古作軍 丁建生

第八章 冪的運算

領(lǐng)? 銜? 人：丁建生

組稿團(tuán)隊：南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué)

“冪的運算”是在同學(xué)們學(xué)了乘方運算基礎(chǔ)上要學(xué)的新內(nèi)容，也為學(xué)習(xí)下一章“整式乘法與因式分解”打下基礎(chǔ)。我們要想學(xué)好本章內(nèi)容，重點要學(xué)好冪的運算性質(zhì)，而要掌握這些性質(zhì)，關(guān)鍵在于真正理解性質(zhì)是怎么來的，有什么特點，如何運用。

一、學(xué)會推理，理解性質(zhì)的由來

冪的性質(zhì)從形式上來說就是幾個公式，但我們不能只機械地記住其結(jié)論，還要理解它們是怎么推導(dǎo)出來的。對于每條性質(zhì)的探究，教材內(nèi)容都是按照“特殊、具體數(shù)的計算→發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想→結(jié)論一般化、抽象化驗證”的思路呈現(xiàn)的。

以探究同底數(shù)冪的乘法為例，先探究底數(shù)和指數(shù)都是具體數(shù)值的冪（如102×108、104×105），再探究底數(shù)是具體數(shù)值、指數(shù)是用字母表示的數(shù)的冪（如10m×10n、2m×2n），然后大膽猜想am×an=am+n。接下來就是對此猜想進(jìn)行證明，方法是回到定義中去。由冪的定義可知，am、an分別表示m個a相乘、n個a相乘，那么am×an就是（m個a相乘）×（n個a相乘），顯然等于（m+n）個a相乘，再由乘方的定義，結(jié)果就可以寫成am+n。

再如，在探究同底數(shù)冪的除法的過程中，也是先從探究底數(shù)和指數(shù)都是具體數(shù)值的冪開始的，如23÷23、23÷24，我們先后規(guī)定了零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，并體會“規(guī)定”的合理性。有了“規(guī)定”，冪的指數(shù)范圍才擴(kuò)展到一切整數(shù)。當(dāng)然，在此過程中，我們還會意識到“零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不等于零”這個基本條件存在的意義。

事實上，數(shù)學(xué)中許多結(jié)論的得出都會經(jīng)歷從特殊到一般的思考過程。同學(xué)們?nèi)绻@樣的思路來學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，將能體會到數(shù)學(xué)知識是如何形成、生長的。

二、分析結(jié)構(gòu)，理解性質(zhì)的特點

我們分析性質(zhì)am×an=am+n、am÷an=am-n以及（am）n=amn的特點，可以發(fā)現(xiàn)這三個式子的結(jié)構(gòu)是：等號左邊是同底數(shù)冪的乘、除、乘方運算，而等號右邊是指數(shù)的加、減、乘法運算且底數(shù)保持不變，這實際上是將同底數(shù)冪的運算轉(zhuǎn)化成冪指數(shù)的加、減、乘法運算。它們有一個很重要的前提——“同底數(shù)”。因此，我們在對如25×（-2）7、a4×（-a）5、（s-t）3×（t-s）n等這些形式的冪進(jìn)行運算時，必須先將底數(shù)“統(tǒng)一”。

此外，在性質(zhì)（ab）n=an·bn中，等號左邊是先算積、后進(jìn)行乘方（可稱為積的冪），等號右邊是先進(jìn)行乘方、再算積（可稱為冪的積）。我們弄清了這里面的先后順序，就不會把（a+b）2想當(dāng)然地寫成a2+b2了。

看來，只有把性質(zhì)的結(jié)構(gòu)、特點掌握清楚了，我們在應(yīng)用時才不會混淆知識，否則，必將錯誤百出。

三、正反互通，理解性質(zhì)的運用

同學(xué)們在運用冪的運算性質(zhì)時，一般都會熟練地從等號左邊向等號右邊進(jìn)行運用。而從右邊到左邊，大家也應(yīng)該嫻熟運用，做到能根據(jù)解決問題的需要，迅速將am+n、am-n、amn、anbn寫成am×an、am÷an、（am）n、（ab）n的形式，真正實現(xiàn)“正反互通”。如此，解決問題時才會得心應(yīng)手。

下面三個問題的解決都得益于冪的運算性質(zhì)（公式）的反向運用，感興趣的同學(xué)可以嘗試做一做。

例1 計算0.1252023×82024。

在這個式子中，兩個冪的底數(shù)不同，我們首先想到將它們化成底數(shù)相同或指數(shù)相同的冪。觀察0.125與8，它們的積為1，于是，我們可將82024改寫為82023×81。

解：原式=0.1252023×82024

=0.1252023×82023×81

=（0.125×8）2023×8

=8。

例2 已知10a=5，10b=3，求102a-

103b。

我們觀察已知式和所求式，可得102a=（10a）2，103b=（10b）3。此時，只需要將10a=5，10b=3整體代入即可。

解：102a-103b

=（10a）2-（10b）3

=52-33

=-2。

例3 已知3×9m×27m=316，求m。

我們看到，已知條件中，等號右邊冪的底數(shù)是3、指數(shù)為16，等號左邊是三個冪的乘積、底數(shù)不同。但9=32，27=33，于是9m=（32）m=32m，27m=33m。等號左邊就轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘積，結(jié)果是31+5m，這時底數(shù)是3，指數(shù)是1+5m，比較等號左右兩邊，很快得到1+5m=16，即m=3。

