王娟芬 韋鑫 劉帥 楊玲珍 薛萍萍 樊林林

(太原理工大學(xué)電子信息與光學(xué)工程學(xué)院,太原 030600)

基于分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程,研究分?jǐn)?shù)階衍射效應(yīng)下蜂窩晶格中帶隙渦旋光孤子的存在性與傳輸特性.首先采用平面波展開(kāi)法得到蜂窩晶格能帶結(jié)構(gòu),其次在帶隙結(jié)構(gòu)中分別采用改進(jìn)的平方算子迭代法、分步傅里葉法和傅里葉配置法研究含有蜂窩晶格勢(shì)的分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程中帶隙渦旋孤子的模式及其傳輸特性.研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)帶隙渦旋孤子的傳輸特性受L′evy 指數(shù)和傳播常數(shù)的影響.在穩(wěn)定區(qū)間,帶隙渦旋孤子可以穩(wěn)定傳輸,而在非穩(wěn)定區(qū)間,帶隙渦旋孤子會(huì)隨著傳輸距離的增加而逐漸匯聚,失去環(huán)狀結(jié)構(gòu)演變?yōu)榛伦?且L′evy 指數(shù)越大,帶隙渦旋孤子能夠穩(wěn)定傳輸?shù)木嚯x越長(zhǎng),功率越低.此外,相鄰晶格同相位兩個(gè)帶隙渦旋孤子與旁瓣能量相疊加,反相位兩帶隙渦旋孤子與旁瓣能量相抵消,傳輸過(guò)程中逐漸失去環(huán)狀結(jié)構(gòu),演化為類(lèi)偶極子模式,且受方位角調(diào)制影響而周期性旋轉(zhuǎn).在非相鄰晶格處兩帶隙渦旋孤子,由于旁瓣影響較小,帶隙渦旋孤子在傳輸過(guò)程中能較好地保持環(huán)狀結(jié)構(gòu).

1 引言

空間光孤子作為孤子的一個(gè)分支,由于其在全光控制、光開(kāi)關(guān)、光路由和光邏輯門(mén)等方面的應(yīng)用[1-4],近年來(lái)在實(shí)驗(yàn)和理論上都得到了快速的發(fā)展.孤子的傳輸動(dòng)力學(xué)可以用非線性薛定諤方程(nonlinear Schr?dinger equation,NLSE)來(lái)描述.近年來(lái),Laskin[5,6]在量子力學(xué)中推導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階薛定諤方程(fractional Schr?dinger equation,FSE),該方程對(duì)于理解分?jǐn)?shù)階效應(yīng)中的物理現(xiàn)象至關(guān)重要[7-10].隨后,Stickler[11]引入一維L′evy 晶體,提出可能在凝聚態(tài)環(huán)境中實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)空間分?jǐn)?shù)量子力學(xué).2015年,Longhi[12]首次將FSE 引入光學(xué),提出了基于非球面光學(xué)腔的FSE 實(shí)現(xiàn)方案.自此,光束在FSE中傳播動(dòng)力學(xué)引起了廣泛的關(guān)注.Zhang 等研究了高斯光束的無(wú)衍射傳播[13],以及在諧波勢(shì)[14]和周期性宇稱(chēng)-時(shí)間(parity-time,PT)對(duì)稱(chēng)勢(shì)中光束的傳播動(dòng)力學(xué)[15].最近,Liu等[16]采用可編程全息圖,實(shí)現(xiàn)了時(shí)域脈沖在光學(xué)FSE 中的實(shí)驗(yàn)觀察.同時(shí),非線性分?jǐn)?shù)階薛定諤方程(nonlinear fractional Schr?dinger equation,NLFSE)中的光束傳播也受到了廣泛的關(guān)注,例如超高斯光束[17]、艾里-高斯渦旋光束[18]和兩個(gè)艾里光束[19]在NLFSE 中的反常相互作用.此外,還發(fā)現(xiàn)了NLFSE 中的各種孤子動(dòng)力學(xué)[20-29],其中渦旋孤子因其具有螺旋相位和攜帶角動(dòng)量的特性成為研究的熱點(diǎn),但渦旋孤子會(huì)在空間域傳輸過(guò)程中因不穩(wěn)定性而分裂為基孤子[30].已有研究表明,在非線性相互競(jìng)爭(zhēng)的材料[26]、方形光晶格(周期勢(shì))[28]、PT 對(duì)稱(chēng)復(fù)光晶格[31]中,渦旋孤子的不穩(wěn)定性可以消除.

