魏恒宇, 李慶奎

(北京信息科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院, 北京 100101)

產(chǎn)品供應(yīng)鏈?zhǔn)怯晒?yīng)商、制造商、分銷商、零售商等組成的復(fù)雜的非線性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[1]。產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、生產(chǎn)、制造和銷售與供應(yīng)鏈系統(tǒng)密切相關(guān)。在以產(chǎn)品的制造為中心環(huán)節(jié)的產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)中,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能可以通過產(chǎn)品庫存水平的變化率來體現(xiàn)。因此,對(duì)產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)進(jìn)行有效的管理和控制可以降低運(yùn)營成本,提高運(yùn)行效率,從而帶來可觀的經(jīng)濟(jì)效益。近些年來,隨著信息和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展,依托數(shù)字經(jīng)濟(jì)的新零售模式正在逐步取代線下交易的傳統(tǒng)分銷模式[2],新型產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)也成為人們研究的熱門話題之一。目前,人們對(duì)于產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得豐碩成果[3-7]。其中,文獻(xiàn)[6]采用多智能體及人工智能技術(shù),提出了一種供應(yīng)鏈的建模方法;文獻(xiàn)[7]從管理學(xué)的角度利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論構(gòu)建了供應(yīng)鏈基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)。從控制系統(tǒng)角度看,這些研究主要基于由一些物理機(jī)制所建立的精確的數(shù)學(xué)模型,大多為靜態(tài)模型或簡單的線性系統(tǒng)模型。但隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展,新型產(chǎn)品供應(yīng)鏈相較于傳統(tǒng)系統(tǒng)規(guī)模逐漸擴(kuò)大,結(jié)構(gòu)也越來越復(fù)雜,僅僅通過簡單的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)不足以反映供應(yīng)鏈系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)特性。同時(shí),隨著企業(yè)規(guī)模的擴(kuò)大,在生產(chǎn)制造過程中產(chǎn)品供應(yīng)鏈運(yùn)行所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)越來越多。于是當(dāng)難以對(duì)復(fù)雜的產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)建立精確的數(shù)學(xué)模型時(shí),如何有效利用已知數(shù)據(jù)對(duì)產(chǎn)品供應(yīng)鏈進(jìn)行控制是當(dāng)前的一大難題。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)恰好彌補(bǔ)了這一缺陷,僅使用輸入輸出數(shù)據(jù)而不需要建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型,可以很好地解決產(chǎn)品供應(yīng)鏈控制問題。

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)區(qū)別于模型驅(qū)動(dòng),是一種通過移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)或者其他的相關(guān)軟件為手段采集海量的數(shù)據(jù),將數(shù)據(jù)進(jìn)行組織形成信息后,對(duì)相關(guān)的信息進(jìn)行整合和提煉的方法。典型的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法包括比例積分微分控制(proportional integral derivative,PID)、無模型自適應(yīng)控制(model free adaptive control,MFAC)、迭代反饋整定(iterative feedback tuning,IFT)、虛擬參考反饋整定(virtual reference feedback tuning,VRFT)和迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control,ILC)等。其中,無模型自適應(yīng)控制(MFAC)廣泛應(yīng)用于未知的非仿射非線性離散時(shí)間系統(tǒng)[8-11]。MFAC方法的優(yōu)點(diǎn)在于在控制器的設(shè)計(jì)和分析時(shí)只需要利用受控系統(tǒng)的輸入和輸出,不需要建立受控系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,且不需要任何外在的測試信號(hào)或訓(xùn)練過程。與其他數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法相比,MFAC方法簡單,計(jì)算負(fù)擔(dān)小,易于實(shí)現(xiàn)且魯棒性較強(qiáng)[12]。無模型自適應(yīng)預(yù)測控制(model-free adaptive predictive control,MFAPC)方法在MFAC的基礎(chǔ)上引入了未來時(shí)刻的輸入輸出數(shù)據(jù),使其具有了預(yù)測功能。相比于MFAC方法,MFAPC對(duì)于控制器參數(shù)λ更加不敏感,相當(dāng)于將MFAC中的λ放大了N倍,使其在一種“粗調(diào)”方式下進(jìn)行。因此,受控系統(tǒng)的過渡過程會(huì)更加平穩(wěn),控制效果也會(huì)更好。因此,對(duì)于具有大量未知非線性模型的供應(yīng)鏈系統(tǒng),MFAPC提供了一種很好的方法用以解決供應(yīng)鏈設(shè)計(jì)變更時(shí)庫存控制問題。

