廖鴻兵

［摘 要］拋物線與幾何綜合題常作為中考?jí)狠S題，綜合考查學(xué)生的知識(shí)與能力。對(duì)于拋物線與幾何綜合題，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生解讀題型特點(diǎn)，圍繞真題進(jìn)行探究分析，總結(jié)考點(diǎn)知識(shí)，挖掘解題模型，并適度拓展。

［關(guān)鍵詞］拋物線；幾何；一線三垂直；模型

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2024）05-0028-04

一、問(wèn)題綜述

拋物線與幾何綜合題在初中數(shù)學(xué)中十分常見(jiàn)，常作為壓軸題綜合考查學(xué)生的知識(shí)掌握情況與綜合解析問(wèn)題的能力。該類題型有以下三大特點(diǎn)：

一是融合代數(shù)與幾何的相關(guān)知識(shí)，具有數(shù)與形的雙重特點(diǎn)。（探究解析時(shí)建議采用數(shù)形結(jié)合思想）

二是隱含眾多幾何模型，如“將軍飲馬”模型、“一線三垂直”模型、隱圓模型等。（探究解析時(shí)建議充分運(yùn)用相應(yīng)的模型）

三是設(shè)問(wèn)具有關(guān)聯(lián)性，即問(wèn)題之間雖相互獨(dú)立，但其在條件、結(jié)論以及解題思路上具有一定的聯(lián)系。（可以把握問(wèn)題間的聯(lián)系來(lái)探索解題思路）

對(duì)于此類題型的解題探究，建議教師精選近幾年的典型中考數(shù)學(xué)真題，深度解析真題，分析解題方法及模型構(gòu)建思路，并圍繞真題核心內(nèi)容開(kāi)展拓展探究，指導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化知識(shí)與方法，培養(yǎng)解題思維。

二、真題探究

2023年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)試卷第26題為典型的拋物線與幾何綜合題，以拋物線與直線相交為基礎(chǔ)，將代數(shù)與幾何的相關(guān)知識(shí)融合在一起，設(shè)定條件綜合考查學(xué)生的探究能力和問(wèn)題解決能力。下面筆者逐一解析問(wèn)題，探究解題思路。

（一）考題再現(xiàn)

如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，拋物線[L1：y=x2-2x-3]的頂點(diǎn)為[P]。直線[l]過(guò)點(diǎn)[M（0，m）]（[m≥-3]），且平行于[x]軸，與拋物線[L1]交于[A]、[B]兩點(diǎn)（[B]在[A]的右側(cè)）。將拋物線[L1]沿直線[l]翻折得到拋物線[L2]，拋物線[L2]交[y]軸于點(diǎn)[C]，頂點(diǎn)為[D]。

（1）當(dāng)[m=1]時(shí)，求點(diǎn)[D]的坐標(biāo)；

（2）連接[BC]、[CD]、[DB]，若[△BCD]為直角三角形，求此時(shí)[L2]所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，若[△BCD]的面積為3，[E]、[F]兩點(diǎn)分別在邊[BC]、[CD]上運(yùn)動(dòng)，且[EF=CD]，以[EF]為一邊作正方形[EFGH]，連接[CG]，寫(xiě)出[CG]長(zhǎng)度的最小值，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。

（二）思路分析

本題為典型的拋物線與幾何綜合題，題設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，并引入翻折，構(gòu)建了復(fù)合圖形。后續(xù)題設(shè)三個(gè)小問(wèn)，問(wèn)題難度、梯度遞增，需要把握問(wèn)題特點(diǎn)，結(jié)合對(duì)應(yīng)知識(shí)來(lái)解析。

第（1）問(wèn)求解點(diǎn)[D]的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)性問(wèn)題，整理變形解析式即可直接求解。

第（2）問(wèn)構(gòu)建了直角三角形，求解拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，需要分類討論構(gòu)建直角三角形模型，再結(jié)合對(duì)應(yīng)知識(shí)來(lái)解析。

第（3）問(wèn)設(shè)定三角形面積，構(gòu)建了正方形，探究解析線段的最值，屬于線段最值問(wèn)題，需要構(gòu)建最值模型，結(jié)合共線定理來(lái)求解。

