韓小萱 孫光祖 郝麗萍 白素英 焦月春

1) (太原師范學(xué)院物理系,晉中 030619)

2) (太原學(xué)院材料與化學(xué)工程系,太原 030032)

3) (山西師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院,太原 030031)

4) (山西大學(xué)激光光譜研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

里德伯原子極化率大,在外加電場作用下原子能級發(fā)生Stark 分裂和頻移,可實現(xiàn)里德伯原子高靈敏電場傳感器的研究.采用Shirley 的簡化不含時Floquet 哈密頓量模型,計算了Cs 里德伯原子的AC Stark 能譜,修正后與實驗上測得的弱場中Cs 里德伯原子的DC Stark 離子能譜擬合,在獲得60D5/2 和70D5/2 里德伯原子態(tài)極化率 αDC 的同時實現(xiàn)低頻弱場靈敏度的計算.并計算了Cs 里德伯原子60D5/2 態(tài)頻率在0—500 GHz范圍內(nèi)振蕩電場中的AC Stark 能級頻移量,對里德伯原子傳感器在其寬光譜范圍內(nèi)的靈敏度進行定量分析,實現(xiàn)任意場頻率最佳靈敏度的計算,為里德伯原子傳感器的研究提供理論基礎(chǔ).

1 引言

里德伯原子是一種主量子數(shù)n很大(n＞ 10)的高激發(fā)態(tài)原子,具有半徑大[1]、壽命長[2]、電偶極矩強[3]、極化率大[4]、相互作用強等奇異特性,這些特點使其成為目前原子分子領(lǐng)域的研究熱點.由于里德伯原子極化率大且對外加電場非常敏感,當(dāng)外加電場時,原子的能級會發(fā)生分裂現(xiàn)象,這種現(xiàn)象稱為Stark 效應(yīng).這種奇異現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)引起了國內(nèi)外廣大學(xué)者的廣泛關(guān)注.

近年來,隨著量子計算和量子精密測量的蓬勃發(fā)展,量子領(lǐng)域逐漸進入人們的視野,被人們接受、發(fā)展并應(yīng)用.里德伯原子AC Stark 效應(yīng)的研究最早可追溯到20 世紀初,德國物理學(xué)家Johnnes Stark 發(fā)現(xiàn)在強電場作用下原子譜線分裂成幾條,這種現(xiàn)象被稱為Stark 效應(yīng).此后,Stark效應(yīng)便引發(fā)了世界眾多學(xué)者的思考與研究.在1965 年,Shirley[5]提出了Shirley 模型,即用一個無限矩陣表示與時間無關(guān)的哈密頓量代替半經(jīng)典含時哈密頓量.Shirley 模型提供了一種確定共振躍遷概率的簡便方法,包括頻移和多量子躍遷.在2020 年,Meyer等[6]利用Shirley 模型大大提高了計算Rb 里德伯原子AC Stark 頻移的運算效率,還保證了其計算的準確性.在2020 年,Jing等[7-9]重點闡述了里德伯原子微波電場計、基于綴飾里德伯原子微波超外差接收機以及超冷原子微波電場測量的技術(shù)方案和結(jié)果,提出了一種提升里德伯原子微波天線靈敏度指標(biāo)的可行技術(shù)方案.同時,基于里德伯原子AC Stark 效應(yīng)在突破傳統(tǒng)電子學(xué)傳感器的工作帶寬限制基礎(chǔ)上,實現(xiàn)了超寬帶連續(xù)頻譜范圍內(nèi)射頻電場測量和微弱載波通信[10-24].

本文采用Shirley 模型對Cs 里德伯原子傳感器靈敏度進行定量分析.根據(jù)簡化不含時Floquet理論,在簡化基矢量的情況下,高效準確地計算了不同射頻電場頻率里德伯態(tài)的 Stark 頻移量,并與實驗獲得的Stark 能譜相比較,獲得的里德伯態(tài)極化率理論值與實驗值相吻合,同時計算出任意場頻率下的最佳靈敏度.

