【摘要】為解決自動(dòng)駕駛汽車運(yùn)動(dòng)控制中基于橫向-縱向耦合結(jié)構(gòu)的無(wú)偏移非線性模型預(yù)測(cè)控制（OF-NMPC）的穩(wěn)態(tài)誤差問(wèn)題，使用無(wú)跡卡爾曼濾波器觀察控制器狀態(tài)和擾動(dòng)，并納入模型預(yù)測(cè)和參考值計(jì)算以消除穩(wěn)態(tài)誤差。仿真和實(shí)車試驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的OF-NMPC算法可有效消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

關(guān)鍵詞：運(yùn)動(dòng)控制 輪胎模型 非線性模型預(yù)測(cè)控制 路徑跟蹤

中圖分類號(hào)：U461.91" "文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" "DOI： 10.20104/j.cnki.1674-6546.20230153

Offset Free Nonlinear Model Predictive Controller for Autonomous Vehicles

【Abstract】Nonlinear Model Predictive Control （NMPC） method-based motion control has attracted considerable attention in the field of autonomous driving. However， the steady-state error problem has not been comprehensively investigated， especially for nonlinear MPC. This paper seeks to solve the steady-state error problem based on Offset-Free NMPC （OF-NMPC） with a lateral-longitudinal coupling structure. The proposed OF-NMPC uses an Unscented Kalman Filter （UKF） to observe the states and disturbances and incorporates them into the prediction model and reference calculation to eliminate the steady-state error. One of the challenges of OF-NMPC is the need to use optimization methods to obtain reference values， which will obviously increase the considerable computational burden. Based on the appropriate simplification， we get the reference analytical solution without solving nonlinear optimization problems online in real-time. Simulation and real vehicle experiments show that the proposed OF-NMPC can effectively eliminate the steady-state error and improve the system’s dynamic performance.

Key words： Motion control， Tire model， Nonlinear Model Predictive Control （NMPC）， Path tracking

1 前言

基于模型預(yù)測(cè)控制（Model Predictive Control，MPC）的自動(dòng)駕駛跟隨控制技術(shù)和穩(wěn)定性控制技術(shù)近年得到了廣泛研究。陳勇提出了一種包括路徑重新規(guī)劃控制器、路徑跟蹤控制器和基于MPC的穩(wěn)定性控制器[1]，實(shí)現(xiàn)了自動(dòng)駕駛車輛的穩(wěn)定控制。鄒淵等[2]應(yīng)用線性模型預(yù)測(cè)控制（Linear Model Predictive Control，LMPC）技術(shù)同步確定了最佳前輪轉(zhuǎn)向角和外部橫擺力矩，但只考慮了橫向控制，忽略了縱向控制。杭鵬等[3]提出魯棒LMPC算法，實(shí)現(xiàn)了四輪轂電機(jī)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)電動(dòng)汽車的協(xié)調(diào)路徑跟蹤和直接橫擺力矩控制。基于LMPC方法，Ghazali和Dural等[4-5]提出了一種使用前輪轉(zhuǎn)向和制動(dòng)系統(tǒng)的具有防側(cè)翻功能的路徑跟蹤控制器，但該方法未考慮縱向控制的干擾誤差。

本文在上述研究基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一種包含縱向控制擾動(dòng)量的橫、縱向耦合控制器。使用時(shí)變MPC對(duì)輪胎模型進(jìn)行線性化處理[5]，并利用無(wú)偏移非線性模型預(yù)測(cè)控制（Offset Free Nonlinear Model Predictive Control，OF-NMPC）對(duì)車輛軌跡跟隨誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)。為實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)無(wú)誤差控制，采用基于梯度的模型預(yù)測(cè)控制（GRAdient based MPC，GRAMPC）求解器進(jìn)行模型控制預(yù)測(cè)。最后，利用仿真和實(shí)車試驗(yàn)驗(yàn)證所提出的OF-NMPC算法的性能。

