蔡仁燁 李璐 劉佳 吳敏 孔春玉 曾祥坤

基金項目：國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項目（12302081）；中國博士后科學(xué)基金面上資助項目（2023M740743）；廣東技術(shù)師范大學(xué)教學(xué)改革研究項目（JGYB202273）

第一作者簡介：蔡仁燁（1987-），女，博士，講師。研究方向為超彈性材料本構(gòu)建模。

*通信作者：曾祥坤（1984-），男，博士，副教授。研究方向為有限元仿真。

DOI：10.19981/j.CN23-1581/G3.2024.13.005

摘? 要：超彈性材料因其優(yōu)異的力學(xué)性能，在工程科學(xué)、醫(yī)療、人體工程學(xué)和制造等領(lǐng)域具有非常廣泛的應(yīng)用。該文將研究不同受載情況對變形血管力學(xué)性能的影響，預(yù)估動脈損傷的風(fēng)險程度。結(jié)果表明，2階多項式（Polynomial）模型可精確描述血管組織的力學(xué)行為，隨著外載荷的增大，動脈組織發(fā)生的形變和承受的應(yīng)力均顯著增加，動脈損傷的風(fēng)險越大。研究成果為超彈性材料的工程制造、醫(yī)學(xué)輔助治療提供全新思路和方法，具有重要的意義。

關(guān)鍵詞：超彈性；有限元建模；本構(gòu)模型；非線性彈性；力學(xué)性能

中圖分類號：TB115? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2095-2945（2024）13-0018-04

Abstract： Hyperelastic materials are widely used in engineering science， medical treatment， ergonomics， manufacturing and other fields because of their excellent mechanical properties. The influence of different loading conditions on the mechanical properties of deformed blood vessels was studied， and the risk of arterial damage was estimated in this paper. The research results show that the second-order polynomial model can accurately describe the mechanical behavior of vascular tissue. With the increase of external load， the deformation and stress of arterial tissue increase significantly， and the greater the risk of arterial injury. The research results provide new ideas and methods for the engineering manufacture and medically assisted treatment of hyperelastic materials， which is of great significance.

Keywords： hyperelasticity; finite element modeling; constitutive model; nonlinear elasticity; mechanical properties

超彈性材料是一種攻獨立于荷載路徑的非均勻彈性材料，具有不可壓縮或者完全不可壓縮以及非線性大變形的力學(xué)特點，比較常見的有韌帶、肌腱或動脈壁等[1-2]?！吨袊难芙】蹬c疾病報告2019》公布的數(shù)據(jù)顯示，目前，心血管病死亡占城鄉(xiāng)居民總死亡原因的首位。對動脈血管組織力學(xué)發(fā)展進(jìn)行研究有利于加深對各種動脈力學(xué)性質(zhì)及其病變機制的理解。脈管疾病動脈粥樣硬化是危害人民生命健康的主要因素，已有文獻(xiàn)[3]證實動脈組織的機械應(yīng)力和應(yīng)變與動脈粥樣硬化密切相關(guān)。楊帥星[4]考慮了殘余應(yīng)力的影響，研究分析了支架作用下動脈血管壁的應(yīng)力分布特征，為主動脈夾層患者術(shù)后產(chǎn)生支架源性新破口提供預(yù)防與治療的理論依據(jù)。趙路明[5]以動脈血管壁單軸拉伸實驗為基礎(chǔ)，基于智能算法預(yù)測動脈血管壁材料參數(shù)，比較分析了各算法在研究動脈血管壁力學(xué)性能上的優(yōu)缺點。Majid等[6]分析各種年齡層次的人體胸主動脈的力學(xué)特性，為開發(fā)人類衰老和疾病的模型提供信息。

