李春林

中圖分類號：G632?? 文獻標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0096-10

（河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內(nèi)蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西）

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

A.［-1，+∞） B.R

C.（-3，+∞）D.（-∞，-5］∪［-1，+∞）

3．為了解某班學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，連續(xù)進行了六次考試，甲同學(xué)與乙同學(xué)的考試成績情況見表1，則以下敘述正確的是（? ）.

A.甲同學(xué)成績的極差低于乙同學(xué)成績的極差

B.甲同學(xué)的平均成績高于乙同學(xué)的平均成績

C.甲同學(xué)成績的眾數(shù)為136，乙同學(xué)成績的中位數(shù)為122

D.甲同學(xué)成績的波動幅度低于乙同學(xué)成績的波動幅度

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

10．已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，頂點為O，點M（x0，y0）在拋物線C上，若|MF|=3，則下列選項正確的是（? ）.

A.x0=2

B.以MF為直徑的圓與y軸相切

11．已知函數(shù)f（x）=x（ex+1），g（x）=（x+1）·lnx，則（? ）.

A.函數(shù)f（x）在R上無極值點

B.函數(shù)g（x）在（0，+∞）上存在極值點

C.若f（1）=e，則x=1為f（x）的極值點

D.若f（1）

第Ⅱ卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

14．如圖2，三棱錐S-ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形，則以下結(jié)論中：

①異面直線SB與AC所成的角為90°

②直線SB⊥平面ABC

③平面SBC⊥平面SAC

其中正確結(jié)論的序號是.

15．設(shè)點P為直線2x+y-2=0上的點，過點P作圓C：x2+y2+2x+2y-2=0的兩條切線，切點分別為A，B，當(dāng)四邊形PACB的面積取得最小值時，此時直線AB的方程為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17．已知在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足a=2，b=3c．

（2）若sinB+sinC=1，求△ABC的周長．

18．設(shè)數(shù)列an的前n項和為

Sn，若a1=1，Sn=an+1-1．

（1）求證：an是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；

19．近年來，國家鼓勵德智體美勞全面發(fā)展，舞蹈課是學(xué)生們熱愛的課程之一，某高中隨機調(diào)研了本校2023年參加高考的90位考生是否喜歡跳舞的情況，經(jīng)統(tǒng)計，跳舞與性別情況見表2：（單位：人）

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)并依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，分析喜歡跳舞與性別是否有關(guān)聯(lián)？

（2）用樣本估計總體，用本次調(diào)研中樣本的頻率代替概率，從2023年本市考生中隨機抽取3人，設(shè)被抽取的3人中喜歡跳舞的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

（1）求點B到平面PAC的距離；

（2）設(shè)點E為線段PB的中點，求二面角A-CE-B的正弦值.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若M，N是C上異于A的任意兩點，且△AMN的垂心為H，試問：點H是否在定曲線上？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請說明理由．

（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在（0，π）上有且僅有一個零點，求a的取值范圍．

參考答案

2．A=（-∞，0）∪（0，+∞），B=（-3，+∞），所以A∪B=R.

故選B.

3．對于選項A，甲同學(xué)成績的極差為136-

104=32，乙同學(xué)成績的極差為132-116=16，所以甲同學(xué)成績的極差高于乙同學(xué)成績的極差，所以A錯誤；

對于選項B，甲同學(xué)的平均成績?yōu)?/p>

乙同學(xué)的平均成績?yōu)?/p>

所以甲同學(xué)的平均成績低于乙同學(xué)的平均成績，所以B錯誤；

對于選項D，可以觀察出甲同學(xué)成績的波動幅度高于乙同學(xué)成績的波動幅度，所以D錯誤．

故選C.

7．因為sinαtanα=cosα-5sinα，

化簡并整理，得cos2α-sin2α=5sinαcosα.

又因為cos2α-sin2α=cos2α，2sinαcosα=sin2α，

8．由題意得

又顯然SO⊥AC，可得SO=2.

所以SE+CE的最小值即為S1C.

10．依題意，拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1.

對于A，由MF=x0+1=3，得x0=2，A正確；

11．對于A，f（x）定義域為R，f ′（x）=ex+1+xex=（x+1）ex+1，令m（x）=f ′（x），則m′（x）=（x+2）ex.所以當(dāng)x∈（-∞，-2）時，m′（x）<0；當(dāng)x∈（-2，+∞）時，m′（x）>0.