2 自動(dòng)駕駛車輛模型

2.1 輪胎建模

采用刷子（Brush）模型對(duì)輪胎的側(cè)向力進(jìn)行建模：

式中：Fy為輪胎橫向載荷，α為輪胎側(cè)偏角，Cα為輪胎側(cè)偏剛度，μ、FzN分別為道路摩擦因數(shù)和標(biāo)稱載荷。

由于刷子模型的側(cè)偏剛度未考慮輪胎載荷的影響，因此，本文基于輕量輪胎模型（Tire Model made easy，TMeasy）[6]的擬合結(jié)果，引入負(fù)載對(duì)輪胎剛度的影響：

式中：Fz為輪胎垂向力。

2.2 車輛動(dòng)力學(xué)建模

本文車輛動(dòng)力學(xué)模型采用單軌模型，如圖1所示。其中：Fyf、Fyr分別為前、后輪胎受到的橫向力；Fxf、Fxr分別為前、后輪胎受到的縱向力；Vf、Vr分別為前、后輪速度；δf、αf分別為前輪轉(zhuǎn)向角、前輪胎側(cè)偏角；vy、vγ、vcg分別為整車質(zhì)心處橫向速度、整車質(zhì)心處指向目標(biāo)軌跡圓心的速度和整車速度；β、ψ分別為車輛側(cè)偏角和車輛航向角；ey為車輛質(zhì)心處橫向偏差，即整車質(zhì)心與車道中心線的距離；γ為橫擺角速度；Xf、Xr分別為整車質(zhì)心到前、后軸的距離；κ為整車質(zhì)心到目標(biāo)投影的軌跡曲率；ax、axd分別為由驅(qū)動(dòng)電機(jī)和制動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換而來(lái)的整車加速度和干擾值。

對(duì)于縱向運(yùn)動(dòng)，有以下關(guān)系：

dvx/dt=ax+axd （3）

式中：m為整車質(zhì)量，vx為車速，t為控制時(shí)間。

輪胎的橫向運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為：

dvy/dt=（Fyf+Fyr）/mγ-vx+ayd （4）

式中：ayd為橫向加速度干擾量。

對(duì)于車輛橫擺運(yùn)動(dòng)，存在以下關(guān)系：

dr/dt=（XfFyf+XrFyr）/Iz+γd （5）

式中：r為車輛角速度，γd為角加速度干擾量，Iz為整車?yán)@Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

為了在NMPC中加入轉(zhuǎn)向角速度約束，建立轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型：

dδf /dt=ωf （6）

式中：ωf為前輪的轉(zhuǎn)向角速度。

由于轉(zhuǎn)向角速度的響應(yīng)過(guò)程較為迅速，從零到最大轉(zhuǎn)向角速度通常只需要10 ms，故本文建立的動(dòng)力學(xué)模型忽略轉(zhuǎn)向角速度這一因素。

建立車輛關(guān)于道路的動(dòng)態(tài)模型，其中狀態(tài)變量是關(guān)于道路的位置和方向誤差：

上述可測(cè)量誤差均由傳感器測(cè)量結(jié)果計(jì)算獲得，不可測(cè)量誤差由卡爾曼濾波器觀測(cè)獲得。

對(duì)于縱向控制，由于電壓、液壓機(jī)構(gòu)等限制，電機(jī)和制動(dòng)執(zhí)行器存在電壓和液壓的物理上限，因此應(yīng)限制最大加速度axmax和制動(dòng)減速度axmin，并滿足：

axmin≤ax≤axmax （11）

轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的轉(zhuǎn)向角δf和轉(zhuǎn)向角速度ωf也受到限制：

|δf|≤δfmax （12）

|ωf|≤ωfmax （13）

式中：δfmax、ωfmax分別為前輪最大轉(zhuǎn)向角、最大轉(zhuǎn)向角速度。

3 非線性無(wú)偏移模型預(yù)測(cè)控制結(jié)構(gòu)

