收稿日期：2023-08-16

基金項(xiàng)目：南京工業(yè)大學(xué)浦江學(xué)院2022年自然科學(xué)研究類項(xiàng)目（njpj2022-1-20）

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.05.039

摘" 要：Halbach永磁同步電機(jī)吸納永磁電機(jī)和Halbach永磁陣列的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛地應(yīng)用于機(jī)器人、新能源汽車、航空航天等領(lǐng)域。為了減小180W機(jī)器人關(guān)節(jié)電機(jī)的氣隙磁通密度波形畸變率，提高輸出轉(zhuǎn)矩和效率，提出一種改進(jìn)的多目標(biāo)優(yōu)化方法。將響應(yīng)曲面法和布谷鳥(niǎo)算法相結(jié)合，對(duì)電機(jī)的永磁體厚度、轉(zhuǎn)子厚度關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，建立Maxwell有限元模型進(jìn)行對(duì)比分析。研究結(jié)果表明，此優(yōu)化方法能夠有效改善電機(jī)的氣隙磁密畸變率和轉(zhuǎn)矩，提高優(yōu)化效率。

關(guān)鍵詞：Halbach永磁陣列；布谷鳥(niǎo)算法；有限元分析；多目標(biāo)優(yōu)化

中圖分類號(hào)：TP242.3" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" 文章編號(hào)：2096-4706（2024）05-0179-05

Optimization Design of Robot Joint Motor Based on Maxwell

ZHANG Shuangshuang1， GE Xingmei1， LU Xinyun2， REN Siyu1

（1.Nanjing Tech University Pujiang Institute， Nanjing" 211200， China; 2.Nanjing Institute of Technology， Nanjing" 211167， China）

Abstract： The Halbach permanent magnet synchronous motor incorporates the advantages of permanent magnet motors and Halbach permanent magnet arrays， and is widely used in fields such as robot， new energy vehicles， and aerospace. In order to reduce the distortion rate of the air gap magnetic flux density waveform of the 180W robot joint motor， improve the output torque and efficiency， an improved multi-objective optimization method is proposed. By combining the response surface method and the Cuckoo Search Algorithm， the key structural parameters such as the permanent magnet thickness and rotor thickness of the motor are optimized， and a Maxwell finite element model is established for comparative analysis. The research results indicate that this optimization method can effectively improve the air gap flux density distortion rate and torque of the motor， and improve optimization efficiency.

Keywords： Halbach permanent magnet array; Cuckoo Search Algorithm; finite element analysis; multi-objective optimization

0" 引" 言

由于機(jī)器人具有可靠穩(wěn)定、工作效率高、能在高危環(huán)境下代替人工進(jìn)行操作[1]等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)、軍事、醫(yī)療等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。其中電機(jī)單元作為機(jī)器人最重要的零部件之一，對(duì)機(jī)器人是否能夠平穩(wěn)、精準(zhǔn)、可靠運(yùn)行至關(guān)重要。目前，為了達(dá)到關(guān)節(jié)電機(jī)高效、大轉(zhuǎn)矩和低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的設(shè)計(jì)要求，國(guó)內(nèi)外機(jī)器人主要采用的驅(qū)動(dòng)電機(jī)包括直流電機(jī)、永磁電機(jī)、步進(jìn)電機(jī)等。其中，步進(jìn)電動(dòng)機(jī)存在質(zhì)量較重且價(jià)格高昂的問(wèn)題[2]；而方波驅(qū)動(dòng)的無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)較大[3]，不利于機(jī)械臂穩(wěn)定運(yùn)行；體積小、出力大并能夠高效運(yùn)作[4]的永磁同步電機(jī)憑借其優(yōu)勢(shì)，成為機(jī)器人市場(chǎng)的主要驅(qū)動(dòng)電機(jī)。同時(shí)，具有極高氣隙磁密正弦性和強(qiáng)大磁屏蔽效應(yīng)特點(diǎn)的Halbach永磁體陣列[5]被應(yīng)用于永磁同步電機(jī)，Halbach永磁同步電機(jī)應(yīng)運(yùn)而生，可以顯著提高普通永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩特性。因此，Halbach永磁同步電機(jī)在機(jī)器人的發(fā)展中具有良好的應(yīng)用前景。

