馮洪 齊金平 劉曉宇 李鴻偉 燕大強 付錄生

摘要：

由于機械部件失效受多個退化過程及外界沖擊等各種因素的耦合作用影響，而當前研究多考慮單一因素，并認為失效閾值為定值，未考慮到設備會因退化而導致其抗沖擊能力降低的事實，因此同時考慮沖擊對退化過程的影響，退化過程對沖擊失效閾值的隨機不確定性影響以及不同退化過程之間存在相關性影響，提出考慮隨機變閾值的多相關退化可靠性模型。此外，通過Copula函數(shù)描述不同退化過程間的相關性，給出相關模型的參數(shù)估計方法。根據(jù)某型動車組的車輪實測磨耗數(shù)據(jù)進行實例計算，通過蒙特卡羅方法驗證模型的準確性，討論不同退化過程存在相關性對可靠度的影響，對隨機變失效閾值進行靈敏度分析，進一步說明所提模型的實用性。

關鍵詞：可靠性；多相關退化；隨機變失效閾值；車輪磨耗；退化閾值沖擊模型

中圖分類號：U266

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.05.006

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Reliability Modeling for Multi-correlation Degradation Considering

Random Variable Failure Threshold

FENG Hong1? QI Jinping2? LIU Xiaoyu1? LI Hongwei1? YAN Daqiang3? FU Lusheng3

1.Mechatronics T&R Institute，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou，730070

2.Research Institute，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou，730070

3.China Railway Lanzhou Group Co.，Ltd.，Lanzhou，730070

4.CRRC Lanzhou Co.，Ltd.，Lanzhou，730070

Abstract： Since the failure of mechanical components was affected by the coupling effects of multiple degradation processes and external shocks and other factors， the current studies mostly considered a single factor and thought that the failure threshold was a fixed value， ignoring the facts that the equipment might reduce the shock resistance due to the degradation. Therefore， the influences of shocks on the degradation processes and the random uncertainty of the degradation processes on the shock failure threshold， as well as the correlation among different degradation processes were considered. A multi-correlation degradation reliability model was proposed considering a random variable threshold. In addition， the Copula function was used to describe the correlation among different degradation processes， and the parameter estimation method of the correlation model was given. According to the measured wheel wear data of a certain electric multiple unit（EMU）， the accuracy of the model was verified by the Monte Carlo method. The influences of the correlation in the degradation processes on the reliability were discussed， and the sensitivity analysis of the random variable failure threshold was carried out to further illustrate the practicability of the proposed model.

Key words： reliability; multiple-correlation degradation; random variable failure threshold; wheel wear； degradation-threshold-shock model

收稿日期：20231226

基金項目：國家自然科學基金（72361019，71861021）；甘肅省重點研發(fā)計劃（23YFGA0050）

0? 引言

隨著生產(chǎn)和制造技術的發(fā)展，出現(xiàn)了大量高 可靠性、長壽命周期的機械部件，故而難以在短時間內獲得機械部件的全壽命數(shù)據(jù)。但在實際使用過程中，可利用監(jiān)測工具獲取大量關于機械部件的退化數(shù)據(jù)，故基于退化數(shù)據(jù)的可靠性建模與分析受到國內外學者關注［1-2］。由于隨機過程模型具有良好的數(shù)學意義和描述退化數(shù)據(jù)隨機性的優(yōu)勢，因此已被廣泛應用于退化過程建模［3］。隨機過程模型主要分為連續(xù)狀態(tài)模型（如Gamma過程［4］、Wiener過程［5］和逆高斯過程［6］）和離散狀態(tài)模型（如馬爾可夫過程及其擴展模型［7］）。

隨著對機械故障的研究越來越全面，人們已經(jīng)意識到除了內在的退化過程（如磨損、腐蝕、疲勞裂紋等）外，外界隨機沖擊也是機械部件故障的主要原因［8-9］。一方面，外界沖擊加速部件的內部退化過程，另一方面，內部退化使得部件抵抗外界沖擊能力降低。同時考慮退化過程和沖擊過程的模型被稱為退化閾值沖擊模型［10-11］，相應失效模式稱為軟失效（退化失效）和硬失效（沖擊失效）。PENG等［12］基于累積沖擊模型，認為每次沖擊都會對軟失效過程造成固定的退化增量。JIANG等［13］根據(jù)沖擊的大小將其分為安全區(qū)、損壞區(qū)以及致命區(qū)，認為不同區(qū)域的沖擊會對軟失效過程產(chǎn)生不同影響，其中致命區(qū)沖擊將直接導致系統(tǒng)發(fā)生硬失效。孫富強等［14］利用復合泊松過程表征沖擊造成的退化突增量，從而建立系統(tǒng)的競爭失效過程。上述文獻僅考慮了沖擊對退化過程產(chǎn)生的單向影響。隨著機械部件不斷退化，抵抗外界沖擊的能力降低，硬失效閾值也隨之降低。常春波等［15］認為，當退化過程與沖擊過程分別滿足相應條件時，硬失效閾值與軟失效閾值會發(fā)生突變。在此基礎上，胡啟國等［16］引入?yún)^(qū)域沖擊，認為只有有損沖擊才會導致軟失效閾值發(fā)生突變。JIANG等［17］則認為軟失效閾值會隨沖擊次數(shù)與強度變化而變化。HAO等［18］認為隨系統(tǒng)不斷退化，硬失效閾值持續(xù)減小，并與退化時間成線性關系，線性系數(shù)為定值。

