張杰　張晨　徐術(shù)皓　于一真　王新剛

摘 要 燃燒的火焰在一定條件下會(huì)呈現(xiàn)出時(shí)間上的周期振蕩行為，但人們對(duì)其背后的動(dòng)力學(xué)機(jī)制一直不是很清楚。本文首先利用紋影法對(duì)蠟燭的火焰振蕩行為進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)隨著火焰尺寸的增加火焰首先從平穩(wěn)燃燒變?yōu)檎袷幦紵?，之后火焰的振蕩頻率會(huì)逐漸降低。通過(guò)簡(jiǎn)化的燃燒動(dòng)力學(xué)模型，文中進(jìn)一步對(duì)蠟燭火焰的振蕩行為進(jìn)行了數(shù)值和理論分析，發(fā)現(xiàn)火焰的振蕩頻率密切依賴于燃料的供應(yīng)速率和火焰的體積。隨著燃料供應(yīng)速率和火焰體積的增大，火焰首先經(jīng)歷了一次霍普夫分岔進(jìn)而從平穩(wěn)燃燒變?yōu)檎袷幦紵?，之后火焰的振蕩頻率逐漸降低。理論分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)論定性吻合。

關(guān)鍵詞 火焰燃燒;周期振蕩;霍普夫分岔;紋影法

復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)在一定條件下會(huì)自發(fā)的涌現(xiàn)出宏觀上的周期性振蕩行為，典型的例子如大腦神經(jīng)系統(tǒng)中的各類慢波、連續(xù)物理系統(tǒng)中的呼吸子、化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中的動(dòng)態(tài)斑圖、電網(wǎng)系統(tǒng)中的諧波、病毒傳播網(wǎng)絡(luò)中的靶波振蕩等[1-4]。分析復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)中集體振蕩行為的產(chǎn)生機(jī)制和條件長(zhǎng)期以來(lái)一直是非線性動(dòng)力學(xué)和復(fù)雜系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容之一。本文以蠟燭火焰為例，通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察和理論分析，探究火焰從平穩(wěn)燃燒變?yōu)檎袷幦紵臈l件，以及火焰尺寸對(duì)火焰振蕩頻率的影響。蠟燭火焰的燃燒不僅呈現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為，同時(shí)又在工程上有著重要的應(yīng)用。該實(shí)驗(yàn)易于操作，現(xiàn)象豐富，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以被理論模型定性解釋，是學(xué)習(xí)非線性動(dòng)力系統(tǒng)分岔行為的一個(gè)很好的例子[5，6]。

1 背景介紹

火焰燃燒的動(dòng)力學(xué)行為長(zhǎng)期以來(lái)一直受到不同領(lǐng)域研究學(xué)者的關(guān)注，并在實(shí)驗(yàn)和理論兩個(gè)方面開(kāi)展了大量的工作。考慮到實(shí)驗(yàn)的成本和效果，研究中人們經(jīng)常以單束火苗為對(duì)象來(lái)研究火焰的燃燒行為。通過(guò)控制燃料供應(yīng)速率（氧氣與可燃物）、火焰尺寸、重力加速度、環(huán)境壓強(qiáng)等因素，人們對(duì)火焰的燃燒特征進(jìn)行了一系列的研究[7-9]。特別地，人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)火焰的尺寸低于某一臨界閾值時(shí)，火焰通常平穩(wěn)燃燒;然而當(dāng)火焰的尺寸超過(guò)這一閾值時(shí)，火焰開(kāi)始振蕩，其振蕩頻率大致在10Hz左右[10]。上述研究大多基于實(shí)驗(yàn)上的觀測(cè)和對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，缺乏對(duì)火焰振蕩動(dòng)力學(xué)機(jī)制的理解。

理論研究方面，人們根據(jù)燃燒反應(yīng)的流體和熱力學(xué)特征，提出了不同的火焰燃燒模型[9-11]。這些模型雖然能夠定性解釋火焰振蕩的產(chǎn)生機(jī)制，但由于模型中考慮的因素太多，從而使得描述系統(tǒng)演化的動(dòng)力學(xué)方程過(guò)于復(fù)雜而帶來(lái)理論分析上的一系列困難。最近，Gergely 等人比較了熱輻射和熱對(duì)流對(duì)火焰燃燒的影響[7]，發(fā)現(xiàn)相比于熱對(duì)流，熱輻射對(duì)火焰燃燒行為的影響可以忽略。在此基礎(chǔ)上，作者提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的火焰燃燒模型，并在數(shù)值模擬中觀測(cè)到了火焰從平穩(wěn)燃燒到振蕩燃燒的變化。文中雖然觀測(cè)到了火焰燃燒中的分岔現(xiàn)象，但對(duì)于動(dòng)力學(xué)分岔的詳細(xì)特征缺乏進(jìn)一步分析。

