董同明

摘要：我國的中學(xué)數(shù)學(xué)教育正經(jīng)歷著前所未有的變革，在“新課程、新教材、新高考”背景下對高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的教學(xué)提出了新的要求.文章從四方面分析高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考策略，以適應(yīng)教育教學(xué)和高考命題改革的需要.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)；備考策略；高考試題

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0002-04

本文以2023年全國卷高考數(shù)學(xué)試題為例，從下述幾方面對高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的策略進(jìn)行研究.

1 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性

深化基礎(chǔ)考查是高考數(shù)學(xué)命題的根本，雖然高考數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化，但不變的是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法.

例1（新高考Ⅰ卷第2題） 已知z=1-i2+2i，則

z-z-=（）.

A.-iB.iC.0D.1

試題分析本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念等基礎(chǔ)知識和基本方法.由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.

解析 因?yàn)閦=1-i2+2i=（1-i）（1-i）2（1+i）（1-i）=-2i4=-12i，

所以z-=12i.

即z-z-=-i.

故選A.

2 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要突出綜合性

作為選拔性考試的高考，綜合性就成為高考數(shù)學(xué)命題的重要特征.高考數(shù)學(xué)命題依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，落實(shí)“綜合性”考查要求，彰顯學(xué)科核心素養(yǎng)，突出對主干、重點(diǎn)知識、內(nèi)容及關(guān)鍵能力的考查，考查綜合應(yīng)用知識的能力.高考復(fù)習(xí)備考要重視知識點(diǎn)的交叉，學(xué)會從一個知識點(diǎn)向另一個知識點(diǎn)轉(zhuǎn)化的方法，即轉(zhuǎn)化條件、轉(zhuǎn)化結(jié)論.學(xué)會在不同的知識點(diǎn)之間建立起橋梁，學(xué)會對各個知識點(diǎn)進(jìn)行挖掘、擴(kuò)展，既深入思考又廣開思路，這是復(fù)習(xí)備考的核心問題.

例2（乙卷理第21題）已知函數(shù)f（x）=（1x+a）ln（1+x）.

（1）當(dāng)a=-1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）是否存在a，b，使曲線y=f（1x）關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，請說明理由；

（3）若f（x）在（0，+

SymboleB@

）上存在極值，求a的取值范圍.

試題分析該題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用，設(shè)置了三個小題：第（1）小題由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；第（2）小題首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)b的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程可得實(shí)數(shù)a的值，最后檢驗(yàn)所得的a，b是否正確；第（3）小題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1），然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論a≤0，a≥12和0

解析 （1）當(dāng)a=-1時，f（x）=（1x-1）ln（x+1），

則

f ′（x）=-1x2×ln（x+1）+（1x-1）×1x+1.

據(jù)此可得f（1）=0，f ′（1）=-ln2.

函數(shù)在（1，f（1））處的切線方程為

y-0=-ln2（x-1）.

即xln2+y-ln2=0.

（2）由函數(shù)的解析式可得

f（1x）=（x+a）ln（1x+1），

函數(shù)的定義域滿足1x+1=x+1x>0，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?

SymboleB@

，-1）∪（0，+

SymboleB@

）.所以定義域關(guān)于直線x=-12對稱.由題意可得b=-12.

由對稱性可知

f（-12+m）=f（-12-m）（m>12）.

取m=32可得f（1）=f（-2）.

即（a+1）ln2=（a-2）ln12.

則a+1=2-a，解得a=12.

經(jīng)檢驗(yàn)a=12，b=-12滿足題意.

故a=12，b=-12.

（3）由函數(shù)的解析式可得

f ′（x）=（-1x2）ln（x+1）+（1x+a）1x+1.

由f（x）在區(qū)間（0，+

SymboleB@

）上存在極值點(diǎn)，則f ′（x）在區(qū)間（0，+

SymboleB@

）上存在變號零點(diǎn).

令（-1x2）ln（x+1）+（1x+a）1x+1=0，則

-（x+1）ln（x+1）+（x+ax2）=0.

令g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1），

f（x）在區(qū)間（0，+

SymboleB@

）存在極值點(diǎn)，等價于g（x）在區(qū)間（0，+

SymboleB@

）上存在變號零點(diǎn)，

g′（x）=2ax-ln（x+1），g″（x）=2a-1x+1，

當(dāng)a≤0時，g′（x）<0，g（x）在區(qū)間（0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞減，此時g（x）

SymboleB@

）上無零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)a≥12，2a≥1時，由于1x+1<1，所以g″（x）>0，g′（x）在區(qū)間（0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增，所以g′（x）>g′（0）=0，g（x）在區(qū)間（0，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增，g（x）>g（0）=0，

所以g（x）在區(qū)間（0，+

SymboleB@

）上無零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)0

當(dāng)x∈（0，12a-1）時，g″（x）<0，g′（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（12a-1，+

SymboleB@

）時，g″（x）>0，g′（x）單調(diào)遞增，

故g′（x）的最小值為

g′（12a-1）=1-2a+ln2a.