2 理論模型

2.1 Floquet 理論

在強射頻場中里德伯原子能譜出現(xiàn)復(fù)雜的態(tài)混合和態(tài)轉(zhuǎn)移現(xiàn)象,一般采用非微擾Floquet 模型進行分析,實現(xiàn)里德伯原子傳感器靈敏度的有效計算[25,26].根據(jù)Floquet 理論,含時薛定諤方程表示為

式中H0表示無微擾時里德伯原子的哈密頓量,V(t)表示周期射頻場與里德伯原子之間的相互作用,其中V(t+T)=V(t)(ωRFT=2π),T為射頻(RF)場的周期,ωRF為射頻電場的頻率.求解薛定諤方程(1),獲得射頻場綴飾的里德伯原子含時波函數(shù):

其中W為Floquet 態(tài)的本征能量,ψ(t+T)=ψ(t)為周期Floquet 態(tài)函數(shù).Floquet 態(tài)的傅里葉展開形式可用標(biāo)準基矢|α〉=|n,l,j,mj〉和ωRF諧波對應(yīng)的傅里葉基矢|k〉表示為|αk〉=|α〉|k〉,其中〈t|k〉=,則周期含時哈密頓量H(t)=H0+V(t)與波函數(shù)Ψ(t) 表示為

在理論計算原子態(tài)能級W和Ψ(t) 躍遷概率過程中,基矢|α〉=|n,l,j,mj〉 的選取必須包含所有的耦合態(tài),因為里德伯態(tài)混合過程中包括所有可能的角量子數(shù)l=0,1,2,···,n-1和j=l± 1/2 值對應(yīng)態(tài),對于主量子數(shù)n的取值,發(fā)現(xiàn)一般選n-10—n+10 范圍即可.此外,對于射頻場存在多光子共振躍遷,這意味著方程(3)和方程(4)每階分量的Floquet 基矢為標(biāo)準基矢的幾倍.在計算Cs 里德伯原子在射頻場下產(chǎn)生的能級頻移時,還需要考慮射頻場的頻率等因素,這極大地增加了計算的復(fù)雜程度.同時在求解躍遷概率時需要對時間演化算符U(t+T,t)進行數(shù)值積分,而本文僅著重研究Cs里德伯原子的能級頻移,因此并未對時間演化算符U(t+T,t) 展開進一步推導(dǎo).為了簡化計算,采用與時間無關(guān)Shirley 的Floquet 哈密頓方法,實現(xiàn)任意射頻場頻率下,Cs 里德伯原子能級頻移量的計算.

將上述(3)式和(4)式代入(1)式中,得到一個無限維Floquet 哈密頓量的本征方程:

其中,HF是表示為

當(dāng)外加射頻電場是弱場時,等式(6)中的HF截止到k=±1,這樣可以避免時間演化算符U(t+T,t)的積分,同時可以將HF的基矢態(tài)簡化為與目標(biāo)態(tài)有直接偶極躍遷的里德伯態(tài),以Cs 里德伯態(tài)60D5/2為例,這樣基矢大小可以從600 多個降低到60 多個,極大提高了計算速度.通過計算Floquet 哈密頓量的本征值和本征矢,便可以確定射頻場存在時的能級和基矢態(tài),比較能級相對于H0的變化,即可得到AC Stark 的能級頻移量.

2.2 極化率的測量

圖1 紅色虛線所示為采用時間無關(guān)Shirley 的Floquet 哈密頓方法,簡化基矢大小計算的Cs 原子60D5/2和70D5/2態(tài)mj=5/2 的AC Stark 能級頻移量.為了驗證計算的準確性,與采用基于二次Stark 效應(yīng)理論[27]的文獻[28]方法數(shù)值計算的DC Stark能級進行比較,如圖1 黑色實線所示.在與DC電場EDC對比時,EAC=,且AC電場下里德伯能級的Stark 頻移量等于均方值下 DC Stark 頻移-αDC/2值[29],其中αDC為里德伯態(tài)的DC 極化.因此獲得里德伯態(tài)極化率αDC精確值為驗證AC Stark 頻移量計算的準確性至關(guān)重要.

