◎ 海南省陵水黎族自治縣陵水中學(xué) 趙李三

高中學(xué)生學(xué)過的函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形等內(nèi)容與實(shí)際問題有著密切聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)模型能有效解決與此相關(guān)的實(shí)際問題。在實(shí)際的問題情境中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)建模，最終解決實(shí)際問題。下面結(jié)合筆者自身的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾谓⒑瘮?shù)、數(shù)列、不等式、解三角形模型，發(fā)展提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

一、建立函數(shù)模型，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

1.根據(jù)已知數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

函數(shù)應(yīng)用的教學(xué)，要充分發(fā)揮好教科書的例題與習(xí)題作用，讓學(xué)生參與函數(shù)建模，尤其是已知數(shù)據(jù)的問題，要引導(dǎo)學(xué)生對已知數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，抓住數(shù)量關(guān)系與等量關(guān)系，注意常量、變量，注意問題中量與量之間變化的基本特征及變化規(guī)律，恰當(dāng)選擇所學(xué)的函數(shù)模型來表達(dá)，建立函數(shù)模型，活用函數(shù)知識解題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

問題1：某桶裝水店，進(jìn)價是10元兩桶水，每天工作人員工資等固定成本是200元，經(jīng)營情況如下表1。此店每桶水定價多少元時才能獲得最大利潤？

表1 某桶裝水店經(jīng)營情況

學(xué)生建模：根據(jù)以上表格已知數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)什么問題，要求獲利最大值，應(yīng)用哪些知識，需要知道哪些量，注意成本有哪些量，注意數(shù)量關(guān)系：總價、單價、數(shù)量之間的關(guān)系；特別是從表中發(fā)現(xiàn)問題：單價的變化與銷售量的變化存在著一定的規(guī)律，抓住數(shù)據(jù)中的單價變化引起銷售量的減少。注意到減少量特征：銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40桶，明確解題思路，列出函數(shù)解析式，體會建模的過程，知道解題關(guān)鍵所在，化實(shí)際問題為函數(shù)問題，寫出二次函數(shù)解析式進(jìn)行計(jì)算，說明問題。建模：設(shè)在進(jìn)價基礎(chǔ)上增加x元后，日銷售利潤為y元，依題意得y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200，0＜x＜13,當(dāng)x=6.5時，y有最大值，銷售單價定為11.5元，可獲得最大的利潤。

學(xué)生參與了根據(jù)已知數(shù)據(jù)建立函數(shù)模型的過程，活用函數(shù)知識解題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

問題2：假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請問你會選擇哪一種投資方案？

學(xué)生建模：先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，選擇投資方案。設(shè)第x(x∈N*)天所得回報(bào)是y元，方案一：y=40；方案二：y=10x；方案三：y=0.4×2x-1,對三種方案進(jìn)行描述，要對三個模型的增長情況進(jìn)行分析，得出投資1 ～6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8 ～10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇方案三。學(xué)生體會不同函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異。

2.收集數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

生活中有一些實(shí)際問題需要留心觀察、收集數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)和提出問題。在沒有現(xiàn)成數(shù)據(jù)可用的時候，適當(dāng)讓學(xué)生觀察現(xiàn)實(shí)情景問題，先收集并處理數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)加以分析，根據(jù)已得到的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的實(shí)數(shù)對點(diǎn)并按描點(diǎn)法畫出散點(diǎn)圖，結(jié)合散點(diǎn)圖特征，直觀地分析數(shù)據(jù)中各組實(shí)數(shù)對點(diǎn)的變化規(guī)律，恰當(dāng)選擇函數(shù)類型建立模型，求解得函數(shù)模型，最后解決問題。學(xué)生收集數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模型，有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

問題3：某學(xué)習(xí)小組同學(xué)為了解某沿海地區(qū)中學(xué)男生的身高（cm）與體重（平均值kg）情況，但沒有現(xiàn)成數(shù)據(jù)，該小組的同學(xué)經(jīng)過同有關(guān)單位人員了解，收集數(shù)據(jù)如表2。

表2 某沿海地區(qū)中學(xué)男生身高與體重情況

由表2能否發(fā)現(xiàn)某中學(xué)男生的身高與體重（平均值）有著一定的規(guī)律？能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型說明此地區(qū)中學(xué)男生平均體重與身高度的函數(shù)關(guān)系？能否預(yù)測該地區(qū)身高175cm的中學(xué)男生的體重？

學(xué)生建模：以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，以表中數(shù)據(jù)的實(shí)數(shù)對點(diǎn)描點(diǎn)畫出散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖恰當(dāng)選擇y=abx+c來刻畫某沿海地區(qū)中學(xué)男生的體重與身高關(guān)系的函數(shù)模型。學(xué)生取三組數(shù)據(jù)（100，15）（120,20）（160,47.2）分別代入y=abx+c，算得a，b，c近似求得函數(shù)為y=2×1.02x，學(xué)生把表中已知數(shù)據(jù)代入函數(shù)解析式或作函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型能近似說明此地區(qū)中學(xué)男生平均體重與身高度的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)身高為175cm，即x=175時，y=2×1.02175，得y≈63.9，可以預(yù)測該地區(qū)身高175cm的中學(xué)男生的體重為63.9kg。

問題4：某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，但沒有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)可用，該小組的同學(xué)在A熱飲店進(jìn)行觀察且經(jīng)店主同意收集經(jīng)營臺賬如表3。

