性剛度對(duì)雙模量梁受迫振動(dòng)的影響強(qiáng)于剪切參數(shù)，線性剛度的影響起主要作用；而且地基參數(shù)越大，雙模量梁的剛度就越大，最終使振動(dòng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間越短.

2）黏彈性地基上的簡(jiǎn)支雙模量梁受到突加載荷后，其受迫振動(dòng)的幅值隨著雙模量的比值增大而減小.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是材料的雙模量比值越大，梁的有效抗彎剛度越大，從而導(dǎo)致振幅越小.

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（實(shí)習(xí)編輯：羅媛）