圖1 理論計算 Cs 原子(a) 60D5/2,mj=5/2〉和(b)||70D5/2,mj=5/2〉態(tài)的Stark 能譜,紅色虛線為AC Stark 能譜,黑色實線為校準后的DC Stark 能譜||60D5/2,mj=5/2〉||70D5/2,mj=5/2〉Fig.1.Calculated Stark spectra for Cs Rydberg atom of (a) and (b) state.The red dotted line is the AC Stark spectrum,and the black solid line is the Stark map in a DC electric field on a field axis scaled such that the rms fields.

以Cs 的60D5/2和70D5/2態(tài)為例,在一個標(biāo)準金屬磁光阱(magneto-optical trap,MOT)中俘獲基態(tài)Cs 原子團后,相向入射腰斑為80 μm 的852 nm 的激光(Toptica DL pro)和腰斑為100 μm的510 nm 的激光(Toptica TA SHG110)激發(fā)里德伯原子,之后施加電離里德伯原子的斜坡脈沖電離電場,產(chǎn)生離子信號經(jīng)微通道板(microchannel plate,MCP)進行探測,獲得里德伯原子激發(fā)譜.在MOT 中心激發(fā)區(qū)域外側(cè)沿x,y,z三個方向各放置一對電極,用于補償系統(tǒng)周圍的雜散電場.同時,通過掃描x方向電極板的電壓獲得如圖2 所示70D5/2態(tài)mj=1/2,3/2和5/2 的DC Stark能譜,將其與數(shù)值計算的DC Stark 能級譜(圖2 實線)進行比較,獲得||70D5/2,mj=5/2〉極化率αDC的實驗和理論值分別為835.18 和833.77 MHz·cm2/V2,同樣獲得||60D5/2,mj=5/2〉極化率αDC的實驗和理論值分別為281.19 和280.93 MHz·cm2/V2,如表1 所列.用獲得的極化率αDC實驗值對Cs 原子60D5/2和70D5/2態(tài)mj=5/2 的AC Stark 頻移量進行校準如圖1 紅色虛線所示,其與計算的DC Stark 頻移如圖1 黑色實線所示吻合得很好.采用與時間無關(guān)Shirley 的Floquet 哈密頓方法計算里德伯原子AC Stark 頻移量,在提高計算速度的同時,保證了計算的精確度.

表1 實驗測量極化率與計算60D5/2 和70D5/2 態(tài)極化率的比較Table 1. Comparisons of the measurement and calculation of the polarizability for 60D5/2 and 70D5/2 Rydberg atom.

圖2 實驗測的x 方向70D5/2 里德伯原子 Stark 譜,黑、紅和綠色點線分別為理論計算的mj=1/2,3/2 和5/2 的Stark譜Fig.2.Measurements of the Stark spectrum for 70D5/2 Rydberg atom in the x-direction,and the black,red,and green dotted lines show the calculation Stark spectra of mj=1/2,3/2,and 5/2,respectively.

圖3 展示了射頻電壓為ε=100 mV/m,頻率在0—500 GHz 寬帶范圍內(nèi),采用Shirley 模型簡化基態(tài)矢量計算的Cs 60D5/2態(tài)AC Stark 頻移量.當(dāng)頻率較低時,頻率對AC Stark 頻移量的影響很小,頻移量幾乎保持不變.但隨著頻率的不斷增大,當(dāng)頻率約在3.18 GHz 時,AC Stark 頻移量出現(xiàn)了第1 個峰值,該峰值頻率對應(yīng)于61P3/2態(tài)與60D5/2態(tài)的能級差.之后在14.85 GHz,20.03 GHz 和39.03 GHz 等多處出現(xiàn)明顯的頻移量,分別對應(yīng)58F7/2,57F7/2和62P3/2態(tài)等其他態(tài)對60D5/2態(tài)AC Stark 頻移量的影響.并且在80—90 GHz 之間第1 次出現(xiàn)1 組頻移量顯著減小的情況,這主要是60D5/2附近態(tài)的共同作用顯著抑制了AC Stark 頻移.因此,時間無關(guān)Shirley 的Floquet 模型在減小基矢態(tài)數(shù)目,保證計算精確度的同時,可以實現(xiàn)寬頻帶射頻場AC Stark 頻移量的計算,體現(xiàn)了Shirley 模型計算的高效性.