本文以蠟燭火焰為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，利用紋影法觀測(cè)火焰的燃燒行為，并通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助軟件定量分析系統(tǒng)的狀態(tài)演化。特別地，通過(guò)將多根蠟燭捆成一束來(lái)調(diào)整火焰的尺寸，我們重點(diǎn)對(duì)火焰燃燒的分岔行為進(jìn)行了分析。實(shí)驗(yàn)中不僅觀測(cè)到了火焰從平穩(wěn)燃燒到振蕩燃燒的分岔行為，同時(shí)還觀測(cè)到火焰的振蕩頻率隨火焰尺寸增大而逐漸減小。利用Gergely等人提出的簡(jiǎn)化火焰燃燒模型，我們對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)隨著蠟燭數(shù)目（火焰尺寸）的增加，系統(tǒng)經(jīng)歷了一次典型的霍普夫（Hopf）分岔。進(jìn)一步，通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值模擬，我們分析了分岔后火焰振蕩頻率隨蠟燭數(shù)目變化的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)火焰的振蕩頻率隨著蠟燭數(shù)目的增加而逐漸降低。理論分析和數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 實(shí)驗(yàn)一：蠟燭火焰的振蕩現(xiàn)象

我們首先調(diào)試實(shí)驗(yàn)器材，產(chǎn)生振蕩火焰，然后利用紋影法觀測(cè)火焰振蕩時(shí)周圍氣流變化情況，從而增加對(duì)蠟燭火焰振蕩行為的定性認(rèn)識(shí)。紋影法的工作原理是利用光在被測(cè)流場(chǎng)中的折射率梯度正比于流場(chǎng)的氣流密度這一機(jī)理，從而將流場(chǎng)中密度梯度的變化利用拋物面鏡的折射轉(zhuǎn)變?yōu)橐曇爸邢鄬?duì)光強(qiáng)的變化，使可壓縮流場(chǎng)中的激波、壓縮波等密度變化劇烈的區(qū)域成為可觀察、可分辨的圖像[12]。

2.1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)是在較為封閉的暗環(huán)境下進(jìn)行的，以降低氣流對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響和更清楚的觀察火焰的振蕩現(xiàn)象。用到的實(shí)驗(yàn)儀器包括：（1）拋物面鏡，如圖1（a）所示。（2）高11.7cm、直徑0.55cm 的家用照明蠟燭，如圖1（b）所示。（3）LED燈泡。（4）蠟燭底座，如圖1（c）所示。（5）照相機(jī)（手機(jī)）和支架。整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置如圖1（d）所示。實(shí)驗(yàn)中，為保證蠟燭火苗時(shí)刻保持在同一高度（便于數(shù)據(jù)采集），每次實(shí)驗(yàn)后對(duì)比較高的蠟燭進(jìn)行裁剪。實(shí)驗(yàn)中將5根蠟燭捆扎成一束（排成一圈，中心對(duì)稱），每根蠟燭均通過(guò)蠟油固定在標(biāo)好位置的底板上。

2.1.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

點(diǎn)燃蠟燭并等待火焰達(dá)到穩(wěn)定的振蕩狀態(tài)后，通過(guò)手機(jī)攝像機(jī)對(duì)紋影儀中觀測(cè)到的現(xiàn)象進(jìn)行記錄。如圖2所示，火焰的一次振蕩近似分為以下四個(gè)過(guò)程：（1）火焰燃燒加熱蠟燭周圍的空氣，產(chǎn)生溫度梯度，使得空氣對(duì)流，進(jìn)而在火焰根部產(chǎn)生了由下向上的渦旋。如圖2（a）的灰色箭頭所示。（2） 隨著火焰不斷燃燒，渦旋開(kāi)始上升，火焰向上拉伸，同時(shí)火焰腰部開(kāi)始收縮變細(xì)，如圖2（b）所示。 （3）火焰繼續(xù)燃燒，渦旋增大并最終將火焰夾斷，上半部分火焰脫離蠟燭，如圖2（c）所示。（4）下半部分火焰繼續(xù)燃燒，火焰高度逐漸變高，恢復(fù)到初始狀態(tài)，如圖2（d）所示。根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)觀察，我們?cè)趫D2（e）中畫出一個(gè)完整振蕩過(guò)程的示意圖。該圖有助于加深對(duì)火焰振蕩行為的認(rèn)識(shí)，為稍后的基于模型的理論和數(shù)值分析提供了物理圖像。