考慮隨機變失效閾值的多相關退化可靠性建?！T? 洪? 齊金平? 劉曉宇等

中國機械工程 第35卷 第5期 2024年5月

由于機械部件具有無法避免的個體差異性，它主要來源于生產(chǎn)制造過程及外界沖擊的隨機性與不確定性，因此，退化過程對失效閾值的影響也具有隨機性。USYNIN等［19］首次考慮失效閾值的隨機性，基于累積沖擊模型得到可靠度解析式方程。夏悅馨等［20］則在考慮退化過程與沖擊過程相互影響的基礎上，以累積退化量的期望值建立了隨時間變化的硬失效閾值，描述了硬失效閾值的隨機性。

上述研究大多僅考慮了單個退化過程與隨機沖擊之間的競爭關系，很少考慮多個退化過程。LI等［21］對包含兩個退化過程和一個沖擊過程的競爭失效模型進行可靠性分析，并假設這些失效過程間是相互獨立的。但對于許多機械部件，由于環(huán)境或材料特性等共同因素的影響，不同的性能指標之間可能具有統(tǒng)計相關性，因此，需要聯(lián)合雙變量概率模型描述變量間的相關關系。傳統(tǒng)的聯(lián)合雙變量分布往往假設邊緣分布來自同分布族，并且只能對線性相關關系進行建模，不符合機械部件的實際退化情況。

Copula函數(shù)可以將邊緣分布和相關結構分開建模，在描述邊緣分布之間的相關性上具有更大的靈活性［22］，因此在不同領域中被廣泛應用于描述相關關系，如能源［23］和機械部件的可靠性分析或壽命預測［24］。AN等［25］考慮了失效過程間的相關性，通過Copula函數(shù)描述多個退化過程間的相關關系。LIU等［26］提出了一種基于Copula函數(shù)的相依退化可靠性模型，其中邊緣退化分布由經(jīng)過時間尺度變換后的逆高斯模型表示。SUN等［27］基于非線性Wiener退化模型考慮了退化過程與沖擊過程間的相互影響，通過赤池信息量準則（Akaike information criterion，AIC）和貝葉斯信息量準則（Bayesian information criterion，BIC）篩選Copula函數(shù)，從而刻畫多個失效過程間的相關性。楊志遠等［28］針對同時存在多個退化過程和外界沖擊的系統(tǒng)，基于Gamma過程和Copula函數(shù)得到系統(tǒng)可靠性模型和近似解析表達式，并驗證了可靠性近似模型的精確性。當考慮多個退化過程相關時，大多研究并未考慮到機械部件失效閾值存在的隨機性與不確定性。

因此，筆者在認為機械部件遭受沖擊的基礎上，考慮多個退化過程存在相關關系以及硬失效閾值隨機性變化，基于Gamma過程和Copula函數(shù)建立了多相關退化可靠性模型，推導出可靠度解析式。通過馬爾可夫鏈蒙特卡羅（Markov chain Monte Carlo，MCMC）方法得到退化過程的參數(shù)估計值，利用AIC值對Copula函數(shù)進行選擇。基于車輪實測磨耗數(shù)據(jù)，通過蒙特卡羅方法驗證所提模型的正確性，并進行可靠度分析及靈敏度分析。

1? 系統(tǒng)描述

假設系統(tǒng)遭受i個退化過程和一個外界沖擊過程，則系統(tǒng)可能發(fā)生軟失效或硬失效兩種失效模式。當任一退化過程的退化量超過相應失效閾值時，發(fā)生軟失效；當外界沖擊幅值超過硬失效閾值時，發(fā)生硬失效。

令Xsi（t）為系統(tǒng)第i個退化過程在時刻t的總退化量，i=1，2，…，n，n為退化過程的數(shù)量，相應的軟失效閾值為Li；Wj為第j次沖擊的幅值，j=1，2，…，k，k為沖擊次數(shù)，系統(tǒng)的硬失效閾值為D（t）。假設每次沖擊都會使系統(tǒng)產(chǎn)生退化突增量，并且隨系統(tǒng)不斷退化，抵抗外界沖擊的能力降低，硬失效閾值D（t）是與退化時間t相關的遞減函數(shù)。由此，軟失效過程和硬失效過程的示意圖分別見圖1、圖2。圖1中X1和X2表示不同退化過程，tj（j=1，2，3，4）為第j次沖擊的到達時刻，Yij（j=1，2，3，4）為第j次沖擊對第i個退化過程造成的退化突增量。

如上所述，本文考慮退化過程存在相關性主要包括以下3個方面：①沖擊過程會導致系統(tǒng)產(chǎn)生退化突增量；②退化過程會對硬失效閾值產(chǎn)生影響；③不同退化過程間具有相關性。