圖3 Cs 里德伯原子60D5/2 態(tài)在 ε=100 mV/m 不同頻率射頻場中的AC Stark 頻移,其中臨近的共振態(tài)用黑色虛線標(biāo)定Fig.3.AC Stark shifts of the 60D5/2 state in RF field with ε=100 mV/m.The adjacent resonant state is labeled with a black dashed line.

3 里德伯傳感器的靈敏度

里德伯原子傳感器往往是將光泵浦后的里德伯疊加態(tài)與被測電場相互作用,通過測量初始態(tài)的集體相移來實現(xiàn)電場測量.其中相移可用信噪比?/Δ?來表征,假設(shè)相位噪聲Δ?為標(biāo)準量子極限,即Δ?SQL=1/,N為原子數(shù).?=Ωτ是在演化時間τ內(nèi)兩量子態(tài)由原子頻移Ω引起的相位變化.演化時間τ取決于有限相干時間Tc和測量時間t.當(dāng)t ＜Tc時,演化時間τ=t;當(dāng)t ＞Tc時,光泵浦的里德伯疊加態(tài)會在測量時間內(nèi)破壞并被再泵浦,這種重置會導(dǎo)致觀察到原子系綜相移減小,演化時間τ=.在測量中相干時間Tc受到原子熱運動等影響,以里德伯電磁感應(yīng)透明效應(yīng)線寬約10 MHz 為例,假設(shè)熱里德伯原子系統(tǒng)Tc為100 ns.

在電場頻率遠低于里德伯原子共振頻率情況下,電場強度較弱時可用DC Stark 頻移Ω=-1/2αDCε2來估計由射頻電場引起的能級頻移Ω,則信噪比等于1 的電場值表示為

圖4 為利用等式(7)計算的低頻DC 場中||60D5/2,mj=1/2〉態(tài)里德伯原子傳感器的靈敏度,其中紅色實線、紅色虛線、黑色實線、黑色虛線分別為原子數(shù)N=103,104,105,106對應(yīng)射頻電場靈敏度隨頻率的變化.由圖4 可知,當(dāng)原子數(shù)N相同時,射頻電場靈敏度隨頻率變化非常小.εRydberg越小,需要的原子數(shù)N越多.當(dāng)選擇的原子數(shù)N過大時,里德伯原子密度增大,里德伯-里德伯相互作用增強導(dǎo)致復(fù)雜的離子形成.同時考慮到標(biāo)準量子極限和計算方便,所以原子數(shù)N選擇103或104最佳,||60D5/2,mj=1/2〉里德伯態(tài)極化率αDC取表1 中理論計算值-4984.80 MHz·cm2/V2,其中N=104、測量時間為1 s 的最小可檢測場可達0.1 mV/m.且在得知某一已知原子數(shù)N、測量時間為1 s 的最小可檢測場值,其他原子數(shù)N的最小可檢測場值都可通過(7)式中原子數(shù)N的比值關(guān)系直接計算得到.等式(7)中測量弱場靈敏度與極化率平方根成反比,為了提高測量弱場ε靈敏度,Jau 和Carter[30]在被測弱場中疊加一個已知強場Ebias?ε來放大被測弱場的影響,且傳感器的信噪比與Ebias呈線性變化.假設(shè)電場偏差的不確定性和噪聲小于標(biāo)準量子極限,該技術(shù)可將最小可檢測場提高到線性尺度:

其中n=100 的里德伯原子在ωRF＜10 kHz 時的靈敏度優(yōu)于1(mV·m-1)/

隨著射頻場頻率的增大,里德伯原子對電場感應(yīng)越發(fā)敏感.當(dāng)ωRF＞100 MHz 時,里德伯原子Stark 頻移取決于原子間偶極躍遷共振和非共振相互作用.以兩能級系統(tǒng)為例,當(dāng)射頻耦合場失諧遠低于兩能級之間的躍遷頻率時,兩能級的AC Stark頻移能量為