近年來(lái),周期性結(jié)構(gòu),例如光學(xué)領(lǐng)域的光子晶體和晶格,已被廣泛應(yīng)用于控制和操作各類(lèi)光波和物質(zhì)波,周期性結(jié)構(gòu)將禁帶與介質(zhì)的非線性相結(jié)合,使得在非線性條件下,能帶帶隙內(nèi)可以生成帶隙孤子[32].最近,在含有光學(xué)晶格的非線性分?jǐn)?shù)階衍射系統(tǒng)中,各種局域帶隙模的形成和穩(wěn)定性受到廣泛的關(guān)注[33,34].在具有NLFSE 的系統(tǒng)中,Huang和Dong[20]首次報(bào)道了一維光子晶格中帶隙孤子的存在性.Zeng等[35]在具有周期調(diào)制線性勢(shì)的三次五次NLFSE 中發(fā)現(xiàn)一維帶隙孤子.隨后,Zeng等[26]研究了在二維方形晶格帶隙中,孤子簇以及渦旋孤子穩(wěn)定性,Yao 和Liu[28]報(bào)道了在方形晶格帶隙中,渦旋孤子在晶格中位置變化對(duì)孤子穩(wěn)定性的影響,以及PT 對(duì)稱(chēng)晶格中的帶隙孤子[36,37].蜂窩晶格被稱(chēng)為光學(xué)中石墨烯,其結(jié)構(gòu)為蜂窩狀,可以操縱光的傳播,例如錐形衍射[38,39]、克萊因隧穿[40]等現(xiàn)象.相較于由兩束光干涉產(chǎn)生的方形晶格[28],由三束光干涉形成的蜂窩晶格具有更復(fù)雜的折射率特性,因此蜂窩晶格中光孤子的存在性及穩(wěn)定性更難實(shí)現(xiàn).

本文主要基于二維分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程,研究蜂窩晶格中帶隙渦旋孤子的存在性與傳輸特性.研究發(fā)現(xiàn),L′evy 指數(shù)與傳播常數(shù)會(huì)影響帶隙渦旋孤子的傳輸特性,并且通過(guò)功率譜圖可得帶隙渦旋孤子在蜂窩晶格中的穩(wěn)定傳輸區(qū)間;當(dāng)多個(gè)帶隙渦旋孤子同時(shí)在蜂窩晶格中傳輸時(shí),孤子之間的相互作用受方位角調(diào)制效應(yīng)的影響使其在傳輸過(guò)程中以一定角速度旋轉(zhuǎn),相位信息與孤子數(shù)量同樣也影響帶隙渦旋孤子的相互作用.

2 理論模型

光束在分?jǐn)?shù)階非線性介質(zhì)中傳輸可用下列歸一化方程來(lái)描述[31,38]:

(1)式中孤子定態(tài)解的形式寫(xiě)為U(x,y,z)=u(x,y)eiμz ,u(x,y) 為一個(gè)振幅函數(shù),μ為傳播常數(shù).將其代入(1)式,推導(dǎo)出關(guān)于u(x,y) 的線性特征值方程:

為了采用平面波展開(kāi)法[42]研究(3)式中的衍射關(guān)系與帶隙結(jié)構(gòu),將u(x,y) 表示為

其中kx ,ky是第一布里淵區(qū)的波數(shù);ω(x,y) 是一個(gè)實(shí)函數(shù).在不考慮非線性的情況下,將(4)式代入(3)式,通過(guò)求解特征值問(wèn)題得到帶隙結(jié)構(gòu).