同時(shí),產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)具有分布式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),且系統(tǒng)中包含多個(gè)由不同企業(yè)所構(gòu)成的子鏈,為了便于表達(dá)其數(shù)學(xué)模型,可以利用多智能體系統(tǒng)進(jìn)行建模。在生產(chǎn)銷售的過程中,不同的節(jié)點(diǎn)企業(yè)之間進(jìn)行著材料和信息的交換。信息流、物流以及節(jié)點(diǎn)企業(yè)構(gòu)成了系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[13]。例如,當(dāng)遇到機(jī)器故障、自然災(zāi)害等因素,導(dǎo)致發(fā)生設(shè)計(jì)變更,需要分配不同的工廠生產(chǎn)時(shí),可以表示為多智能體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)切換。同時(shí),在某種控制方案下,使生產(chǎn)率水平能夠滿足市場需求。近些年來,由于多智能體系統(tǒng)分布式、自治、容錯(cuò)、高效、低成本的特點(diǎn),受到人們的廣泛關(guān)注。目前,有關(guān)多智能體系統(tǒng)的研究已有許多研究成果[14-17]。這些研究成果表明,利用多智能體系統(tǒng)的分布式控制,可以有效提高信息和材料在不同節(jié)點(diǎn)之間的傳輸運(yùn)行效率。但是,這些研究成果大多都是基于精確的數(shù)學(xué)模型的線性系統(tǒng),而實(shí)際生產(chǎn)銷售過程中的供應(yīng)鏈系統(tǒng)具有非線性的特點(diǎn),且很難獲取精確的數(shù)學(xué)模型。因此,利用生產(chǎn)銷售過程中產(chǎn)生的大量數(shù)據(jù),將數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)與多智能體系統(tǒng)結(jié)合,可以規(guī)避建模復(fù)雜的難題,有效處理實(shí)際生產(chǎn)銷售中的問題。

隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展,產(chǎn)品供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)企業(yè)的信交流也越來越頻繁,供應(yīng)鏈的運(yùn)行效率也隨之提升。然而,由于產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)內(nèi)外部環(huán)境存在極大的不確定性,物料的供給可能會(huì)因?yàn)樽匀粸?zāi)害、經(jīng)濟(jì)危機(jī)以及疫情等原因而發(fā)生中斷,一旦發(fā)生,如果沒有做好應(yīng)對(duì)工作將會(huì)帶來不可挽回的損失。因此,當(dāng)系統(tǒng)遭受意外事件時(shí),產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)的設(shè)計(jì)變更就成為了一項(xiàng)重要的工作。當(dāng)變更發(fā)生后,由于物料的供給發(fā)生了變化,產(chǎn)品的生產(chǎn)率及庫存余量會(huì)受到影響,如果不及時(shí)做出應(yīng)對(duì)措施,產(chǎn)品庫存可能會(huì)出現(xiàn)積壓或不足的情況,從而帶來嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失。目前,對(duì)于設(shè)計(jì)變更問題的研究主要集中在變更發(fā)生的原因以及傳播的研究[18-23]。這些研究對(duì)于生產(chǎn)和供應(yīng)鏈協(xié)同演化系統(tǒng)的研究較少,特別是預(yù)測控制及數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法。為此,現(xiàn)利用MFAPC方法解決在設(shè)計(jì)變更影響下產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)的生產(chǎn)跟蹤問題,使得產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)在設(shè)計(jì)變更的情況下,工廠的生產(chǎn)速率能夠跟隨不確定的市場需求變化。

