摘要：提出了一種求解二維變系數(shù)廣義Poisson方程的重心插值配點(diǎn)法，重心插值配點(diǎn)法是一種真正的無網(wǎng)格 配點(diǎn)方法，其在計(jì)算域內(nèi)不用劃分網(wǎng)格，得出的數(shù)值解在一定誤差范圍內(nèi)可以無限接近精確解，同時(shí)具有很好 的數(shù)值穩(wěn)定性.本文中的數(shù)值算例均采用重心有理插值配點(diǎn)法和重心Lagrange插值配點(diǎn)法來計(jì)算，然后通過 與解析解的比較，可以得出該方法具有快速、準(zhǔn)確和易于數(shù)值計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，是一種較好的數(shù)值計(jì)算方法. 關(guān)鍵詞：重心有理插值；重心Lagrange插值；配點(diǎn)法；Poisson方程

中圖分類號(hào)：0241.82

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Solving the Generalized Poisson Equation with Variable Coefficient Based on Barycentric Interpolation Collocation Method

WANG Lei-lei

（School of Mathematics and Statistics， Ningxia University， Yinchuan 750021， China）

Abstract：A barycentric interpolation collocation method for solving the two-dimensional generalized Poisson equation with variable coefficient is proposed. The barycentric interpolation collocation method is a true meshless collocation method， which does not need to divide the grid in the calculation domain， and the numerical solution obtained can be infinitely close to the exact solution within a certain error range， and has good numerical stability. In this paper， the numerical examples are calculated using the barycentric rational interpolation collocation method and the barycentric Lagrange interpolation collocation method， and then compared with the analytical solution， it can be concluded that the method has the advantages of fast， accurate and easy numerical calculation， which is a better numerical calculation method.

Key words：barycentric rational interpolation; barycentric Lagrange interpolation; point collocation; Poisson equation

0引言

實(shí)際生活中的許多問題都可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)中 的偏微分方程問題，由于大多數(shù)偏微分方程很難 求出精確解，而人們?yōu)榱私鉀Q這樣的問題就提出 了求解偏微分方程的數(shù)值解法，雖然數(shù)值解不是 精確解，但如果在一定誤差范圍內(nèi)，數(shù)值解本身也 能比較接近精確解.經(jīng)典的數(shù)值計(jì)算方法[1]：有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）、有限體積法（FVM）、邊界元法（BEM）等，這些方法都有其局 限性.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，研究者提出了重心 插值配點(diǎn)法，這種方法在求解的過程中不需要?jiǎng)?分網(wǎng)格，是一種高精度的無網(wǎng)格方法.與Galerkin 型無網(wǎng)格法[2]相比，重心插值配點(diǎn)法更加簡單、高 效和易于編程實(shí)現(xiàn).與MFS、核重構(gòu)[3-4]和多尺度 多項(xiàng)式等配點(diǎn)法相比，重心插值配點(diǎn)法具有較高的精確性和穩(wěn)定性[5].因此，此方法得到了眾多學(xué) 者的廣泛關(guān)注與研究.為了提高插值的階次，將 C°連續(xù)性的自然鄰點(diǎn)插值嵌入到Bernstein基函 數(shù)，就能構(gòu)造出C1連續(xù)性的插值函數(shù).C°連續(xù)性 函數(shù)表示一個(gè)函數(shù)在域內(nèi)其本身連續(xù)，它的一階 導(dǎo)數(shù)具有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)但在域內(nèi)可積.C1連續(xù) 性函數(shù)表示一個(gè)函數(shù)在域內(nèi)函數(shù)本身（即它的零 階導(dǎo)數(shù)）直至它的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，它的第二階導(dǎo)數(shù) 具有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)但在域內(nèi)可積.受此啟發(fā)， 2007年，F(xiàn)loater和Hormann[6]提出了高階重心 有理函數(shù)插值.馬燕等[7]運(yùn)用重心有理插值配點(diǎn) 法分析了波動(dòng)方程和梁振動(dòng)問題；王兆清等[8]用 重心有理插值迭代配點(diǎn)法求解了非線性MEMS 微梁問題；劉婷等[9]用重心Lagrange插值配點(diǎn)法

求解了二維雙曲電報(bào)方程；王磊磊[10]用重心La- grange插值配點(diǎn)法求解了功能梯度材料穩(wěn)態(tài)熱 傳導(dǎo)問題.此外，還有許多學(xué)者運(yùn)用重心插值配點(diǎn) 法求解了不同的偏微分方程，并取得了大量的研 究成果[11-14].本文將運(yùn)用這兩種插值方法來解決 變系數(shù)廣義Poisson方程的求解問題.

