李昌成

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）07-0106-09

一、單選題：本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng).

1.復(fù)數(shù)i3（1+i）2=（? ）.

A.2? B.-2? C.2i? D.-2i

2.已知集合A={x|-2

3.某校三位同學(xué)報(bào)名數(shù)理化生四科學(xué)科競(jìng)賽，每人限報(bào)且必須報(bào)兩門，由于數(shù)學(xué)是該校優(yōu)勢(shì)科目，必須至少有兩人參賽，若要求每門學(xué)科都有人報(bào)名，則不同的參賽方案有（? ）.

A.51種 B.45種 C.48種 D.42種

6.函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）在［0，1］上單調(diào)遞增，則（? ）.

8.已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1=1，對(duì)于任意的n∈N*，均有an+1=2an+1，bn=2log2（1+an）-1.若在數(shù)列bn中去掉an的項(xiàng)，余下的項(xiàng)組成數(shù)列cn，則c1+c2+…+c100=（? ）.

A.12 010 B.12 100 C.11 200 D.11 202

二、多選題：本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求.

9.如圖1所示的圓錐的底面半徑為3，高為4，則（? ）.

A.該圓錐的母線長(zhǎng)為5

B.該圓錐的體積為12π

C.該圓錐的表面積為15π

D.三棱錐S-ABC體積的最大值為12

10.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，A在第一象限，若|AF|=3|FB|，則下列結(jié)論正確的是（? ）.

C.OA⊥OB

D. 以AF為直徑的圓與y軸相切

B.f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

12.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件.第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，則下列選項(xiàng)正確的有（? ）.

A.任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來(lái)的次品概率為0.06

B.任取一個(gè)零件是次品的概率為0.052 5

三、填空題：本大題共4小題，共20.0分.

13.已知向量a=（1，-2），b=（-3，1），那么

|a-b|=.

15.已知圓C：x2+y2-4x-2y+1=0，點(diǎn)P是直線y=4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB的最小值為．

四、解答題：本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosB=（3c-b）cosA．

（1）求sinA；

18.已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=an+2，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2-bn．

（1）求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn．

（1）求該嘉賓第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零的概率;

（2）求該嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值．

20.如圖3，等腰Rt△ABC的底邊AB=2，點(diǎn)D在線段AC上，DE⊥AB于點(diǎn)E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖4）．

（1）求證：PB⊥DE；

（2）若PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求平面PDE與平面PBC所成的銳二面角的正弦值．

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

22.已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-sinx．

參考答案

1.i3（1+i）2=（-i）（1+2i+i2）=（-i）×2i=-2i2=2，故選A．

3.設(shè)三位同學(xué)為A，B，C，由題意，參賽方案分為兩種情況：

（1）數(shù)學(xué)學(xué)科有2人報(bào)名：先選2人報(bào)名數(shù)學(xué)，有C23種結(jié)果（假設(shè)為A，B），其余三科的參賽方式又分為兩種情況：

①A，B選同科，有C13種結(jié)果；②A，B選不同科（即A，C或B，C選同科），有C12·C13·A22種結(jié)果，所以數(shù)學(xué)學(xué)科有2人報(bào)名時(shí)共有C23·（C13+C12·C13·A22）=3×15=45種結(jié)果；

（2）數(shù)學(xué)學(xué)科有3人報(bào)名：先選3人報(bào)名數(shù)學(xué)，有C33種結(jié)果，其余三科的參賽方式有A33種結(jié)果，所以數(shù)學(xué)學(xué)科有3人報(bào)名時(shí)共有C33·A33=6種結(jié)果.

綜合（1）（2）得不同的參賽方案有45+6=51種．

故選A．

故-x（2x-1）（x+a）=-x（-2x-1）（-x+a）.

化簡(jiǎn)，得2（2a-1）·x2=0.

故選A.

5.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則

因?yàn)镸N的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），

因?yàn)橹本€MN的方程是y=2（x-1）-1，

所以y1-y2=2（x1-x2）.

故選B.

所以m≥e-x-x在［0，1］上恒成立.

而y=e-x-x在［0，1］上單調(diào)遞減，

則（e-x-x）max=1，則m≥1.

又x+m>0在［0，1］上恒成立，所以m>0.

所以m的取值范圍為m≥1．

故選A.

故選A.

8.因?yàn)閍n+1=2an+1（n∈N*），即

an+1+1=2（an+1）.

故數(shù)列{an+1}是公比為2的等比數(shù)列.

又a1+1=2，所以an=2n-1（n∈N*）.

由bn=2log2（1+an）-1=2log2（1+2n-1）-1=2n-1（n∈N*），

則b1=1，bn+1-bn=2（常數(shù)）.