（三）過(guò)程突破

本題設(shè)定三個(gè)小問(wèn)，問(wèn)題各具特點(diǎn)，探究解析分步構(gòu)建，下面筆者逐一進(jìn)行過(guò)程突破。

（1）整理拋物線[L1]的表達(dá)式，其頂點(diǎn)式為[y=x2-2x-3=（x-1）2-4]，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為[P（1 ，-4）]，已知[m=1]，點(diǎn)[P]和點(diǎn)[D]關(guān)于直線[y=1]對(duì)稱，可求得點(diǎn)[D（1，6）]。

（2）分析[△BCD]為直角三角形時(shí)，拋物線[L2]對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，由于沒(méi)有設(shè)定直角，故有三種情形，需要分別討論，過(guò)程如下：

由題意可知，[L1]的頂點(diǎn)[P（1，4）]與[L2]的頂點(diǎn)[D]關(guān)于直線[y=m]對(duì)稱，所以可推知[D（1，2m+4）]，拋物線[L2]的表達(dá)式為[y=-（x-1）2+（2m+4）=-x2+2x+2m+3]，所以當(dāng)[x=0]時(shí)，可得[C（0，2m+3）]。

情形①：當(dāng)[∠BCD=90°]時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)[D]作[DN⊥y]軸，垂足為[N]。

因?yàn)镈（1，2m + 4），則N（0，2m + 4）。又知C（0，2m + 3），則[DN=NC=1]，所以[∠DCN=45°]。由于[∠BCD=90°]，則[∠BCM=45°]。由于直線[l]∥[x]軸，則[∠BMC=90°]，所以[∠CBM=∠BCM=45°] ， [BM=CM]。

因?yàn)閇m≥-3]，所以[BM=CM=（2m+3）-m=m+3]，可求得點(diǎn)[B（m+3，m）]。又知點(diǎn)[B]在拋物線[y=x2-2x-3]上，所以[m=（m+3）2-2（m+3）-3]，可解得[m=0]，或[m=-3]。

當(dāng)[m=-3]時(shí)，可得[B（0，-3）]，[C（0，-3）]，此時(shí)點(diǎn)[B]、[C]重合，舍去。

當(dāng)[m=0]時(shí)，符合題意，將[m=0]代入[y=-x2+2x+2m+3]，可得[y=-x2+2x+3]。

情形②：當(dāng)[∠BDC=90°]時(shí)，如圖3所示，過(guò)[B]作[BT⊥] [ND]，交[ND]的延長(zhǎng)線于點(diǎn)[T]。

同理可得[BT=DT]。因?yàn)辄c(diǎn)[D（1，2m+4）]，所以[DT=BT=（2m+4）-m=m+4]。因?yàn)閇DN=1]，所以[NT=DN+DT=1+（m+4）=m+5]，可推得[NT=DN+DT=1+（m+4）=m+5]，從而可得[B（m+5，m）]。又知點(diǎn)[B]在拋物線[y=x2-2x-3]上，所以[m=（m+5）2-2（m+5）-3]，可解得[m=-3]或[m=-4]。因?yàn)閇m≥-3]，所以[m=-3]，此時(shí)點(diǎn)[B]（2，-3），[C]（0，-3）符合題意。

將[m=-3]代入[y=-x2+2x+2m+3]，可得[y=-x2+2x-3]。

情形③：當(dāng)[∠DBC=90°]時(shí)，分析可知，此情況不存在。

綜上可知，若[△BCD]為直角三角形，此時(shí)[L2]所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式有兩個(gè)，分別為[y=-x2+2x+3]和[y=-x2+2x-3]。

（3）該問(wèn)是基于第（2）問(wèn)的條件設(shè)定的，即[△BCD]為直角三角形，且有兩種情形。問(wèn)題中設(shè)定了[△BCD]的面積，則可以基于其面積條件來(lái)分析推理，再構(gòu)建最值模型求解。

如圖4所示，結(jié)合第（2）問(wèn)可知[△BCD]為直角三角形有兩種情形，分別為[∠BCD=90°]和[∠BDC=90°]，下面分別討論分析。

當(dāng)[∠BCD=90°]時(shí)，[m=0]，則[B（3，0）]，[C（0，3）]，可求得線段[BC=32]，此時(shí)[△BCD]的面積為3，符合題意，所以[CD=2]。

