李連祥 賈斌 趙忠楊 韓志霄 李勝群

摘要：為了探究土與強風化巖邊坡中強風化巖不破壞的臨界坡率及穩(wěn)定性判斷方法，基于濟南地層，得出適用于數(shù)值模擬的土層參數(shù)，并利用強度折減法求出邊坡的臨界坡率，為施工提供參考。針對強風化巖不破壞的邊坡，運用改進的瑞典條分法求出邊坡安全系數(shù)解析解，并利用滑移線場法求出滑移線，為安全系數(shù)解析解的應用提供依據(jù)。結(jié)果表明，巖層厚度超過邊坡高度1/2或坡率大于1：0.5時，強風化巖一定破壞；解析解得出的安全系數(shù)偏小，有利于工程安全；針對土與強風化巖邊坡，文中結(jié)果可確定邊坡破壞區(qū)域，設計支護方案。

關(guān)鍵詞：邊坡穩(wěn)定；安全系數(shù)；土巖雙元邊坡；瑞典條分法；滑移線場法；解析解

中圖分類號：U416.1+4????????? 文獻標志碼：A????? 文章編號：1000-582X（2024）02-001-13

Arc-plane failure mode and support design method of dual-element slope of soil and strongly weathered rock

LI Lianxiang1a， 1b， JIA Bin1a， 1b， ZHAO Zhongyang2， HAN Zhixiao1a， 1b， LI Shengqun1a， 1b

（1a. Foundation Pit and Deep Foundation Engineering Research Center; 1b. School of Civil Engineering， Shandong University， Jinan 250061， P. R. China; 2. First Construction Co.， Ltd.， China Construction Eighth Bureau， Jinan 250014， P. R. China）

Abstract： To investigate the non-destructive critical slope rate and stability assessment method for strongly weathered rock slopes with soil and highly weathered rock， based on Jinans strata， suitable soil layer parameters for numerical simulation are determined. The strength reduction method is then applied to calculate the critical slope rate of the slope， providing reference for construction. The analytical solution for the slopes safety factor is obtained using the improved Swedish slice method and the slip line field method. These analytical solutions provide essential prerequisties for safety factor applications. Results show that strongly weathered rock experiences failure when the rock strata thickness exceeds half of the slope height or the slope ratio surpasses 1：0.5. The obtained safety factor from the analytical solution tends to be conservative， contributing to enhanced engineering safety. For soil and strongly weathered rock slope， the research findings help identify the failure area， facilitating the design of support schemes.

Keywords： slope stability; hazard index; soil rock double slope; Swedish division; slip line field method; analytical solution

在基坑和邊坡工程中，出現(xiàn)了大量上層土體+下部巖體的雙元邊坡。以山東省濟南市為例，市區(qū)地層主要由第四系土體、灰?guī)r、輝長巖3種巖土體組成[1?2]。市區(qū)基坑開挖深度范圍大致在6～30 m之間。土巖雙元基坑邊坡巖土層分布情況可分為4類[1]：1）土+全風化輝長巖；2）土+全風化輝長巖+強風化輝長巖；3）土+全風化輝長巖石+強風化輝長巖+中風輝長化巖；4）土+中風化灰?guī)r。目前，基坑土體邊坡[3]整體穩(wěn)定分析明確按圓弧滑動模式，建筑巖質(zhì)邊坡[4]建議按外傾結(jié)構(gòu)面分析。對于土與全風化巖邊坡，可以將全風化巖當作土層分析[3]，按建筑基坑支護技術(shù)規(guī)程[4]進行邊坡設計；對于土與強風化巖邊坡的整體穩(wěn)定性分析均缺乏明確規(guī)定[5]，大量土巖雙元邊坡仍按圓弧滑動法為基礎的商用軟件驗算，與已有文獻出現(xiàn)較大差異[6?7]。因此，研究土與強風化巖雙元邊坡破壞模式具有重要的理論意義和工程價值。

