肖 丹 丹

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 重慶 401331)

0 引言

設(shè)H是希爾伯特空間,B(H)為H上所有有界線性算子的空間．若算子P滿足條件P=P*=P2,則算子P稱為正交投影．P(H)表示B(H)上所有正交投影的全體,R(P)表示P的值域空間,N(P)表示P的零空間,N(Q)表示Q的零空間,R(Q)表示Q的值域空間．

兩個投影算子理論是算子理論研究中的一個重要課題,其中M(P,Q)是研究P,Q的聯(lián)合譜的最重要的工具之一．M(P,Q)是由Gehér等[1]研究Wigner定理在Grassmann空間上的改進(jìn)時引進(jìn)的,定義為:

目前已經(jīng)有了M(P,Q)的一些相關(guān)研究[2-4]．Gehér等[1]證明了M(P,Q)的一些性質(zhì),并提出了一個問題:若P,Q∈B(H)是正交投影,則是否有

dimR(P)∩N(Q)=dimN(P)∩R(Q)

當(dāng)且僅當(dāng)M(P,Q)非空?Dou等[2]證明了以下內(nèi)容:若P,Q∈P(H),

dimPH∩(I-Q)H=dimQH∩(I-P)H,

則M(P,Q)非空．Gehér等[3]得到R的一些相關(guān)性質(zhì):‖R-P‖≤sinθ,‖R-Q‖≤cosθ．他們利用M(P,Q)構(gòu)造了Mθ(P,Q),Mθ(P,Q)被定義為如下形式:

Mθ(P,Q)={R∈B(H):R2=R*=R,
‖P-R‖≤sinθ,‖Q-R‖≤cosθ}．

當(dāng)R(P)∩N(Q)非空時,

給出了從P到Q的測地線,并討論

dim(PH∩(I-Q)H)=dim(QH∩(I-P)H)

與Mθ(P,Q)非空的關(guān)系．

本文需要的主要工具之一是著名的Halmos兩個投影理論[5]．假設(shè)P,Q∈P(H),則H可以被分解為:H=H1⊕H2⊕H3⊕H4⊕H5⊕H6,則P,Q具有相應(yīng)的矩陣表示:

其中T是H5上的正壓縮算子,T的特征值不含0和1,V是從H6到H5的酉元,I是單位元．且

H1=PH∩(I-Q)H,H2=(I-P)H∩QH,
H3=PH∩QH,H4=(I-P)H∩(I-Q)H．

特別地,兩個投影理論也常作為研究算子的聯(lián)合譜的工具[6]．

本文將從兩個引理出發(fā),證明有關(guān)Mθ(P,Q)的一個定理．

1 Mθ(P,Q)的刻畫

Mθ(P,Q)={R∈B(H):R2=R*=R,

‖P-R‖≤sinθ,‖Q-R‖≤cosθ}．

首先證明以下引理．

引理1若P,Q是B(H)上的投影算子,且

dim(PH∩(I-Q)H)=dim(QH∩(I-P)H)

將H分解為:H=H1⊕H2⊕H3⊕H4,其中

H1=PH∩(I-Q)H,H3=PH?H1,
H2=QH∩(I-P)H,H4=(I-P)H?H2．

根據(jù)這個分解,P,Q可以寫成如下形式:

其中V是H2和H3的酉元,T是B(H2)的正壓縮算子．

注意到在H1⊕H2上,P,Q限制在H1⊕H2的形式為:

因?yàn)?/p>

dim(PH∩(I-Q)H)=dim(QH∩(I-P)H),

所以H1和H4是同構(gòu)的．把H1和H4看作相同的空間,令R1在H1⊕H2上為

又因?yàn)?/p>

‖P1-R1‖2=sin2θ,‖Q1-R1‖2=cos2θ,

所以

‖P1-R1‖=sinθ,‖Q1-R1‖=cosθ．

在H3⊕H4上,因?yàn)閂是酉元,H3和H4是同構(gòu)的．在酉變換的意義下,改寫P,Q限制在H3⊕H4上的形式如下:

令R2在H3⊕H4上為

同理可得,‖P2-R2‖=sinθ．

因?yàn)門是一個正壓縮算子,所以可將T看作σ(T)上的連續(xù)函數(shù),Q2可以看作

t→Q2(t):σ(T)→M2()

的一個連續(xù)映射,其中

R2:σ(T)→M2()

為一個常數(shù)映射,對任意t∈σ(T),

則對任意t∈σ(T)?[0,1],有

故

又因?yàn)?/p>

有

‖Q2(t)-R2(t)‖≤cosθ(t∈σ(T)),

所以‖Q-R‖≤cosθ．

綜上所述,R就是所期望的投影:

下面,將證明另外一方面．

dim(PH∩(I-Q)H)=dim(QH∩(I-P)H)．

x∈K1=PH∩(I-Q)H,y∈K2=PH?K1,

w∈K4=QH∩(I-P)H,

z=K3=(I-P)H?K4．

因?yàn)镽∈Mθ(P,Q),故

‖Rη‖=‖(P-Rη)‖≤sinθ,

(1)

‖(I-R)η‖=‖((I-Q)-(I-R))η‖≤cosθ．

(2)

另一方面,‖Rη‖2+‖(I-R)η‖2=1．由式(1)和式(2)可得,‖Rη‖=sinθ．因此〈Rη,η〉=‖Rη‖2=sin2θ,由于Rη=x+y+z+w,故

w=sin2θη+ξ,

(3)

其中ξ∈QH∩(I-P)H且ξ⊥η．注意到

‖PRη-Rη‖=‖-z-sin2θη-ξ‖=

以及

‖PRη-Rη‖≤‖P-R‖‖Rη‖=sin2θ．

由此可得z=ξ=0,故Rη=x+y+sin2θη．因此‖x+y‖2+sin4θ=‖Rη‖2=sin2θ,且

‖x+y‖=sinθcosθ,

(4)

注意到‖PRη‖≥‖Rη‖-‖Rη-PRη‖≥sinθ-sin2θ．

下面將證明QPRη=0．因?yàn)镽η=x+y+sin2θη,則

R(x+y-cos2θη)=0,

(5)

注意到

‖x+y-cos2θη‖2=‖x+y‖2+cos4θ=cos2θ．

因此‖x+y-cos2θη‖=cosθ．

另一方面,

Q(x+y-cos2θη)=Q(x+y)-cos2θη．

又因?yàn)?/p>

η∈QH,〈Q(x+y),η〉=〈x+y,η〉=0,

故

‖Q(x+y)-cos2θη‖≥cos2θ．

(6)

由式(5)可以得到,

‖Q(x+y)-cos2θη‖=
‖(Q-R)(x+y-cos2θη)‖≤
cosθ‖x+y-cos2θη‖=cos2θ．

(7)

比較式(6)和式(7),有

‖Q(x+y)-cos2θη‖=cos2θ,

因此Q(x+y)=0．則

QPRη=0,PRη∈PH∩(I-Q)H,

而且‖PRη‖≥sinθ-sin2θ．

綜上所述,得到一個從QH∩(I-P)H→PH∩(I-Q)H的有界的線性的雙射η→PRη．同理可以得到反過來的結(jié)論．因此

dim(QH∩(I-P)H)=dim(PH∩(I-Q)H)．

由引理1和引理2,可以得到以下的定理．

dim(QH∩(I-P)H)=dim(PH∩(I-Q)H)．

特別地,若

dim(QH∩(I-P)H)=dim(PH∩(I-Q)H)≠0,

則對任意R∈Mθ(P,Q),‖P-R‖=sinθ且‖Q-R‖=cosθ．