當(dāng)[∠BDC=90°]時(shí)，[m=-3]，此時(shí)點(diǎn)[B（0，-3）]，[C（0，-3）]，則可推知[BC=2]，[CD=BD=2]，此時(shí)[△BCD]的面積為1，不符合題意，舍去。

取[EF]的中點(diǎn)為[Q]，在Rt[△CEF]中，可求得[CQ=12EF=22]；在Rt[△FGQ]中，由勾股定理可得[GQ=FG2+FQ2=102]，分析可知當(dāng)[Q]、[C]、[G]三點(diǎn)共線時(shí)，[CG]可取得最小值，最小值為[10-22]。

（四）解題評(píng)析

解析上述問(wèn)題時(shí)，整體上采用了數(shù)形結(jié)合、分類討論的方法與策略。根據(jù)問(wèn)題條件解析構(gòu)建圖形，再結(jié)合圖形推理分析，解析過(guò)程中對(duì)其中的不確定情形進(jìn)行分類討論?？碱}的后兩問(wèn)為核心之問(wèn)，挖掘解析過(guò)程，發(fā)現(xiàn)其含有如下兩大特點(diǎn)。

（1）隱含特殊模型。第（2）問(wèn)隱含了“一線三垂直”模型，包括“一線三垂直”全等模型和“一線三垂直”相似模型兩類模型，即圖2中的Rt[△CND]、Rt[△BOC]、Rt[△DCB]構(gòu)成了“一線三垂直”相似模型，Rt[△CND]和Rt[△BOC]為相似關(guān)系；圖3中的Rt[△CND]、Rt[△CDB]、Rt[△DTB]構(gòu)成了“一線三垂直”全等模型，Rt[△CND]與Rt[△DTB]為全等關(guān)系。

（2）涉及共線定理。第（3）問(wèn)解析最值的核心定理為“兩點(diǎn)之間，線段最短”，即幾何最值中常用的共線定理。求解時(shí)，基于該定理確定最值模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的求解線段長(zhǎng)，后續(xù)基于勾股定理完成求解。

三、知識(shí)梳理

“一線三垂直”模型是初中幾何中的典型模型，以其作為知識(shí)背景命制的考題在中考數(shù)學(xué)中十分常見(jiàn)。在探究學(xué)習(xí)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生深入解讀模型，總結(jié)模型特征、結(jié)論，生成應(yīng)用策略?！耙痪€三垂直”模型有全等和相似兩種類型，下面筆者進(jìn)行深入解析。

模型1：“一線三垂直”全等模型

在如圖5所示的模型圖中存在幾何關(guān)系：[∠D=∠BCA=∠E=90°]，[BC=AC]，從而可推知：Rt[△BDC ]≌Rt[△CEA]。

對(duì)于該模型，有如下兩種應(yīng)用思路：

（1）通過(guò)證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題。

（2）平面直角坐標(biāo)系中有直角求點(diǎn)的坐標(biāo)，可以考慮作輔助線來(lái)構(gòu)造“全等型”三垂直。而作輔助線的方法如下：過(guò)直角頂點(diǎn)在直角外部作水平線或豎直線，過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)向上述直線作垂線段（如圖6）。

模型2：“一線三垂直”相似模型

在如圖7所示的模型圖中存在幾何關(guān)系：[∠B=∠ADE=∠C]，從而可推知[△ABD ]∽[△DCE]。

對(duì)于該模型，有如下三種應(yīng)用思路：

（1）根據(jù)特征確定模型，利用模型結(jié)論解題。

（2）在平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“相似型”三垂直，作輔助線的方法和模型1相似。

（3）運(yùn)用于直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中，結(jié)合點(diǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)構(gòu)建直角，進(jìn)而挖掘出模型。

【拓展探究】

實(shí)際上，“一線三垂直”全等模型是“一線三垂直”相似模型的特殊情形，即相似中存在一組對(duì)應(yīng)邊相等。幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的“一線三垂直”模型較為特殊，涉及了動(dòng)態(tài)分析，破解難度較高，需要重點(diǎn)關(guān)注。