筆者前期研究表明，土與強風化巖雙元邊坡坡率較小時，破壞模式為圓弧-平面滑動破壞模式，強風化巖層不發(fā)生破壞，如圖1（a）所示；坡率較大時，破壞模式為圓弧-平面-局部破壞體破壞模式，如圖1（b）所示；尚不能成為工程依據(jù)，明確強風化巖破壞的規(guī)律具有緊迫性。

目前，求安全系數(shù)的方法主要是瑞典條分法，對單一邊坡[8?10]進行水平條分或豎直條分，忽略土條條間力作用，分別得到水平積分模型和豎直積分模型的安全系數(shù)解析解[11?12]。有學者對瑞典條分法做出了一些改進，將起伏不平的坡面簡化為分段直線進行積分[13?17]，假設土條間只有水平推力等[14]，主體思想仍然是滑動面為圓弧面[15?16]。但瑞典條分法有一個前提條件，需指定滑動面。對于潛在滑移線（面）的確定，已有學者認為滑移線場法具有更重要的意義。滑移線場法根據(jù)彈塑性有限元的應力分析結(jié)果[17?19]，用數(shù)值積分方法得出邊坡潛在滑移線（面）[20?23]， 最危險潛在滑移線和邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)[24?25]，是確定巖土潛在滑移線的通用方法。當巖土應力達到破壞狀態(tài)時，確定的潛在滑移線將轉(zhuǎn)為真正的滑移線[26]。但現(xiàn)有研究僅在理論層面推進滑移線場法，缺乏實際工程應用。

文中基于濟南地質(zhì)條件的土與強風化巖雙元邊坡，采用數(shù)值模擬獲得強風化巖破壞體出現(xiàn)的臨界坡率，針對強風化巖不發(fā)生破壞的邊坡，推導出邊坡安全系數(shù)解析解，進一步根據(jù)滑移線場法求出潛在滑移線的位置。最后結(jié)合實際案例，運用深基坑軟件設計支護方案，為文中方法在工程上的應用提供參考。

1 數(shù)值模型建立

1.1 數(shù)值模型

深基坑工程數(shù)值模擬采用土體小應變強化模型（HSS）具有科學性。其需要的重度γ、黏聚力c、內(nèi)摩擦角?等參數(shù)可由勘察報告獲得，但模型所需的E_oed^ref、E_50^ref、E_ur^ref勘察報告沒有提供，只能通過位移反分析技術(shù)獲得[27?29]。首先給定參數(shù)初值，通過有限元程序進行正演及逐次修正預調(diào)參數(shù)取值，以逼近實測結(jié)果。文中選取濟南傳媒大廈地層，結(jié)合PLAXIS手冊推薦，進行參數(shù)初選時，各土層中E_ur^ref：E_50^ref：E_oed^ref：E_S^（1-2）取3∶1∶1∶1。各地層參數(shù)及HSS模型參數(shù)初值如表1所示?；娱_挖及支護施工工況如表2所示。模型尺寸為80 m×50 m×20 m，平臺長12 m，邊界條件為底面提供全約束，相當于固定支座，四周提供法向約束，相當于滑動鉸支 座，頂部自由。數(shù)值模型如圖2所示。

1.2 參數(shù)確定

坡頂?shù)某两凳沁吰卤O(jiān)測中較為重要的變形，因此，本次參數(shù)反演所選位移為邊坡坡頂沉降。參數(shù)反演終止條件為

W=Δz/（2z_max ）+Δx/2X ， （1）

式中：W為終止條件；△z為數(shù)值計算與實測數(shù)據(jù)沉降最大值之差；zmax為邊坡實測最大沉降；△x為數(shù)值計算與實測數(shù)據(jù)坡頂沉降出現(xiàn)最大水平位移的位置差；X為坡頂監(jiān)測長度。

以工況6進行參數(shù)反演，參數(shù)調(diào)整幅值控制在10%以內(nèi)。終止條件為W≤20%，可滿足工程需要。限于文章篇幅，參數(shù)反分析過程省略，結(jié)果如表3所示。

