摘 要：課題式教學(xué)要求教師從宏觀上把握某個(gè)知識(shí)模塊的整體結(jié)構(gòu)，并將這個(gè)整體結(jié)構(gòu)還原成一個(gè)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}系統(tǒng)，通過解決這個(gè)問題系統(tǒng)中的每個(gè)問題，最終完成這一知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)。對于基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程中的“直線”內(nèi)容，可以采用課題式教學(xué)，將三個(gè)學(xué)段的相關(guān)內(nèi)容串聯(lián)起來形成一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)，從而分成“直線概念”（小學(xué)）、“直線公設(shè)與平行公理”（初中）、“一次函數(shù)與一元一次方程”（初中）、“直線方程與平行向量”（高中）四個(gè)子課題，設(shè)計(jì)一系列問題，形成一個(gè)問題系統(tǒng)，來驅(qū)動(dòng)教學(xué)。

關(guān)鍵詞：課題式教學(xué)；跨學(xué)段；知識(shí)系統(tǒng)；問題驅(qū)動(dòng)；直線

一、概念再認(rèn)：我們倡導(dǎo)的課題式教學(xué)究竟是什么

課題式教學(xué)并非新概念。而我們倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)課題式教學(xué)與過去很多人認(rèn)為的不是一個(gè)概念。以往的課題式教學(xué)大多關(guān)注的是教學(xué)形式，即以問題為起點(diǎn)，通過任務(wù)的設(shè)置，促使學(xué)生在解決問題的過程中，獲得知識(shí)、發(fā)展能力。它強(qiáng)調(diào)三個(gè)方面：問題導(dǎo)向、任務(wù)驅(qū)動(dòng)、學(xué)生主體。我們倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)課題式教學(xué)當(dāng)然也與問題有關(guān)，而且把問題視為課堂教學(xué)的心臟，但更突出的是問題的有效性以及問題與知識(shí)系統(tǒng)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，這個(gè)過程強(qiáng)調(diào)的是以問題為內(nèi)核的探究過程而非形式化的教學(xué)過程。

課題式教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一種注重整體性、結(jié)構(gòu)性的教學(xué)。它不是孤立地分析某個(gè)具體的問題，而是通過一系列具有結(jié)構(gòu)性特征的問題的提出、分析與解決，完成某個(gè)知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)。換言之，課題式教學(xué)需要從宏觀上把握課程的知識(shí)結(jié)構(gòu)（必要時(shí)，可以跨越學(xué)段來把握），通過知識(shí)生成過程的溯源或合情推理，找到促使理論產(chǎn)生的本原性問題與派生性問題，形成一個(gè)與知識(shí)系統(tǒng)相對應(yīng)的問題系統(tǒng)——其中的問題充分反映了學(xué)科為什么產(chǎn)生以及如何產(chǎn)生的根源。其中的課題（常可以分為多個(gè)子課題）正是由一個(gè)又一個(gè)的關(guān)鍵問題構(gòu)成的，解決了這些問題便完成了課題的研究，一門理論或理論的某個(gè)部分正是在此基礎(chǔ)上形成的。由此可見，課題式教學(xué)要求教師從宏觀上把握某個(gè)知識(shí)模塊的整體結(jié)構(gòu)，并將這個(gè)整體結(jié)構(gòu)還原成一個(gè)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}系統(tǒng)，通過解決這個(gè)問題系統(tǒng)中的每個(gè)問題（落實(shí)到問題驅(qū)動(dòng)的課堂教學(xué)），最終完成該知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)。

我們倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)課題式教學(xué)正是在數(shù)十年的數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育實(shí)踐基礎(chǔ)上形成的，其本質(zhì)是將科學(xué)研究范式運(yùn)用于課堂教學(xué)，將教學(xué)過程當(dāng)成研究過程，通過問題的提出過程培養(yǎng)學(xué)生的直覺能力，通過問題的分析過程培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，讓知識(shí)在解決問題的過程中自然生成。這正是“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造”（弗賴登塔爾語）在操作層面上行之有效的實(shí)現(xiàn)過程。