在設(shè)計(jì)電機(jī)過(guò)程中，由于有限元計(jì)算需要大量的時(shí)間和資源，需要加入優(yōu)化算法來(lái)縮減設(shè)計(jì)時(shí)長(zhǎng)，因此在研究電機(jī)的歷史長(zhǎng)河中，對(duì)于優(yōu)化算法的探索生生不息。目前，國(guó)內(nèi)外研究者根據(jù)不同類型的電機(jī)、不同的優(yōu)化目標(biāo)，引入各式各樣的優(yōu)化算法來(lái)設(shè)計(jì)和優(yōu)化電機(jī)，可將其主要分為單目標(biāo)優(yōu)化和多目標(biāo)優(yōu)化兩種。單目標(biāo)優(yōu)化有利用支持向量機(jī)回歸的方法、利用模擬退火的方法、采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法等。但是對(duì)于電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)而言，僅僅是針對(duì)單一目標(biāo)的優(yōu)化，只是局部?jī)?yōu)化，無(wú)法到達(dá)全局優(yōu)化。對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化，文獻(xiàn)[6]中一種改進(jìn)的基于模糊田口的方法被用于直接驅(qū)動(dòng)永磁同步電機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化，但是具有計(jì)算量大的問(wèn)題；文獻(xiàn)[7]中混合多目標(biāo)快速收斂?jī)?yōu)化算法被用于實(shí)現(xiàn)永磁牽引電機(jī)的設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[8]利用遺傳-模擬退火混合算法對(duì)PMSM的效率、功率因數(shù)進(jìn)行分析；文獻(xiàn)[9]通過(guò)使用共形映射方法研究了一種典型永磁電機(jī)性能。以上方法雖然都可以實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化，但是存在全局搜索能力較差、計(jì)算量大大增加、運(yùn)行效率低等缺點(diǎn)。

本文將響應(yīng)曲面法和布谷鳥(niǎo)搜索算法相結(jié)合，以達(dá)到較快實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化的效果。響應(yīng)曲面法是應(yīng)用于工程和化工領(lǐng)域的一種常見(jiàn)算法，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的自變量較少時(shí)，利用這種方法可以較快地尋求出最優(yōu)解。布谷鳥(niǎo)算法是以布谷鳥(niǎo)尋優(yōu)產(chǎn)卵過(guò)程為基礎(chǔ)的一種新型工程優(yōu)化算法，具有很好的通用性和魯棒性，并且可以和其他智能優(yōu)化算法融合。因此本文結(jié)合兩種方法優(yōu)點(diǎn)，對(duì)機(jī)器人用Halbach永磁同步電機(jī)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。首先，闡述了180W的Halbach永磁同步電機(jī)的系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)和技術(shù)指標(biāo)。然后，對(duì)電機(jī)進(jìn)行初始參數(shù)設(shè)計(jì)。再基于響應(yīng)曲面法和布谷鳥(niǎo)算法，對(duì)Maxwell中建立的系統(tǒng)模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。最后，將優(yōu)化前后的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，給出結(jié)論，證明優(yōu)化方法的可行性。

1" 系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)

1.1" 主要技術(shù)要求

電機(jī)設(shè)計(jì)前，必須明確電機(jī)的性能指標(biāo)、主要的技術(shù)要求，用于進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)和優(yōu)化的參數(shù)來(lái)源。本文將根據(jù)主要技術(shù)要求，包括180 W額定功率PN，48 V額定電壓UN，5 A額定電流IN，3 500 r/min額定轉(zhuǎn)速nN來(lái)確定電機(jī)的主要結(jié)構(gòu)。

1.2" 系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案

根據(jù)上述電機(jī)的主要技術(shù)要求來(lái)確定Halbach永磁同步電機(jī)的主要結(jié)構(gòu)，綜合權(quán)衡電磁性能指標(biāo)、經(jīng)濟(jì)性、材料性能等要求，以選擇合適的結(jié)構(gòu)材料。主要的設(shè)計(jì)流程如圖1所示，推導(dǎo)電機(jī)的功率方程和尺寸公式，進(jìn)而得到電機(jī)的初試尺寸參數(shù)；再通過(guò)有限元Maxwell軟件進(jìn)行電磁計(jì)算，根據(jù)仿真結(jié)果判斷設(shè)計(jì)的能否達(dá)到表中要求；最后，利用優(yōu)化算法來(lái)對(duì)電機(jī)的尺寸參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而設(shè)計(jì)出符合要求的電機(jī)結(jié)構(gòu)。