圖1(a)為晶格深度V0=1 時(shí)蜂窩晶格的二維圖像,其中白色虛線部分為單個(gè)晶格形狀,圖1(b)為在此晶格深度下帶隙隨L′evy指數(shù)α變化的曲線圖,其中灰色部分為能帶,灰色部分之間的白色區(qū)域?yàn)閹?從下往上分別為半無(wú)限帶隙、第一帶隙、第二帶隙,依次類(lèi)推.為了研究帶隙渦旋孤子的傳輸穩(wěn)定性,分別在第一帶隙中取兩點(diǎn),A1(1.47,1.65),A2(1.75,1.65),在第二帶隙中取三點(diǎn),B1(1.47,1.76),B2(1.6,1.76),B3(1.75,1.76) .

圖1 (a)蜂窩晶格結(jié)構(gòu);(b)蜂窩晶格所對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu).其中勢(shì)深 V0=1 ,A1(1.47,1.65) ,A2(1.75,1.65) ,B1(1.47,1.76),B2(1.6,1.76) ,B3(1.75,1.76)Fig.1.(a) Honeycomb lattice shape;(b) the corresponding band-gap structure.The potential depth is V0=1 ,A1(1.47,1.65),A2(1.75,1.65) ,B1(1.47,1.76) ,B2(1.6,1.76) ,B3(1.75,1.76) .

本文選取初始輸入為環(huán)形渦旋光束[43],其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中A為渦旋光束的振幅,r0為渦旋光束光斑大小,exp(ilθ) 為螺旋相位因子,l為光束所帶的拓?fù)浜蓴?shù).輸入渦旋光束的強(qiáng)度及相位分布如圖2 所示,渦旋光束的光強(qiáng)呈現(xiàn)環(huán)狀分布,在中心點(diǎn)光強(qiáng)為0,且相位分布呈現(xiàn)出繞著中心點(diǎn)梯度變化.下面考慮在自散焦介質(zhì)中,即σ=-1,通過(guò)改進(jìn)的平方算子迭代法(the modified squared-operator method,MSOM)[42]對(duì)(3)式進(jìn)行數(shù)值求解可以得到相應(yīng)的帶隙渦旋孤子解.

圖2 初始輸入渦旋光束的強(qiáng)度三維分布圖(a)和俯視圖(b),以及相位分布圖(c).這里取參數(shù) A=2 ,r0= ,l=1Fig.2.The 3D intensity distribution of initial input vortex beam (a) and corresponding top view (b),and phase distribution (c).The parameters are A=2 ,r0= ,l=1 .

為了研究NLFSE 系統(tǒng)中孤子的線性穩(wěn)定性,證明帶隙渦旋孤子傳輸?shù)聂敯粜?可以采用傅里葉配置法[42].考慮將穩(wěn)態(tài)解加上小擾動(dòng),其形式為U=[u(x,y)+p(x,y)eλz+q*(x,y)eλ*z]eiμz,這里u(x,y)為未擾動(dòng)場(chǎng)振幅,p(x,y)和q*(x,y)為特征值λ處的小擾動(dòng),將這種小擾動(dòng)導(dǎo)入(1)式,就可以得到下列特征值問(wèn)題:

當(dāng)上述特征值所有實(shí)部Re(λ) 為0 時(shí),孤子是穩(wěn)定的.當(dāng)實(shí)部Re(λ)0 時(shí),孤子存在擾動(dòng),孤子不穩(wěn)定,且實(shí)部Re(λ) 越大,擾動(dòng)增長(zhǎng)速率就越大.下面將采用數(shù)值的方法分析帶隙渦旋孤子的存在性與傳輸特性.

3 數(shù)值結(jié)果

在第一帶隙中,當(dāng)μ=1.65,α=1.75 時(shí),即圖1(b) 中的A2點(diǎn),由MSOM 算出方程(3)中的帶隙渦旋孤子解,并通過(guò)分步傅里葉方法模擬其傳輸演化,傅里葉配置法計(jì)算線性穩(wěn)定性,其結(jié)果如圖3 所示.

圖3 當(dāng) α=1.75時(shí),第一帶隙中帶隙渦旋孤子解及穩(wěn)定性分析(a)—(c)帶隙渦旋孤子解;(d)—(f)在 z=100 處輸出帶隙渦旋孤子;(g) 帶隙渦旋孤子在蜂窩晶格x 方向剖面中的傳輸演化圖;(h) 線性穩(wěn)定譜圖.其他參數(shù)同圖2Fig.3.Gap vortex solitons and their stability in the first gap when α=1.75 : (a)-(c) The gap vortex soliton solution;(d)-(f) the output gap vortex solitons at z=100 ;(g) the transmission evolution of gap vortex soliton in the x-direction of honeycomb lattice;(h) the corresponding stable spectrum.The other parameters are the same as in Figure 2.