2.2 實(shí)驗(yàn)二：火焰大小對(duì)振蕩頻率的影響

2.2.1 實(shí)驗(yàn)方法

我們通過(guò)改變蠟燭的數(shù)目來(lái)調(diào)整火焰的尺寸，觀察火焰尺寸對(duì)振蕩行為的影響?？紤]到蠟燭束的對(duì)稱性，在研究中分別考慮1根蠟燭、3根蠟燭、4根蠟燭和5根蠟燭四種情況。對(duì)于每一種情況，以60秒為間隔對(duì)火焰進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)。擾動(dòng)的方式是煽動(dòng)火焰周圍的空氣，使得火焰的燃燒明顯偏離之前的狀態(tài)。每次擾動(dòng)后，我們用攝像機(jī)對(duì)火焰的燃燒進(jìn)行拍攝，拍攝的頻率是每秒240幀，拍攝的時(shí)間為60秒。每一種情況下均采集火焰燃燒視頻60次。

接下來(lái)對(duì)采集到的視頻進(jìn)行處理。首先將每一段視頻導(dǎo)入tracker軟件，通過(guò)軟件來(lái)追蹤蠟燭火焰的振蕩。具體方法如下：（1）對(duì)原視頻圖像進(jìn)行灰度處理并消除背景噪聲。（2）以蠟燭的實(shí)際寬度和視頻中的寬度為基準(zhǔn)建立平面直角坐標(biāo)系，確定火焰的中心位置，如圖3（a）所示。（3）利用tracker軟件的自動(dòng)追蹤功能追蹤視頻每一幀中火焰最高點(diǎn)的位置。（4）導(dǎo)出數(shù)據(jù)并利用MATLAB繪制蠟燭火焰最高點(diǎn)位置隨時(shí)間的演化曲線，進(jìn)而統(tǒng)計(jì)火焰的振蕩頻率，如圖3（b）所示。在統(tǒng)計(jì)火焰的振蕩頻率時(shí)，為了排除暫態(tài)帶來(lái)的影響，統(tǒng)計(jì)均從10秒后開(kāi)始。

2.2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)分析四種情況下獲得的所有視頻，我們分別計(jì)算各情況下蠟燭火焰的平均振蕩頻率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)單根蠟燭燃燒時(shí)，火焰無(wú)振蕩;當(dāng)3根、4根和5根蠟燭捆成一束時(shí)，火焰的平均振蕩頻率分別為10.539Hz、9.997Hz、與9.476Hz。此實(shí)驗(yàn)結(jié)果初步顯示了蠟燭火焰尺寸對(duì)火焰的振蕩的如下影響：（1）增大火焰尺寸，火焰會(huì)從平穩(wěn)燃燒變?yōu)檎袷幦紵?（2）繼續(xù)增大火焰尺寸，火焰的振蕩頻率逐漸變低。

結(jié)合實(shí)驗(yàn)一中對(duì)蠟燭振蕩過(guò)程的理解（圖2），火焰尺寸對(duì)振蕩頻率的影響可以定性理解如下。蠟燭的數(shù)目越多，火焰振蕩的氣流渦旋越大。但由于火焰核心的溫度沒(méi)有升高，因而其同周圍空氣的溫差沒(méi)有變化，導(dǎo)致渦旋流動(dòng)的速度沒(méi)有發(fā)生明顯的變化。然而，由于渦旋尺寸的變大，空氣對(duì)流的速度會(huì)變慢，從而導(dǎo)致火焰振蕩頻率的降低。

3 數(shù)值和理論分析

3.1 動(dòng)力學(xué)模型

為了進(jìn)一步分析蠟燭火焰的分岔行為以及火焰振蕩頻率對(duì)火焰尺寸的依賴關(guān)系，接下來(lái)我們采用文獻(xiàn)[7]中的火焰模型，對(duì)蠟燭火焰的燃燒行為進(jìn)行數(shù)值和理論分析。描述火焰燃燒的動(dòng)力學(xué)方程如下

其中，T 表示火焰溫度，n 表示火焰中氧氣的濃度，C'是氣體比熱，a（n0）是火焰體積，ω1 是表征溫度變化快慢的特征時(shí)間，h'是對(duì)流熱流，T0 是外部溫度（室溫），β 是單位體積石蠟燃燒的熱量，a（n0）是燃料供應(yīng)速率，E 是活化能，R 是氣體常數(shù)，ω2 是表征氧氣濃度變化快慢的特征時(shí)間，n0是空氣氧氣濃度。為了便于分析，對(duì)系統(tǒng)中的參數(shù)進(jìn)行變換，引入無(wú)量綱參數(shù)