二、案例研究：跨越學(xué)段的“直線”課題式教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）直線：一個(gè)有價(jià)值的研究課題

直線不僅是傳統(tǒng)歐氏幾何中的基本元素，而且是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中向量空間概念的源頭，說它是“頂天立地”的數(shù)學(xué)概念也不為過。直線也是歐氏幾何中最抽象的概念之一，它沒有寬度；因?yàn)橄騼蛇厽o限延伸，所以也沒有長度。對于小學(xué)生與初中生而言，完成從實(shí)體的“直線段”到數(shù)學(xué)上“直線”的抽象化過程不是一件輕而易舉的事。或許正是基于上述緣故，現(xiàn)行基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程將直線概念分解到小學(xué)、初中和高中三個(gè)學(xué)段，分別從歐氏幾何、一次函數(shù)和解析幾何中的直線方程三個(gè)角度闡述。具體地，一般在四年級(jí)介紹直線的基本概念；在七年級(jí)介紹“兩點(diǎn)確定一條直線”“經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”以及直線的簡單應(yīng)用，并在“有理數(shù)”部分介紹數(shù)軸這個(gè)與直線有關(guān)的重要概念；在八年級(jí)介紹一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)），這是學(xué)生最早學(xué)習(xí)的一類函數(shù)；在高二介紹基于笛卡兒坐標(biāo)系建立的直線方程。

這里不打算討論“直線”內(nèi)容分段展開的科學(xué)性。實(shí)際上，歐氏幾何中的直線與解析幾何中的直線分屬不同的幾何體系，分開并無不妥。重要的不是是否需要分開，而是如何讓學(xué)生清楚它們的內(nèi)在邏輯關(guān)系。

然而，現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中，三種視角下的直線概念缺少內(nèi)在的邏輯關(guān)聯(lián)。例如，教學(xué)“一次函數(shù)”時(shí)，有教師僅僅通過描點(diǎn)法說明一次函數(shù)的圖像是直線。與一般函數(shù)圖像不同的是，直線是歐氏幾何中已有定義的概念。如果說一次函數(shù)的圖像是直線，就有必要讓學(xué)生明白它的確是傳統(tǒng)意義上的直線。僅僅憑觀察作出感性的判斷不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)，充其量可以幫助學(xué)生完成直覺感知的過程，但距離完成“一次函數(shù)的圖像是直線”的邏輯論證還很遙遠(yuǎn)。這種憑感覺下結(jié)論的數(shù)學(xué)很容易讓學(xué)生形成不思嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣。這違背了數(shù)學(xué)教育的初衷。另外，直線方程與一次函數(shù)是什么關(guān)系？這又是一個(gè)語焉不詳?shù)膯栴}。事實(shí)上，建立直線方程時(shí)，不少教師完全拋開了一次函數(shù)，甚至沒有將一次函數(shù)與直線方程做結(jié)構(gòu)上的比較，兩者在邏輯上是脫節(jié)的。

因此，如何在教學(xué)上做到承上啟下，將不同學(xué)段從不同角度講授的同一概念在邏輯上進(jìn)行梳理，形成一個(gè)有機(jī)整體，是一線教師需要面對的重要問題。下面，我們將針對既定的內(nèi)容分布，探索如何從跨學(xué)段的視角整體把握“直線”模塊，完成“直線”的課題式教學(xué)。顯然，這不是一個(gè)教師能夠完成的任務(wù)，需要各學(xué)段的教師在教學(xué)過程中注重知識(shí)點(diǎn)的縱向邏輯關(guān)聯(lián)，而不是人為地將知識(shí)點(diǎn)割裂開來。