圖3(a)和圖3(b)為帶隙渦旋孤子解及其相位分布,可以看出帶隙渦旋孤子的光斑在晶格中心呈環(huán)狀分布,且在低折射率相對(duì)應(yīng)的方向上有微弱的衍射光波.帶隙渦旋孤子的相位在晶格影響下,在晶格邊緣出現(xiàn)如同花瓣一樣的周期調(diào)制.圖3(c)給出當(dāng)y=0 時(shí)的曲線分布圖,該曲線呈雙峰結(jié)構(gòu),由于衍射效應(yīng),出現(xiàn)旁瓣,且旁瓣峰值遠(yuǎn)低于主瓣.圖3(d)—(f)為該帶隙渦旋孤子傳輸100 個(gè)單位距離后的輸出圖像,與圖3(a)—(c)相比可知,除相位略有一些變化外,輸出與輸入結(jié)果相一致.圖3(g)為帶隙渦旋孤子當(dāng)y=0 (圖3(a)和圖3(d)白色虛線處),沿x方向的剖面?zhèn)鬏斞莼瘓D像,帶隙渦旋孤子可以在100 個(gè)單位距離穩(wěn)定傳輸.圖3(h)給出通過(guò)傅里葉配置法得到的相應(yīng)線性穩(wěn)定譜,可以看出Re(λ)=0,說(shuō)明該孤子在100 個(gè)距離之內(nèi)具有傳輸魯棒性.

而在第一帶隙中,當(dāng)取μ=1.65,α=1.47 時(shí),即圖1(b) 中的A1點(diǎn),由MSOM 算出方程(3)的帶隙渦旋孤子解及其傳輸特性,如圖4 所示.圖4(a)和圖4(b)為蜂窩晶格中帶隙渦旋孤子解及其相位分布,可知帶隙渦旋孤子的光斑在晶格中心呈環(huán)狀分布,而在晶格邊緣有微弱的衍射光波呈輻射狀分布.帶隙渦旋孤子的相位在晶格影響下,在晶格邊緣處相位出現(xiàn)如同花瓣一樣的周期調(diào)制,沿晶格位置出現(xiàn)階躍變化,不同于圖3(b).圖4(c)給出當(dāng)y=0時(shí)的曲線分布圖,該曲線同樣呈雙峰結(jié)構(gòu),兩邊出現(xiàn)旁瓣,且旁瓣峰值遠(yuǎn)低于主瓣.圖4(d)—(f)為該帶隙渦旋孤子傳輸100 個(gè)單位距離后的輸出圖像,與圖4(a)—(c)相比可知,帶隙渦旋孤子失去環(huán)狀結(jié)構(gòu),能量集中到晶格中心點(diǎn)處,演變成峰值較高的基態(tài)孤子,且相位變得雜亂無(wú)章,在y=0處的曲線出現(xiàn)單峰結(jié)構(gòu),旁瓣依然存在.圖4(g)給出帶隙渦旋孤子當(dāng)y=0 時(shí)(圖4(a)和圖4(d)白色虛線處),在x方向剖面?zhèn)鬏攬D.由圖4(g)可知帶隙渦旋孤子在傳輸?shù)絲=60 之后,環(huán)狀光束合成單光束,能量逐漸向中心聚集,峰值逐漸增大,形成基孤子,說(shuō)明帶隙渦旋孤子的傳輸不穩(wěn)定性.圖4(h)為由傅里葉配置法得到的相應(yīng)線性穩(wěn)定譜,該圖中Re(λ)0,再次說(shuō)明了帶隙渦旋孤子的不穩(wěn)定性.產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是帶隙渦旋孤子在傳輸一定距離之后,由于非線性效應(yīng)與晶格的綜合束縛作用,使得帶隙渦旋孤子逐漸匯聚成基孤子.