圖3為參數(shù)反演結(jié)束時坡頂沉降數(shù)值計算結(jié)果與實測值的對比。數(shù)值計算結(jié)果與實測值基本吻合，最大沉降分別為56.54 mm和54.41 mm。為確定表3參數(shù)選取的準確性，需選擇后續(xù)工況進行驗證。圖4為工況9時，坡頂沉降數(shù)值計算與實測對比。數(shù)值計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)再次吻合較好，驗證了參數(shù)選取的準確性。證明以此參數(shù)為基礎研究土巖雙元邊坡所獲得結(jié)果具有科學性。

2 強風化巖是否破壞的臨界坡率

對于上層為土與全風化巖石，下層為強風化巖石的邊坡，當坡率不同時，邊坡破壞模式不同，如果確定強風化巖不會破壞，就可以免去強風化巖的錨桿支護?；谏鲜鼋?jīng)過驗證的數(shù)值模型，探究不同邊坡高度強風化巖不同厚度時破壞體出現(xiàn)的臨界坡率。

大部分基坑開挖深度位于10～25 m范圍內(nèi)[3]，文中選取開挖深度分別為12、16、20、24 m，研究對應臨界坡率。為便于研究，土層參數(shù)由表3中3種土層按厚度進行加權(quán)平均，計算參數(shù)如表4所示。全風化巖石及強風化巖石的參數(shù)根據(jù)表1取得。由于邊坡高度及強風化巖層厚度不斷變化，為便于分析，土層設定為邊坡高度的1/3，全風化巖層厚度隨強風化巖層變化而變化。

2.1 研究方法

模型設計參照圖2所示，按照不同的開挖深度調(diào)整模型的深度。為減少無關(guān)變量影響，模型采用放坡開挖，每一步開挖2 m，直到開挖到底，進行安全性計算。取邊坡高度、強風化巖厚度為自變量，強風化巖破壞體出現(xiàn)的臨界坡率為因變量。

針對同一邊坡高度及強風化巖厚度占比，不斷變化坡率，進行邊坡穩(wěn)定性計算。在計算過程中發(fā)現(xiàn)，巖體破壞時出現(xiàn)2種破壞模式，如圖5所示。圖5（a）為坡率剛好大于臨界坡率時的邊坡破壞模式，圖5（b）為坡率比臨界坡率大較多時的邊坡破壞模式?？梢钥闯觯髠?cè)圖片中的巖體只破壞了一小部分，右側(cè)圖片的巖體破壞面已經(jīng)和上面的土層貫通，說明當坡率逐漸大于臨界坡率時，土層給巖層的剪切力逐漸增大，巖體破壞范圍也逐漸擴大。

2.2 臨界坡率分析

所有模型計算完成之后，提取不同邊坡高度不同強風化厚度對應的臨界坡率，如圖6所示。

由圖6可以看出，臨界坡率范圍不小于1：1，不大于1：0.5，介于此區(qū)間；強風化巖層厚度占比超過1/2時，強風化巖層一定會發(fā)生破壞。

為了判斷特定邊坡強風化巖是否破壞，建立破壞分界線，即圖6中黑線，并推導一般性公式，m為強風化巖厚度占比，n為坡率，得到臨界坡率（界線）為

n=-3.86m+1.85 。? （2）

實際工程中，當強風化巖厚度占比超過1/2或坡率大于1：0.5時，強風化巖一定會發(fā)生破壞，需進行支護；當強風化巖厚度占比小于1/2且施工坡率介于1：1和1：0.5時，可根據(jù)開挖深度及強風化巖厚度占比確定臨界坡率，應用式（2）進行判斷：如果（m，n）點落在了分界線下方，強風化巖不破壞，邊坡呈圓弧-平面滑動模式，下部巖體不需支護；如果落在分界線上方，則強風化巖可能會破壞，需要進行支護。文中只探討強風化巖不發(fā)生破壞的情況，強風化巖破壞時的邊坡另文研究。

3 強風化巖不破壞的土巖邊坡破壞模式

3.1 圓弧平面滑動解析解

土與強風化巖雙元邊坡小于臨界坡率時，破壞模式為圓弧-平面滑動破壞模式，下臥巖層不發(fā)生破壞。將滑動面以上坡體看作剛體，以此作為脫離體，分析整個滑動面上的抗滑力及下滑力，計算安全系數(shù)。

