王慧

摘要：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，證明不等式以及求解函數(shù)零點(diǎn)問題等都是高考常考的熱點(diǎn)之一.以2022年全國乙卷（理）第21題為例，研究利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)零點(diǎn)問題的解法，并對解法進(jìn)行再反思.

關(guān)鍵詞：含參函數(shù)；零點(diǎn)問題；導(dǎo)數(shù)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0068-03

含參函數(shù)y=f（x，t）是隨參數(shù)變化而變化的動態(tài)函數(shù)，含參函數(shù)零點(diǎn)問題既是高考常考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).解決問題的關(guān)鍵是對參數(shù)的處理，有直接討論、分離參數(shù)兩種解決思路.本文基于這兩種思路，以2022年全國乙卷（理）第21題為例，給出三種解法，并對解法進(jìn)行再反思.

1 真題再現(xiàn)

題目（2022年全國乙卷（理），21題）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）+axe-x，

（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

（2）若f（x）在區(qū)間（-1，0），（0，+

SymboleB@

）各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

第（1）問先算出切點(diǎn)，再求導(dǎo)得出斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式方程便可得到切線方程；第（2）問是含參函數(shù)的零點(diǎn)問題，函數(shù)中包含學(xué)生熟知的以e為底的對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，但又包含具有變化性的參數(shù)，所以它考查學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)新性，綜合運(yùn)用知識的能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面是對第（2）問解法的探究.

2 解法探究

2.1 直接討論法

解決函數(shù)零點(diǎn)問題最直接的辦法就是求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性得到函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值的符號，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在情況[1].但對于含參函數(shù)來講，它是隨參數(shù)變化而變化的動態(tài)函數(shù)，并且原函數(shù)和導(dǎo)數(shù)中都含有參數(shù)，所以在判斷函數(shù)單調(diào)性時，就要考慮參數(shù)對某一區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性判斷是否有影響，如果有影響，必須分類討論.

解法1（?。┊?dāng)a≥0時，在（0，+

SymboleB@

）內(nèi)ln（1+x）>0，axe-x≥0，即f（x）>0.

所以f（x）在（0，+

SymboleB@

）內(nèi)無零點(diǎn)，不合題意.

（ⅱ）當(dāng)a<0時，f ′（x）=ex+a（1-x2）（1+x）ex，令g（x）=ex+a（1-x2），則g′（x）=ex-2ax.

顯然g′（x）在（-1，+

SymboleB@

）內(nèi)單調(diào)遞增，且g′（-1）=e-1+2a，g′（0）=1.

（1）當(dāng)g′（-1）≥0，即-12e≤a<0時，g（x）在（-1，+

SymboleB@

）內(nèi)單調(diào)遞增，

所以g（x）>g（-1）>0，即f ′（x）>0.

所以f（x）在（-1，+

SymboleB@

）內(nèi)單調(diào)遞增.

又f（0）=0，所以f（x）在（-1，0），（0，+

SymboleB@

）內(nèi)都沒有零點(diǎn)，不合題意.

（2）當(dāng)g′（-1）<0，即a<-12e時，存在x0∈（-1，0），使得g′（x0）=0.

所以g（x）在（-1，x0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（x0，+

SymboleB@

）內(nèi)單調(diào)遞增，且g（-1）=e-1，g（0）=1+a，g（1）=e.

①當(dāng)g（x）≥0，即-1≤a<-12e時，f（x）在（0，+

SymboleB@

）內(nèi)單調(diào)遞增，所以f（x）>f（0）=0，故f（x）在（0，+

SymboleB@

）內(nèi)沒有零點(diǎn)，不合題意.

②當(dāng)g（x）<0，即a<-1時，存在x1∈（-1，0），x2∈（0，1）使g（x1）=g（x2）=0.

對f（x）的單調(diào)性分析見表1：

因?yàn)閒（0）=0，所以f（x1）>0，f（x2）<0.

又當(dāng)x→-1時，f（x）<0，當(dāng)x→+

SymboleB@

時，f（x）>0，

所以f（x）在（-1，0），（0，+

SymboleB@

）內(nèi)各恰有一個零點(diǎn).

綜上所述，a的取值范圍是（-

SymboleB@

，-1）.

第（2）問處理的關(guān)鍵是在第（1）問中已算出f（0）=0，以及對參數(shù)a的分類，肯定與否定并用，否定只需說明在區(qū)間（-1，0）或（0，+

SymboleB@

）內(nèi)f（x）沒有零點(diǎn)即可.

2.2 分離參數(shù)

函數(shù)的零點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，也可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，對于含參函數(shù)來說，通常是常函數(shù)與不含參的函數(shù)，或者是含參的一次函數(shù)與不含參的函數(shù).

2.2.1 完全分離參數(shù)

令f（x）=ln（1+x）+axe-x=0，得到-a=ln（1+x）exx.則原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=ln（1+x）exx的圖象與直線y=-a的交點(diǎn)問題.