1.1? 軟失效退化分析

由于隨機過程能夠描述性能退化指標的演變過程，且Gamma過程具有無限可分性，在數(shù)學和物理上具有較強的可解釋性，已被廣泛應用于描述磨損、侵蝕、裂紋等［29］，因此，本文采用Gamma過程描述系統(tǒng)的退化過程Xi（t），有Xi（t）～Ga（aiΛ（t），βi），其中ai為第i個退化過程的形狀參數(shù)，βi為第i個退化過程的尺度參數(shù)，Λ（t）=tbi，bi為退化時間的指數(shù)，可表征Gamma過程的非線性，bi≠1。

在給定ai和βi的條件下，相應的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)［30］分別為

f（Xiai）=βaiΛ（t）iΓ（aiΛ（t））XaiΛ（t）－1iexp（－βiXi）（1）

F（Xiai，βi）=Γ（aiΛ（t），Xiβi）Γ（aiΛ（t））（2）

其中，Γ（aiΛ（t））為Gamma函數(shù)，可表示為

Γ（aiΛ（t））=∫∞0XaiΛ（t）－1iexp（－Xi）dXi

Γ（aiΛ（t），Xiβi）=∫∞XiβiXaiΛ（t）－1iexp（－Xi）dXi

Gamma分布函數(shù)的計算較為復雜，可通過Laypunov中心極限定理［28］將F（Li）近似表示為

F（Li）=Φ（Li－Ai（t）Bi（t））（3）

Ai（t）=aitbiβi? Bi（t）=aitbiβ2i

其中，Ф（·）為標準正態(tài)變量的分布函數(shù)。

一般假設外界沖擊的到達過程服從Possion分布。令Possion分布的到達率為常數(shù)λ，在t時間內發(fā)生沖擊的次數(shù)為N（t），有

P（N（t）=j）=exp（－λt）（λt）jj！（4）

式中，j為發(fā)生的沖擊次數(shù)；P（N（t）=j）為發(fā)生j次沖擊的概率。

令Yij（j=1，2，…）表示第j次沖擊對第i個退化過程產(chǎn)生的退化突增量，Yij為獨立同分布的非負隨機變量。在時間t內，由外界沖擊產(chǎn)生的退化增量Si（t）為

Si（t）=∑N（t）j=1Yij? N（t）＞0

0N（t）=0（5）

根據(jù)上述分析，軟失效過程Xsi（t）由兩部分組成，包括系統(tǒng)的自然退化量Xi（t）和沖擊導致的退化突增量Si（t），則系統(tǒng)的總退化量Xsi（t）可以表示為

Xsi（t）=Xi（t）+Si（t）（6）

1.2? 硬失效退化分析

隨著系統(tǒng)的不斷退化，系統(tǒng)抵抗外界沖擊能力下降，沖擊失效閾值（即硬失效閾值）也隨之減小。將沖擊失效閾值表示為與退化時間t相關的遞減函數(shù)D（t），有

D（t）=D0－dt（7）

式中，D0為沖擊失效閾值的初始值；d為線性系數(shù)（即沖擊失效閾值的變化率）。

為了表征自然退化對沖擊失效閾值所造成的不確定性影響，設線性系數(shù)d服從正態(tài)分布［31］，即d～N（μd，σ2d），μ、σ分別為均值和標準差。當外界沖擊為極端沖擊時，第j（j=1，2，…，k）次沖擊大小為Wj，所有Wj為獨立同分布的隨機變量。設Wj服從正態(tài)分布，即Wj～N（μW，σ2W），則系統(tǒng)不發(fā)生硬失效的概率為

FW（D）=Φ（D0－（μW+μdt）σ2W+σ2dt2）（8）

在工程實際中，系統(tǒng)遭受的沖擊幅值越大，所產(chǎn)生的退化突增量也就越大。沖擊造成的退化突增量與相應的沖擊幅值成正比關系［20］，有

Yij=cwiWj（9）

其中，cwi為第i個退化過程的突增量與沖擊幅值的比例系數(shù)。由于Wj服從正態(tài)分布，故Yij也服從正態(tài)分布，即Yij～N（μYi，σ2Yi），μYi=cwiμW，σ2Yi=c2wiσ2W。

1.3? 相關性退化分析

假設有一個n維隨機變量（X1，X2，…，Xn），其各自的邊緣分布函數(shù)ui可表示為ui=Fi（Xi）=P（Xi≤Li），i=1，2，…，n，聯(lián)合分布函數(shù)為F（X1，X2，…，Xn） = P（X1≤L1， X2≤L2，…， Xn≤Ln），則基于n維Copula函數(shù)C（u1，u2，…，un）的聯(lián)合分布函數(shù)可表示為

H（X1，X2，…，Xn）=

C（F1（X1），F(xiàn)2（X2），…，F(xiàn)n（Xn）θ）（10）

其中，C（F1（X1），F(xiàn)2（X2），…，F(xiàn)n（Xn）θ）表示n維Copula函數(shù)，θ為Copula函數(shù)中的參數(shù)值。上述聯(lián)合分布的概率密度函數(shù)可表示為

h（X1，X2，…，Xn）=c（Fi（Xi）θ）∏ni=1fi（Xi）（11）

c（Fi（Xi）θ）=nC（Fi（Xi）θ）F1（X1）F2（X2）…Fn（Xn）

fi（Xi）=dFi（Xi）dXi

其中，c（Fi（Xi）θ）表示Copula密度函數(shù)。

由相關性退化模型可得（ΔX1，ΔX2，…，ΔXn）的聯(lián)合分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為