表3 A 熱飲店經(jīng)營臺賬

由表3數(shù)據(jù)能否建立熱飲杯數(shù)隨氣溫變化的函數(shù)模型？能否為店主預(yù)測某天氣溫20°C賣出的熱飲杯數(shù)？

學(xué)生建模：首先將收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)熱飲杯數(shù)是氣溫的函數(shù)，但沒有現(xiàn)成的函數(shù)模型，利用學(xué)習(xí)過的函數(shù)圖像，采用描點(diǎn)方法來研究熱飲杯數(shù)與氣溫這兩個量的變化規(guī)律，以氣溫為橫坐標(biāo)，熱飲食杯數(shù)為縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，畫出散點(diǎn)圖，結(jié)合散點(diǎn)圖，直觀分析表3數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，選擇所學(xué)過的函數(shù)類型。從散點(diǎn)圖中看出：氣溫與熱飲杯數(shù)之間的關(guān)系是氣溫越高，賣出的熱飲杯數(shù)越少，這些點(diǎn)大致在一條直線的附近，于是可以近似地選擇一次函數(shù)來刻畫熱飲杯數(shù)與氣溫之間的變化規(guī)律，需要寫出一次函數(shù)，利用一次函數(shù)求法，學(xué)生求得：y=-2.4x+147。然后再用多組數(shù)據(jù)代入檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，發(fā)現(xiàn)這個一次函數(shù)模型與實(shí)際數(shù)據(jù)基本吻合，這說明該函數(shù)比較好地反映熱飲杯數(shù)隨氣溫的變化規(guī)律。將x=20代入y=-2.4x+147，得出y=99，預(yù)測這天賣出的熱飲99杯。

學(xué)生收集數(shù)據(jù)，參與建?；顒?，通過畫出散點(diǎn)圖，分析散點(diǎn)圖，恰當(dāng)選擇所學(xué)的函數(shù)類型，并按該類型的函數(shù)解析式求法求得函數(shù)，建立函數(shù)模型，有效地提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

二、建立數(shù)列模型，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)列在實(shí)際生活中有很多應(yīng)用，人們在貸款、儲蓄、購房、購物等經(jīng)濟(jì)生活中就大量用到數(shù)列知識。等差數(shù)列與等比數(shù)列在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，為此，通過實(shí)際問題的例題與練習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生分析、建立等差數(shù)列模型或等比數(shù)列模型，解決實(shí)際問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

問題5（習(xí)題）：某家庭打算在2010年的年底花40萬元購一套商品房，為此，計(jì)劃從2004年初開始，每年年初存入一筆購房專用存款，使這筆款到2010年底連本帶息共有40萬元，如果每年的存款數(shù)額相同。依年利息2%并按復(fù)利計(jì)算，問每年應(yīng)該存入多少錢？

學(xué)生建模：設(shè)每年應(yīng)存入x萬元，根據(jù)題意，得x(1+2%)7+x(1+2%)6+…+x(1+2%)=40，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得,解得x≈52750（元）。

學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)購房問題中的數(shù)學(xué)：某居民家庭經(jīng)濟(jì)每月總收入3000元，現(xiàn)有存款6萬元，但必須留2萬元至3萬元以備急用。預(yù)選買房方案：方案1，買商品房：一套面積為80m2的住宅，每平方米售價1500元。方案2，買二手房：一套面積為110m2的二手房，售價為14.2萬元，要求首付4萬元。讓學(xué)生應(yīng)用學(xué)過的數(shù)列知識來解決最佳選擇方案。適當(dāng)啟發(fā)：建議這個居民采用方案1。學(xué)生通過解決此問題，體會等差數(shù)列知識的應(yīng)用價值，同時讓學(xué)生練習(xí)運(yùn)用等比數(shù)列知識解決實(shí)際問題，體會等比數(shù)列知識的應(yīng)用價值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

三、建立不等式模型，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

運(yùn)用不等式知識解決一些簡單的實(shí)際問題，讓學(xué)生認(rèn)識一元二次不等式在現(xiàn)實(shí)世界的廣泛應(yīng)用，體會不等式建模，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

問題6：某校園內(nèi)有一塊長為800m,寬為600m的長方形地面，現(xiàn)要對該地進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍。

學(xué)生建模：設(shè)花卉帶的寬度為xm，表示出草坪與總面積的不等關(guān)系：，轉(zhuǎn)化為解一元二次不等式問題求解，注意實(shí)際問題中條件的限制,解得0＜x≤100。通過實(shí)際問題的建?；顒?，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

四、建立解三角形模型，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

正弦定理與余弦定理在實(shí)際測量中有許多應(yīng)用，如測量距離、高度、角度等問題，讓學(xué)生解決解三角形實(shí)際問題，體會建立解三角形模型，運(yùn)用正弦定理與余弦定理解題，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

問題7：如圖1，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。

圖1

學(xué)生建模：可以計(jì)算出河的這一岸的一點(diǎn)C到對岸兩點(diǎn)的距離，測出∠BCA大小，借助余弦定理可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)距離。測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測得∠BCA=α，∠ACD=β,∠CDB=γ，∠BDA=δ。在△ADC和△BDC中，應(yīng)用正弦定理得

計(jì)算出AC和BC后，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離：

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重讓學(xué)生在建模中學(xué)會分析問題與解決問題，體會數(shù)學(xué)建模的過程與方法，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。