令m（x）=1-x+lnx（0

m′（x）=-x+1x>0，

所以函數(shù)m（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.所以m（x）

據(jù)此可得1-x+lnx<0恒成立.

則

g′（12a-1）=1-2a+ln2a<0.

令h（x）=lnx-x2+x（x>0），則

h′（x）=-2x2+x+1x.

當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+

SymboleB@

）時，h′（x）<0，h（x）單調(diào)遞減，

故h（x）≤h（1）=0.

即lnx≤x2-x（取等條件為x=1）.

所以g′（x）=2ax-ln（x+1）>2ax-［（x+1）2-（x+1）］=2ax-（x2+x），

g′（2a-1）>2a（2a-1）-［（2a-1）2+（2a-1）］=0，且注意到g′（0）=0.

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知：g′（x）在區(qū)間（0，+

SymboleB@

）上存在唯一零點(diǎn)x0.

當(dāng)x∈（0，x0）時，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)

x∈（x0，+

SymboleB@

）時，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增，所以g（x0）

令n（x）=lnx-12（x-1x），則

n′（x）=1x-12（1+1x2）=-（x-1）22x2≤0.

則n（x）單調(diào)遞減，注意到n（1）=0，故當(dāng)x∈（1，+

SymboleB@

）時，lnx-12（x-1x）<0.

從而有l(wèi)nx<12（x-1x）.

所以g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1）

>ax2+x-（x+1）×12［（x+1）-1x+1］

=（a-12）x2+12.

令（a-12）x2+12=0，得x2=11-2a.

所以g（11-2a）>0.

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+

SymboleB@

）上存在變號零點(diǎn)，符合題意.

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，12）.

3 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要關(guān)注應(yīng)用性

數(shù)學(xué)應(yīng)用已經(jīng)滲透到現(xiàn)代社會及人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€方面，而應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題是學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn).數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.因此，高考命題重視應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，強(qiáng)化對“應(yīng)用意識”的考查，既體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，也是考查學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的重要手段.

例3（新高考Ⅱ卷第19題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖1所示的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1）當(dāng)漏診率p（c）=0.5%時，求臨界值c和誤診率q（c）；

（2）設(shè)函數(shù)f（c）=p（c）+q（c），當(dāng)c∈［95，105］時，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間［95，105］的最小值.

試題分析（1）根據(jù)題意由第一個圖可先求出c，再根據(jù)第二個圖求出c≥97.5的矩形面積即可解出；

（2）根據(jù)題意確定分段點(diǎn)100，即可得出f（c）的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

解析（1）根據(jù)題意可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5×0.002>0.5%，所以95

q（c）=0.01×（97.5-95）+5×0.002=0.035=3.5%.

（2）當(dāng)c∈［95，100］時，f（c）=p（c）+q（c）=（c-95）×0.002+（100-c）×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02；

當(dāng)c∈（100，105］時， f（c）=p（c）+q（c）=5×0.002+（c-100）×0.012+（105-c）×0.002=0.01c-0.98>0.02.

所以f（c）=-0.008c+0.82，95≤c≤100，0.01c-0.98，100

故f（c）在區(qū)間［95，105］的最小值為0.02.

4 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要重視創(chuàng)新性

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力是高中數(shù)學(xué)新課程的重要任務(wù)，而在數(shù)學(xué)探究中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、思想方法分析問題和解決問題是這種創(chuàng)新性的最好表現(xiàn).高考命題重視對情境創(chuàng)新性的考查，這就要求我們在高考復(fù)習(xí)備考中重視和加強(qiáng)對數(shù)學(xué)創(chuàng)新型問題的研究，并引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對創(chuàng)新問題的訓(xùn)練，以適應(yīng)高考命題的要求.

例4（新高考Ⅱ卷第15題）已知直線l：x-my+1=0與⊙C：（x-1）2+y2=4交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個值.

試題分析根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長|AB|，以及點(diǎn)C到直線AB的距離，結(jié)合面積公式即可解出.

解析設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，由弦長公式得|AB|=24-d2.

所以S△ABC=12×d×24-d2=85，

解得d=455或d=255.

由d=|1+1|1+m2=21+m2，

所以21+m2=455或21+m2=255，

解得m=±2或m=±12.

故答案為2 （2，-2，12，-12中任意一個皆可以）.

5 結(jié)束語

教育部考試中心發(fā)布的高考評價體系由“一核”“四層”“四翼”組成，其中：“四翼”即基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性為考查要求［1］.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考要強(qiáng)化對實(shí)現(xiàn)“四翼”考查要求策略的研究，把復(fù)習(xí)備考的著眼點(diǎn)放在數(shù)學(xué)的“問題本質(zhì)”和能力培養(yǎng)上，將本質(zhì)性的東西弄熟吃透了，閱讀理解能力及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提高了，相應(yīng)的問題便迎刃而解.

參考文獻(xiàn)：

［1］?教育部考試中心.中國高考評價體系說明[M].北京：人民教育出版社，2019.

［責(zé)任編輯：李璟］