1 預(yù)備條件和模型建立

1.1 預(yù)備條件

1.2 模型建立

考慮一種由N個(gè)結(jié)構(gòu)相似的子鏈構(gòu)成的供應(yīng)鏈系統(tǒng),其中第i個(gè)子鏈為一個(gè)二級(jí)訂單系統(tǒng),結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 供應(yīng)鏈模型Fig.1 Supply chain model

假設(shè)每個(gè)工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品,第一工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品將作為第二工廠生產(chǎn)的原材料。yij(k)表示第i個(gè)子鏈中產(chǎn)品的庫存,并且該產(chǎn)品會(huì)以pij的速率消耗,τ為工廠1與工廠2由于運(yùn)輸所產(chǎn)生的時(shí)間延遲。工廠1和工廠2的生產(chǎn)模型如下。

yi1(k+1)=(1-pi1)yi1(k)+ui1(k)-ui2(k-τ);

yi2(k+1)=(1-pi2)yi2(k)+ui2(k)-di(k)。

該模型僅用于生成系統(tǒng)的I/O數(shù)據(jù),而不代表真實(shí)的模型。

在實(shí)際的生產(chǎn)過程中,由于市場需求變化、自然災(zāi)害、貿(mào)易戰(zhàn)等問題,導(dǎo)致供應(yīng)鏈發(fā)生變化。因此,拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生改變。假設(shè)每個(gè)子鏈都是一個(gè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng),庫存yij和庫存uij分別為第i個(gè)子鏈中的第j個(gè)設(shè)備狀態(tài)輸出和控制輸入變量。所研究的多入多出(multiple input multiple output,MIMO)非線性供應(yīng)鏈系統(tǒng)可以表示為

yi(k+1)=fi[yi(k),yi(k-1),…,yi(k-ny),

ui(k),ui(k-1),…,ui(k-nu)] ,

i=1,2,…,N

(1)

式(1)中:ui(k)∈Rm和yi(k)∈Rm分別為系統(tǒng)當(dāng)時(shí)的系統(tǒng)輸入和輸出;ny,nu∈Z+分別為兩個(gè)未知的正整數(shù);fi( )=[fi1( ),fi2( ),…,fim( )]T為未知的非線性向量函數(shù)。

假設(shè)1所有時(shí)變開關(guān)通信圖都是強(qiáng)連通圖,虛擬引線的軌跡信息可以直接傳輸給一個(gè)或多個(gè)跟隨智能體。

假設(shè)2對(duì)于fi( ),關(guān)于(ny+2)分量的每個(gè)分量都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。

(2)

式(2)中:Δyi(k+1)=yi(k+1)-yi(k);Δui(k)=ui(k)-ui(k-1);b為一個(gè)常數(shù)。

Δyi(k+1)=Φi(k)Δui(k)

(3)

(4)

2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

根據(jù)上述數(shù)據(jù)模型,可以得到一步向前預(yù)測方程為

yi(k+1)=yi(k)+Φi(k)Δui(k)

(5)

進(jìn)一步可以得到N步預(yù)測方程為

(6)

令

式中:YiNm(k+1)為輸出的N步超前預(yù)測向量;ΔUiNm(k)為系統(tǒng)輸入的增量向量;Im×m為m×m階單位矩陣;O為m×m階零矩陣。

預(yù)測方程可以重寫為

YiNm(k+1)=Ey(k)+Ai(k)ΔUiNm(k)

(7)

考慮如下準(zhǔn)則函數(shù)。

(8)

設(shè)ei(k)=yd(k)-yi(k)為編隊(duì)跟蹤誤差,則智能體i的編隊(duì)誤差可表示為

di[yd(k+m)-yi(k+m)]ξiNm(k+1)

(9)

式(9)中:j∈Ni為智能體i的鄰居智能體;di為智能體i是否可以從領(lǐng)導(dǎo)智能體yd(k)接收信息。

綜合預(yù)測方程[式(6)]、準(zhǔn)測函數(shù)[式(8)]、誤差方程[式(9)]并運(yùn)用優(yōu)化條件,可得到控制算法如下。

(10)