其中Ω=dε/? 為射頻場的諧振拉比頻率,ε 為射頻電場強度,d為躍遷矩陣元,Δ為射頻場的共振失諧量.在共振附近,Stark 頻移采用Autler-Townes分裂的形式(AC Stark 效應(yīng)的一種特殊情況),與n2ε成正比.非共振頻移采用一般AC Stark 頻移的形式,與n7ε2成正比.我們使用上述兩種機制計算不同電場頻率里德伯態(tài)的AC Stark 頻移,將分別計算的每個兩級系統(tǒng)的貢獻相加,可以得到來自附近多個能級的總Stark 頻移,如圖3 所示,從而獲得任意載波頻率的最小可檢測場.為此,采用Shirley 理論來估計適用于任意載波頻率的最小可檢測場,可以實現(xiàn)頻率從10 kHz[31]—1 THz[32]的電場靈敏度的測量.

里德伯原子傳感器具有自校準能力,測量信號可以通過射頻場失諧最近的共振來確定外加射頻場頻率.以||60D5/2〉→||61P3/2〉 共振為例,圖5 為計算的射頻耦合場靈敏度和信噪比縮放因子β(信噪比∝εβ)隨耦合失諧量增大的變化趨勢,其中三角形、正方形和五邊形分別對應(yīng)β=1,1—2 和2的最小可檢測場值.如圖5 紅色實線所示,β 從1到2 過渡的精確寬度和過渡點只取決于射頻場強度,因此對于任何共振里德伯態(tài)β 值的變化趨勢一致,通過β 值,可以確定1 s 測量時間射頻電場ε的信噪比.例如,在β=1的區(qū)域,如果ε1s=1 μV/m,那么相同頻率的100 μV/m 場在1 s 測量時間預(yù)期信噪比為(ε/ε1s)β=100.在測量時間t ＞Tc時,射頻帶寬最小可檢測場為εt=ε1st-1/2β,在已知1 s最小可檢測場和β值,可以實現(xiàn)任何頻率電場靈敏度的實時監(jiān)測.比如已知ε1s=1μV/m和β=2,則t=1 ms 測量中的最小可檢測場為5.6 μV/m,所以通過計算的任意里德伯態(tài)AC Stark 頻移可實現(xiàn)任何頻率電場靈敏度的實時監(jiān)測.

圖5 測量時間為1 s 的最小可檢測場和信噪比縮放因子β (紅色實線)與||60D5/2〉→||61P3/2〉 射頻共振失諧量的關(guān)系,其中三角形、正方形和五邊形分別對應(yīng)β=1,1—2和 2Fig.5.The minimum detectable field in a 1 s measurement and the scaling of the SNR (red solid),β,versus detuning of RF transition from the||60D5/2〉→ ||61P3/2〉 .The triangle,square,and pentagon symbols match correspond to β=1,2 or somewhere in between,respectively.

4 結(jié)論

本文主要采用Shirley 的簡化Floquet 模型研究了Cs 里德伯原子Stark 頻移光譜,實現(xiàn)對振蕩電場靈敏度的定量分析.理論上對比二次Stark 效應(yīng)理論方法和Shirley 模型計算的60D5/2和70D5/2,mj=5/2態(tài)DC Stark 和AC Stark 頻譜,驗證了Shirley 模型的可靠性,并與實驗獲得的里德伯Stark能譜擬合,獲得極化率值.同時利用Shirley 模型簡化基矢的特點快速又高效地計算了60D5/2態(tài)射頻電壓為100 mV/m,頻率在0—500 GHz 寬帶下里德伯態(tài)的AC Stark 頻移量,并引入信噪比縮放因子β計算出了任意場頻率下的最佳靈敏度,為里德伯傳感器在射頻場校準和測量等方面提供理論依據(jù).