H（ΔX1，ΔX2，…，ΔXn）=

∫…（C（Fi（ΔXi）θ）∏ni=1fi（ΔXi））dΔX1dΔX2…dΔXn（12）

h（ΔX1，ΔX2，…，ΔXn）=nH（ΔX1，ΔX2，…，ΔXn）ΔX1ΔX2…ΔXn（13）

1.4? 系統(tǒng)可靠度

由上述分析可知，在退化過程和沖擊過程同時存在的情況下，t時刻內的系統(tǒng)可靠度可以表示為［18］

R（t）=∑∞j=0R（tN（t）=j）P（N（t）=j）（14）

式中，R（tN（t）=j） 表示［0，t］時間段內系統(tǒng)發(fā)生j次沖擊的可靠度；P（N（t）=j）表示［0，t］時間段內發(fā)生j次沖擊的概率。

根據(jù)在t時刻內系統(tǒng)是否發(fā)生沖擊可將可靠度分為以下兩種情況：

（1）系統(tǒng)在時間t內沒有發(fā)生沖擊，僅發(fā)生了退化，可靠度函數(shù)R1（t）表示為

R1（t）=R（tN（t）=0）P（N（t）=0）=

P（X1（t）

C（（R1（t），R2（t）θ）N（t）=0）P（N（t）=0）=

C（（Φ（Li－Ai（t）Bi（t））θ）N（t）=0）P（N（t）=0）=

C（Φ（Li－aitbiβiaitbiβ2i）θ）exp（－λt） （15）

（2）系統(tǒng)在時間t內發(fā)生了沖擊，可靠度R2（t）表示為

R2（t）=R（tN（t）=j）P（N（t）=j）·

P（Wj＜D（t））=P（X1＜L1，X2＜L2N（t）=j）·

P（N（t）=j）P（Wj＜D（t））=

∑∞j=1P（X1＜L1，X2＜L2N（t）=j）P（N（t）=j）·

Φ（D0－（μW+μdt）σ2W+σ2dt2）j=

∑∞j=1C（Φ（Li－（aitbiβi+jμYi）aitbiβ2i+jσ2Yi）θ）·

λtjj！exp（－λt）Φ（D0－（μW+μdt）σ2W+σ2dt2）j（16）

由于兩種情況相互獨立且為互斥事件，故在t時刻下系統(tǒng)的總可靠度為兩種情況的可靠度之和，表示為

R（t）=R1（t）+R2（t）=

C（Φ（Li－aitbiβiaitbiβ2i）θ）exp（－λt）+

∑∞j=1C（Φ（Li－（aitbiβi+jμYi）aitbiβ2i+jσ2Yi）θ）·

exp（－λt）λtjj！Φ（D0－（μW+μdt）σ2W+σ2dt2）j（17）

2? 參數(shù)估計

2.1? 退化模型參數(shù)估計

假設第q個樣本的測量次數(shù)為K，q=1，2，…，N（N為樣本數(shù)量），K=1，2，…，Kq（Kq為樣本q的測量總次數(shù)），則第i個退化過程中第q個樣本的第K次測量的退化量記為Xi（tq，K），其中tq，K為第q個樣本的第K次測量時刻。ΔXi（tq，K）= Xi（tq，K）- Xi（tq，K-1）表示第i個退化過程中第q個樣本在時間間隔［tK-1，tK］下的退化增量。為了便于表達，下文將Xi（tq，K）簡化為Xi，q，K。

根據(jù)Gamma過程和Possion分布的獨立增量特性，基于式（3）可得退化數(shù)據(jù)樣本的對數(shù)似然函數(shù)為

ln（L（ai，bi，βiXi））=∑Nq=1∑KqK=1ln（fXi，q，K（ΔXi，q，K））=

∑Nq=1∑KqK=1（ln（Φ（ΔXi，q，K－Ai（Δtq，K）Bi（Δtq，K））））（18）

其中，Δtq，K= tq，K-tq，K-1， ΔXi，q，K = Xi，q，K - Xi，q，K-1。通過最大化對數(shù)似然函數(shù)即可得到參數(shù)估計值。

2.2? Copula參數(shù)估計

在式（13）的基礎上可得退化數(shù)據(jù)樣本的對數(shù)似然函數(shù)為

ln（L（θ））=

∑Nq=1∑KqK=1ln（h（ΔX1，q，K，ΔX2，q，K，…，ΔXn，q，K））（19）

由于樣本似然函數(shù)涉及到多維積分求微分，且積分函數(shù)本身也比較復雜，通過直接最大化式（19） 很難得到似然函數(shù)的解析表達形式，而馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MCMC）方法具有數(shù)據(jù)模擬、迭代過程，在高維總體取樣求解問題中已趨于成熟［32］，因此，采用MCMC方法估計未知參數(shù)。

