吳雨霞 董曉麗 邱毅

2022年數(shù)學新高考Ⅰ卷第12題是關于原函數(shù)與導函數(shù)的“奇偶性”“對稱性”的關系，以及函數(shù)圖象變換和函數(shù)周期性的問題.題目綜合性強，難度大.在人教版高中數(shù)學新教材中都能看到本題的影子.例如，人教A版高中數(shù)學新教材必修第一冊第87頁“拓廣探索”第13題及第214頁“拓廣探索”第19題.人教A版高中數(shù)學新教材選擇性必修第二冊第5章第3節(jié)的節(jié)引言說明利用導數(shù)能更精確地研究函數(shù)的性質.教材中用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，而奇偶性.對稱性與周期性也是函數(shù)的重要內容，但教材中對于如何用導數(shù)研究函數(shù)的奇偶性和周期性并未提及.本文中對原函數(shù)與導函數(shù)的“奇偶性”“對稱性”的關系及函數(shù)的周期性的相關結論統(tǒng)一進行證明，期望在教學過程中，教師能充分利用及深度挖掘教材中的題目，培養(yǎng)學生的直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).

1試題呈現(xiàn)

（2022年數(shù)學新高考Ⅰ卷第12題）已知函數(shù)f（x）及其導函數(shù)f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）.若f32－2x，g（2+x）均為偶函數(shù)，則（）.

A.f（0）=0

B.g－12=0

C.f（－1）=f（4）

D.g（－1）=g（2）

2教材探源

題1（人教A版高中數(shù)學必修一第87頁第13題）我們知道，函數(shù)y=f（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x+a）－b為奇函數(shù).

（1）求函數(shù)f（x）=x3－3x2圖象的對稱中心；

（2）類比上述推廣結論，寫出“函數(shù)y=f（x）的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)”的一個推廣結論.

題2（人教A版高中數(shù)學必修一第214頁第19題）容易知道，正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心.除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，那么對稱中心的坐標是什么？另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，那么對稱軸的方程是什么？你能用已經(jīng)學過的正弦函數(shù)性質解釋上述現(xiàn)象嗎？對余弦函數(shù)和正切函數(shù)，討論上述同樣的問題.

題1將奇函數(shù)圖象關于原點對稱的結論進行推廣，即奇函數(shù)是函數(shù)圖象中心對稱的一種特殊函數(shù)，并要求學生類比奇函數(shù)的推廣結論寫出偶函數(shù)的推廣結論，旨在培養(yǎng)學生的直觀想象與邏輯推理核心素養(yǎng).題2探究正弦函數(shù)圖象的對稱軸、對稱中心，而正弦函數(shù)是典型的周期函數(shù)，因此正弦函數(shù)的圖象是探索函數(shù)圖象對稱性與周期性的良好載體.在學習導函數(shù)之后可以發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的導函數(shù)是余弦函數(shù)，從而說明可以從導數(shù)的角度研究函數(shù)圖象的對稱性.

3問題剖析

對于上述高考題，由圖象變換可知，g（x）與f（x）的圖象分別關于直線x=2與直線x=32對稱，從選項中可以猜到需要探究g（x）與f（x）的周期性.由于g（x）為f（x）的導函數(shù)，因此需要尋找導函數(shù)與原函數(shù)對稱性之間的關系.根據(jù)導函數(shù)的學習，學生可能有一個猜想：奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù).在實際的教學過程中，學生往往在猜想后，有的教師說結論是正確的，但并未證明，有的教師是不知如何證明.以下我們從奇函數(shù)與偶函數(shù)的導函數(shù)對稱性質出發(fā)，給出原函數(shù)與導函數(shù)對稱關系的統(tǒng)一證明.

結論1：若f（x）為可導的偶函數(shù)，則f′（x）為奇函數(shù).

證明：因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（－x），等式兩邊同時對x求導，得f′（x）=－f′（－x）.令g（x）=f′（x），則g（x）=－g（－x），所以f′（x）為奇函數(shù).

結論2：若f（x）為可導的奇函數(shù)，則f′（x）為偶函數(shù).

證明：因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）+f（－x）=0，等式兩邊同時對x求導，得f′（x）－f′（－x）=0.令g（x）=f′（x），則g（x）=g（－x），所以f′（x）為偶函數(shù).

偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關于原點（0，0）對稱，而可導偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)，可導奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù).因此作出以下推廣猜想：若可導函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，則其導函數(shù)的圖象是中心對稱圖形；若可導函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則其導函數(shù)的圖象是軸對稱圖形.以下為證明.

結論1推廣：若f（x）為圖象關于直線x=a對稱的可導函數(shù)，則f′（x）的圖象關于點（a，0）對稱.

證明：因為f（x）的圖象關于直線x=a對稱，所以f（x）=f（2a－x），等式兩邊同時對x求導，得f′（x）=－f′（2a－x）.令g（x）=f′（x），則g（x）=－g（2a－x），即g（x）+g（2a－x）=0，所以f′（x）的圖象關于點（a，0）對稱.

結論2推廣：若f（x）為圖象關于點（a，0）對稱的可導函數(shù)，則f′（x）的圖象關于直線x=a對稱.