（二） 關(guān)于“直線”的知識(shí)系統(tǒng)分析

首先需要對三種視角下直線問題的本質(zhì)稍加分析。歐氏幾何中的直線是不加定義的直觀描述。《幾何原本》中是這樣描述的：“直線是一條一些點(diǎn)均勻分布在上面的線?！钡@個(gè)描述非常難懂。一次函數(shù)的圖像并非關(guān)于直線本身的研究，而是直線的應(yīng)用，即用直線描述“一次函數(shù)的圖像是什么”；直線的方程則是從代數(shù)的角度研究直線。從這個(gè)意義上說，一次函數(shù)圖像的研究與直線方程的研究屬于不同的研究領(lǐng)域：前者屬于應(yīng)用研究，后者屬于方法研究。簡單回顧數(shù)學(xué)史，圓錐曲線產(chǎn)生于古希臘數(shù)學(xué)家用平面截圓錐的行為，但是由于缺少合適的工具，圓錐曲線的研究一直止步不前；直到笛卡兒坐標(biāo)系建立后，代數(shù)方法被成功引入幾何學(xué)，幾何學(xué)研究在方法論上產(chǎn)生了一場革命，形成了一門完美的幾何學(xué)——解析幾何，使得圓錐曲線問題得到了徹底解決；也正是解析幾何的誕生，促使人們進(jìn)一步研究代數(shù)方法在幾何上的應(yīng)用，于是，又有了向量空間理論。通過笛卡兒坐標(biāo)系建立直線方程，正是歐氏幾何中直線問題代數(shù)化的典型案例。正是因?yàn)橹本€有了代數(shù)表示，才使得與直線有關(guān)的很多問題變得異常簡單。

進(jìn)而，將小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段與直線相關(guān)的內(nèi)容串聯(lián)起來，可以形成一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)化知識(shí)系統(tǒng)：“線段、直線、射線”（小學(xué)）→“數(shù)軸、直線公設(shè)與平行公理”（初中）→“一次函數(shù)（正比例函數(shù)）、一元一次方程”（初中）→“平行向量、直線方程”（高中）。學(xué)生在不同學(xué)段的知識(shí)積累與能力發(fā)展不同，有關(guān)直線的知識(shí)系統(tǒng)的展開需要循序漸進(jìn)，包括學(xué)習(xí)方式上的循序漸進(jìn)（比如從實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何、從直觀的形及其關(guān)系到抽象的數(shù)及其運(yùn)算）。更重要的是，通過不同學(xué)段特別是中學(xué)階段（有關(guān)直線的知識(shí)點(diǎn)在多處出現(xiàn)）對相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系貫通，可以有效地讓學(xué)生形成對直線概念的系統(tǒng)認(rèn)知。這正是課題式教學(xué)的精髓。

（三） “直線”的課題式教學(xué)設(shè)計(jì)

基于上述關(guān)于“直線”的知識(shí)系統(tǒng)分析，可以將“直線”課題分成四個(gè)子課題，設(shè)計(jì)一系列問題，形成一個(gè)問題系統(tǒng)，來驅(qū)動(dòng)教學(xué)。將這些問題解決了，直線的知識(shí)系統(tǒng)也就建立起來了。

【子課題1】“直線概念”（小學(xué)）

在歐氏幾何中，直線的定義是描述性的。但是，如果采用《幾何原本》中的描述，恐怕教師都會(huì)一頭霧水，更別說讓小學(xué)生理解了?？紤]到小學(xué)生認(rèn)知能力的局限，不能完全套用歐氏幾何中的定義，而要強(qiáng)調(diào)直觀、通俗，同時(shí)，還要讓學(xué)生意識(shí)到直線概念的重要性。為此，可以設(shè)計(jì)問題1—問題4來驅(qū)動(dòng)教學(xué)。

問題1：如何用卷尺測量兩點(diǎn)之間的距離？

問題2：不同的卷尺寬度是不同的，會(huì)測出不同的距離嗎？

問題3：兩點(diǎn)間的距離有限制嗎？理論上可以測出多遠(yuǎn)的距離？激光能射出去多遠(yuǎn)？

這3個(gè)問題與學(xué)生的生活十分貼近，也是生活中很重要的一類問題。四年級(jí)的學(xué)生應(yīng)該都經(jīng)歷過測量距離之類的事情，至少不會(huì)陌生。通過3個(gè)問題的引導(dǎo)，學(xué)生便可以建立起線段、直線與射線的概念。對直線，可以采用這樣的定義方法：從一點(diǎn)出發(fā)，向正反兩個(gè)固定的方向無限延伸的線稱為直線。因?yàn)閷W(xué)生對方向是比較容易理解的，教師甚至可以通過東西南北等具體的方向幫助學(xué)生理解固定方向的含義。