此外，為了提高求解效率，利用半?yún)?shù)估計法求解參數(shù)值，將核密度分布函數(shù)Gi（Xq）代替邊緣分布函數(shù)［33］，則有

θ=argmax∑Nq=1ln（c（G1（Xq），…，Gn（Xq）））（20）

AIC和BIC是衡量模型擬合優(yōu)良性常用的標準。AIC準則同時考慮了模型的擬合精度和未知參數(shù)的個數(shù)；BIC準則加入了懲罰項，主要是為了避免樣本容量過大時造成的過擬合現(xiàn)象。為了篩選出最佳的Copula函數(shù)，同時選擇AIC和BIC作為擬合優(yōu)度標準，較小的AIC值和BIC值表示具有更好的統(tǒng)計擬合效果［27］。

3? 數(shù)值計算

在車輛運行過程中，車輪輪緣磨耗超限易使車輛在通過彎道時發(fā)生車體運行失穩(wěn)，造成脫軌事故；輪徑磨耗會使車輪尺寸發(fā)生變化，縮短車輪全壽命周期，進而增加車輪維修成本［34］，因此，本文選擇輪緣磨耗和輪徑磨耗作為車輪的兩個退化過程，相應的磨耗量曲線見圖3。

由于車輪在服役環(huán)境中受到多種因素的影響，如線路條件、環(huán)境條件等，車輪的磨耗過程具有隨機性和不確定性，且輪緣和輪徑磨耗量都是單調過程，而Gamma隨機退化過程僅適用于描述單調過程，故采用Gamma過程刻畫車輪輪緣和輪徑的退化軌跡。為了進一步說明輪緣和輪徑性能退化量與Gamma隨機過程的顯性關系，通過概率圖和K-S假設檢驗法對輪緣和輪徑磨耗量進行分析，分析結果分別如圖4和表1所示。

觀察圖4可知，在95%的置信水平下，輪緣與輪徑退化增量均在相應規(guī)定范圍內。在表1中，K-S假設檢驗結果為P＞αc，表明不排除Gamma分布。由此證明了采用Gamma隨機過程描述輪緣與輪徑退化過程的正確性。

3.1? Copula選擇

為了更準確地描述輪緣與輪徑的相關關系，通過AIC、BIC準則選擇合適的Copula函數(shù)，結果如表2所示。針對該數(shù)據(jù)，F(xiàn)rank Copula函數(shù)對應的AIC值和BIC值最小，故本文選擇Frank Copula函數(shù)描述兩個退化量的相關關系。

3.2? 退化過程參數(shù)估計

根據(jù)同批次車輪的歷史數(shù)據(jù)得到未知參數(shù)的先驗分布，有a～U（0，10），b～U（0，1），β～U（0，30）。通過MCMC算法估計模型參數(shù)，仿真進行10 000次。為了減少前期未收斂數(shù)據(jù)對最后結果的干擾，將前1000次仿真結果作為過渡期舍棄，保留后9000次結果。部分樣本參數(shù)的迭代過程如圖5所示，其中上標（q）表示第q個樣本，q=1， 2， …， 8，下標（i）表示第i個性能退化指標，i=1，2。

為了確保參數(shù)估計值的準確性，需要使參數(shù)迭代軌跡圖收斂。觀察圖5可發(fā)現(xiàn)，參數(shù)的迭代軌跡并無顯著不規(guī)律現(xiàn)象，因此可認為迭代收斂。將此時各樣本參數(shù)估計值求平均并作為后驗估計值，具體參數(shù)估計值及沖擊過程參數(shù)值如表3所示。

3.3? 可靠度分析

在退化可靠性建模中，為了解決多重積分導致難以得到模型可靠度解析式的問題，常通過Monte Carlo方法得到模型可靠度，也將該方法作為驗證模型準確性的一種途徑［35］，因此，本文以利用Monte Carlo方法得到的可靠度為基準來評價所提模型的正確性。

根據(jù)表3所示的各參數(shù)值，通過仿真得到考慮多相關退化與僅考慮存在單個退化過程的可靠度曲線，見圖6。觀察圖6發(fā)現(xiàn)：考慮多相關退化的曲線相比于考慮一個退化過程更靠近縱坐標軸，即考慮多相關退化會得到更保守的可靠性結果。為了定量分析可靠性結果，引入均方根誤差進行評價。考慮多相關退化與僅考慮輪緣和輪徑的均方根誤差值依次為0.0052、0.0109和0.0764，發(fā)現(xiàn)考慮多相關退化模型的均方根值最小，驗證了多相關退化模型的準確性。

為了更直觀地對可靠度的變化情況進行分析，引入可靠度變化率對其進行量化，進行數(shù)值比較分析，有vR=RC－RBRB，其中，vR為可靠度變化率，RC為比較者的可靠度，RB為被比較者的可靠度。

同時，從圖6中可以分別得到三種不同模型在可靠度為0.9時的可靠壽命以及可靠度為0.5時的中位壽命，具體數(shù)值如表4所示。

通過表4分析可知：對于不同曲線，考慮多相關退化與僅考慮輪緣的可靠性結果更接近，與僅考慮輪徑的結果相差較大。該情況與實際情況相符。將多相關退化過程的可靠度作為比較者，單退化過程作為被比較者，得到相應的可靠度變化率如表4所示。隨著可靠度不斷降低，可靠度變化率逐漸增大，表明考慮多相關退化與僅考慮單退化過程的差異隨退化程度的加深而增大，在退化后期尤為明顯。

