吳麗沙 黃靜 鄒英慧 冀東江

摘 ?要：在計(jì)算機(jī)斷層成像過(guò)程中，為了降低輻射劑量，往往采用稀疏角度投影數(shù)據(jù)，濾波反投影重建算法（Filtered BackProjection，F(xiàn)BP）具有重建速度快的優(yōu)點(diǎn)，但在稀疏角度情況下重建得到的圖像中存在較嚴(yán)重的條狀偽影。針對(duì)此問(wèn)題，該文研究采用基于結(jié)構(gòu)張量全變差（The Structure tensor Total Variation）CT圖像后處理去噪算法，該文中簡(jiǎn)稱該算法為FBP-STV算法。為了驗(yàn)證該算法的可靠性，該文用2類模型進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)，并與FBP算法、截?cái)嗳兎?類算法進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該文研究的FBP-STV算法，去噪效果相對(duì)較好，圖像質(zhì)量相對(duì)較高。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)張量全變差；FBP濾波反投影算法；STV算法；FBP-STV算法；截?cái)嗳兎?/p>

中圖分類號(hào)：TP312 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-2945（2024）14-0005-04

Abstract： In the process of computed tomography， sparse angle projection data is often used to reduce radiation dose. Filtered back projection （FBP） reconstruction algorithm has the advantage of fast reconstruction speed， but there are serious strip artifacts in the reconstructed images in the case of sparse angles. In order to solve this problem， this paper studies the denoising algorithm of CT image post-processing based on structure tensor total variation. In this paper， the algorithm is called FBP-STV algorithm for short. In order to verify the reliability of the algorithm， data simulation experiments are carried out with two kinds of models and compared with FBP algorithm and truncated total variational algorithm. The experimental results show that the FBP-STV algorithm studied in this paper has a relatively good denoising effect and relatively high quality of images.

Keywords： total variation of structure tensor; filtered back projection（FBP） algorithm; STV algorithm; FBP-STV algorithm; truncated total variation

圖像重建算法中解析重建算法和迭代重建算法是2種最常用的圖像重建算法。濾波反投影重建算法（Filtered BackProjection，F(xiàn)BP）[1]屬于解析重建算法。為了降低重建圖像的劑量，實(shí)際中可以采用稀疏角投影重建圖像，但對(duì)于采用FBP重建算法，重建圖像中有明顯的條狀偽影。為了解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)者們研究了一系列的圖像去噪算法。去噪算法包括有基于偏微分方程和變換域圖像去噪[2]、基于改進(jìn)閾值函數(shù)的TOFD小波去噪[3]、總變差（TV）等[4]。TV是一個(gè)凸泛函，其通常用于灰度圖像，但也已擴(kuò)展應(yīng)用于向量值圖像，其成功的主要原因是其能夠重建具有清晰、邊緣保持良好的圖像。然而，其也有缺點(diǎn)，如過(guò)度平滑均勻區(qū)域和產(chǎn)生階梯狀偽影。

為了克服TV的局限性，文獻(xiàn)中又提出了幾種正則化泛函。其中包括適應(yīng)圖像變化懲罰的擴(kuò)展，通過(guò)局部改變正則化權(quán)重[5]或通過(guò)結(jié)合圖像的局部結(jié)構(gòu)引入各向異性[6]。然而，這些方法從輸入圖像中提取局部信息，要么作為預(yù)處理步驟，要么作為優(yōu)化問(wèn)題的額外未知函數(shù)，而不是直接依賴于潛在圖像。相反，所謂的各向異性TV（ATV）[7]通過(guò)引入一個(gè)依賴于未知圖像本身的結(jié)構(gòu)張量的“擴(kuò)散”張量，來(lái)適應(yīng)圖像變化的懲罰。另一種旨在消除TV的階梯效應(yīng)的正則化方法涉及可以編碼更高階信息的泛函。這些正則化器促進(jìn)分段線性而非分段常數(shù)的重建，并且與TV結(jié)合使用，如總廣義變差（TGV）[8]和Hessian Schatten-范數(shù)正則化[9]。2015年結(jié)構(gòu)張量全變差（The Structure tensor Total Variation，STV）[10]正則項(xiàng)被提出，該正則項(xiàng)應(yīng)用在各種圖像的反問(wèn)題中。本文針對(duì)FBP算法在稀疏投影數(shù)據(jù)情況下重建圖像中存在條狀偽影這一問(wèn)題，將STV引入到FBP重建算法當(dāng)中，簡(jiǎn)稱為FBP-STV算法。FBP-STV被用來(lái)約束重建圖像中每個(gè)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)張量的特征值。