［例題］如圖8所示，已知拋物線[y=-12x2+32x+2]與[x]軸交于點(diǎn)[A]、[B]，與[y]軸交于點(diǎn)[C]。

（1）則點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為? ? ? ?，點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為? ? ? ? ，點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為? ? ? ? ? ? ?。

（2）設(shè)點(diǎn)[P（x1，y1）]，[Q（x2，y2）]（其中[x1>x2]）都在拋物線[y=-12x2+32x+2]上，若[x1+x2=1]，請(qǐng)證明：[y1>y2]。

（3）已知點(diǎn)[M]是線段[BC]上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)[N]是線段[BC]上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若[∠CNM=90°]，且[△CMN]與[△OBC]相似，試求此時(shí)點(diǎn)[N]的坐標(biāo)。

分析：本題為拋物線與幾何綜合題，其中第（3）問(wèn)可歸為“一線三垂直”模型動(dòng)態(tài)問(wèn)題，探究解析時(shí)需要把握動(dòng)點(diǎn)，合理構(gòu)建模型，利用模型結(jié)論分析推導(dǎo)。

解：（1）[A（-1，0）]，[B（4，0）]。

（2）證明：根據(jù)題意可知，[y1-y2=-12（x2+x1）（x1-x2）+32（x1-x2）]，因?yàn)閇x1+x2=1]，所以[y1-y2=x1-x2]，又因?yàn)閇x1>x2]，所以[y1>y2]，得證。

（3）可求得直線[BC]的表達(dá)式為[y=-12x+2]。

如圖9所示，過(guò)點(diǎn)[N]作[NG⊥y]軸于點(diǎn)[G]，過(guò)點(diǎn)[M]作[MH⊥GN]于點(diǎn)[H]，則[∠CGN=∠H=90°]，

根據(jù)條件可證[△CNG ]∽[△NMH]，則[CNNM=CGNH=NGMH]，設(shè)點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[n，-12n2+32n+2]，則[GN=n]，[CG=-12n2+32n]。

①當(dāng)[△NCM ]∽[△OCB]時(shí)，[NMOB=NCOC]，又知[OB=4]，[OC=2]，則[CN]∶[MN=CO]∶[OB=1]∶2，從而可推知[NH=2CG=-n2+3n]，[MH=2NG=2n]，則[GH=NG+NH=-n2+4n]，[yM=CG+CO-MH=-12n2-12n+2]，可得點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[-n2+4n，-12n2-12n+2]。

因?yàn)辄c(diǎn)[M]在直線[BC]上，所以[-12（-n2+4n）+2=-12n2-12n+2]，可解得[n=0]（舍去）或[n=32]，所以點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[32，258]。

②當(dāng)[△NCM ]∽[△OBC]時(shí)，[NMOC=CNOB]，又知，[OB=4]，[OC=2]，則[CN]∶[NM=OB]∶[OC=2]∶1，從而可推知[NH=12CG=-14n2+34n]，[MH=12NG=12n]，所以[GH=NG+NH=-14n2+74n]，[yM=CG+CO-MH=-12n2+n+2]，所以點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[-14n2+74n，-12n2+n+2]，則有[-12-14n2+74n+2=-12n2+n+2]，可解得[n=0]（舍去）或[n=3]，所以點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為（3，2）。

綜上所述，點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[32，258]或（3，2）。

評(píng)析：上述第（3）問(wèn)在求解時(shí)構(gòu)建了“一線三垂直”相似模型，利用模型特性推導(dǎo)線段長(zhǎng)，由于涉及動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)定坐標(biāo)參數(shù)，將其中的線段長(zhǎng)表示為關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的代數(shù)式，后續(xù)構(gòu)建方程完成求解。

綜上可知，在拋物線與幾何綜合題的探究過(guò)程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理、模型挖掘、定理探究，總結(jié)問(wèn)題的破解方法和模型構(gòu)建策略，并結(jié)合實(shí)例開(kāi)展拓展探究。教師還要注意做好思維引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生形成類型化的解題策略，提升綜合能力。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 王劍.重視思維推理，倡導(dǎo)反思拓展：以2021年連云港市中考拋物線問(wèn)題為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（23）：80-82.

［2］? 郁元順.解題體驗(yàn)重過(guò)程，問(wèn)題變式拓思維：以一道拋物線綜合題的教學(xué)探討為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（6）：44-45.