3.4? 靈敏度分析

3.4.1? 參數(shù)λ的靈敏度分析

為了討論定失效閾值與變失效閾值對可靠性的影響，分別在不同沖擊到達率λ的基礎上得到相應的可靠度曲線，并進行靈敏度分析，如圖7所示。

參數(shù)λ表示沖擊到達率，圖7a給出了不同情況下車輪的可靠度曲線。隨著λ的減?。匆欢ɡ锍滔掳l(fā)生的沖擊次數(shù)減少），車輪可靠度明顯提高。相較于定失效閾值，考慮變失效閾值會得到更加保守的可靠性結果。隨著λ值的增大，前期曲線越來越陡峭，可知沖擊對退化前期產(chǎn)生的影響更大。圖7b分析了不同λ值下的可靠度變化差異，結果表明：相較于定失效閾值，考慮失效閾值變化會對車輪的整個退化過程造成影響。不同λ下可靠度變化率曲線的變化趨勢雖無顯著變化，但隨著λ值的增大，曲線明顯上移。

λ=0.01，0.05，0.1所對應的最大可靠度變化率分別為0.006、0.0277、0.049。當沖擊較大時，考慮變失效閾值對可靠性的影響不可忽略，說明了考慮失效閾值隨機性變化的必要性。

3.4.2? 參數(shù)μd的靈敏度分析

參數(shù)μd表示沖擊失效閾值的變化率，μd越大表明沖擊失效閾值下降越快。在σd值不變的情況下，不同μd值的可靠度曲線及可靠度變化率曲線見圖8。觀察圖8a發(fā)現(xiàn)，不同μd下車輪退化前期的可靠度曲線有明顯差異，驗證了沖擊失效閾值的變化率對車輪退化前期的影響較大。當可靠度為0.9時，μd=0.01，0.05，0.1所對應的運營里程分別為14.6×104 km、13.7×104 km、11.6×104 km，后兩者與前者分別相差0.9×104 km、3.0×104 km。觀察圖8b發(fā)現(xiàn)，不同μd值下的車輪可靠度變化率曲線都呈現(xiàn)先增大后減小的變化規(guī)律。隨μd值的增大，可靠度變化率也增大。μd=0.05，0.1所對應的最大可靠度變化率分別約為0.044、0.079。

3.4.3? 參數(shù)σd的靈敏度分析

參數(shù)σd表示沖擊失效閾值的波動情況，σd越大表明閾值的波動范圍越大。在μd值不變的情況下，不同σd值下的可靠度曲線及可靠度變化率曲線見圖9。觀察圖9a發(fā)現(xiàn)，在車輪退化前期，不同σd值下的可靠度曲線并不重疊，

而退化后期的可靠度曲線基本重疊，由此可知沖擊失效閾值的波動情況主要對車輪退化前期的可靠性產(chǎn)生影響。觀察圖9b發(fā)現(xiàn)，σd值變化對車輪可靠度變化率的影響趨勢與μd值基本一致。σd=0.05，0.5所對應的最大可靠度變化率分別約為0.011、0.028。

綜上，通過對μd和σd進行靈敏度分析（即對變失效閾值進行靈敏度分析），發(fā)現(xiàn)改變沖擊失效閾值會對車輪可靠性產(chǎn)生影響，尤其是當失效閾值變化較大時，對車輪退化前期的可靠性影響更為顯著，說明了考慮變失效閾值的必要性。

4? 結論

本文針對經(jīng)歷多個退化過程與沖擊過程的機械部件建立考慮沖擊失效閾值隨機變化的多相關退化可靠性模型，并基于實測數(shù)據(jù)進行仿真計算，驗證了模型的合理性和有效性，得到以下結論：

（1）考慮隨機沖擊與退化過程間存在相互影響，并在此基礎上考慮不同退化過程之間的相關性。此外，由于沖擊失效閾值會受到退化過程的不確定影響，認為沖擊失效閾值是一個隨機變量，基于非平穩(wěn)Gamma過程和Copula函數(shù)建立多相關退化可靠性模型，并通過馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MCMC）方法估計退化模型的未知參數(shù)。

（2）利用Monte Carlo方法驗證了多相關退化模型的準確性，并對該模型進行可靠度分析。與僅考慮單個退化過程的可靠性模型相比，本文所建模型會得到更加保守的可靠性結果，可確保機械部件的工作安全性。

（3）對隨機沖擊失效閾值的參數(shù)進行靈敏度分析發(fā)現(xiàn)，沖擊失效閾值變化對機械部件的整個退化過程都有影響，但對退化前期的影響更大。當沖擊較大時，考慮沖擊失效閾值發(fā)生變化對可靠性造成的影響不可忽略，說明了考慮變失效閾值的必要性。

由于機械部件的制造及裝配過程存在不可避免的誤差，且工作載荷、環(huán)境條件具有時變性等原因，機械部件性能相關性往往是動態(tài)的、不確定的，而傳統(tǒng)的常數(shù)Copula函數(shù)無法體現(xiàn)不同退化過程中的動態(tài)變化特性，不能完全反映機械部件相關性隨時間變化的特點，因此，在未來的研究中將探究時變Copula函數(shù)在工程問題上的應用。

參考文獻：

［1］? GAO Hongda， CUI Lirong， QIU Qingan. Reliability Modeling for Degradation-shock Dependence Systems with Multiple Species of Shocks［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2019， 185：133-143.