本研究在得到結(jié)構(gòu)張量TV模型的情況下將其與原圖、截?cái)郥V[11]及FBP算法處理后的圖像進(jìn)行圖像去噪對(duì)比分析。采用峰值信噪比（PSNR）和均方誤差（MSE）[12]等指標(biāo)來(lái)評(píng)估重建圖像的質(zhì)量。

1 ?圖片去噪算法

1.1 ?FBP濾波反投影算法

濾波反投影是指對(duì)投影數(shù)據(jù)先進(jìn)行濾波，然后再進(jìn)行反投影算法。其中u（x，y）為反投影后的圖像，該算法如公式（1）所示

式中：|ω|是一維濾波器函數(shù)，而[ ]中所包括的為一維傅里葉反變換，ρ=xcosθ+ysinθ是一條直線的法線表示，且ρ對(duì)于ω來(lái)說(shuō)是一個(gè)常數(shù)，G（ω，θ）是投影的一維傅里葉變換，如公式（2）所示

得到，在公式（2）中ω是頻率變化量，g（ρ，θ）是固定的θ值下得到的對(duì)ρ的完整投影。

1.2STV結(jié)構(gòu)張量算法[8]

在該算法中STV被用來(lái)約束圖像中每個(gè)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)張量的特征值，與傳統(tǒng)TV的算法相比，基于STV的算法在圖像恢復(fù)方面具有較大優(yōu)勢(shì)。結(jié)構(gòu)張量主要用于區(qū)分圖像的平坦區(qū)域、邊緣區(qū)域與角點(diǎn)區(qū)域。在數(shù)學(xué)上，STV可以表示如下

3 ?實(shí)驗(yàn)與分析

本文選取2幅圖像進(jìn)行試驗(yàn)，在0～179°范圍內(nèi)等間隔采樣了90個(gè)投影，分別采用FBP算法、FBP-STV算法、截?cái)郥V算法來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并通過(guò)主客觀兩方面進(jìn)行評(píng)價(jià)。

3.1 ?第一幅圖實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

如圖1（a）—（d） 所示，在90個(gè)投影采樣下，tiff的3種算法重建得到的圖像各有差異。從視覺(jué)上來(lái)看，圖1（b）中FBP算法重建得到的圖像質(zhì)量最差，且偽影較多。圖1（c）中 FBP-STV算法與圖1（d）中截?cái)郥V算法的邊界較為清晰，但圖1（d）截?cái)郥V算法中，箭頭指向處相比于圖1（c）FBP-STV算法存在較多偽影，可以看出，F(xiàn)BP-STV算法有較優(yōu)的視覺(jué)效果。

表1則為tiff的3種算法的MSE、PSNR評(píng)價(jià)指標(biāo)，為了更加直觀地進(jìn)行對(duì)比，圖2給出了tiff的3種算法評(píng)價(jià)指標(biāo)的柱狀圖。由圖2可發(fā)現(xiàn)FBP-STV算法與截?cái)郥V算法相比，MSE較小而PSNR較大，都具有較好的MSE、PSNR值，圖像質(zhì)量較好。而FBP算法的MSE指標(biāo)均大于上述2種算法，PSNR指標(biāo)也都小于這2種算法，從視覺(jué)上也能看出FBP算法偽影較多，圖片質(zhì)量較差。

3.2 ?第二幅圖實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

如圖3（a）—（d）所示，在90個(gè)投影采樣下，腦CT的3種算法重建得到的圖像有所差別。從視覺(jué)上來(lái)看，圖3（b）中FBP算法重建得到的圖像邊界偽影最多，圖像質(zhì)量較差。通過(guò)比較圖3（c）與圖3（d）可以發(fā)現(xiàn)，圖3（c）中FBP-STV算法與圖3（d）中截?cái)郥V算法的邊界都較為清晰，圖像存在少量偽影，圖像質(zhì)量比圖3（b）FBP算法較好。

表2則為腦CT的3種算法的MSE、PSNR評(píng)價(jià)指標(biāo)。為了更加直觀地進(jìn)行對(duì)比，圖4給出了腦CT的3種算法評(píng)價(jià)指標(biāo)的柱狀圖。由圖4可發(fā)現(xiàn)FBP-STV算法較其他2種算法評(píng)價(jià)指標(biāo)都要好一些，客觀評(píng)價(jià)表明該算法優(yōu)于其他2種算法。

4 ?結(jié)論

本文在稀疏角度采用投影數(shù)據(jù)情況下，首先采用FBP重建出初始圖像，然后采用了STV對(duì)重建圖像進(jìn)行約束，為了證明所研究算法的有效性，將該算法與其他2種算法（FBP和截?cái)郥V）進(jìn)行了去噪對(duì)比實(shí)驗(yàn)，比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，F(xiàn)BP-STV算法與其他2種算法相比，在去除條狀偽影同時(shí)可以對(duì)邊界的結(jié)構(gòu)有很好的保護(hù)效果。

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