問題4：時(shí)間有限嗎？過去有多久？未來有多遠(yuǎn)？

第4個(gè)問題具有一定的深度，普通學(xué)生或許尚不具備這種抽象能力，很難將時(shí)間與直線聯(lián)系起來，但教師在教學(xué)中不妨做一個(gè)嘗試。

【子課題2】“直線公設(shè)與平行公理”（初中）

初中階段，數(shù)軸的概念出現(xiàn)在直線公設(shè)與平行公理之前，雖然邏輯上有些不順暢，但也并非完全不可行，因?yàn)閷W(xué)生在小學(xué)已經(jīng)接觸過直線概念。對于這一子課題，可以設(shè)計(jì)問題5—問題10來驅(qū)動(dòng)教學(xué)。

問題5：直尺與三角板為什么可以測量長度？

學(xué)生一開始可能對這個(gè)問題有點(diǎn)莫名所以，教師可以進(jìn)一步啟發(fā)：卷尺是如何測量兩點(diǎn)之間距離的？學(xué)生便不難明白：因?yàn)橹背吲c三角板的邊緣是線段，線段上有刻度，所以，通過刻度的讀數(shù)便可知兩點(diǎn)之間的距離，也可以沿著直尺或三角板的邊緣畫出兩點(diǎn)的連線即線段來。

問題6：如何通過溫度計(jì)了解環(huán)境溫度？

環(huán)境溫度可能是零上，也可能是零下，所以溫度計(jì)上不僅有表示零上的刻度，也有表示零下的刻度。這就引出了正負(fù)數(shù)的表示問題。

問題7：如何直觀地表示過去、現(xiàn)在與未來？

有了問題6，回答問題7自然不會(huì)太困難。通過這些問題可以建立起數(shù)軸的概念。

問題8：如果用兩把卷尺分別去量同一對物體之間的距離，兩把卷尺拉直后是什么關(guān)系？為什么會(huì)這樣？

問題9：上述結(jié)論具有一般性嗎？即過兩個(gè)點(diǎn)可以畫幾條直線？

通過對上述實(shí)際問題的感知，“兩點(diǎn)確定一條直線”的公設(shè)也就水到渠成了。

問題10：如果不能直接測量兩個(gè)物體之間的距離，例如筆直的路邊有兩個(gè)物體，它們與道路相隔同樣的距離，但兩個(gè)物體也許位于水田中，也許中間有障礙物，無法直接測量，那么有什么辦法間接測量它們之間的距離？

有了問題中的條件，相信學(xué)生憑借經(jīng)驗(yàn)可以毫不費(fèi)力地回答問題10，由此可以引入平行公理。如果時(shí)間允許的話，可以適當(dāng)?shù)卣归_：過直線外一點(diǎn)，一定能且僅能作一條已知直線的平行線嗎？數(shù)學(xué)史上，圍繞這個(gè)問題出現(xiàn)了兩種新的幾何。做這種拓展的目的不僅是開拓學(xué)生的視野，更重要的是讓學(xué)生意識(shí)到，任何結(jié)論的成立都是有前提的，在特定的前提下得到的結(jié)論不能隨意推廣。雖然非歐幾何正是因?yàn)閷ζ叫泄淼姆此级玫降募償?shù)學(xué)理論，并無任何實(shí)際背景，然而，黎曼幾何（一種非歐幾何）最終卻成了相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這是非歐幾何的發(fā)明者始料不及的。之所以出現(xiàn)如此神奇的故事，是因?yàn)閿?shù)學(xué)與自然科學(xué)在方法論上是相通的。因而，常常會(huì)有這樣的現(xiàn)象：一門曾經(jīng)毫無實(shí)際背景的純數(shù)學(xué)理論在自然科學(xué)與現(xiàn)實(shí)中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。類似的例子比比皆是。例如，圓錐曲線是純幾何的產(chǎn)物，但在光學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域卻隨處可見。通過這種拓展，在提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，也讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的威力與無窮的潛力。