3.1 整體結(jié)構(gòu)

OF-NMPC通常包括3個(gè)關(guān)鍵部分，即增廣狀態(tài)無(wú)跡卡爾曼濾波器（Unsent Kalman Filter，UKF）、參考值生成器和OF-NMPC求解器，控制器整體架構(gòu)如圖2所示。其中：x=[evx，ey，eψ，vy，γ]為系統(tǒng)狀態(tài)，evx為縱向速度誤差； d=[κref，aref，axd，ayd，γd]為擾動(dòng)項(xiàng)，κref為目標(biāo)軌跡參考曲率，aref為參考加速度；u=[δf，ax]為控制量。

增廣狀態(tài)無(wú)跡卡爾曼濾波器可融合狀態(tài)方程以獲得更準(zhǔn)確、更平滑的狀態(tài)估計(jì)，并觀測(cè)因模型不匹配或外部擾動(dòng)引起的無(wú)法測(cè)量的擾動(dòng)。

3.2 非線性最優(yōu)控制問(wèn)題

為解決非線性最優(yōu)控制問(wèn)題，本文采用GRAMPC方法，可描述為：

系統(tǒng)參數(shù)，T∈[Tmin，Tmax]為控制結(jié)束時(shí)間，V為終端代價(jià)項(xiàng)，J為總體代價(jià)項(xiàng)，l為積分代價(jià)項(xiàng)。

GRAMPC能夠處理不同形式的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)問(wèn)題，大致可分為最優(yōu)控制問(wèn)題和參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題。在最優(yōu)控制問(wèn)題中，參數(shù)不作為決策變量，而參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題與其相反。同時(shí)，選擇結(jié)束時(shí)間T作為優(yōu)化變量，是最短時(shí)間優(yōu)化問(wèn)題的一種可選方案。GRAMPC可以處理時(shí)變動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，通?？刹捎每刂茣r(shí)間t與參數(shù)p共同描述時(shí)變可測(cè)擾動(dòng)和時(shí)變參考。

GRAMPC具有廣泛的結(jié)構(gòu)普適性，可用于求解以下包含擾動(dòng)的最優(yōu)控制問(wèn)題：

式中：uref為控制參考量，xref為狀態(tài)參考量，Q、R為控制參數(shù)矩陣。

狀態(tài)和控制基準(zhǔn)參考量是實(shí)現(xiàn)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差控制的關(guān)鍵因素。與時(shí)變干擾相同，時(shí)變參考可以使用GRAMPC的參數(shù)p和控制時(shí)間t來(lái)描述。

3.3 參考值生成器和無(wú)跡卡爾曼濾波器

本文中，參考量即為穩(wěn)態(tài)下的狀態(tài)量和控制量。在穩(wěn)定狀態(tài)下，狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)為0，且滿足所有約束條件。

基于擾動(dòng)在穩(wěn)態(tài)下恒定的假設(shè)，穩(wěn)態(tài)無(wú)跡卡爾曼濾波器用于觀察狀態(tài)及其擾動(dòng)，使用以下增廣狀態(tài)方程來(lái)觀察擾動(dòng)：

增廣狀態(tài)估計(jì)由MATLAB自帶無(wú)跡卡爾曼濾波器完成。

4 仿真與試驗(yàn)

4.1 車輛及其控制參數(shù)

為使用無(wú)跡卡爾曼濾波器觀察擾動(dòng)和狀態(tài)，需要獲得測(cè)量噪聲。在仿真過(guò)程中，測(cè)量噪聲由實(shí)車定位設(shè)備的噪聲范圍決定，如表1所示，車輛和輪胎參數(shù)如表2所示，NMPC參數(shù)如表3所示。

4.2 測(cè)試工況

為了測(cè)試NMPC的穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能，設(shè)計(jì)了U型彎和雙移線兩種測(cè)試工況。