隨著計算機技術(shù)的飛躍式發(fā)展，有限元法已廣泛用于超彈性材料的力學(xué)行為分析。建立這類材料有限元分析模型的難點在于材料本構(gòu)模型的確定，而本構(gòu)模型直接影響有限元分析模型計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。作為典型的超彈性材料動脈血管的本構(gòu)模型可由應(yīng)變能函數(shù)（Strain Energy Function，SEF）-勢能函數(shù)推導(dǎo)出[7]。Weiss等[8]提出完全不可壓縮型生物軟組織應(yīng)變能函數(shù)，用于韌帶有限元模型的構(gòu)建、分析和驗證。文獻(xiàn)[9]采用Fung-type模型對動脈瘤壁組織進(jìn)行建模，并將模型應(yīng)用到ABAQUS的子程序中模擬100 mmHg內(nèi)壓作用下的腦動脈瘤壁應(yīng)力分布。Mooney-Rivlin模型、Fung-type模型、HGO模型、Yeoh模型和Polynomial模型等超彈性材料模型已成功應(yīng)用在商用有限元分析軟件ANSYS和ABAQUS平臺。本文將利用牛動脈的單軸拉伸實驗數(shù)據(jù)，對比不同超彈性材料本構(gòu)模型表征動脈組織力學(xué)行為的能力，確定合適的動脈血管壁本構(gòu)模型，對成年牛動脈血管壁進(jìn)行有限元建模，研究不同外部載荷對牛動脈血管壁的影響。

1? 超彈性材料理論基礎(chǔ)

1.1? 超彈性本構(gòu)模型

近些年來，許多學(xué)者對超彈性材料進(jìn)行了細(xì)致的分析與研究，提出許多不同類型的超彈性應(yīng)變能函數(shù)來描述其力學(xué)響應(yīng)。表1為部分經(jīng)典的超彈性材料本構(gòu)模型包括Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型和Polynomial模型和Neo-Hookean模型。其中Mooney-Rivlin模型根據(jù)階數(shù)的高低，可以分為2參數(shù)、3參數(shù)、5參數(shù)、9參數(shù)4種常見模型。Mooney-Rivlin模型是多項式（Polynomial）模型的特殊形式。當(dāng)N=1時，多項式模型縮減為2參數(shù)Mooney-Rivlin，當(dāng)N=2時，多項式模型縮減為5參數(shù)Mooney-Rivlin。因此，本文主要研究3參數(shù)Mooney-Rivlin模型、Yeoh 模型、2階Polynomial 模型和Neo-Hookean模型。

表1? 超彈性本構(gòu)模型

1.2? 參數(shù)擬合

本文中實驗數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[6]中對牛進(jìn)行的單軸拉伸實驗，對表1中的本構(gòu)模型進(jìn)行了曲線擬合對比，如圖1所示?？梢悦黠@看出，Neo-Hookean模型的曲線擬合效果最差，而2階Polynomial模型的曲線擬合效果最好。

各個本構(gòu)模型的材料參數(shù)見表2，選取殘差Residual作為評價模型擬合效果的指標(biāo)參數(shù)，其定義了因變量真實值與模型擬合值之間的差。殘差值越小，擬合效果就越好。從表2中可以看出2階Polynomial模型的殘差最?。≧esidual=0.005），與圖1中的擬合效果一致，因此，選擇2階Polynomial模型作為后續(xù)仿真工作中牛血管動脈組織的本構(gòu)模型。

圖1? 各本構(gòu)模型擬合效果對比圖

2? 動脈血管壁生物力學(xué)建模

2.1? 仿真模型

動脈血管壁的形態(tài)結(jié)構(gòu)特征比較復(fù)雜，有3層結(jié)構(gòu)，分別是內(nèi)膜、中膜和外膜，為簡化模型，本文將動脈血管壁理想化為圓柱形直筒結(jié)構(gòu)。參考文獻(xiàn)[6]，設(shè)定動脈血管壁的內(nèi)半徑為R=4 mm，血管壁厚度為H=3.06 mm，長度為L=40 mm，對動脈血管壁仿真模型的上表面施加一個固定約束（Fixed Support），為了研究動脈血管在外力作用下的力學(xué)行為與力的大小對其影響，對動脈血管壁的下表面分別施加大小為1、2.5、5 N的拉伸力，其余設(shè)置條件相同，如圖2所示。

圖3為不同拉伸力下動脈血管壁應(yīng)變應(yīng)力分布云圖，從上到下拉伸力依次為1 N（上）、2.5 N（中）、5 N（下），左側(cè)為應(yīng)力分布圖，右側(cè)為應(yīng)變分布圖。從圖3可以看出隨著動脈血管壁上的作用拉伸力越大動脈血管壁會變得更細(xì)、更長。