對坡體建立豎直條分模型[11]，如圖7所示，其中，s指邊坡滑移面；h為邊坡高度；h2為中風化巖石的高度；r為圓弧滑動滑移面的圓心；β為坡角。豎直條分模型如圖8所示，其中，dx為豎直土條的厚度；z1（x）為坡面的數(shù)學表達式；z2（x）為滑移面的數(shù)學表達式；θ為滑移面與水平方向的夾角。

x1為土層與中風化巖石交界面左處的x值；x2為坡頂處的x值；x3為土層與中風化巖石交界面右處的x值；x4為滑移面坡頂開裂點處的x值。x1，x2，x3，x4，z1（x），z2（x）的值為

{（x_1=h_2/tanβ （，&x_2=h/tanβ）（，&x_3=a+√（r^2-（b-h_2 ）^2 ））（，&x_4=a+√（r^2-〖（b-h）〗^2 ））@z_1 （x）=xtanβ，z_2 （x）=b-√（r^2-〖（x-a）〗^2 ））}。??? （3）

由于x2和x3大小不同時，積分區(qū)間及土條重力dw不同，所以分2種情況求邊坡安全系數(shù)解析解。

當x2

土條重力可表示為

dw={（γ_1 （z_1 （x）-h_2）dx（，&x_1≤x）

其他參數(shù)為

{σ=dwcosθ/dx （，&sinθ=（x-a）/r）（，&cosθ=√（r^2-〖（x-a）〗^2 ）/r）（，&ds=rdx/√（r^2-〖（x-a）〗^2 ））}。???? （5）

為簡化公式，便于程序計算，設定以下2個函數(shù)：

f（x）=[r^2-〖（x-a）〗^2 ]^（1/2） ，

g（x）=1/2 （x-a） （r^2-（x-a）^2 ）^（1/2）+r^2/2 arcsin （x-a）/r 。

土體的下滑力T1由各土條重度切向分量dT'構(gòu)成，dT'為dT的相互作用力，dT'=dwsinθ。

（T_1=∫_（x_3）^（x_4）?dwsinθ=∫_（x_3）^（x_4）?〖γ_1 （h-b+√（r^2-〖（x-a）〗^2 ））（x-a）/r dx〗=@??????? （γ_1 （h-b））/r [1/2（x_4^2-x_3^2）-a（x_4-x_3）]?? -γ_1/3r [f（x_4）-f（x_3）]。）?? （6）

土體的抗滑力T2由滑動面處土體的剪應力及土巖交界面處的剪應力構(gòu)成。

（T_2=∫_（x_3）^（x_4）?〖c_1 ds〗+∫_（x_3）^（x_4）?〖σtan?_1 dx〗=@∫_（x_3）^（x_4）?（c_1 r）/√（r^2-〖（x-a）〗^2 ） dx+∫_0^（x_2）?〖σtan?_1 dx〗?? +∫_（x_2）^x3?〖σtan?_1 dx〗+∫_（x_3）^（x_4）?〖σtan?_1 dx〗=@c_1 r（arcsin （x_4-a）/r-arcsin （x_3-a）/r）? +tan?_1 {（γ_1 tanβ）/3r[f（x_1）-f（x_2）]+@? γ_1/r（atanβ-h_2）[g（x_2）-g（x_1）]? +γ_1/r（h-h_2）[g（x_3）-g（x_2）]+@? （γ_1 （h-b））/r[g（x_4）-g（x_3）]? +γ_1/r[（r^2 x_4-1/3（x_4 〖-a）〗^3）? -（r^2 x_3-1/3（x_3 〖-a）〗^3）]}。） （7）