［2］? 齊金平，劉曉宇，李鴻偉，等.高速列車車輪兩階段退化建模及可靠性分析［J/OL］.中國機械工程［2024-04-09］.http：∥kns.cnki.net/kcms/detail/42.1294.TH.20240402.1306.002.html.

QI Jinping， LIU Xiaoyu， LI Hongwei， et al. Modeling and Reliability Analysis of Wheel Degradation of High-speed Trains［J/OL］. China Mechanical Engineering［2024-04-09］. http：∥ kns.cnki.net /kcms /detail /42. 1294 . TH. 20240402. 1306.002. html.

［3］? WU Bei， CUI Lirong， YIN Juan. Reliability and Maintenance of Systems Subject to Gamma Degradation and Shocks in Dynamic Environments［J］. Applied Mathematical Modelling， 2021，96：367-381.

［4］? DAI Xinliang， QU Sheng， SUI Hao， et al. Reliabi-lity Modelling of Wheel Wear Deterioration Using Conditional Bivariate Gamma Processes and Bayesian Hierarchical Models［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2022，226：108710.

［5］? 劉小平，郭斌，崔德軍，等.基于二元維納過程的小樣本齒輪泵可靠壽命預測［J］.中國機械工程， 2020， 31（11）：1315-1322.

LIU Xiaoping， GUO Bin， CUI Dejun， et al. Q-precentile Life Prediction Based on Bivariate Wiener Process for Gear Pumps with Small Sample Sizes［J］. China Mechanical Engineering， 2020， 31（11）：1315-1322.

［6］? GUAN Qiang， TANG Yincai， XU Ancha . Reference Bayesian Analysis of Inverse Gaussian Degradation Process［J］. Applied Mathematical Modelling， 2019， 74：496-511.

［7］? LYU Hao， QU Hongchen， XIE Hualong， et al. Reliability Analysis of the Multi-state System with Nonlinear Degradation Model under Markov Environment［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2023，238：109411.

［8］? LIANG Qingzhu， YANG Yinghao， PENG Changhong. A Reliability Model for Systems Subject to Mutually Dependent Degradation Processes and Random Shocks under Dynamic Environments［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2023， 234：109165.

［9］? WANG Zhihua， CAO Shihao， LI Wenbo， et al. Reliability Modeling for Competing Failure Processes Considering Degradation Rate Variation under Cumulative Shock［J］. Quality and Reliability Engineering International， 2022，39（1）：47-66.

［10］? HIMANSHU S， ANN M L， ANNE B. Introduction of Degradation Modeling in Qualification of the Novel Subsea Technology［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2021， 216：107956.

［11］? ZHANG N， FOULADIRAD M， BARROS A， et al. Reliability and Maintenance Analysis of a Degradation-Threshold-Shock Model for a System in a Dynamic Environment［J］. Applied Mathematical Modelling， 2020， 91：549-562.

［12］? PENG H， FENG Q M， CAVID W D. Reliability and Maintenance Modeling for Systems Subject to Multiple Dependent Competing Failure Processes［J］. IIE Transactions， 2010，43（1）：12-22.

［13］? JIANG L， FENG Q M， CAVID W D. Modeling Zoned Shock Effects on Stochastic Degradation in Dependent Failure Processes［J］. IIE Transactions， 2015， 47（5）：460-470.

［14］? 孫富強，李艷宏，程圓圓.考慮有效沖擊量級的退化-沖擊競爭失效建模［J］.振動·測試與診斷， 2023， 43（1）：152-158.

SUN Fuqiang， LI Yanhong， CHENG Yuanyuan. Reliability Modeling of Degradation-shock Competing System Considering Effective Shock Magnitude［J］. Jounal of Vibration， Measurement & Diagnosis 2023， 43（1）：152-158.

［15］? 常春波，曾建潮.極端沖擊下系統(tǒng)競爭性失效過程的可靠性建模［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2015，35（5）：1332-1338.

CHANG Chunbo， ZENG Jianchao. Reliability Modeling for Dependent Competing Failure Process under Extreme Shock［J］. System Engineering—Theory & Practice， 2015，35（5）：1332-1338.

［16］? 胡啟國，高展.考慮區(qū)域沖擊影響的系統(tǒng)競爭失效可靠性建模［J］.系統(tǒng)仿真學報，2021，33（5）：1070-1077.

HU Qiguo， GAO Zhan. System Reliability Modeling in Competitive Failure Considering Zoned Shock Effect［J］. Journal of System Simulation， 2021，33（5）：1070-1077.

［17］? JIANG L， FENG Q M， CAVID W D. Reliability and Maintenance Modeling for Dependent Competing Failure Processes with Shifting Failure Thresholds［J］. IEEE Transactions on Reliability， 2012，61（4）：932-948.

［18］? HAO Songhua， YANG Jun， MA Xiaobing， et al. Reliability Modeling for Mutually Dependent Competing Failure Processes due to Degradation and Random Shocks［J］. Applied Mathematical Modelling， 2017， 51：232-249.