［3］? 楊玉漢.G.波利亞“解題四步驟”的應(yīng)用與思考：以一道拋物線題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（6）：68-69.

（責(zé)任編輯 黃春香）

一、問(wèn)題綜述

拋物線與幾何綜合題在初中數(shù)學(xué)中十分常見(jiàn)，常作為壓軸題綜合考查學(xué)生的知識(shí)掌握情況與綜合解析問(wèn)題的能力。該類題型有以下三大特點(diǎn)：

一是融合代數(shù)與幾何的相關(guān)知識(shí)，具有數(shù)與形的雙重特點(diǎn)。（探究解析時(shí)建議采用數(shù)形結(jié)合思想）

二是隱含眾多幾何模型，如“將軍飲馬”模型、“一線三垂直”模型、隱圓模型等。（探究解析時(shí)建議充分運(yùn)用相應(yīng)的模型）

三是設(shè)問(wèn)具有關(guān)聯(lián)性，即問(wèn)題之間雖相互獨(dú)立，但其在條件、結(jié)論以及解題思路上具有一定的聯(lián)系。（可以把握問(wèn)題間的聯(lián)系來(lái)探索解題思路）

對(duì)于此類題型的解題探究，建議教師精選近幾年的典型中考數(shù)學(xué)真題，深度解析真題，分析解題方法及模型構(gòu)建思路，并圍繞真題核心內(nèi)容開(kāi)展拓展探究，指導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化知識(shí)與方法，培養(yǎng)解題思維。

二、真題探究

2023年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)試卷第26題為典型的拋物線與幾何綜合題，以拋物線與直線相交為基礎(chǔ)，將代數(shù)與幾何的相關(guān)知識(shí)融合在一起，設(shè)定條件綜合考查學(xué)生的探究能力和問(wèn)題解決能力。下面筆者逐一解析問(wèn)題，探究解題思路。

（一）考題再現(xiàn)

如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，拋物線[L1：y=x2-2x-3]的頂點(diǎn)為[P]。直線[l]過(guò)點(diǎn)[M（0，m）]（[m≥-3]），且平行于[x]軸，與拋物線[L1]交于[A]、[B]兩點(diǎn)（[B]在[A]的右側(cè)）。將拋物線[L1]沿直線[l]翻折得到拋物線[L2]，拋物線[L2]交[y]軸于點(diǎn)[C]，頂點(diǎn)為[D]。

（1）當(dāng)[m=1]時(shí)，求點(diǎn)[D]的坐標(biāo)；

（2）連接[BC]、[CD]、[DB]，若[△BCD]為直角三角形，求此時(shí)[L2]所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，若[△BCD]的面積為3，[E]、[F]兩點(diǎn)分別在邊[BC]、[CD]上運(yùn)動(dòng)，且[EF=CD]，以[EF]為一邊作正方形[EFGH]，連接[CG]，寫(xiě)出[CG]長(zhǎng)度的最小值，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。

（二）思路分析

本題為典型的拋物線與幾何綜合題，題設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，并引入翻折，構(gòu)建了復(fù)合圖形。后續(xù)題設(shè)三個(gè)小問(wèn)，問(wèn)題難度、梯度遞增，需要把握問(wèn)題特點(diǎn)，結(jié)合對(duì)應(yīng)知識(shí)來(lái)解析。

第（1）問(wèn)求解點(diǎn)[D]的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)性問(wèn)題，整理變形解析式即可直接求解。

第（2）問(wèn)構(gòu)建了直角三角形，求解拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，需要分類討論構(gòu)建直角三角形模型，再結(jié)合對(duì)應(yīng)知識(shí)來(lái)解析。

第（3）問(wèn)設(shè)定三角形面積，構(gòu)建了正方形，探究解析線段的最值，屬于線段最值問(wèn)題，需要構(gòu)建最值模型，結(jié)合共線定理來(lái)求解。