方程中參數(shù)av 和au 既與火焰的尺寸相關(guān)，也與燃料的供應(yīng)速率相關(guān)。數(shù)值模擬中，我們將其他參數(shù)設(shè)為ε=0.001，c=5.1，τ=1.9，T0=25，γ=2.52×10-3，au =10，并通過(guò)改變av 的值的大小來(lái)觀察火焰行為的變化。定性的分析顯示，隨著蠟燭火焰尺寸的增大，av 的值將會(huì)單調(diào)增加。

3.2 數(shù)值模擬結(jié)果

取av =0.5，圖4（a）中畫出的是變量u（對(duì)應(yīng)于火焰溫度）隨時(shí)間t 演化圖像。圖中顯示在此參數(shù)下火焰平穩(wěn)燃燒，并未產(chǎn)生振蕩。圖4（b）中給出的是av =1.5時(shí)的模擬結(jié)果。該參數(shù)下，火焰呈現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象，振蕩頻率大約為20Hz。繼續(xù)增大參數(shù)至av =3.5，圖4（c）中顯示火焰仍然周期振蕩現(xiàn)象，然而振蕩頻率稍為變慢（大約為18Hz）。上述模擬結(jié)果很好地再現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)中主要的現(xiàn)象，初步驗(yàn)證了理論模型的有效性。

為了系統(tǒng)地研究火焰尺寸對(duì)振蕩頻率的影響，我們將參數(shù)av 從0逐漸增加到4，通過(guò)數(shù)值模擬觀察火焰的振蕩頻率f 的變化。結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看到，當(dāng)參數(shù)av <0.74時(shí)，火焰平穩(wěn)燃燒，此時(shí)無(wú)振蕩現(xiàn)象。該現(xiàn)象同實(shí)驗(yàn)中的單根蠟燭情況下觀測(cè)到的現(xiàn)象相似。當(dāng)av >0.74時(shí)，火焰開(kāi)始振蕩，其頻率大約為f =8.2Hz。之后，隨著av 的增大，火焰的振蕩頻率首先稍微變大（0.741）。圖5中模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果（見(jiàn)表1）定性吻合。

3.3 理論分析

我們最后分析火焰在av =0.74附近的分岔行為。由式（2）可知平穩(wěn)燃燒狀態(tài)需滿足方程

通過(guò)上式得到的平衡態(tài)解為（ u0，v0） ，則該平衡態(tài)的穩(wěn)定性由下面Jacobian矩陣的本征值決定：

如果該矩陣的兩個(gè)本征值其實(shí)部均為負(fù)（小于0），則該平衡態(tài)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)。圖6（a）中畫出的是兩個(gè)共軛本征值的實(shí)部隨參數(shù)av 的變化關(guān)系。圖中可以看到在av =0.74處本征值的實(shí)部從負(fù)變正，意味著火焰的平穩(wěn)燃燒狀態(tài)在此處失穩(wěn)。圖6（b）中給示的是隨著av 的增大兩個(gè)共軛本征值在的復(fù)空間中的變化軌跡。圖中可以看到在av =0.74處兩個(gè)共軛本征值同時(shí)穿過(guò)實(shí)軸。圖6顯示火焰在av =0.74處的分岔行為屬于典型的（亞臨界）霍普夫分岔。

4 結(jié)語(yǔ)

火焰的振蕩燃燒是一個(gè)十分有趣的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，探究其振蕩產(chǎn)生的機(jī)制以及振蕩特征對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的依賴關(guān)系是一個(gè)非常有意思的課題。本文以蠟燭火焰為研究對(duì)象，通過(guò)將多束蠟燭捆綁在一起來(lái)增加火焰的尺寸，從實(shí)驗(yàn)和理論兩個(gè)方面對(duì)火焰的振蕩行為進(jìn)行了分析。研究結(jié)果顯示，隨著火焰尺寸的增加，火焰首先從而從平穩(wěn)燃燒變?yōu)檎袷幦紵箅S著火焰尺寸的增加振蕩的頻率會(huì)逐漸變慢。通過(guò)對(duì)臨界點(diǎn)處系統(tǒng)平衡態(tài)的進(jìn)行穩(wěn)定性分析，我們發(fā)現(xiàn)該處火焰經(jīng)歷了一次典型的霍普夫分岔。后繼工作中我們將嘗試研究多束火焰之間的集體動(dòng)力學(xué)行為，觀察火焰間距、火焰尺寸以及火焰數(shù)目對(duì)火焰同步行為的影響。

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