鄭洪清

關(guān)鍵詞： MATLAB 函數(shù) 定積分 高等數(shù)學(xué)

中圖分類號： G642;O13-4 文獻標識碼： A 文章編號： 1672-3791（2024）01-0182-04

高等數(shù)學(xué)作為理工類本科生的一門公共基礎(chǔ)課，具有知識點繁多、內(nèi)容抽象和計算復(fù)雜等特點，再加之學(xué)時受限，導(dǎo)致眾多學(xué)生對該門課程學(xué)習(xí)效果較差。因此，在高等數(shù)學(xué)授課過程中，如何展示知識點的應(yīng)用場景、抽象內(nèi)容可視化、復(fù)雜計算簡單化和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動手能力是每位教師必須思考的問題。已有多位學(xué)者將MATLAB 軟件輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)的研究［1-4］和提升學(xué)生能力的研究［5-6］，這些研究基本上都是調(diào)用MATLAB 軟件的自帶函數(shù)進行求解，而對函數(shù)的內(nèi)部實現(xiàn)機制并未探討，這樣會導(dǎo)致有的學(xué)生對有些概念比如定積分的定義理解不透。尤其對計算機類專業(yè)學(xué)生來說，如何利用代碼理解定積分的“分割取近似，求和取極限”的這一過程是學(xué)習(xí)的一個難點。本文將探討對計算機類專業(yè)學(xué)生來說如何使用MATLAB 軟件輔助高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，主要展示某些知識點在計算機中的應(yīng)用場景以及如何利用定義自行編寫代碼求解定積分，此舉不僅使學(xué)生體驗了知識點的應(yīng)用場景，還激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和動手能力，同時也培養(yǎng)了他們利用專業(yè)知識解決數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)學(xué)科的交叉融合，達成學(xué)以致用之目的。

1 MATLAB 展示函數(shù)的應(yīng)用場景

在高等數(shù)學(xué)的第一章分別介紹了分段函數(shù)、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)等，這些函數(shù)大都在中學(xué)時期都已經(jīng)學(xué)過。傳統(tǒng)的教學(xué)方法通常展示函數(shù)圖像并介紹其性質(zhì)，對其應(yīng)用場景涉及甚少，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感覺枯燥乏味，浮光掠影。而利用MATLAB 軟件教學(xué)則可以呈現(xiàn)知識點的具體應(yīng)用場景，例如：在講解冪函數(shù)y = x^a 時，可以通過MATLAB 軟件形象展示其指數(shù)取不同數(shù)值時函數(shù)的圖形，如圖1 所示。

在MATLAB 軟件中編寫如下代碼便可實現(xiàn)上述圖像。

%利用MATLAB 繪制冪函數(shù)圖像

x=0：0.01：1；%聲明變量x，且指定x 的范圍從0 到1，間隔為0.01

r1=［0.04，0.1，0.2，0.4，0.67，1，1.5，2.5，5，10，25］；%聲明指數(shù)變量并指定其取值

xx=0.01：0.089：1；

for i=1：length（r1）

plot（x，x.^r1（i））；%畫冪函數(shù)圖形

hold on；%連續(xù)繪制

text（xx（i），xx（i）.^r1（i），num2str（r1（i）））；%標注指數(shù)及位置

end

那么該函數(shù)在現(xiàn)實問題中有何具體應(yīng)用呢？為拓展其應(yīng)用范圍和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，將其應(yīng)用于灰度圖像的增強處理。

例1 利用冪函數(shù)應(yīng)用圖像2，注意觀察指數(shù)取不同數(shù)值時圖像效果的變化情況。

從圖2 和圖3 的效果圖可知，指數(shù)取不同數(shù)值時圖像對比度完全不同，當指數(shù)為1.1 時圖像效果對比度顯著增強；當指數(shù)為0.9 時圖像效果對比度明顯變暗。讓學(xué)生直觀感受原來簡單的冪函數(shù)還有灰度圖像增強或減弱作用，大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)樂趣。對于其他分段函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等都可以仿照該方式進行教學(xué)，體會學(xué)以致用。