式(10)中:g=[Im×m,Om×m,…,Om×m]T。

因系統(tǒng)中包含未知時(shí)變參數(shù)偽雅可比矩陣(pseudo-Jacobian matrix,PJM)Φi(k),Φi(k+1),…,Φi(k+N-1),且該系統(tǒng)的偽雅可比參數(shù)PJM是時(shí)變的。故需要利用系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)Φi(k)進(jìn)行估計(jì),并對(duì)Φi(k+1),Φi(k+2),…,Φi(k+N-1)等進(jìn)行預(yù)測。估計(jì)算法采用改進(jìn)的投影算法,設(shè)置如下時(shí)變參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)為

(11)

最小化準(zhǔn)則函數(shù) [式(11)]并簡化后,可得到如下PJM估計(jì)算法為

(12)

(13)

(14)

式(14)中:np為適當(dāng)階數(shù),一般取2～7。預(yù)測算法為

(15)

(16)

考慮如下準(zhǔn)則函數(shù),用以計(jì)算θ(k),即

(17)

運(yùn)用優(yōu)化條件,可得如下預(yù)測算法為

(18)

式(18)中:δ∈[0,1]。

綜合控制算法、偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)算法和偽偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測算法,最終控制方案如下。

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

ui(k)=ui(k-1)+gTΔUiNm(k)

(26)

式(26)中:g=[Im×m,Om×m,…,Om×m]T;

3 穩(wěn)定性分析

(27)

l=1,2,…,m。

式(12)可以改寫為

(28)

式(28)中:Δyi(k)=φi,l(k-1)Δui(k-1),l=1,2,…,m。

定理1對(duì)于滿足假設(shè)1～假設(shè)3和式(1)的系統(tǒng)[下文簡稱系統(tǒng)(1)],使用上述控制方案,則當(dāng)系統(tǒng)的期望信號(hào)yd(k+1)=yd=const時(shí),必有一個(gè)常數(shù)λmin>0存在,使得?λ>λmin滿足以下條件。

(2)系統(tǒng)(1)有界輸入-有界輸出(bounded input bounded output,BIBO)穩(wěn)定,即每個(gè)智能體的輸入輸出是有界的。

證明：

(29)

(30)

右端第一項(xiàng)取平方,有

(31)

對(duì)于0<η≤2和μ>0,可以得

(32)

根據(jù)式(31)和式(32),存在0

(33)

將式(33)代入式(30),得

(34)

2)誤差ξi(k)可以改寫為

(35)

式(35)中:ei(k)=yd-yi(k);

式(35)可改寫為

Ψ(k)=[(L+D)?Im]E(k)

(36)

式(36)中:?為克羅內(nèi)克積。

用式(36)代替式(10)可以得到

U(k)=U(k-1)+NH(k)Ψ(k)

=U(k-1)+NH(k)×

[(L+D)?Im]E(k)

(37)

式(37)中:

N?diag{N1,N2,…,NM},Ni,i=1,2,…,M為第i條子鏈的預(yù)測步長,

ei(k+1)=yd-yi(k+1)

=ei(k)-Δyi(k+1)

=ei(k)-Φi(k)Δui(k)

(38)

結(jié)合式(28)和式(38)可以得到

E(k+1)={I-NΦ(k)H(k)×

[(L+D)?Im]}E(k)

(39)

式(39)中:Φ(k)?diag{Φ1(k),Φ2(k),…,ΦN(k)}。

對(duì)兩邊取范數(shù),可得

(40)

式(40)中:

Ξ(k)?Φ(k)H(k)=diag{Ξ1(k),Ξ2(k),…,ΞN(k)}

(41)

Ξ(k)是塊對(duì)角矩陣,每個(gè)塊如式(42)所示。

將(42)寫成矩陣和的形式為

Ξi(k)?Fi(k)+Ti(k),Fi(k),Ti(k)∈Rm×m

(43)

式(43)中:Fi(k)為對(duì)角矩陣。

Ξ(k)=diag{F1(k),F2(k),…,FN(k)}+

diag{T1(k),T2(k),…,TN(k)}

=F(k)+T(k)

(44)

將式(44)代入式(40)可得

(45)