【子課題3】“一次函數(shù)與一元一次方程”（初中）

教材通常先介紹一般函數(shù)及其圖像的概念，然后給出一次函數(shù)的定義，通過描點(diǎn)作圖說明一次函數(shù)的圖像是一條直線，但是不給出證明。之所以不給出證明，或許緣于“相似三角形”內(nèi)容編排在后面。這里不討論為什么如此編排，僅限于在這樣的編排下如何施教。其實(shí)，即使沒有相似三角形知識(shí)做儲(chǔ)備，仍然可以利用平行線的性質(zhì)及面積法，得到兩個(gè)具有相同銳角的直角三角形的對應(yīng)邊成比例，進(jìn)而得到直線的代數(shù)表達(dá)式。這也為一般相似三角形的判定做好了前期準(zhǔn)備。所以對于一次函數(shù)，可以從特殊到一般、從形到數(shù)再到形、最終關(guān)聯(lián)一元一次方程，設(shè)計(jì)問題11—問題15來驅(qū)動(dòng)教學(xué)。

問題11：給定一條直線，在過該直線的平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使得坐標(biāo)原點(diǎn)位于給定直線上，且直線不與x軸或ｙ軸共線。將直線上的點(diǎn)用坐標(biāo)表示，這些點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該滿足什么等式？

這個(gè)問題也可以放在高中階段直線方程的建立中，只不過初中階段沒有涉及傾斜角與斜率。既然高中階段突出向量法，初中階段不妨從這個(gè)問題開始，引導(dǎo)學(xué)生利用如下方法解決：

假設(shè)直線l過原點(diǎn)，如果在l上再取一點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)便確定了該直線。因此，不妨假設(shè)l是由坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)A（x₀，y₀）所確定的。在l上任取一點(diǎn)P，設(shè)其坐標(biāo)為（x，y）。為避免復(fù)雜的討論，不妨假設(shè)直線過第一象限，且A、Ｐ在第一象限。

問題12：當(dāng)直線上的點(diǎn)P（x，y）發(fā)生變化時(shí)，坐標(biāo)如何變化？

問題12引導(dǎo)學(xué)生先不討論一般的直線，而對上述等式做進(jìn)一步的分析。從上述等式可以看出，當(dāng)橫坐標(biāo)發(fā)生變化時(shí)，縱坐標(biāo)將隨之變化，且縱坐標(biāo)隨著橫坐標(biāo)的確定而唯一確定。這正是函數(shù)的思想，此時(shí)引出函數(shù)的概念或許更為自然。由于y=y₀x₀x是關(guān)于橫坐標(biāo)（自變量）x的一次式，所以將形如y=kx（k≠0）的函數(shù)稱為一次函數(shù)（或正比例函數(shù)）。

問題13：在直角坐標(biāo)系中，所有的直線都符合上述代數(shù)式嗎？

當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸平行或垂直時(shí)，代數(shù)式將發(fā)生變化。不過，證明過程無須像對問題11那樣重復(fù)一遍，教師可以視學(xué)情而定是否詳細(xì)建立代數(shù)式。當(dāng)直線不過原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸平行或垂直時(shí)，直線可以寫成y=kx+b（k≠0）的表示式。

問題14：所有一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像都是直線嗎？

回答了這個(gè)問題，才算徹底解決了一次函數(shù)問題。即：不與坐標(biāo)軸平行或垂直的直線是某個(gè)一次函數(shù)的圖像，一次函數(shù)的圖像一定是直線。對于學(xué)情較好的班級(jí)，不妨嘗試證明問題14的結(jié)論。

問題15：回顧一元一次方程的概念，它與一次函數(shù)有何相似之處？

由于在學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”前學(xué)過“一元一次方程”，此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生反思一下一元一次方程與一次函數(shù)之間具有何種關(guān)系。從兩者的結(jié)構(gòu)很容看出：一元一次方程的根即對應(yīng)一次函數(shù)的零點(diǎn)。這樣，不僅可為后面學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系埋下伏筆，更重要的是，可以通過這種聯(lián)系培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，幫助學(xué)生了解代數(shù)與幾何的內(nèi)在關(guān)系。