目前，二維Poisson方程數(shù)值解是微分方程 領(lǐng)域研究的重點(diǎn)課題之一，許多學(xué)者對(duì)此展開了 研究.王建瑜等[15]提出了譜方法求解二維Pois- son方程.陳蓮等[16]提出了有限元法求解二維 Poisson方程的Matlab實(shí)現(xiàn).杜書德[17]用有限差分法求解Poisson方程第一類邊值問題.吳君 等[1]用重心有理插值配點(diǎn)法求解了二維線性 Poisson方程.此外，付偉等[18]用Galerkin方法求解了三維Poisson方程.以上就是求解Poisson方程的一些主要研究成果.

為了驗(yàn)證本文方法的精確性和可靠性，對(duì)三 個(gè)數(shù)值算例進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果表明，在不同的插 值節(jié)點(diǎn)分布下，兩種插值計(jì)算方法的絕對(duì)誤差僅 用極少的配點(diǎn)就可以達(dá)到接近機(jī)器精度的數(shù)值結(jié) 果，并且耗時(shí)短，可以有效地解決微分方程求解難 的問題.

數(shù)值求解過程中，在x，y方向上各?。╩+1）X（n+1）個(gè)等距節(jié)點(diǎn)的張量積型節(jié)點(diǎn)作為計(jì)算 節(jié)點(diǎn)，用重心有理插值配點(diǎn)法進(jìn)行求解，在x，y 方向上各?。╩+1）X（n+1）個(gè)第二類Chebyshev節(jié)點(diǎn)的張量積型節(jié)點(diǎn)作為計(jì)算節(jié)點(diǎn)， 用重心Lagrange插值配點(diǎn)法和切比雪夫譜方法 進(jìn)行求解，邊界條件按照置換法施加，重心有理插 值參數(shù)取10，計(jì)算結(jié)果如表1-表3所列：在不同 的配點(diǎn)數(shù)下，這三種方法計(jì)算出的絕對(duì)誤差、相對(duì) 誤差和所花費(fèi)的CPU時(shí)間.對(duì)于切比雪夫譜方法 的求解結(jié)果，表1列出了在邊界點(diǎn)上的最大誤差.

表2中，由于在式（19）中的第一個(gè)邊界條件下計(jì) 算的誤差較大，為了便于比較，只列出在式（19） 中的第二個(gè)邊界條件和式（20）中的邊界條件下 計(jì)算的誤差中的最大值.表3中，由于在式（20）中 的邊界條件下計(jì)算的誤差較大，為了便于比較，只 列出在式（19）中的邊界條件下計(jì)算的誤差中的 最大值.從表1一表3中可以看出，當(dāng)配點(diǎn)數(shù)較小時(shí)，兩種插值方法計(jì)算的誤差都能達(dá)到較高的精 度，隨著配點(diǎn)數(shù)的增加，計(jì)算時(shí)間增大，表2絕對(duì) 誤差和相對(duì)誤差呈現(xiàn)上升的趨勢，表3絕對(duì)誤差 和相對(duì)誤差呈現(xiàn)下降的趨勢，當(dāng)配點(diǎn)數(shù)比較大時(shí)， 如當(dāng)m=n=30，絕對(duì)誤差量級(jí)為10=10，相對(duì)誤差 量級(jí)為10-12.總體而言，重心有理插值配點(diǎn)法在 等距節(jié)點(diǎn)和重心Lagrange插值配點(diǎn)法在第二類 Chebyshev節(jié)點(diǎn)都具有極高的計(jì)算精度，而重心Lagrange插值配點(diǎn)法明顯比重心有理插值配點(diǎn) 法的計(jì)算精度高.重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算精度要 高于切比雪夫譜方法的計(jì)算精度.針對(duì)算例（1），圖1對(duì)比了31×31節(jié)點(diǎn)分布下重心Lagrange插 值配點(diǎn)法得到的數(shù)值解和解析解，給出了節(jié)點(diǎn)絕 對(duì)誤差云圖如圖2所示.

5結(jié)語

重心插值配點(diǎn)法是一種快速、準(zhǔn)確、穩(wěn)定的數(shù)值計(jì)算方法.本文推導(dǎo)了變系數(shù)廣義Poisson方 程的重心插值配點(diǎn)法的計(jì)算公式，然后比較了兩 種插值方法和切比雪夫譜方法求解廣義Poisson 方程時(shí)的絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和CPU計(jì)算的時(shí) 間.結(jié)果表明兩種插值方法采用較少的節(jié)點(diǎn)就可 以達(dá)到接近切比雪夫譜方法的精度.同時(shí)，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，重心Lagrange插值配點(diǎn)法比重心有 理插值配點(diǎn)法計(jì)算的精度高.通過數(shù)值算例，表明 這兩種方法的高精度性、穩(wěn)定性和優(yōu)越性，是一種 較好的數(shù)值計(jì)算方法.

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[責(zé)任編輯：趙慧霞]