圖4 當(dāng) α=1.47時(shí),第一帶隙中帶隙渦旋孤子及穩(wěn)定性分析(a)—(c)帶隙渦旋孤子解;(d)—(f)在 z=100 處輸出帶隙渦旋孤子;(g) 帶隙渦旋孤子傳輸動(dòng)力學(xué)演化;(h) 線性穩(wěn)定值譜圖.其他參數(shù)同圖2Fig.4.Gap vortex solitons and their stability in the first gap when α=1.47 : (a)-(c) The gap vortex soliton solution;(d)-(f) the output gap vortex solitons at z=100 ;(g) the transmission evolution of gap vortex soliton in the x-direction of honeycomb lattice;(h) the corresponding stable spectrum.The other parameters are the same as in Figure 2.

圖3 和圖4 的結(jié)果相比可知,L′evy指數(shù)α不同,帶隙渦旋孤子的傳輸∫特∫性也不同.這里定義帶隙渦旋孤子功率為圖5 給出在第一帶隙和第二帶隙中取傳播常數(shù)分別為μ=1.65與μ=1.76時(shí),在L′evy指數(shù)α調(diào)制下帶隙渦旋孤子的功率分布圖,藍(lán)線和紅線分別代表穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域.由圖5 可以看出,帶隙渦旋孤子功率隨著L′evy指數(shù)α的增加呈單調(diào)下降趨勢(shì).在第一帶隙中,當(dāng)μ=1.65 時(shí),帶隙渦旋孤子在α ＞1.67區(qū)間內(nèi)時(shí)穩(wěn)定,如圖5(a)所示.而在第二帶隙中,當(dāng)μ=1.76時(shí),帶隙渦旋孤子在α ＞1.65區(qū)間內(nèi)穩(wěn)定,如圖5(b)所示.圖5中A1,A2,B1,B2,B3即圖1(b)中標(biāo)記的5 個(gè)點(diǎn)所處的區(qū)域位置.圖3 和圖4 分別對(duì)應(yīng)于第一帶隙在穩(wěn)定區(qū)間的A2點(diǎn)和不穩(wěn)定區(qū)間的A1點(diǎn).這是因?yàn)長(zhǎng)′evy 指數(shù)的大小與衍射效應(yīng)有關(guān),隨著L′evy 指數(shù)的減小,衍射效應(yīng)也逐漸減小,與非線性效應(yīng)之間的平衡逐漸被打破,渦旋孤子的能量隨之增加,傳輸逐漸不穩(wěn)定.由此可以得出,L′evy指數(shù)α?xí)绊懛涓C晶格中帶隙渦旋孤子的強(qiáng)度與傳輸穩(wěn)定性.下面分析第二帶隙中帶隙渦旋孤子的傳輸特性.

圖5 帶隙渦旋孤子功率 P 與L′evy指數(shù) α 關(guān)系圖(a) 第一帶隙的功率譜圖;(b) 第二帶隙的功率譜Fig.5.Power P of gap vortex soliton versus L′evy index α: (a) The power spectrum of first band gap;(b) the power spectrum of second band gap.

圖6 給出在第二帶隙中,當(dāng)μ=1.76,α=1.75和α=1.47時(shí),即B3點(diǎn)和B1點(diǎn)時(shí),由MSOM 得到的帶隙渦旋孤子傳輸100 個(gè)單位距離之后的輸出圖與線性穩(wěn)定性分析.由圖6(a)—(c)可知當(dāng)α=1.75時(shí),輸出帶隙渦旋孤子光斑在晶格中心處呈環(huán)狀分布,存在向外衍射的光波,同第一帶隙中圖3 結(jié)果相一致,且相位同樣出現(xiàn)如圖花瓣一樣的周期調(diào)制;圖6(d)給出相應(yīng)的線性穩(wěn)定譜,Re(λ)=0,說(shuō)明該孤子具有傳輸魯棒性.由圖6(e)—(h)可知當(dāng)α=1.47 時(shí),輸出帶隙渦旋孤子能量向中心聚集,峰值增高,形成基孤子,相位同樣變得雜亂無(wú)章;圖6(h)給出相應(yīng)的線性穩(wěn)定譜,其Re(λ)0,說(shuō)明帶隙渦旋孤子傳輸不穩(wěn)定.該結(jié)果與第一帶隙中的圖4 相一致.