圖1" 方案設(shè)計(jì)流程圖

2" 電機(jī)的初始設(shè)計(jì)

2.1" 電機(jī)的主要參數(shù)設(shè)計(jì)

首先要確定電機(jī)的主要尺寸，其中主要尺寸對(duì)電機(jī)的建模、運(yùn)行特性分析及生產(chǎn)加工有著非常重要的作用。所以本文依據(jù)主要技術(shù)要求進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì)。

當(dāng)電機(jī)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，其轉(zhuǎn)速n與定子旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的轉(zhuǎn)速，都取決于電源頻率f和電機(jī)極對(duì)數(shù)p，即：

（1）

一般將電機(jī)的極弧系數(shù)Cs定義為每極永磁體弧長(zhǎng)與一個(gè)定子極距的比值，也可定義為氣隙平均磁密和最大磁密的比值[10]。和普通的永磁電機(jī)不同的是，本文電機(jī)結(jié)構(gòu)為了滿足Halbach單側(cè)聚磁的要求，永磁陣列幾乎覆蓋了整個(gè)定子極距，所以依據(jù)一般標(biāo)準(zhǔn)來(lái)定義含有Halbach的電機(jī)極弧系數(shù)是沒(méi)有意義的。所以，本文將一極Halbach永磁體陣列在一個(gè)定子極距內(nèi)所占的范圍比例定義為該電機(jī)的極弧系數(shù)：

（2）

式中，bi為Halbach陣列永磁體所跨弧長(zhǎng)，τ1為定子極距。

空載反電動(dòng)勢(shì)Em為電機(jī)的關(guān)鍵參數(shù)之一，本文中是由電機(jī)中Halbach永磁陣列產(chǎn)生的空載氣隙基波磁通在電樞繞組中感應(yīng)產(chǎn)生，定子繞組每相空載感應(yīng)電勢(shì)幅值為：

（3）

式中，Nph為電機(jī)定子相繞組匝數(shù)；ωr為轉(zhuǎn)子角速度，單位為rad；Фm為永磁磁通的幅值。

根據(jù)上述步驟推導(dǎo)出電機(jī)的輸出方程，即可得到尺寸方程式（4）：

（4）

式中，P2為電機(jī)的輸出功率，q為定子槽數(shù)，kd為繞組磁密波形系數(shù)，kF為空載時(shí)氣隙磁場(chǎng)中基波幅值和磁密最大值的比值，kio為電機(jī)的裂比，Ac為電負(fù)荷。

2.2" Halbach永磁體參數(shù)設(shè)計(jì)

Halbach永磁陣列能使得氣隙磁密的幅值大幅提升并有效提高磁密正弦性，故本文的永磁體選用Halbach永磁陣列結(jié)構(gòu)。在常見(jiàn)的分段式Halbach永磁陣列中，根據(jù)功能可將其分為主、輔兩類。其中，將用于建立氣隙磁場(chǎng)的陣列塊定義為主極，并且對(duì)其進(jìn)行徑向充磁；而用于改善波形正弦度的定義為輔極Halbach永磁陣列塊[11]。另外，由于Halbach永磁同步電機(jī)的應(yīng)用大多數(shù)是該電機(jī)的氣隙磁密有所要求，需要具備高可靠性和大的功率密度，因此所選永磁材料要有較大的矯頑力Hc和磁能積（BH）max。綜合分析上述各方面因素后，本文設(shè)計(jì)的電機(jī)選用剩磁密度Br和矯頑力Hc數(shù)值較高的釹鐵硼永磁材料。

本設(shè)計(jì)中1極永磁體，由5塊Halbach陣列組成，分別記為A、B1、B2、C1和C2。如圖2所示，永磁體塊A～C2的充磁角度分別記為α、β1、β2、γ1和γ2，其中p為電機(jī)的極對(duì)數(shù)。

圖2" 電機(jī)三維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

圖2顯示了三相Halbach永磁同步電機(jī)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，該拓?fù)溆啥ㄗ予F芯1和轉(zhuǎn)子鐵芯3，電樞繞組2和20組Halbach陣列4組成。定子和轉(zhuǎn)子鐵芯的材料是硅鋼片，電樞繞組由銅線圈組成。

2.3" 電機(jī)主要尺寸參數(shù)

根據(jù)以上的公式推導(dǎo)和設(shè)計(jì)分析，可得到Halbach永磁同步電機(jī)的主要尺寸如表1所示。

表1" 電機(jī)主要尺寸參數(shù)