（三）過(guò)程突破

本題設(shè)定三個(gè)小問(wèn)，問(wèn)題各具特點(diǎn)，探究解析分步構(gòu)建，下面筆者逐一進(jìn)行過(guò)程突破。

（1）整理拋物線[L1]的表達(dá)式，其頂點(diǎn)式為[y=x2-2x-3=（x-1）2-4]，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為[P（1 ，-4）]，已知[m=1]，點(diǎn)[P]和點(diǎn)[D]關(guān)于直線[y=1]對(duì)稱，可求得點(diǎn)[D（1，6）]。

（2）分析[△BCD]為直角三角形時(shí)，拋物線[L2]對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，由于沒(méi)有設(shè)定直角，故有三種情形，需要分別討論，過(guò)程如下：

由題意可知，[L1]的頂點(diǎn)[P（1，4）]與[L2]的頂點(diǎn)[D]關(guān)于直線[y=m]對(duì)稱，所以可推知[D（1，2m+4）]，拋物線[L2]的表達(dá)式為[y=-（x-1）2+（2m+4）=-x2+2x+2m+3]，所以當(dāng)[x=0]時(shí)，可得[C（0，2m+3）]。

情形①：當(dāng)[∠BCD=90°]時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)[D]作[DN⊥y]軸，垂足為[N]。

因?yàn)镈（1，2m + 4），則N（0，2m + 4）。又知C（0，2m + 3），則[DN=NC=1]，所以[∠DCN=45°]。由于[∠BCD=90°]，則[∠BCM=45°]。由于直線[l]∥[x]軸，則[∠BMC=90°]，所以[∠CBM=∠BCM=45°] ， [BM=CM]。

因?yàn)閇m≥-3]，所以[BM=CM=（2m+3）-m=m+3]，可求得點(diǎn)[B（m+3，m）]。又知點(diǎn)[B]在拋物線[y=x2-2x-3]上，所以[m=（m+3）2-2（m+3）-3]，可解得[m=0]，或[m=-3]。

當(dāng)[m=-3]時(shí)，可得[B（0，-3）]，[C（0，-3）]，此時(shí)點(diǎn)[B]、[C]重合，舍去。

當(dāng)[m=0]時(shí)，符合題意，將[m=0]代入[y=-x2+2x+2m+3]，可得[y=-x2+2x+3]。

情形②：當(dāng)[∠BDC=90°]時(shí)，如圖3所示，過(guò)[B]作[BT⊥] [ND]，交[ND]的延長(zhǎng)線于點(diǎn)[T]。

同理可得[BT=DT]。因?yàn)辄c(diǎn)[D（1，2m+4）]，所以[DT=BT=（2m+4）-m=m+4]。因?yàn)閇DN=1]，所以[NT=DN+DT=1+（m+4）=m+5]，可推得[NT=DN+DT=1+（m+4）=m+5]，從而可得[B（m+5，m）]。又知點(diǎn)[B]在拋物線[y=x2-2x-3]上，所以[m=（m+5）2-2（m+5）-3]，可解得[m=-3]或[m=-4]。因?yàn)閇m≥-3]，所以[m=-3]，此時(shí)點(diǎn)[B]（2，-3），[C]（0，-3）符合題意。

將[m=-3]代入[y=-x2+2x+2m+3]，可得[y=-x2+2x-3]。

情形③：當(dāng)[∠DBC=90°]時(shí)，分析可知，此情況不存在。

綜上可知，若[△BCD]為直角三角形，此時(shí)[L2]所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式有兩個(gè)，分別為[y=-x2+2x+3]和[y=-x2+2x-3]。

（3）該問(wèn)是基于第（2）問(wèn)的條件設(shè)定的，即[△BCD]為直角三角形，且有兩種情形。問(wèn)題中設(shè)定了[△BCD]的面積，則可以基于其面積條件來(lái)分析推理，再構(gòu)建最值模型求解。

如圖4所示，結(jié)合第（2）問(wèn)可知[△BCD]為直角三角形有兩種情形，分別為[∠BCD=90°]和[∠BDC=90°]，下面分別討論分析。

當(dāng)[∠BCD=90°]時(shí)，[m=0]，則[B（3，0）]，[C（0，3）]，可求得線段[BC=32]，此時(shí)[△BCD]的面積為3，符合題意，所以[CD=2]。

當(dāng)[∠BDC=90°]時(shí)，[m=-3]，此時(shí)點(diǎn)[B（0，-3）]，[C（0，-3）]，則可推知[BC=2]，[CD=BD=2]，此時(shí)[△BCD]的面積為1，不符合題意，舍去。