解：因為3×9m×27m

=3×（32）m×（33）m

=3×32m×33m

=31+5m，

所以31+5m=316。

所以1+5m=16。

所以m=3。

同學(xué)們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中一定要明白知識的來龍去脈，知其然，更知其所以然；認(rèn)識知識的本質(zhì)屬性，靈活運用所學(xué)知識解決問題，做到學(xué)、思、用結(jié)合。這樣，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上才會越走越遠(yuǎn)、越學(xué)越好！

（作者單位：南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué)）

一、學(xué)會推理，理解性質(zhì)的由來

冪的性質(zhì)從形式上來說就是幾個公式，但我們不能只機械地記住其結(jié)論，還要理解它們是怎么推導(dǎo)出來的。對于每條性質(zhì)的探究，教材內(nèi)容都是按照“特殊、具體數(shù)的計算→發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想→結(jié)論一般化、抽象化驗證”的思路呈現(xiàn)的。

以探究同底數(shù)冪的乘法為例，先探究底數(shù)和指數(shù)都是具體數(shù)值的冪（如102×108、104×105），再探究底數(shù)是具體數(shù)值、指數(shù)是用字母表示的數(shù)的冪（如10m×10n、2m×2n），然后大膽猜想am×an=am+n。接下來就是對此猜想進(jìn)行證明，方法是回到定義中去。由冪的定義可知，am、an分別表示m個a相乘、n個a相乘，那么am×an就是（m個a相乘）×（n個a相乘），顯然等于（m+n）個a相乘，再由乘方的定義，結(jié)果就可以寫成am+n。

再如，在探究同底數(shù)冪的除法的過程中，也是先從探究底數(shù)和指數(shù)都是具體數(shù)值的冪開始的，如23÷23、23÷24，我們先后規(guī)定了零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，并體會“規(guī)定”的合理性。有了“規(guī)定”，冪的指數(shù)范圍才擴(kuò)展到一切整數(shù)。當(dāng)然，在此過程中，我們還會意識到“零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不等于零”這個基本條件存在的意義。

事實上，數(shù)學(xué)中許多結(jié)論的得出都會經(jīng)歷從特殊到一般的思考過程。同學(xué)們?nèi)绻@樣的思路來學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，將能體會到數(shù)學(xué)知識是如何形成、生長的。

二、分析結(jié)構(gòu)，理解性質(zhì)的特點

我們分析性質(zhì)am×an=am+n、am÷an=am-n以及（am）n=amn的特點，可以發(fā)現(xiàn)這三個式子的結(jié)構(gòu)是：等號左邊是同底數(shù)冪的乘、除、乘方運算，而等號右邊是指數(shù)的加、減、乘法運算且底數(shù)保持不變，這實際上是將同底數(shù)冪的運算轉(zhuǎn)化成冪指數(shù)的加、減、乘法運算。它們有一個很重要的前提——“同底數(shù)”。因此，我們在對如25×（-2）7、a4×（-a）5、（s-t）3×（t-s）n等這些形式的冪進(jìn)行運算時，必須先將底數(shù)“統(tǒng)一”。

此外，在性質(zhì)（ab）n=an·bn中，等號左邊是先算積、后進(jìn)行乘方（可稱為積的冪），等號右邊是先進(jìn)行乘方、再算積（可稱為冪的積）。我們弄清了這里面的先后順序，就不會把（a+b）2想當(dāng)然地寫成a2+b2了。

看來，只有把性質(zhì)的結(jié)構(gòu)、特點掌握清楚了，我們在應(yīng)用時才不會混淆知識，否則，必將錯誤百出。

三、正反互通，理解性質(zhì)的運用

同學(xué)們在運用冪的運算性質(zhì)時，一般都會熟練地從等號左邊向等號右邊進(jìn)行運用。而從右邊到左邊，大家也應(yīng)該嫻熟運用，做到能根據(jù)解決問題的需要，迅速將am+n、am-n、amn、anbn寫成am×an、am÷an、（am）n、（ab）n的形式，真正實現(xiàn)“正反互通”。如此，解決問題時才會得心應(yīng)手。

下面三個問題的解決都得益于冪的運算性質(zhì)（公式）的反向運用，感興趣的同學(xué)可以嘗試做一做。

例1 計算0.1252023×82024。

在這個式子中，兩個冪的底數(shù)不同，我們首先想到將它們化成底數(shù)相同或指數(shù)相同的冪。觀察0.125與8，它們的積為1，于是，我們可將82024改寫為82023×81。

解：原式=0.1252023×82024

=0.1252023×82023×81

=（0.125×8）2023×8

=8。

例2 已知10a=5，10b=3，求102a-

103b。

我們觀察已知式和所求式，可得102a=（10a）2，103b=（10b）3。此時，只需要將10a=5，10b=3整體代入即可。

解：102a-103b

=（10a）2-（10b）3

=52-33

=-2。

例3 已知3×9m×27m=316，求m。

我們看到，已知條件中，等號右邊冪的底數(shù)是3、指數(shù)為16，等號左邊是三個冪的乘積、底數(shù)不同。但9=32，27=33，于是9m=（32）m=32m，27m=33m。等號左邊就轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘積，結(jié)果是31+5m，這時底數(shù)是3，指數(shù)是1+5m，比較等號左右兩邊，很快得到1+5m=16，即m=3。

解：因為3×9m×27m

=3×（32）m×（33）m

=3×32m×33m

=31+5m，

所以31+5m=316。

所以1+5m=16。

所以m=3。

同學(xué)們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中一定要明白知識的來龍去脈，知其然，更知其所以然；認(rèn)識知識的本質(zhì)屬性，靈活運用所學(xué)知識解決問題，做到學(xué)、思、用結(jié)合。這樣，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上才會越走越遠(yuǎn)、越學(xué)越好！

（作者單位：南京師范大學(xué)第二附屬初級中學(xué)）