即f ′（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，在（-2，+∞）上單調(diào)遞增.

所以g′（x）≥g′（1）=2>0.所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點，B錯誤；

調(diào)遞減.

對于D，若f（x1）=g（x2）=t（t>0），則

x1（ex1+1）=（x2+1）lnx2=t.

因為f（0）=0，g（1）=0，t>0，由AB知：f（x），g（x）均為定義域上的增函數(shù)，所以x1>0，x2>1.

由x1（ex1+1）=（x2+1）lnx2，得

x1（ex1+1）=（ex1+1）lnex1=（x2+1）lnx2.

所以x2=ex1，

令k=x1（ex1+1），則k>0.

所以當(dāng)k∈（0，e）時，p′（k）>0；當(dāng)k∈（e，+∞）時，p′（k）<0.

所以h（x）≥h（1）=e-f（1）.

故x=2為f（x）的極值點，B正確；

若f（1）=e，則h（x）≥0，即f ′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故x=1不是f（x）的極值點，C錯誤；

若f（1）0，即f ′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，D正確.故選ABD

如圖7，取AB中點D，連接CD，由AC=BC，得

所以正確結(jié)論的序號是①②③.

因為S四邊形PACB=2S△PCA，AC⊥AP，

所以S四邊形PACB=AC·AP=2AP.

所以當(dāng)CP為圓心C到直線2x+y-2=0的距離時，即直線CP與直線2x+y-2=0垂直時，AP取得最小值.

所以以CP為直徑的圓的方程為

即直線AB方程為2x+y-1=0.

因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上恰有兩個零點，

即b2+c2-bc=4.

（2）因為b=3c，所以sinB=3sinC.

18．（1）因為a1=1，Sn=an+1-1，

所以S1=a2-1，解得a2=2.

當(dāng)n≥2時，Sn-1=an-1，所以

an=Sn-Sn-1=an+1-an.

19．（1）零假設(shè)：H0：喜歡跳舞與性別無關(guān)聯(lián).

由題意，得

依據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，可推斷H0不成立，即認為喜歡跳舞與性別有關(guān)聯(lián).

所以X的分布列見表3：

所以BC2+PC2=PB2，故BC⊥PC.

故點B到平面PAC的距離為2.

取y1=1，則z1=-1，m=（0，1，-1）.

設(shè)平面BCE的法向量為n=（x2，y2，z2），

取x2=2，則z2=1，n=（2，0，1）.

記二面角A-CE-B的大小為θ，則

21.（1）由題意，雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0，所以點A（1，0）到漸近線的距離為

解得a=b=1.

即C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2=1.

（2）情形1：M，N中沒有一點為（-1，0），且直線MN的斜率存在，如圖9，

化簡，得x2-y2=1.

即點H在定曲線x2-y2=1上.

若MN斜率不存在，則M，N兩點關(guān)于x軸對稱，即x1=x2，y1=-y2，如圖10.

所以（x2-1）（x0-x1）-y1y2=0.

聯(lián)立 x1=x2，y1=-y2，x21-y21=1，（x2-1）（x0-x1）-y1y2=0， 解得 （x0+1）（x1-1）=0.

因為x1≠1，所以x0=-1.

所以H（-1，0）在定曲x2-y2=1線上.

情形2：M，N中有一點即（-1，0），設(shè)H（x0，y0），不妨M（-1，0），設(shè)N（x1，y1），過點N作AM的垂線，則點H在該垂線上，如圖11.

綜上，曲線C的方程為x2-y2=1，點H總在曲線x2-y2=1上.

即4x+π2y-π2-4π=0．

令函數(shù)φ（x）=xcosx-sinx，則φ′（x）=-xsinx<0在（0，π）上恒成立.

則φ（x）在（0，π）上單調(diào)遞減．

故當(dāng)x∈（0，π）時，φ（x）<φ（0）=0.

從而h′（x）<0在（0，π）上恒成立，則h（x）在（0，π）上單調(diào)遞減．

所以存在x∈（x0，π），使得h（x）=0.

又因為h（x）在（0，π）上單調(diào)遞減，所以零點是唯一的，即g（x）在（0，π）上有且僅有一個零點.