半徑為50 m的U型彎測(cè)試工況用于調(diào)整適配無(wú)跡卡爾曼濾波器的參數(shù)。U型彎測(cè)試的穩(wěn)定狀態(tài)中包含2種不連續(xù)的穩(wěn)定狀態(tài)，即勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，U型彎測(cè)試工況用于模擬自動(dòng)駕駛車輛從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)程，適用于觀察擾動(dòng)的收斂速度和波動(dòng)情況。通常，狀態(tài)擾動(dòng)的增廣方程方差越大，收斂速度越快，但觀測(cè)到的擾動(dòng)的噪聲方差也越大?？紤]到增廣狀態(tài)方程原始狀態(tài)部分的方差與擾動(dòng)方差相互獨(dú)立，應(yīng)將車輛動(dòng)力學(xué)模型和定位設(shè)備的定位信息集合成一組合適的參數(shù)，以獲得置信度更高的定位信號(hào)，保證輸出信號(hào)更平滑。

雙移線（Double Lane Change，DLC）測(cè)試工況主要用于測(cè)試控制器能否在消除穩(wěn)態(tài)誤差的同時(shí)提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。DLC工況的軌跡可表示為：

式中：z1=（2.4/25）（X-27.19）-1.2、z2=（2.4/25）（X-54.38）-1.2為軌跡參數(shù)，dx1=25，dy1=5.0，dx2=25，dy2=5.0。

5 仿真及實(shí)車測(cè)試結(jié)果

控制器使用基于模型定義（Model Based Definition，MBD）方法開(kāi)發(fā)，采用Simulink搭建控制器框架，控制器模型輸出指令通過(guò)CAN信號(hào)傳輸。仿真過(guò)程中使用CarSim搭建車輛動(dòng)力學(xué)模型，在實(shí)車測(cè)試中，使用紅旗EHS3作為車輛測(cè)試平臺(tái)。仿真和實(shí)車的車輛和輪胎參數(shù)見(jiàn)表2。

為測(cè)試OF-NMPC的性能，本文設(shè)計(jì)了兩種不同的控制器進(jìn)行比較：僅帶縱向擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)臋M向和縱向耦合NMPC（NMPC-LONgitudinal，NMPC-LON）和帶有橫向和縱向擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)臋M向和縱向耦合NMPC（NMPC-Lateral-Longitudinal，NMPC-LL）。

5.1 U型彎測(cè)試工況仿真結(jié)果

本文以半徑為50 m的U型彎為主要條件調(diào)整濾波器和MPC的加權(quán)參數(shù)。首先確定UKF觀察到的噪聲，該噪聲通常由實(shí)車的定位設(shè)備給出。仿真中的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差根據(jù)實(shí)際定位設(shè)備特性確定。仿真結(jié)果如圖3所示。

由圖3可以看出，NMPC-LL采用了橫向擾動(dòng)補(bǔ)償，從而實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)無(wú)偏差控制。相比之下，NMPC-LL和NMPC-LON在同樣使用非線性輪胎模型的情況下，由于NMPC-LON使用純橫向輪胎模型，模型仍然存在不匹配的情況。但在實(shí)際工況中，輪胎的橫向和縱向力互相耦合，縱向力應(yīng)具有保持縱向速度的作用。

5.2 雙移線測(cè)試工況仿真結(jié)果

設(shè)仿真車速為18 m/s，圖4所示為無(wú)外界擾動(dòng)和6°路面?zhèn)葍A角擾動(dòng)條件下的DLC測(cè)試工況仿真結(jié)果，在沒(méi)有外部干擾的情況下，NMPC-LON和NMPC-LL均可在直行部分保持無(wú)橫向誤差的控制，且在車輛換道時(shí)，NMPC-LL的橫向誤差較小。盡管使用了非線性輪胎模型，但模型失配現(xiàn)象仍然存在。NMPC-LL的最大橫向誤差約為15 cm，NMPC-LON的橫向誤差為20 cm。