所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

又b1=a1=1，b64=127，b106=211，b107=213，

可得a7=127，a8=255.

因?yàn)閎64=a7=127，a7

故選D.

圓錐的表面積S=π×32+π×3×5=24π，故C錯(cuò)誤；

故選ABD.

10.如圖5，過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線的準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足為A′，B′，過(guò)點(diǎn)B作AA′的垂線，垂足為點(diǎn)E．設(shè)|BF|=m，則|AF|=3m.

由拋物線定義得|AE|=|AA′|-|BB′|=|AF|-|BF|=3m-m=2m，|AB|=4m.

故選ABD.

f（1）=0，當(dāng)01時(shí)，f（x）>0，因此f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

故選ACD.

12.取到的零件可能來(lái)自第1臺(tái)，第2臺(tái)或第3臺(tái)車床，有3種可能．

設(shè)Ai為“零件為第i臺(tái)車床加工”（i=1，2，3），則樣本空間Ω=A1∪A2∪A3且A1，A2，A3兩兩互斥．

B為“任取一零件為次品”，根據(jù)題意得P（A1）=0.25，P（A2）=0.3，P（A3）=0.45，P（B|A1）=

0.06，P（B|A2）=P（B|A3）=0.05.

由全概率公式，得

P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+

P（A3）P（B|A3）=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525，

故B正確.

如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i（i=1，2，3）臺(tái)車床加工的概率，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率．

P（A1B）=0.25×0.06=0.015，故A錯(cuò)誤.

故C正確；

故D錯(cuò)誤.

故選BC.

13. 因?yàn)橄蛄縜=（1，-2），b=（-3，1），

所以a-b=（4，-3）.

15.圓C：x2+y2-4x-2y+1=0，

即（x-2）2+（y-1）2=4.

如圖6，由于PA，PB分別切圓C于點(diǎn)A，B，則PA=PB，CA⊥PA，CB⊥PB.

所以S四邊形APBC=2S△ACP=CA·PA.

因?yàn)镃A=CB=r=2，

所以S四邊形APBC=2PA.

所以AB最短時(shí)，CP最短，點(diǎn)C到直線y=4的距離即為CP的最小值.

所以CPmin=3.

若使得n-m取最小值，

17.（1）在△ABC中，由acosB=（3c-b）cosA及正弦定理，得

（3sinC-sinB）cosA=sinAcosB.

得3sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）.

因?yàn)锳+B+C=π，

所以sin（A+B）=sinC≠0.

（2）因?yàn)椤鰽BC的面積為

解得bc=3.

可得b2+c2=10.

18.（1）由題知，a1=1，an+1-an=2.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.

所以an=1+（n-1）×2=2n-1.

又當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1=2-b1，

所以b1=1.

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2-bn，①

Sn-1=2-bn-1.②

由①-②，得bn=-bn+bn-1.

利用分組求和可得，

19.（1）設(shè)“該嘉賓第一關(guān)闖關(guān)成功且獲得公益基金為零”為事件A，“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A1，“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A2，則A1，A2互斥．

（2）由題意知，X的所有可能取值為0，1 000，3 000，6 000，

所以X的分布為

（2）由（1）知DE⊥PE，DE⊥EB，且PE⊥BE，

所以DE，BE，PE兩兩垂直．

設(shè)PE=a（0

設(shè)平面PBC的法向量為n=（x，y，z），則

取n=（a，a，2-a），

又取平面PDE的法向量為m=（0，1，0），

c2=4a2=a2+b2.

在Rt△F1PF2中，

PF12+PF22=F1F22=4c2.

又點(diǎn)P為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，由雙曲線的定義得

PF1-PF2=2a.

即PF12+PF22-2PF1·PF2=4a2.

又|PF1||PF2|=6，所以4c2-12=4a2.

又c2=a2+b2，解得a2=1，b2=3.

（2）在x軸上存在定點(diǎn)Q（-1，0），m=-1，使得

當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程為x=ty+2，

化簡(jiǎn)，得（3t2-1）y2+12ty+9=0.

=（ty1+2-m）（ty2+2-m）+y1y2

=（t2+1）y1y2+t（2-m）（y1+y2）+（2-m）2

解得m=-1，則Q（-1，0）.

［π4，π2］上恒成立．

所以a≤（x+1）cosx在［π4，π2］上恒成立．

令g（x）=（x+1）cosx，則

g′（x）=cosx-（x+1）sinx．

所以a≤g（x）min=0.

即a的取值范圍為（-∞，0］.

（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（x+1）-sinx，則

當(dāng)x>e-1時(shí)，ln（x+1）>lne=1≥sinx，

所以f（x）>0在（e-1，+∞）上恒成立.

因?yàn)閑-1<π，

f（e-1）=1-sin（e-1）>0，