圖6 第二帶隙中帶隙渦旋孤子及穩(wěn)定性分析(a)—(c)當(dāng)α=1.75時(shí),輸出帶隙渦旋孤子圖像;(d)—(f)當(dāng)α=1.47 時(shí),輸出帶隙渦旋孤子圖像;其他參數(shù)同圖2Fig.6.Gap vortex solitons and their stability in the second gap: (a)-(c) When α=1.75,the output of vortex soliton;(d)-(f) when α=1.47,the output of vortex soliton.The other parameters are the same as that in Figure 2.

圖7 給出在第二帶隙中,L′evy指數(shù)α取不同值時(shí),帶隙渦旋孤子在y=0處沿x方向的剖面?zhèn)鬏斞莼瘓D.圖7(a)中,當(dāng)α=1.75時(shí),即B3點(diǎn),帶隙渦旋孤子在z=100 距離內(nèi)穩(wěn)定傳輸.圖7(b)中,當(dāng)α=1.6時(shí),即B2點(diǎn),當(dāng)帶隙渦旋孤子傳輸?shù)郊sz=90 處時(shí),帶隙渦旋孤子開(kāi)始出現(xiàn)相互作用,光束周期振蕩,但仍保持環(huán)狀結(jié)構(gòu),隨著傳輸距離增加,擾動(dòng)逐漸變大,孤子失去了魯棒性.圖7(c)中,當(dāng)α=1.47時(shí),即B1點(diǎn),帶隙渦旋孤子在傳輸?shù)骄嚯x約z=80 處時(shí),開(kāi)始出現(xiàn)擾動(dòng),隨著傳輸距離增加,擾動(dòng)逐漸變大,雙峰合成高能量單峰值,形成單孤子,能量都集中在蜂窩晶格中心.上述結(jié)果表明,L′evy 指數(shù)會(huì)影響帶隙渦旋孤子穩(wěn)定傳輸?shù)木嚯x.對(duì)比圖7(a),圖7(b)與圖7(c),可知L′evy指數(shù)越大,帶隙渦旋孤子能夠穩(wěn)定傳輸?shù)木嚯x越長(zhǎng),產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是L′evy指數(shù)α越大,衍射效應(yīng)越強(qiáng),與非線性效應(yīng)之間的平衡不容易被打破,孤子能夠穩(wěn)定傳輸?shù)木嚯x越長(zhǎng).對(duì)比圖7(c)與圖4(g),在同一L′evy指數(shù)α下,傳播常數(shù)越大,帶隙渦旋孤子能夠穩(wěn)定傳輸?shù)木嚯x就越長(zhǎng).產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是傳播常數(shù)越大,孤子的局限程度越高,穩(wěn)定性越好.

圖7 第二帶隙中,不同L′evy指數(shù) α 下,帶隙渦旋孤子傳輸動(dòng)力學(xué)演化圖像(a) α=1.75;(b) α=1.6;(c) α=1.47 ;其他參數(shù)同圖2Fig.7.Transmission evolution of gap vortex solitons in the second gap with different L′evy indexs: (a) α=1.75 ;(b) α=1.6;(c) α=1.47 .The other parameters are the same as that in Figure 2.