解法2令g（x）=ln（1+x）exx，則

g′（x）=x-2ex［x1+x+（x-1）ln（1+x）］，

令h（x）=x1+x+（x-1）ln（1+x），

則h′（x）=x2（1+x）2+ln（1+x），

h″（x）=（x-3+2）（x+3+2）（1+x）3，

顯然h′（x）在（-1，3-2）內(nèi)單調(diào)遞減，在（3-2，+

SymboleB@

）內(nèi)單調(diào)遞增.

所以h′（x）≥h′（3-2）>0.

故h（x）在（-1，+

SymboleB@

）內(nèi)單調(diào)遞增.

又h（0）=0，所以對g（x）的單調(diào)性分析見表2：

由極限思想可畫出y=g（x）的大致圖象.

由圖知當(dāng)a<-1時，滿足曲線y=g（x）與直線y=-a在（-1，0），（0，+

SymboleB@

）內(nèi)各有一個交點(diǎn)，

綜上， 符合題意的a的取值范圍是（-

SymboleB@

，-1）.

利用導(dǎo)數(shù)繪制函數(shù)g（x）的圖象，然后通過平移直線y=-a得到符合題目要求的a的取值范圍.

2.2.2 不完全分離參數(shù)

令f（x）=0，得到ln（1+x）ex=-ax.將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=ln（1+x）ex的圖象與直線y=-ax的交點(diǎn)問題.

解法3令g（x）=ln（1+x）ex，顯然g（x）在（-1，+

SymboleB@

）內(nèi)單調(diào)遞增，由極限思想可畫出g（x）的大致圖象.

設(shè)曲線y=g（x）與直線y=-ax在［0，+

SymboleB@

）內(nèi)的切點(diǎn)為（x0，-ax0），則有

ln（1+x0）ex0=-ax0，ex0［11+x0+ln（1+x0）］=-a.

解得x0=0，a=-1，此時曲線y=g（x）與直線y=-ax在（0，+

SymboleB@

）內(nèi)沒有交點(diǎn)，在（-1，0）內(nèi)有一個交點(diǎn).

所以當(dāng)a<-1時，滿足曲線y=g（x）與直線y=-ax在（-1，0），（0，+

SymboleB@

）內(nèi)各有一個交點(diǎn).

綜上，符合題意的a的取值范圍是（-

SymboleB@

，-1）.

此方法將a賦予了更明確的幾何意義——斜率，根據(jù)兩個函數(shù)在切點(diǎn)處的函數(shù)值和切線斜率相同，算出相切情況下a的值.此處函數(shù)g（x）比較特別，它在（0，+

SymboleB@

）內(nèi)的圖形是凹的，而且在曲線y=g（x）與直線y=-ax相切時，以及在旋轉(zhuǎn)直線y=-ax使兩者在（0，+

SymboleB@

）內(nèi)相交的過程中，兩者在（-1，0）內(nèi)恒有交點(diǎn).

3 結(jié)束語

這兩種思路都是利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)零點(diǎn)問題的常用方法.對于這三種解法各有利弊，直接討論法是解此題型的通用方法，其關(guān)鍵是對參數(shù)的處理，需要熟練掌握一元一次、一元二次、分式、指數(shù)、對數(shù)等不等式的解法，而且有時還會涉及隱零點(diǎn)問題.在遇到無法求解的不等式時，通常需要二次求導(dǎo)來研究［2］，解題過程復(fù)雜、繁瑣，這就要求學(xué)生思維縝密細(xì)致，并且對學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力等要求較高.

完全分離參數(shù)法借助數(shù)形結(jié)合，經(jīng)過平移直線與曲線相交，進(jìn)而得到參數(shù)的取值范圍，但是并不是所有的函數(shù)都能分離出參數(shù).不完全分離參數(shù)法實(shí)際上也是從函數(shù)圖象入手，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，但與完全分離參數(shù)法不同的是，它是從兩個函數(shù)圖象相切的臨界情況入手，再通過直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到曲線和直線相交且符合題意的情況，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.需要注意的是，這種方法只適合于在整個定義域內(nèi)凹凸性不變的函數(shù)，或者在某個區(qū)間凹凸性不變，在另外的區(qū)間內(nèi)恒符合題目要求的函數(shù).

參數(shù)分離法雖然避免了對參數(shù)進(jìn)行分類討論，但是它是借助數(shù)形結(jié)合思想來解決問題，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，而且在刻畫不含參部分函數(shù)的大致圖象時，會借助極限思想.而極限思想對高中生的思維來講較困難，所以這個方法更適合用于選擇題或填空題中.

在高中數(shù)學(xué)知識庫中，函數(shù)占有很大比重，而導(dǎo)數(shù)是其中的重中之重，并且在高考選擇題、填空題、簡答題中都有所涉及.所以這就要求教師在教學(xué)時善于使用教材進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識框架.另外在教學(xué)過程中，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生設(shè)而不求、分類討論、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想，以及發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭傳遠(yuǎn)，周翔.素養(yǎng)視角下利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題的解法賞析：以2020年全國卷Ⅰ文科第20題為例[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2021（02）：48-50.

[2] 徐凱鈺，王禎宇.函數(shù)零點(diǎn)問題的導(dǎo)數(shù)求解方法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2022（19）：11-13，10.

［責(zé)任編輯：李璟］