［19］? USYNIN A， HINES J W， URMANOV A.Uncertain Failure Thresholds in Cumulative Damage Models［C］∥ 2008 Annual Reliability & Maintainability Symposium. Las Vegas：IEEE Computer Society， 2008：334-340.

［20］? 夏悅馨，方志耕.考慮失效閾值隨機性的退化-沖擊競爭失效建模［J］.北京航空航天大學學報， 2023， 49（8）：2079-2088.

XIA Yuexin， FANG Zhigeng. Degradation-shock Competing Failure Modeling Considering Randomness of Failure Threshold［J］. Journal of Beijing University of Aeronautics and Aatronautics 2023， 49（8）：2079-2088.

［21］? LI W J， PHAM H. Reliability Modeling of Multi-State Degraded Systems with Multi-competing Failures and Random Shocks［J］. IEEE Transactions on Reliability， 2005，54（2）：297-303.

［22］? YANG Chengqiang， GU Xiaohui， ZHAO Fangchao. Reliability Analysis of Degrading Systems Based on Time-varying Copula［J］. Microelectronics Reliability， 2022， 136：114628.

［23］? BAI G H， FLECK B， ZUO J M. A Stochastic Power Curve for Wind Turbines with Reduced Variability Using Conditional Copula［J］. Wind Energy， 2016， 19（8）：1519-1534.

［24］? TANG Jiayin， CHEN Chongshuang， HUANG Lei. Reliability Assessment Models for Dependent Competing Failure Processes Considering Correlations between Random Shocks and Degradations［J］. Quality and Reliability Engineering International， 2019， 35（1）：179-191.

［25］? AN Zongwen， SUN Daoming. Reliability Modeling for Systems Subject to Multiple Dependent Competing Failure Processes with Shock Loads above a Certain Level［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2017， 157：129-138.

［26］? LIU Zhenyu， MA Xiaobing， YANG Jun， et al. Reliability Modeling for Systems with Multiple Degradation Processes Using Inverse Gaussian Process and Copulas［J］. Mathematical Problems in Engineering， 2014（1/2）：1-10.

［27］? SUN Fuqiang， LYU Hao， CHENG Yuanyuan， et al. Reliability Analysis for a System Experiencing Dependent Degradation Processes and Random Shocks Based on a Nonlinear Wiener Process Model［J］. Reliability Engineering & System Safety， 2021， 215：107906.

［28］? 楊志遠，趙建民，程中華，等.基于退化相關性分析的競爭失效系統(tǒng)可靠性模型［J］.兵工學報， 2020，41（7）：1423-1433.

YANG Zhiyuan， ZHAO Jianmin， CHENG Zhonghua， et al. Reliability Model of Competing Failure System with Dependent Degradation［J］. Acta Armamentarii， 2020， 41（7）：1423-1433.

［29］? HUYNH K， CASTRO I， BARROS A， et al. Modeling Age-based Maintenance Strategies with Minimal Repairs for Systems Subject to Competing Failure Modes due to Degradation and Shocks［J］. European Journal of Operational Research， 2011，218（1）：140-151.

［30］? WANG Haowei， XU Tingxue， MI Qiaoli. Lifetime Prediction Based on Gamma Processes from Accelerated degradation data［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2015， 28（1）：172-179.

［31］? 王新剛，馬瑞敏，黃小凱，等.基于性能退化的失效閾值變化速率對產(chǎn)品可靠性的影響［J］.航天器環(huán)境工程，2020，37（2）：137-142.

WANG Xingang， MA Ruimin， HUANG Xiaokai， et al. Effect of Failure Threshold Change Rate on the Analysis of Product Reliability Based on Performance Degradation［J］. Spacecraft Environment Engineering， 2020， 37（2）：137-142.

［32］? ZHANG Chao， CHEN Rentong， BAI Guanghan， et al. Reliability Estimation of Rotary Lip Seal in Aircraft Utility System Based on Time-varying Dependence Degradation Model and Its Experimental Validation［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2020， 33（8）：2230-2241.

［33］? MILADINOVIC B，TSOKOS P C.Sensitivity of the Bayesian Reliability Estimates for the Modified Gumbel Failure Model［J］. International Journal of Reliability， Quality and Safety Engineering， 2009， 16（4）：331-341.

［34］? ZENG Yuanchen， SONG Dongli， ZHANG Weihua， et al. Influence of Different Railway Lines on Wheel Damage of High-speed Trains：Data-driven Modelling and Prediction［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part O：Journal of Risk and Reliability， 2022， 237（3）：1-12.

［35］? LYU Hao， QU Hongchen， YANG Zaiyou， et al.Reliability Analysis of Dependent Competing Failure Processes with Time-varying δ Shock Model［J］. Reliability Engineering and System Safety， 2023， 229：108876.

（編輯? 胡佳慧）

作者簡介：

馮? 洪，女，2000年生，碩士研究生。研究方向為動車組部件可靠性建模。E-mail：1750380194@qq.com。

齊金平（通信作者），男，1978年生，副教授。研究方向為動車組部件可靠性建模、剩余壽命預測， 多源數(shù)據(jù)融合。E-mail：qijinping@mail.lzjtu.cn。