在MATLAB 軟件中編寫如下代碼便可實現(xiàn)灰度圖像增強或減弱效果：

img=imread（'Fig_einstein_low.tif'）；%導(dǎo)入圖像

a1=1.1；%指數(shù)值

a2=0.9；%指數(shù)值

［r，c］=size（img）；%獲取圖像的行列

img1=double（img）；%將圖像數(shù)值轉(zhuǎn)換為雙精度

for i=1：r

for j=1：c

img2（i，j）=img1（i，j）.^a1；%計算冪函數(shù)值

img3（i，j）=img1（i，j）.^a2；%計算冪函數(shù)值

end

end

subplot（1，2，1）；

imshow（uint8（img2））；

title（'指數(shù)a=1.1 時'）；

subplot（1，2，2）；

imshow（uint8（img3））；

title（'指數(shù)a=0.9 時'）；

2 MATLAB 在定積分中的應(yīng)用

2.1 一元函數(shù)定積分

一元函數(shù)定積分的幾何意義是求曲邊梯形的面積，采用“分割取近似，求和取極限”的思想，具體如圖4 所示。高等數(shù)學(xué)中介紹定積分的求解方法一般使用牛頓—萊布尼茨公式，很少利用定義求解，是因為利用定義求解過程繁瑣且容易出錯，但對有些函數(shù)來說，很難找到其原函數(shù)，因此，需要借助定積分的定義求其數(shù)值解。雖然可以直接調(diào)用MATLAB 的integral 函數(shù)求定積分，但大部分學(xué)生對利用定義求解定積分的過程并未理解，對integral 函數(shù)求定積分的內(nèi)部實現(xiàn)機制并不明白。尤其對計算機類專業(yè)學(xué)生來說，如何用定義實現(xiàn)定積分的求解過程比較重要：一方面可以深入理解定積分的定義及幾何意義；另一方面實現(xiàn)學(xué)科的交叉融合及為后續(xù)課程學(xué)習(xí)夯實基礎(chǔ)。

運行結(jié)果得如圖5 所示，所圍成陰影圖形的面積即為定積分的結(jié)果。

解1：利用integral 函數(shù)求解定積分。

在MATLAB 中編寫代碼如下：

fun=@（x）x.^2

ans=integral（fun，0，1）

運行結(jié)果ans=0.3333。

解2：利用定積分定義自行編寫代碼。

%在0-1 區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生n=100 個隨機點

x=rand（1，100）；

x=sort（x）；

x=［0 x 1］；

sum=0；

for i=1：length（x）-1

delta_x=x（i+1）-x（i）；

sum=sum+（x（i）+delta_x/2）.^2*（x（i+1）-x（i））；

end

運行結(jié)果與上述方法一致。

2.2 二元函數(shù)定積分

二元函數(shù)定積分簡稱二重積分，其幾何意義即是求曲頂柱體的體積，實施過程與一元函數(shù)定積分類似，均是“分割取近似，求和取極限”。下面以二重積分在直解坐標系下的計算為例加以闡釋，如圖6 所示。很多學(xué)生空間想象力較弱，不能準確繪制題目所給的區(qū)域，導(dǎo)致無法順利求解，但如果能借助MATLAB 軟件作圖，則能直觀展示空間圖形從而使問題迎刃而解。

例3 求由4 個平面x = 0x = 1y = 0y = 1 所圍的柱體被平面z = 0及2x + 3y + z = 6截得的立體的體積。

在MATLAB 中編寫如下代碼：

［x，y］=meshgrid（0：0.01：1）；

z=6-2*x-3*y；

meshz（x，y，z）；%將曲面加上圍裙

xlabel（'x'）；

ylabel（'y'）；

zlabel（'z'）；

運行結(jié)果得如圖7 所示。

可見，在MATLAB 軟件中也可輕而易舉地實現(xiàn)立體圖形的繪制，增強了學(xué)生的空間想象力。由于二重積分在計算過程是分兩次一重積分來實現(xiàn)的，但在計算過程中會碰到與一重積分同樣的問題，即原函數(shù)難以求解，故可調(diào)用MATLAB 軟件自帶quad2d 函數(shù)或二重積分的定義自行編寫代碼求解，這樣既理解了定積分定義的過程又訓(xùn)練了交叉學(xué)科的融合。

解1：利用MATLAB 自帶函數(shù)求解代碼。

fun=@（x，y）6-2*x-3*y；

x_min=0；

x_max=1；

y_min=0；

y_max=1；

result=quad2d（fun，x_min，x_max，y_min，y_max）

運行結(jié)果ans=3.5000

解2：利用二重定積分定義自行編寫代碼。

x=0：0.01：1；

y=0：0.01：1；

sum=0；

for i=1：length（x）-1

delt_x=x（i+1）-x（i）；

dx=x（i）+delt_x/2；

for j=1：length（y）-1

delt_y=y（i+1）-y（i）；

dy=y（j）+delt_y/2；

sum=sum+delt_x*delt_y*（6-2*dx-3*dy）；

end

end

sum

運行結(jié)果與上述方法一致。

上述利用定義自行編寫代碼求解定積分的過程中，未使用求極限這一步驟，僅僅體現(xiàn)幾何圖形分割得越細，計算結(jié)果越精確，它是一種計算定積分數(shù)值解的有效方法，對理解定積分的定義及幾何意義均有所幫助。因此，在授課過程中教師應(yīng)使用數(shù)形結(jié)合和動手實踐，讓學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容掌握得更扎實。正所謂“耳聽千遍，不如手過一遍”。

3 結(jié)語

本文以計算機類專業(yè)為例，從函數(shù)應(yīng)用場景、一元函數(shù)定積分以及二元函數(shù)定積分這3 個方面展示了MATLAB 軟件輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)，不再停留在傳統(tǒng)的“黑板+粉筆”和多媒體授課方式，而是呈現(xiàn)知識點的具體應(yīng)用場景，利用自行編寫代碼理解定積分的定義，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動手能力，實現(xiàn)學(xué)科的交叉融合，提高教學(xué)質(zhì)量和效果。