為進(jìn)一步研究蜂窩晶格中帶隙渦旋孤子的傳輸特性,下面考慮多個(gè)帶隙渦旋孤子在不同晶格位置的傳輸演化.當(dāng)α=1.8 時(shí),在第一帶隙中,兩個(gè)同相位的帶隙渦旋孤子分別放置在兩個(gè)相鄰(d=4.1875)晶格處時(shí),如圖8(a1)—(a5)所示.由圖8(a1)—(a5)可知,帶隙渦旋孤子環(huán)狀結(jié)構(gòu)中強(qiáng)度分布不均,這是因?yàn)檠苌湫?yīng)使帶隙渦旋孤子由中心向外衍射產(chǎn)生旁瓣,當(dāng)帶隙渦旋孤子與旁瓣能量相互疊加,使得它們?cè)趛軸方向的峰值增高,逐漸演變?yōu)轭?lèi)偶極子模式.當(dāng)兩個(gè)同相位的帶隙渦旋孤子分別放置在兩個(gè)不相鄰(d=8.375)的晶格格點(diǎn)處時(shí),如圖8(b1)—(b5)所示,兩個(gè)帶隙渦旋孤子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)能較好保持,這是因?yàn)椴幌噜彽膸稖u旋孤子相互疊加的旁瓣能量遠(yuǎn)低于相鄰的帶隙渦旋孤子,使得兩個(gè)帶隙渦旋孤子在y軸方向的能量疊加對(duì)環(huán)狀結(jié)構(gòu)影響較小.同相位帶隙渦旋孤子因受到方位角調(diào)制,使得其在傳輸過(guò)程中以穩(wěn)定的角速度旋轉(zhuǎn),并逐漸失去穩(wěn)定性,其在傳輸過(guò)程中呈現(xiàn)以下特征:當(dāng)z=3 時(shí),帶隙渦旋孤子順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45°;當(dāng)z=7 時(shí),帶隙渦旋孤子順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°;當(dāng)z=10 時(shí),帶隙渦旋孤子順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 135°;在z=14 時(shí),由于傳輸逐漸不穩(wěn)定,相位旋轉(zhuǎn)逐漸出現(xiàn)不同步,導(dǎo)致兩帶隙渦旋孤子旋轉(zhuǎn)也出現(xiàn)略微的不同步,約順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°.

圖8 當(dāng) α=1.8 時(shí),在第一帶隙中,相鄰((a1)—(a5))與不相鄰((b1)—(b5))晶格處兩個(gè)同相位帶隙渦旋孤子的傳輸特性.其他參數(shù)同圖2Fig.8.When α=1.8,the transmission characteristics of two gap vortex soliton with in-phase at adjacent lattices ((a1)-(a5)) and nonadjacent lattices ((b1)-(b5)) in the first gap.The other parameters are the same as that in Figure 2.

當(dāng)兩個(gè)反相位的帶隙渦旋孤子分別放置在兩個(gè)相鄰晶格時(shí),如圖9(a1)—(a5)所示,兩個(gè)反相位帶隙渦旋孤子的旁瓣能量相互抵消,使得每個(gè)帶隙渦旋孤子在y軸方向的峰值降低,演變?yōu)轭?lèi)偶極子模式.當(dāng)兩個(gè)反相位的帶隙渦旋孤子分別放置在兩個(gè)不相鄰晶格時(shí),如圖9(b1)—(b5)所示,帶隙渦旋孤子受到旁瓣的能量影響較小,環(huán)狀結(jié)構(gòu)能很好保持.與同相位類(lèi)似,反相位帶隙渦旋孤子同樣受到方位角調(diào)制,其在傳輸過(guò)程中以一定的角速度勻速旋轉(zhuǎn),但其傳輸周期不同于圖8 同相位情況,在z=10時(shí),帶隙渦旋孤子順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,在z=20時(shí),兩帶隙渦旋孤子出現(xiàn)略微的不同步,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了約180°.

圖9 當(dāng) α=1.8 時(shí),在第一帶隙中,相鄰((a1)—(a5))與不相鄰((b1)—(b5))晶格處兩個(gè)相位相反的帶隙渦旋孤子傳輸特性.其他參數(shù)同圖2Fig.9.When α=1.8,the transmission characteristics of two gap vortex soliton with out of phase at adjacent lattices ((a1)-(a5))and nonadjacent lattices ((b1)-(b5)) in the first gap.The other parameters are the same as that in Figure 2.