通過(guò)對(duì)比兩種控制器在側(cè)向坡度為6°的外部擾動(dòng)下的性能可以看出，在該擾動(dòng)下，NMPC-LON的最大橫向誤差達(dá)30 cm，而直線行駛部分始終存在5 cm左右的穩(wěn)態(tài)誤差。NMPC-LL的最大橫向誤差約為20 cm，但在直行部分成功消除了穩(wěn)態(tài)誤差，其控制精度與無(wú)擾動(dòng)的NMPC-LON相近。

由以上仿真結(jié)果可知，OF-NMPC可在排除外部干擾的情況下提高車輛的動(dòng)態(tài)性能，且不削弱相關(guān)軌跡跟隨性能。

為了驗(yàn)證控制器對(duì)變化的縱向擾動(dòng)的補(bǔ)償能力，本文比較了變坡度條件下的NMPC-LL和非線性標(biāo)稱控制器（Nonlinear Model Predictive Control- Nominal，NMPC-NOM），即橫、縱向均無(wú)補(bǔ)償?shù)目刂破鞯男阅?，結(jié)果如圖5所示。由圖5可以看出，仿真過(guò)程中坡度條件隨時(shí)間變化，最大坡度接近6°，NMPC-NOM不具備補(bǔ)償縱向擾動(dòng)的能力，因此其最大速度誤差超過(guò)1 m/s，而NMPC-LL的最大速度誤差僅為0.15 m/s左右。

在無(wú)先驗(yàn)信息的條件下對(duì)縱向誤差進(jìn)行了補(bǔ)償，在變坡度擾動(dòng)條件下獲得了較好的車輛控制效果。因此，對(duì)于其他無(wú)先驗(yàn)的擾動(dòng)，如變化的空氣阻力等，均可進(jìn)行擾動(dòng)補(bǔ)償。

5.3 實(shí)車測(cè)試結(jié)果

實(shí)車測(cè)試平臺(tái)如圖6所示，運(yùn)動(dòng)控制器部署在dSpace- MicroAutoBox II上，采用IBM PPC 750GL處理器，支持4路CAN通信和2路串口通信。車輛的位置和姿態(tài)信號(hào)由慣性導(dǎo)航裝置（Navigation Device）給出，采用諾瓦泰出品的組合慣性導(dǎo)航裝置，工作模式采用實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)（Real-Time Kinematic，RTK）模式，精度可達(dá)到厘米級(jí)。車輛和導(dǎo)航設(shè)備通過(guò)CAN總線與MicroAutoBox II通信，然后將控制信號(hào)通過(guò)CAN總線發(fā)送至底盤(pán)，以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)駕駛功能。

為了測(cè)試控制器的動(dòng)態(tài)性能，在市區(qū)道路上設(shè)計(jì)了車速為40 km/h的DLC試驗(yàn)。測(cè)試道路為路面附著系數(shù)大于0.75、坡度小于2°的常規(guī)城市道路。在實(shí)車測(cè)試中，比較了NPMC-LON和NMPC-LL兩種不同控制器的控制效果。DLC實(shí)車測(cè)試結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，NPMC-LL的最大橫向誤差約為12 cm，最大縱向速度誤差約為0.062 m/s；NPMC-LON最大橫向誤差約為14 cm，最大縱向速度誤差約為0.060 m/s。在橫向誤差上，由于具備橫向補(bǔ)償功能，NMPC-LL效果優(yōu)于NMPC-LON控制器。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種非線性無(wú)偏移模型預(yù)測(cè)控制策略，以解決自動(dòng)駕駛車輛基于非線性模型預(yù)測(cè)運(yùn)動(dòng)控制中的穩(wěn)態(tài)誤差問(wèn)題。仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的策略可以有效消除穩(wěn)態(tài)誤差，在實(shí)現(xiàn)車輛路徑跟隨控制的同時(shí)，保證了車輛的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。

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