證明：因為f（x）的圖象關于點（a，0）對稱，所以f（x）+f（2a－x）=0，等式兩邊同時對x求導，可得f′（x）－f′（2a－x）=0.令g（x）=f′（x），則g（x）－g（2a－x）=0，即g（x）=g（2a－x），所以f′（x）的圖象關于直線x=a對稱.

結論3：若函數(shù)f（x）的圖象關于點A（a，c），B（b，c）對稱，則2|a－b|為f（x）的一個周期.

證明：因為f（x）的圖象關于點A（a，c）對稱，所以f（x）+f（2a－x）=2c.將x用2b－x替換，得f（2a－2b+x）+f（2b－x）=2c.因為f（x）的圖象關于點B（b，c）對稱，所以f（2b－x）+f（x）=2c.

所以f（2a－2b+x）=f（x）.故2|a－b|為f（x）的一個周期.

結論4：若函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=a，x=b對稱，則2|a－b|為f（x）的一個周期.

證明：因為f（x）的圖象關于直線x=a對稱，所以f（2a－x）=f（x）.將x用2b－x替換，得f（2a－2b+x）=f（2b－x）.又因為f（x）的圖象關于直線x=b對稱，所以f（2b－x）=f（x）.

所以f（2a－2b+x）=f（x）.故2|a－b|為f（x）的一個周期.

結論5：若函數(shù)f（x）的圖象關于點A（a，c）及直線x=b對稱，則4|a－b|為f（x）的一個周期.

證明：因為f（x）關于點A（a，c）對稱，所以有[JP5]f（2a－x）+f（x）=2c.用2b－x替換x，得f（2a－2b+x）+f（2b－x）=2c.又

因為f（x）的圖象關于直線x=b對稱，所以f（2b－x）=f（x）.

所以，可得f（2a－2b+x）+f（x）=2c.

令①式中的x為2a－2b+x，得

f（4a－4b+x）+f（2a－2b+x）=2c.

因此，可得f（4a－4b+x）=f（x），所以4|a－b|為f（x）的一個周期.

結論1的逆命題：若g（x）為定義域D上可積的奇函數(shù)，則存在一個原函數(shù)f（x）為偶函數(shù).

證明：因為g（x）為定義域D上可積的奇函數(shù)，所以g（x）+g（－x）=0，等式兩邊同時對x積分，得[JP5][XC積分符號.tif，JZ]g（x）dx+[XC積分符號.tif，JZ]g（－x）dx=[XC積分符號.tif，JZ]g（x）dx－[XC積分符號.tif，JZ]g（－x）d（－x）=0.設g（x）=f′（x），則f（x）+C1=f（－x）+C2.當C1=C2時，f（x）為偶函數(shù).

結論1推廣的逆命題：g（x）為定義域D上關于點（a，0）對稱的可積函數(shù)，則存在一個原函數(shù)f（x）其圖象關于直線x=a對稱.

證明：因為函數(shù)g（x）的圖象關于點（a，0）中心對稱，所以g（x）+g（2a－x）=0，等式兩邊同時對x積分得，[XC積分符號.tif，JZ]g（x）dx+[XC積分符號.tif，JZ]g（2a－x）dx=[XC積分符號.tif，JZ]g（x）dx－[XC積分符號.tif，JZ]g（2a－x）d（2a－x）=0.令g（x）=f′（x），則f（x）+C1=f（2a－x）+C2.當C1=C2時，f（x）=f（2a－x），所以f（x）的圖象關于直線x=a對稱.

同理，還可對結論2的逆命題及結論2推廣的逆命題進行證明.根據(jù)本文還可猜想：周期函數(shù)的導函數(shù)是周期函數(shù)；若導函數(shù)是周期函數(shù)，則其原函數(shù)也是周期函數(shù).

4問題破解

對于上述高考題，利用函數(shù)圖象變換可知，f（x）的圖象關于直線x=32對稱，g（x）的圖象關于直線x=2對稱.因為g（x）是f（x）的導函數(shù)，所以f（x）的圖象關于點（2，0）對稱，根據(jù)結論5可知，f（x）是周期為2的周期函數(shù).根據(jù)結論1推廣可知，g（x）的圖象關于點32，0對稱，又因為g（x）的圖象關于直線x=2對稱，根據(jù)結論5可知，g（x）是周期為2的周期函數(shù).

5教學啟示

本題在知識點方面考查函數(shù)圖象的變換，原函數(shù)與導函數(shù)的對稱關系及函數(shù)的周期性，具有一定難度.在學生能力上，則指向邏輯推理及直觀想象核心素養(yǎng)的考查.其中，邏輯推理的考查體現(xiàn)在通過具體實例去類比，猜想原函數(shù)與導函數(shù)之間的對稱關系.直觀想象主要體現(xiàn)在根據(jù)函數(shù)圖象關于點對稱及軸對稱得到函數(shù)的周期.在教學過程中可將教材中“拓廣探索”部分的習題利用起來，例如，將它們變成一道思考題，讓學生先猜想結論，再嘗試證明，從而培養(yǎng)學生邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).