圖10 給出多個(gè)同相位帶隙渦旋孤子在蜂窩晶格中的傳輸特性.由圖10(a1)和圖10(b1)可知,三個(gè)帶隙渦旋孤子相隔較遠(yuǎn)時(shí),旁瓣產(chǎn)生的影響幾乎可以忽略不計(jì),且在傳輸過(guò)程中環(huán)狀結(jié)構(gòu)能較好保持.由圖10(a2)—(a4)和圖10(b2)—(b4)可知,三個(gè)以上帶隙渦旋孤子同時(shí)存在于晶格中時(shí),由于旁瓣的影響,孤子環(huán)狀結(jié)構(gòu)中強(qiáng)度分布不均勻,在傳輸過(guò)程中又因方位角調(diào)制使得每個(gè)帶隙渦旋孤子在傳輸過(guò)程中以一定的角速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),逐漸演化成類(lèi)偶極子模式.在圖10(a2)和圖10(b2)中,四個(gè)帶隙渦旋孤子在中心處的旁瓣疊加形成一個(gè)低峰值的雙峰孤子,且在傳輸過(guò)程中位置不隨帶隙渦旋孤子的旋轉(zhuǎn)而改變;在圖10(a3)和圖10(b3)中五個(gè)帶隙渦旋孤子在中心的旁瓣疊加形成一個(gè)低峰值強(qiáng)度分布不均勻的環(huán)狀光束;在圖10(a4)和圖10(b4)中,六個(gè)帶隙渦旋孤子的旁瓣在中心處的疊加,出現(xiàn)了一個(gè)峰值較小的帶隙渦旋孤子,且在傳輸過(guò)程中跟隨帶隙渦旋孤子一同旋轉(zhuǎn).

圖10 多個(gè)帶隙渦旋孤子的輸入( z=0)和輸出( z=6)的光強(qiáng)分布圖(a1),(b1)三個(gè)帶隙渦旋孤子;(a2),(b2) 四個(gè)帶隙渦旋孤子;(a3),(b3) 五個(gè)帶隙渦旋孤子;(a4),(b4) 六個(gè)帶隙渦旋孤子;其他參數(shù)同圖2Fig.10.Intensity distributions of multiple gap vortex solitons at z=0 and z=6: (a1),(b1) Three gap vortex solitons;(a2),(b2) four gap vortex solitons;(a3),(b3) five gap vortex solitons;(a4),(b4) six gap vortex solitons.The other parameters are the same as that in Figure 2.

4 結(jié)論

本文基于分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程,研究了在蜂窩晶格中具有分?jǐn)?shù)階衍射效應(yīng)和自散焦非線性效應(yīng)下帶隙渦旋孤子的模式及其傳輸特性.研究結(jié)果表明帶隙渦旋孤子的傳輸與L′evy 指數(shù)和傳播常數(shù)有關(guān).在穩(wěn)定區(qū)間,帶隙渦旋孤子可以穩(wěn)定傳輸,保持環(huán)狀結(jié)構(gòu),在非穩(wěn)定區(qū)間,帶隙渦旋孤子會(huì)隨著傳輸距離的增加而逐漸匯聚,失去環(huán)狀結(jié)構(gòu)及其相位結(jié)構(gòu),演變?yōu)槟芰枯^高的基態(tài)孤子.且L′evy 指數(shù)越大,帶隙渦旋孤子功率越小,能夠穩(wěn)定傳輸?shù)木嚯x逐漸增加.在同一L′evy 指數(shù)下,隨著傳播常數(shù)增大,帶隙渦旋孤子能夠穩(wěn)定傳輸?shù)木嚯x也再增加.當(dāng)多個(gè)帶隙渦旋孤子在晶格中傳輸時(shí),帶隙渦旋孤子間的相互作用會(huì)受到晶格距離影響.帶隙渦旋孤子之間距離越大,它們相互之間的作用力越小,在傳輸過(guò)程中能夠保持相對(duì)穩(wěn)定;帶隙渦旋孤子之間的距離越小,旁瓣能量會(huì)相互疊加,使其失去環(huán)狀結(jié)構(gòu),在傳輸過(guò)程中逐漸演化為類(lèi)偶極子模式且在方位角的調(diào)制下順時(shí)針旋轉(zhuǎn).帶隙渦旋孤子間的相互作用也會(huì)受到相位的影響.當(dāng)兩個(gè)同相位帶隙渦旋孤子在相鄰晶格內(nèi)傳輸時(shí),由于與旁瓣的疊加,在縱軸上能量加強(qiáng),當(dāng)兩個(gè)反相位帶隙渦旋孤子在相鄰晶格內(nèi)傳輸,兩個(gè)帶隙渦旋孤子在縱軸方向上能量相互抵消,不能穩(wěn)定保持環(huán)狀結(jié)構(gòu).該研究結(jié)果可為帶隙渦旋孤子在晶格中的傳輸與控制提供一定的理論指導(dǎo).