當x2>x3時，參數(shù)示意如圖10所示。

土條重力可表示為

dw={（γ_1 （z_1 （x）-h_2）dx?????? （，&x_1≤x）

土體的下滑力T1由各土條重度切向分量dT'構(gòu)成，dT'為dT的相互作用力，dT'=dwsinθ。

（T_1=∫_（x_3）^（x_4）?dwsinθ=@?????? ∫_（x_3）^（x_2）?〖γ_1 （xtanβ-b+√（r^2-〖（x-a）〗^2 ））（x-a）/r dx〗+? ∫_（x_2）^（x_4）?〖γ_1 （h-b+√（r^2-〖（x-a）〗^2 ））（x-a）/r dx〗=@?????? （γ_1 tanβ）/r [1/3（x_2^3-x_3^3）-a/2（x_2^2-x_3^2）]+? （γ_1 b）/r [1/2（x_2^2-x_3^2）-a（x_2-x_3）]+@?????? （γ_1 （h-b））/r [1/2（x_4^2-x_3^2）-a（x_4-x_3）]?? -γ_1/3r [f（x_4）-f（x_3）]。）?? （9）

土體的抗滑力T2由滑動面處土體的剪應力及土巖交界面處的剪應力構(gòu)成。

（T_2=∫_（x_3）^（x_4）?〖c_1 ds〗+∫_（x_3）^（x_4）?〖σtan?_1 dx〗=@?????? ∫_（x_3）^（x_4）?（c_1 r）/√（r^2-〖（x-a）〗^2 ） dx+∫_0^（x_3）?〖σtan?_1 dx〗?? +∫_（x_3）^（x_2）?〖σtan?_1 dx〗+∫_（x_2）^（x_4）?〖σtan?_1 dx〗=@?????? c_1 r（arcsin （x_4-a）/r-arcsin （x_3-a）/r）? +tan?_1 {（γ_1 tanβ）/3r（f（x_1）-f（x_3））+@?????? γ_1/r（atanβ-h_2）[g（x_3）-g（x_1）]? +γ_1/r（atanβ-b）[g（x_2）-g（x_3）]+@?????? γ_1/r[r^2 （x_4-x_3）-1/3[（x_4 〖-a）〗^3-（x_3 〖-a）〗^3]]+? （γ_1 （h-b））/r[g（x_4）-g（x_2）]}。）??? （10）

安全系數(shù)F_s表示為

F_s=M_2/M_1 =（rT_2）/（rT_1 ）=T_2/T_1 。? （11）

3.2 算例驗證

為驗證公式的正確性，將使用文中公式得到的安全系數(shù)與有限元法進行對照。選取文獻[3]的濟南某基坑工程案例剖面，基坑邊坡由土與強風化巖構(gòu)成。Plaxis3D模擬的滑移面如圖11所示?；麦w全部位于土層中，強風化巖沒有發(fā)生破壞。滑出點在坡面，使用公式（11）計算安全系數(shù)。

具體參數(shù)為：

滑移面圓心，b=29.802 m，半徑r=34.83 m，邊坡高h=10 m，傾斜角β=45°。

土的黏聚力c_1=10 kN/m^2，內(nèi)摩擦角?_1=20°，重度γ_1=18 kN/m^2。

強風化巖的黏聚力c_2=60 kN/m^2，內(nèi)摩擦角?_2=45°，重度γ_2=22.5 kN/m^2。

用Matlab計算公式（11）得出安全系數(shù)為1.4231，用Plaxis3D模擬出的安全系數(shù)為1.45，差距不大，證明穩(wěn)定性解析解的結(jié)果是正確的。由于瑞典條分法忽略了條間力的平衡，所以在豎直條分模型中會放大下滑力矩條只滿足力矩的平衡[30]，不滿足力的平衡，導致解析解得到的安全系數(shù)結(jié)果偏小，是較為安全的結(jié)果。

3.3 邊坡破壞滑移曲線的確定

由于解析解的應用需要指定圓弧的圓心和半徑，應用滑移線場法[31]，得出邊坡的滑移曲線[32?35]。針對濟南大眾傳媒大廈基坑工程案例，某設計單元剖面地層，土加強風化巖基坑邊坡土層參數(shù)按表3選取，巖層參數(shù)按表1選取。邊坡開挖深度為10 m，坡率為1：1。由Plaxis3d有限元軟件計算出邊坡臨界狀態(tài)的應力場，編制專用程序求解臨界滑移線，得到的滑移線，如圖12所示。