取[EF]的中點(diǎn)為[Q]，在Rt[△CEF]中，可求得[CQ=12EF=22]；在Rt[△FGQ]中，由勾股定理可得[GQ=FG2+FQ2=102]，分析可知當(dāng)[Q]、[C]、[G]三點(diǎn)共線時(shí)，[CG]可取得最小值，最小值為[10-22]。

（四）解題評(píng)析

解析上述問(wèn)題時(shí)，整體上采用了數(shù)形結(jié)合、分類討論的方法與策略。根據(jù)問(wèn)題條件解析構(gòu)建圖形，再結(jié)合圖形推理分析，解析過(guò)程中對(duì)其中的不確定情形進(jìn)行分類討論?？碱}的后兩問(wèn)為核心之問(wèn)，挖掘解析過(guò)程，發(fā)現(xiàn)其含有如下兩大特點(diǎn)。

（1）隱含特殊模型。第（2）問(wèn)隱含了“一線三垂直”模型，包括“一線三垂直”全等模型和“一線三垂直”相似模型兩類模型，即圖2中的Rt[△CND]、Rt[△BOC]、Rt[△DCB]構(gòu)成了“一線三垂直”相似模型，Rt[△CND]和Rt[△BOC]為相似關(guān)系；圖3中的Rt[△CND]、Rt[△CDB]、Rt[△DTB]構(gòu)成了“一線三垂直”全等模型，Rt[△CND]與Rt[△DTB]為全等關(guān)系。

（2）涉及共線定理。第（3）問(wèn)解析最值的核心定理為“兩點(diǎn)之間，線段最短”，即幾何最值中常用的共線定理。求解時(shí)，基于該定理確定最值模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的求解線段長(zhǎng)，后續(xù)基于勾股定理完成求解。

三、知識(shí)梳理

“一線三垂直”模型是初中幾何中的典型模型，以其作為知識(shí)背景命制的考題在中考數(shù)學(xué)中十分常見(jiàn)。在探究學(xué)習(xí)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生深入解讀模型，總結(jié)模型特征、結(jié)論，生成應(yīng)用策略。“一線三垂直”模型有全等和相似兩種類型，下面筆者進(jìn)行深入解析。

模型1：“一線三垂直”全等模型

在如圖5所示的模型圖中存在幾何關(guān)系：[∠D=∠BCA=∠E=90°]，[BC=AC]，從而可推知：Rt[△BDC ]≌Rt[△CEA]。

對(duì)于該模型，有如下兩種應(yīng)用思路：

（1）通過(guò)證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題。

（2）平面直角坐標(biāo)系中有直角求點(diǎn)的坐標(biāo)，可以考慮作輔助線來(lái)構(gòu)造“全等型”三垂直。而作輔助線的方法如下：過(guò)直角頂點(diǎn)在直角外部作水平線或豎直線，過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)向上述直線作垂線段（如圖6）。

模型2：“一線三垂直”相似模型

在如圖7所示的模型圖中存在幾何關(guān)系：[∠B=∠ADE=∠C]，從而可推知[△ABD ]∽[△DCE]。

對(duì)于該模型，有如下三種應(yīng)用思路：

（1）根據(jù)特征確定模型，利用模型結(jié)論解題。

（2）在平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“相似型”三垂直，作輔助線的方法和模型1相似。

（3）運(yùn)用于直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中，結(jié)合點(diǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)構(gòu)建直角，進(jìn)而挖掘出模型。

【拓展探究】

實(shí)際上，“一線三垂直”全等模型是“一線三垂直”相似模型的特殊情形，即相似中存在一組對(duì)應(yīng)邊相等。幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的“一線三垂直”模型較為特殊，涉及了動(dòng)態(tài)分析，破解難度較高，需要重點(diǎn)關(guān)注。

［例題］如圖8所示，已知拋物線[y=-12x2+32x+2]與[x]軸交于點(diǎn)[A]、[B]，與[y]軸交于點(diǎn)[C]。

（1）則點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為? ? ? ?，點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為? ? ? ? ，點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為? ? ? ? ? ? ?。

