專題復(fù)習(xí) 函數(shù)及其圖像

領(lǐng)" 銜" 人：康葉紅

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省“深度學(xué)習(xí)視域下初中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)”課題組

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)是初中階段函數(shù)的三個(gè)重要分支。在解決函數(shù)問題時(shí)，我們常因?yàn)樗伎紗栴}不全面或者忽視相關(guān)函數(shù)的概念和圖像性質(zhì)而出現(xiàn)一些錯(cuò)誤?，F(xiàn)將函數(shù)中易混淆的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行辨析，希望同學(xué)們能及時(shí)查漏補(bǔ)缺，舉一反三。

一、忽視函數(shù)的概念而出錯(cuò)

例1 二次函數(shù)y=（m-1）x2+x+m2-1的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值為 。

【錯(cuò)解】∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，∴將x=0，y=0代入可得m2-1=0，于是m=±1。

【錯(cuò)因剖析】忽視了二次函數(shù)中a≠0，即m-1≠0的條件限制。

【正解】由題意可得m2-1=0且m-1≠0，解得m=-1。

例2 已知函數(shù)y=（m+1）x2-4x+2（m是常數(shù)）的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m= 。

【錯(cuò)解】當(dāng)y=0時(shí)，（m+1）x2-4x+2=0。

∵函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴b2-4ac=0，即（-4）2-4×（m+1）×2=0，解得m=1。

【錯(cuò)因剖析】看到y(tǒng)=（m+1）x2-4x+2（m是常數(shù)）這個(gè)函數(shù)表達(dá)式，部分同學(xué)會(huì)認(rèn)為此函數(shù)一定是二次函數(shù)，忽略了當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)，也符合題意。

【正解】當(dāng)m+1≠0時(shí)，此函數(shù)為二次函數(shù)，由上述解法可得m=1；當(dāng)m+1=0時(shí)，y=-4x+2為一次函數(shù)，函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即m=-1。綜上可得m=±1。

【總結(jié)】解決此類問題，我們需要結(jié)合函數(shù)的概念來分析。其中，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=[kx]的限制條件都是k≠0，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的限制條件是a≠0。例1忽視了上述限制條件；例2在未說明哪一類函數(shù)的情況下，需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類討論，如果缺少分類的意識(shí)，就容易漏解。

二、忽視函數(shù)的性質(zhì)而出錯(cuò)

例3 如圖1，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=[kx]圖像的一支上，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)N是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PN、MN。已知△PMN的面積為6。

（1）k的值為（ ）。

A.6 B.-6 C.12 D.-12

（2）這個(gè)函數(shù)的圖像位于哪些象限？y隨x的增大怎樣變化？

（3）若點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，且x1＜x2，試比較y1與y2的大小。

【錯(cuò)解】（1）選A或B或C；（2）這個(gè)函數(shù)的圖像位于第二、四象限，y隨x的增大而增大；（3）y1＜y2。

【錯(cuò)因剖析】（1）錯(cuò)選A，是誤認(rèn)為k就是△PMN的面積；錯(cuò)選B，是在A的基礎(chǔ)上考慮了反比例函數(shù)在第二象限，k是負(fù)數(shù)；錯(cuò)選C，是雖然理解了k與△PMN的面積的關(guān)系，但忽視了反比例函數(shù)在第二象限時(shí)，k是負(fù)數(shù)這一要求。

（2）反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，此題k=-12，雙曲線的兩支分別在第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。性質(zhì)中，“在每一個(gè)象限內(nèi)”容易被忽略，而它不可缺少，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如，反比例函數(shù)y=[-12x]，當(dāng)x=-2時(shí)，y=6；當(dāng)x=2時(shí)，y=-6，y隨x的增大而減少，這與性質(zhì)不符，原因就是（-2，6）和（2，-6）不在同一象限內(nèi)。

（3）出現(xiàn)錯(cuò)誤是因?yàn)楹鲆暳朔幢壤瘮?shù)增減性中“在每一個(gè)象限內(nèi)”的要求，對(duì)于x1＜x2這一條件缺少分類討論，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。

【正解】（1）∵PM⊥x軸于點(diǎn)M，

∴PM∥y軸。

∴△PMN底邊PM上的高就是平行線間的距離。

又∵△PMN的面積為6，

∴[k]=2×6=12。

又∵圖像在第二象限，∴k=-12。

故選D。

（2）∵k=-12，

∴y=-[12x]的圖像在第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。

（3）當(dāng)x1＜x2＜0或0＜x1＜x2時(shí)，則y1＜y2；當(dāng)x1＜0＜x2時(shí)，則y2＜y1。

例4 已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，3）、（3，0）。

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，y的取值范圍為 。

【錯(cuò)解】（1）略。

（2）由（1）得y=-x2+2x+3。當(dāng)x=-1時(shí)，y=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=3，∴0＜y＜3。

【錯(cuò)因剖析】上述解法在已知自變量的取值范圍時(shí)，采用臨界值代入計(jì)算，忽視了二次函數(shù)的對(duì)稱性、增減性和頂點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)。

【正解】（1）易得y=-x2+2x+3；（2）畫出y=-x2+2x+3的圖像，如圖2所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），觀察圖像可知當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，y的取值范圍為0＜y≤4。

【總結(jié)】函數(shù)主要研究其圖像、性質(zhì)和應(yīng)用，在給定自變量x的取值范圍時(shí)，求y的取值范圍，先代入臨界值計(jì)算，然后根據(jù)函數(shù)圖像的增減性進(jìn)行判斷，其中反比例函數(shù)要考慮所在的象限，二次函數(shù)要考慮頂點(diǎn)坐標(biāo)，避免產(chǎn)生錯(cuò)誤。

三、忽視函數(shù)圖像與方程不等式的聯(lián)系而出錯(cuò)

例5 如圖3，將二次函數(shù)y=（x+1）2

-4的圖像在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖像的其余部分不變，即得到y(tǒng)=[（x+1）2-4]的圖像。根據(jù)圖像，若關(guān)于x的方程[（x+1）2-4]=k有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 。

【錯(cuò)解】∵二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，4），∴k＜4。

【錯(cuò)因剖析】只分析了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，而對(duì)于問題中方程“有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”沒有正確理解。應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合的思想從函數(shù)的視角去分析，將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題。

【正解】由題意得y=[（x+1）2-4]的圖像與y=k的圖像有四個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)圖像可知，0＜k＜4。

【總結(jié)】熟練掌握函數(shù)圖像及其性質(zhì)，利用兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)和圖像的直觀性解決方程和不等式相關(guān)聯(lián)的問題。

（作者單位：江蘇省六合高級(jí)中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）