使用3.1節(jié)推出的邊坡穩(wěn)定解析解公式（11）計算邊坡臨界滑移線的安全系數(shù)，各滑移線安全系數(shù)自上而下分別為1.635、1.593、1.521、1.432。安全系數(shù)最小為1.432，對應的滑移線即為臨界滑移線。使用有限元軟件計算得到的安全系數(shù)為1.49，驗證了文中方法的正確性。

為得到邊坡的滑移線解析解，使用Matlab進行公式擬合，以坡腳為坐標原點，得到的臨界滑移線表達式如下。對公式進行誤差分析，方差為0.23，不超過0.5，擬合效果較好。

{（z_圓弧=√（148-（x-8.3）^2 ）+13.2，5≤z≤10 ；@z_直線=5"" （（" "&）&&&???????????? ，）0≤z≤5。）┤

4 強風化巖未破壞的邊坡設計方法

選取濟南市立四院某設計單元剖面地層，邊坡由土+全風化巖+強風化巖構(gòu)成，土層厚度為2.9 m，全風化巖層為3.2 m，強風化巖厚度為6 m，邊坡高度為12 m，坡角為60°。土層參數(shù)如表4所示，強風化巖參數(shù)如表5所示。當邊坡不進行支護時，使用Plaxis3d模擬得到的邊坡安全系數(shù)為0.835，開挖時邊坡會倒塌，因此需對邊坡進行支護，使用文中方法進行支護區(qū)域判斷。先將強風化巖厚度占比0.5代入公式（2），再將得到的（m，n）與圖6對應，位于分界線下方，強風化巖不必支護。使用軟件進行土釘墻支護設計，為加強交界面抗滑能力，第三道土釘深入強風化巖。土釘布置情況如表6所示，支護剖面如圖13所示。

使用Ｐl(wèi)axis3D進行模擬，模型設計參照圖2所示，計算邊坡的應力場。由圖14可知，強風化巖層沒有發(fā)生破壞，整體仍為圓弧平面滑動，驗證了第3節(jié)的結(jié)論。安全系數(shù)為1.548，大于規(guī)范[5]要求的一級邊坡工程安全系數(shù)1.35，滿足安全性要求。

將得到的邊坡應力場代入Matlab程序，得到邊坡的潛在滑移線公式為

{（z_圓弧=√（234.09-〖（x-2.05）〗^2 ）+18.37，6≤z≤12；@z_直線=6"" （（? " "&&）&&&）????????????? ，0≤z≤6。）┤

潛在滑移線公式確定了邊坡的潛在破壞區(qū)域，經(jīng)驗證，在支護設計時，土釘已刺穿潛在滑移線，達到了支護效果。

5 結(jié)? 論

文中基于濟南地區(qū)土與強風化巖雙元邊坡地質(zhì)條件，采用數(shù)值模擬的方法獲得強風化巖破壞體出現(xiàn)的臨界坡率，并針對強風化巖不發(fā)生破壞的邊坡，根據(jù)滑移線場法求出潛在滑移線的位置，推出土與強風化巖邊坡破壞模式曲線方程，推導出邊坡安全系數(shù)解析解。得出結(jié)論如下：

1）土與強風化巖雙元邊坡破壞存在巖體破壞和不破壞2種模式，可通過臨界坡率劃分。臨界坡率與邊坡高度、土巖厚度及其比例相關(guān)。

2）強風化巖厚度超過邊坡高度1/2或坡率大于1：0.5時，強風化巖一定破壞，破壞范圍和坡率與臨界坡率的差值有關(guān)，差值越大，破壞范圍越大。

3）基于瑞典條分法的圓弧-平面安全系數(shù)解析解，其得出的安全系數(shù)小于有限元法安全系數(shù)，應用解析解工程決策優(yōu)于有限元法。

4）對于強風化巖不發(fā)生破壞的土巖邊坡，利用常用軟件完成強風化巖上部地層支護方案設計，所得安全系數(shù)滿足規(guī)范要求，可保證邊坡安全。

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（編輯? 陳移峰）