參數(shù)名稱 參數(shù)符號(hào) 數(shù)值/mm 參數(shù)名稱 參數(shù)符號(hào) 數(shù)值

定子外徑 Dso 50.0 A充磁角 α 90°

轉(zhuǎn)子內(nèi)徑 Dri 30.0 B1充磁角 β1 30°

轉(zhuǎn)子高度 L 4.5 B2充磁角 β2 150°

永磁體厚度 D 1.4 C1充磁角 γ1 45°

氣隙長(zhǎng)度 Lair 0.2 C2充磁角 γ2 135°

軸向長(zhǎng)度 Laxi 16.1 極對(duì)數(shù) p 10對(duì)

3" 電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1" 優(yōu)化目標(biāo)及優(yōu)化變量

關(guān)節(jié)機(jī)器人是否能夠平穩(wěn)運(yùn)行關(guān)鍵在于電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，而氣隙磁密諧波和幅值對(duì)輸出轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)有著極大的影響，所以本文為了將氣隙磁通密度的總諧波畸變（THDBr）和輸出轉(zhuǎn)矩（T）選為電機(jī)的優(yōu)化目標(biāo)，THDBr的表達(dá)如式（5）：

（5）

式中，Bri為氣隙通量密度的第i次諧波幅度，Br為氣隙通量密度的基波幅值。

電機(jī)的勵(lì)磁源主要定子繞組和永磁體，本文在保持樣機(jī)的外尺寸不變的條件下，根據(jù)實(shí)際制造條件的限制，將永磁體厚度、轉(zhuǎn)子厚度這兩個(gè)參數(shù)作為優(yōu)化變量，進(jìn)行電機(jī)的氣隙磁密諧波畸變率、輸出轉(zhuǎn)矩的優(yōu)化。

3.2" 響應(yīng)曲面模型的求取

基于響應(yīng)曲面理論，建立自變量與輸出量的響應(yīng)曲面模型。本文選用D、L為自變量，T、THDBr為響應(yīng)值。通過(guò)改變自變量，來(lái)尋求最佳響應(yīng)曲面，可表示為：

（6）

式中，y為響應(yīng)值，x為自變量，k為自變量的個(gè)數(shù)。

利用最小二乘法，擬合近似函數(shù)，得到精確的響應(yīng)曲面模型來(lái)代替自變量與響應(yīng)值之間的真實(shí)函數(shù)關(guān)系。另外，采用響應(yīng)曲面中心復(fù)合設(shè)計(jì)central composite design（CCD）的方法，選取合適的自變量范圍。利用有限元軟件Maxwell建立樣本點(diǎn)的二維模型，計(jì)算每個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的輸出轉(zhuǎn)矩T，通過(guò)對(duì)氣隙磁通密度波形圖的傅里葉分解，獲得氣隙磁密的基波幅值、各次諧波幅值以及THDBr。

對(duì)求得的模型進(jìn)行分析，其中擬合數(shù)據(jù)R2表示響應(yīng)曲面與實(shí)際值之間的差異程度，兩模型R2分別為0.929和0.920，均大于0.9，說(shuō)明擬合度較好。Adjusted-R2反映添加的變量是否具備統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，該值越大，表明模型擬合的精確度越高。表中兩模型的該值分別為0.869和0.852，均大于0.8，說(shuō)明響應(yīng)值和自變量之間線性關(guān)系顯著，模型能夠較好地反應(yīng)數(shù)據(jù)規(guī)律。對(duì)模型進(jìn)行方差分析時(shí)，P值為擬合出的模型在進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確程度，兩模型P值均小于0.002，實(shí)驗(yàn)誤差較小。綜合分析，整體模型有效。

3.3" 布谷鳥(niǎo)算法尋優(yōu)

劍橋大學(xué)的楊教授在十多年前提出了一種仿生類算法，即布谷鳥(niǎo)搜索算法，該算法來(lái)源于布谷鳥(niǎo)獨(dú)特的巢寄生行為以及大多鳥(niǎo)類存在的一種飛行軌跡[12]。為了更好地描述，故建立以下規(guī)則：