（2）設(shè)點(diǎn)[P（x1，y1）]，[Q（x2，y2）]（其中[x1>x2]）都在拋物線[y=-12x2+32x+2]上，若[x1+x2=1]，請(qǐng)證明：[y1>y2]。

（3）已知點(diǎn)[M]是線段[BC]上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)[N]是線段[BC]上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若[∠CNM=90°]，且[△CMN]與[△OBC]相似，試求此時(shí)點(diǎn)[N]的坐標(biāo)。

分析：本題為拋物線與幾何綜合題，其中第（3）問(wèn)可歸為“一線三垂直”模型動(dòng)態(tài)問(wèn)題，探究解析時(shí)需要把握動(dòng)點(diǎn)，合理構(gòu)建模型，利用模型結(jié)論分析推導(dǎo)。

解：（1）[A（-1，0）]，[B（4，0）]。

（2）證明：根據(jù)題意可知，[y1-y2=-12（x2+x1）（x1-x2）+32（x1-x2）]，因?yàn)閇x1+x2=1]，所以[y1-y2=x1-x2]，又因?yàn)閇x1>x2]，所以[y1>y2]，得證。

（3）可求得直線[BC]的表達(dá)式為[y=-12x+2]。

如圖9所示，過(guò)點(diǎn)[N]作[NG⊥y]軸于點(diǎn)[G]，過(guò)點(diǎn)[M]作[MH⊥GN]于點(diǎn)[H]，則[∠CGN=∠H=90°]，

根據(jù)條件可證[△CNG ]∽[△NMH]，則[CNNM=CGNH=NGMH]，設(shè)點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[n，-12n2+32n+2]，則[GN=n]，[CG=-12n2+32n]。

①當(dāng)[△NCM ]∽[△OCB]時(shí)，[NMOB=NCOC]，又知[OB=4]，[OC=2]，則[CN]∶[MN=CO]∶[OB=1]∶2，從而可推知[NH=2CG=-n2+3n]，[MH=2NG=2n]，則[GH=NG+NH=-n2+4n]，[yM=CG+CO-MH=-12n2-12n+2]，可得點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[-n2+4n，-12n2-12n+2]。

因?yàn)辄c(diǎn)[M]在直線[BC]上，所以[-12（-n2+4n）+2=-12n2-12n+2]，可解得[n=0]（舍去）或[n=32]，所以點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[32，258]。

②當(dāng)[△NCM ]∽[△OBC]時(shí)，[NMOC=CNOB]，又知，[OB=4]，[OC=2]，則[CN]∶[NM=OB]∶[OC=2]∶1，從而可推知[NH=12CG=-14n2+34n]，[MH=12NG=12n]，所以[GH=NG+NH=-14n2+74n]，[yM=CG+CO-MH=-12n2+n+2]，所以點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[-14n2+74n，-12n2+n+2]，則有[-12-14n2+74n+2=-12n2+n+2]，可解得[n=0]（舍去）或[n=3]，所以點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為（3，2）。

綜上所述，點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[32，258]或（3，2）。

評(píng)析：上述第（3）問(wèn)在求解時(shí)構(gòu)建了“一線三垂直”相似模型，利用模型特性推導(dǎo)線段長(zhǎng)，由于涉及動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)定坐標(biāo)參數(shù)，將其中的線段長(zhǎng)表示為關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的代數(shù)式，后續(xù)構(gòu)建方程完成求解。

綜上可知，在拋物線與幾何綜合題的探究過(guò)程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理、模型挖掘、定理探究，總結(jié)問(wèn)題的破解方法和模型構(gòu)建策略，并結(jié)合實(shí)例開(kāi)展拓展探究。教師還要注意做好思維引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生形成類型化的解題策略，提升綜合能力。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 王劍.重視思維推理，倡導(dǎo)反思拓展：以2021年連云港市中考拋物線問(wèn)題為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（23）：80-82.

［2］? 郁元順.解題體驗(yàn)重過(guò)程，問(wèn)題變式拓思維：以一道拋物線綜合題的教學(xué)探討為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（6）：44-45.

［3］? 楊玉漢.G.波利亞“解題四步驟”的應(yīng)用與思考：以一道拋物線題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（6）：68-69.

（責(zé)任編輯 黃春香）