對(duì)兩邊取相容范數(shù),可得

(46)

(42)

令Q(k)?ImN-NF(k)[(L+D)?Im]。

(47)

根據(jù)圓盤定理,T(k)的特征值具有

(48)

(49)

由此可以得出當(dāng)λi>λmin時(shí),有

(50)

(51)

通過式(51)可以得到

(52)

使用二項(xiàng)式定理,可得

‖E(k+1)‖v≤[‖Q(k)‖v+b][‖Q(k-1)‖v+

b][‖Q(1)‖v+b]‖E(1)‖v

(53)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

通過一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)例對(duì)算法的穩(wěn)定性進(jìn)行驗(yàn)證。算法參數(shù)及初始條件設(shè)置為:η=1,μ=2,λ=0.1,yi(0)=[0,0]T,ui(0)=[0,0]T。

圖2為切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意圖。

0為多智能體系統(tǒng)中的領(lǐng)導(dǎo)智能體;1,2,3,4為跟隨智能體圖2 切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Switching topology

在實(shí)際的生產(chǎn)過程中,變更的發(fā)生具有很強(qiáng)的隨機(jī)性。因此為了模擬現(xiàn)實(shí)中發(fā)生突發(fā)狀況,切換拓?fù)湟?guī)則設(shè)置,即在隨機(jī)時(shí)刻隨機(jī)變更為G1、G2、G3其中之一。同時(shí)為了驗(yàn)證不同市場需求下的跟隨能力,設(shè)置市場需求包括正弦函數(shù)、比例函數(shù)、階躍函數(shù)以及常數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3、圖4所示。

yd(k)為期望輸出;yi(k)(i=1,2,3,4)為第i個(gè)智能體的輸出曲線圖3 系統(tǒng)輸出曲線Fig.3 Plot of the system output

ei(i=1,2,3,4)為第i個(gè)智能體的跟蹤誤差圖4 跟蹤誤差Fig.4 Tracking error

為了體現(xiàn)該算法的優(yōu)缺點(diǎn),同時(shí)給出不帶有預(yù)測的輸出如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)生產(chǎn)率變化曲線Fig.5 Plot of production rate of the system

圖3為系統(tǒng)的輸出曲線,圖4為控制系統(tǒng)的跟蹤誤差,圖5為無預(yù)測的無模型自適應(yīng)控制算法輸出曲線。

從圖5中可以看出,所提出的控制方法在起始時(shí)刻會(huì)有較大的浮動(dòng),跟蹤性能略低于無模型自適應(yīng)控制方法,隨著輸入輸出數(shù)據(jù)的增加,該算法的跟隨能力逐漸增強(qiáng),系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)發(fā)生變更時(shí),恰當(dāng)設(shè)計(jì)可以使系統(tǒng)庫存狀態(tài)曲線在小范圍內(nèi)發(fā)生抖動(dòng),并在很快的時(shí)間內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)定,且抖動(dòng)幅度明顯小于無模型自適應(yīng)控制。當(dāng)市場需求發(fā)生改變時(shí),供應(yīng)鏈系統(tǒng)的生產(chǎn)率可以很好地跟隨市場需求變化,同時(shí)將誤差收斂在一定范圍內(nèi),驗(yàn)證了該算法的有效性。

5 結(jié)論

研究了基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)變更設(shè)計(jì)問題,利用動(dòng)態(tài)線性化技術(shù)將未知非線性MIMO產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等效數(shù)據(jù)模型。據(jù)此設(shè)計(jì)一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)算法,使得在切換拓?fù)湎孪到y(tǒng)輸出能夠跟隨期望輸出。在控制算法中引入了未來時(shí)刻數(shù)據(jù),使算法具有預(yù)測效果。仿真結(jié)果表明該算法可以很好地跟隨目標(biāo)函數(shù),在變更發(fā)生時(shí),能夠很快地恢復(fù)穩(wěn)定,并且抖動(dòng)幅度較小。該算法僅需要使用系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù),不依賴供應(yīng)鏈系統(tǒng)的模型,并且具有一定預(yù)測功能,更適用于實(shí)際情況。