圖3? 不同拉伸力下血管動脈組織的應(yīng)變與應(yīng)力分布云圖

我們將血管組織發(fā)生的應(yīng)變值與承受的應(yīng)力值抽取出來對比分析，見表3。結(jié)果表明，1 N拉伸力作用下產(chǎn)生的應(yīng)變最大值與應(yīng)變最小值最?。ǚ謩e為0.061和0.018），5 N拉伸力作用下產(chǎn)生的應(yīng)變最大值與應(yīng)變最小值最大（分別為0.218和0.079）。血管在1 N拉伸力作用下產(chǎn)生的應(yīng)力最大值與應(yīng)力最小值最?。ǚ謩e為0.012 MPa和 0.003 MPa），5 N拉伸力作用下產(chǎn)生的應(yīng)力最大值與應(yīng)力最小值最大（分別為0.068 MPa和0.014 MPa），隨著拉伸力的增大，血管動脈組織受到的影響越大，動脈組織的形變急劇增大，增加了血管組織因形變過大發(fā)生損傷的風(fēng)險。從表中可以看出2.5 N相比于1 N拉伸力作用下產(chǎn)生的應(yīng)變最大值增長了115.92%，應(yīng)變最小值增長了147.12%，應(yīng)力最大值增長了166.93%，應(yīng)力最小值增長了150.56%；而5 N相比2.5 N拉伸力作用下產(chǎn)生的應(yīng)變最大值增長了64.35%，應(yīng)變最小值增長了82.21%，應(yīng)力最大值增長了119.87%，應(yīng)力最小值增長了75.55%。結(jié)果表明，當(dāng)動脈血管壁承受小的拉伸力的作用范圍內(nèi)，隨著拉伸力的增大，動脈組織發(fā)生急劇的形變，承受的應(yīng)力快速非線性增長，當(dāng)拉伸力繼續(xù)增大，動脈的應(yīng)變與應(yīng)力的增長速度反而趨于平緩。同時結(jié)合圖3中能夠看出，當(dāng)拉伸力為5 N時，其最大應(yīng)變的區(qū)域發(fā)生了改變，已從力的作用區(qū)域轉(zhuǎn)移到力作用域有一定距離的地方，證明動脈壁組織內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，此時動脈組織更易于發(fā)生損傷。

表3? 不同拉伸力作用下應(yīng)變應(yīng)力數(shù)值及變化率

3? 結(jié)論

本文針對動脈組織血管開展了超彈性本構(gòu)模型適用性研究，證明二階多項式模型可以精確地表征其力學(xué)行為。并在ANSYS軟件中建立動脈組織血管的有限元模型，結(jié)果表明，隨著外部載荷的增大，牛動脈血管壁的結(jié)構(gòu)變化越明顯，其承受的應(yīng)力也越大，外部載荷對牛動脈血管壁的影響也就越大。當(dāng)外部載荷增大到一定程度后，雖然牛動脈血管壁的應(yīng)力應(yīng)變增長率趨于平緩，但是動脈血管的受影響劇烈區(qū)域發(fā)生改變，動脈更容易發(fā)生損傷。

參考文獻(xiàn)：

[1] PENG X Q， GUO G， ZHAO N. An anisotropic hyperelastic constitutive model with shear interaction for cord-rubber composites[J].Composites Science and Technology，2013（78）：69-74.

[2] GOULETTE F， CHEN Z W. Fast computation of soft tissue deformations in real-time simulation with hyper-elastic mass links[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2015（295）：18-38.

[3] RICHARDSON P D. Biomechanics of plaque rupture： progress， problems， and new frontiers[J]. Annals of biomedical engineering， 2002，30（4）：524-536.

[4] 楊帥星.支架作用下主動脈血管壁應(yīng)力分析[D].天津：天津大學(xué)，2020.

[5] 趙路明.基于智能算法動脈血管壁的力學(xué)性能分析與實驗研究[D].天津：河北工業(yè)大學(xué)，2021.

[6] MAJID J， MAHMOUD H. Mechanical and structural changes in human thoracic aortas with age[J]. Acta Biomaterialia，2019，103（2020）：172-188.

[7] DAVIS F M， VITA? R D. A three-dimensional constitutive model for the stress relaxation of articular ligaments[J]. Biomech Model Mechanobiol， 2014（13）：653-663.

[8] WEISS J A， GARDINER J C， ELLIS B J， et al. Three-dimensional finite element modeling of ligaments： technical aspects[J]. Medical engineering & physics， 2005，27（10）：845-861.

[9] MA B， LU J， HARBAUGH R E， et al. Nonlinear anisotropic stress analysis of anatomically realistic cerebral aneurysms. Journal of biomechanical engineering， 2007，129（1）：88-96.