【子課題4】“直線方程與平行向量”（高中）

人教A版高中數(shù)學(xué)教材中，直線方程的建立雖然用到了向量，但并不是真正意義上的向量法，本質(zhì)上還是傳統(tǒng)的解析幾何法。建立直線方程時(shí)，真正的向量法利用的是平行向量的代數(shù)表示：α=kβ。具體地說，在直線上取定兩點(diǎn)A、B（這兩點(diǎn)確定了這條直線），再在直線上任取一點(diǎn)P，則AB∥AP，即存在實(shí)數(shù)k使得AP=kAB?；蛘撸绻乐本€的方向（通常用向量α表示）及直線上一點(diǎn)A，任取直線上一點(diǎn)P，則存在實(shí)數(shù)k使得AP=kα。一旦建立了直角坐標(biāo)系，便得到了兩種形式的直線方程：兩點(diǎn)式與點(diǎn)向式。通過幾何上的簡單分析便可得到傾斜角與斜率的概念。教學(xué)中，可以從向量的角度建立代數(shù)方程，或從經(jīng)典解析幾何的角度建立直線方程，然后再從另一個(gè)角度進(jìn)行比較，但不宜將兩種方法混在一起。事實(shí)上，向量代數(shù)是笛卡兒坐標(biāo)系的推廣，在笛卡兒坐標(biāo)系中建立方程是不依賴向量的。所以對于這一子課題，可以設(shè)計(jì)問題16—問題18來驅(qū)動(dòng)教學(xué)。

問題16：回顧初中一次函數(shù)的定義，可以看到一次函數(shù)的圖像是直線，那么，坐標(biāo)平面內(nèi)的任何直線是否都有代數(shù)表示式？如何建立這種表示式？

一次函數(shù)的圖像不可能與x軸垂直，也不可能與x軸平行（因?yàn)閗≠0），可見一次函數(shù)不可能表示坐標(biāo)平面內(nèi)的所有直線。如果學(xué)生在初中階段按照上述過程學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，那么在高中階段建立直線方程就簡單很多，可以重點(diǎn)突出向量法。

問題17：一次函數(shù)中的k與b在幾何上分別代表了什么？當(dāng)直線與x軸平行或垂直時(shí)意味著什么？它的方程具有什么形式？

建立直線方程后，賦予一次函數(shù)y=kx+b中的k與b以幾何意義。通過這個(gè)問題，可以引入斜率、傾斜角與截距的概念。

問題18：在過原點(diǎn)的直線上任取三個(gè)點(diǎn)，可以形成多少個(gè)向量？這些向量之間是什么關(guān)系？

從更高的視角看，直線就是一維的向量空間。雖然中學(xué)并不學(xué)習(xí)向量空間的概念，但是，學(xué)生所學(xué)的向量運(yùn)算蘊(yùn)含了一個(gè)基本事實(shí)，即直線、平面、空間中的向量關(guān)于線性運(yùn)算是封閉的，這正是向量空間的定義。作為知識(shí)的拓展，中學(xué)課堂上介紹了向量的基本概念后，通過向量的代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行關(guān)于向量空間的科普，不僅不會(huì)增加學(xué)生理解的障礙，還能讓學(xué)生意識(shí)到這些知識(shí)點(diǎn)的重要性和內(nèi)在的邏輯關(guān)系。問題18的結(jié)論便意味著過原點(diǎn)的直線關(guān)于向量的線性運(yùn)算是封閉的，換言之，過原點(diǎn)的直線是一個(gè)一維的向量空間。對于向量空間，教師可以視學(xué)情決定是否進(jìn)行科普。

總之，螺旋式上升的理念讓同一模塊的知識(shí)分散到了不同的學(xué)段，因此，課題式教學(xué)常常需要貫穿若干學(xué)段。教師不僅需要熟悉自己所教學(xué)段的內(nèi)容，也要熟悉與該內(nèi)容相關(guān)的其他學(xué)段的內(nèi)容。