1）布谷鳥(niǎo)每次產(chǎn)且僅產(chǎn)出一個(gè)蛋，將其隨機(jī)的選擇一個(gè)鳥(niǎo)巢放置。

2）僅保留孵化出最優(yōu)布谷鳥(niǎo)蛋的鳥(niǎo)巢到下一代。

3）宿主的數(shù)量是固定的，被宿主發(fā)現(xiàn)的概率假設(shè)為P，如果被宿主發(fā)現(xiàn)，則視為該鳥(niǎo)巢寄生失敗。

本文利用JMP軟件中的曲面響應(yīng)法擬合尺寸變量和優(yōu)化目標(biāo)之間的關(guān)系，采用CS算法對(duì)該擬合的模型進(jìn)行尋優(yōu)，流程如圖3所示。布谷鳥(niǎo)算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置，由于輸出轉(zhuǎn)矩T和氣隙磁密總諧波畸變THDBr對(duì)Halbach永磁同步電機(jī)的性能影響同等重要，故在Pareto解集中選擇最佳解決方案時(shí)，賦予二者的權(quán)重各為1/2，優(yōu)化后的結(jié)果如表2所示。

圖3" CS尋優(yōu)流程圖

表2" 優(yōu)化前后參數(shù)對(duì)比

參數(shù)符號(hào)/單位 優(yōu)化前數(shù)值 優(yōu)化后數(shù)值

L / mm 4.5 3.0

D / mm 1.4 3.0

T /（N·m） 1.0 1.4

THDBr / % 20.5 15.1

4" 優(yōu)化前后對(duì)比分析

4.1" 氣隙磁場(chǎng)

圖4和圖5分別是優(yōu)化前電機(jī)（HPMSM1）與優(yōu)化后電機(jī)（HPMSM2）的氣隙磁場(chǎng)磁通密度分布圖及其諧波分布圖。從圖中可以看出，氣隙磁通密度基波幅值增大，諧波畸變率減小了5.4%，有利于減小轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)和損耗，提高電機(jī)性能。

圖4" 氣隙磁場(chǎng)磁通密度分布圖

圖5" 氣隙磁場(chǎng)磁密諧波分布圖

4.2" 空載反電動(dòng)勢(shì)

圖6是優(yōu)化前后電機(jī)的空載反電動(dòng)勢(shì)對(duì)比圖，二者畸變率均低于5%。在圖中，優(yōu)化前的反電動(dòng)勢(shì)有效值14 V，優(yōu)化后電機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)有效值為16.5 V，比之前增大了17.9%。優(yōu)化后的反電動(dòng)勢(shì)幅值變大，正弦度較好，從而提高電機(jī)的轉(zhuǎn)矩性能。

圖6" 空載反電動(dòng)勢(shì)對(duì)比圖

4.3" 轉(zhuǎn)矩特性

由圖7可見(jiàn)，優(yōu)化后電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩為1.4 N·m，比優(yōu)化前提高了40%。并且優(yōu)化后的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)明顯比優(yōu)化前小。可以說(shuō)明優(yōu)化后的電機(jī)轉(zhuǎn)矩特性得到了明顯的提高。

圖7" 轉(zhuǎn)矩對(duì)比圖

5" 結(jié)" 論

本文將響應(yīng)曲面法與布谷鳥(niǎo)算法相結(jié)合，優(yōu)化了機(jī)器人用Halbach永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子和永磁體的厚度，以增加轉(zhuǎn)矩，降低氣隙磁通密度的THD。通過(guò)有限元方法驗(yàn)證了多目標(biāo)優(yōu)化的方法。該方法不僅僅彌補(bǔ)了響應(yīng)曲面法的不足，還降低了計(jì)算量，減少了優(yōu)化時(shí)間。仿真結(jié)果表明，優(yōu)化后電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)磁通密度波形更趨于正弦波，轉(zhuǎn)矩提高并且脈動(dòng)得到了改善。

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作者簡(jiǎn)介：張雙雙（1995.10—），女，漢族，江蘇鹽城人，助教，碩士，研究方向：自動(dòng)控制、電磁設(shè)計(jì)；葛星梅（1994.02—），女，漢族，江蘇泰州人，助教，碩士，研究方向：自動(dòng)控制、無(wú)線通信；陸欣云（1981.08—），男，漢族，江蘇南京人，講師，碩士學(xué)歷，研究方向：計(jì)算機(jī)控制、網(wǎng)絡(luò)通信；任思宇（2002.02—），女，漢族，江蘇徐州人，講師，本科在讀，研究方向：自動(dòng)控制。