高歌 董亞瑩

本文研究了一個(gè)含對(duì)流項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散捕食模型正解的存在性，該模型描述了兩物種間的捕食關(guān)系及捕食者選擇在遠(yuǎn)離高密度食餌區(qū)域捕獵的傾向. 基于模型正解的先驗(yàn)估計(jì)，本文利用特征值理論和齊次化理論獲得了模型正解關(guān)于兩物種增長率的不存在性，然后利用分歧理論獲得了模型正解在某些參數(shù)條件下的存在性.

反應(yīng)擴(kuò)散捕食模型; 全局分岔; 先驗(yàn)估計(jì)

O175.26 A 2024.011006

Existence of positive solutions of a reaction-diffusion ?predator model with advection term

GAO Ge， DONG Ya-Ying

（College of Science， Xian Polytechnic University， Xian 710048， China）

In this paper， we focus on the existence of positive solutions of a reaction-diffusion predator model with advection term. This model can be used to describe the relationship between the predator species and the prey species with a tendency that predators choose to hunt away from the high-density area of prey species. Based on a priori estimate for positive solutions， the non-existence of positive solutions with respect to the growth rate of both species is established by using the eigenvalue theory and homogenization theory. Then the existence of positive solutions for different parameter conditions is established by using the bifurcation theory.

Reaction-diffusion-predator model; Global bifurcation; Priori estimate

（2010 MSC 26A33）

1 引 言

對(duì)于經(jīng)典的Lotka-Volterra捕食-食餌模型，Leung ?［1］ 證明：對(duì)任意初值，所有正解隨時(shí)間的推移收斂于一個(gè)常數(shù)穩(wěn)態(tài)解. 這就意味著經(jīng)典的Lotka-Volterra捕食-食餌模型不存在非常數(shù)正解. 另一方面， 很多研究顯示：當(dāng)模型中的反應(yīng)函數(shù)被其它類型的功能反應(yīng)函數(shù)替代時(shí)，模型往往存在非常數(shù)正解. 此類模型包括Holling II型捕食-食餌模型 ?［2］ ， ratio-dependent型捕食-食餌模型 ?［3］ ，等. 那么，一個(gè)有趣的問題是： 什么樣的條件可以保證經(jīng)典的Lotka-Volterra捕食-食餌模型存在非常數(shù)正解？

對(duì)于這個(gè)問題，Tulumello等 ?［4］ 研究了如下的反應(yīng)擴(kuò)散對(duì)流捕食模型：

tu= Γ u（r-γu-v）+

2u， ??tv= Γ v（-1+u）+d ?21

（v

u）+d 2

2v， u（x，0）=u 0（x）， v（x，0）=v 0（x） ???（1）

其中的末知函數(shù) ?u=u（x，t） 和 v=v（x，t） 分別表示食餌和捕食者的種群密度，非負(fù)系數(shù) r≥0 和 γ≥0 分別表示食餌的生長速率和逆承載能力， d 2 是捕食者的隨機(jī)擴(kuò)散系數(shù)，Γ度量了動(dòng)力學(xué)項(xiàng)的相對(duì)強(qiáng)度， d ?21

（v

u） 表示捕食者選擇從高食餌密度區(qū)域向低食餌密度區(qū)域移動(dòng)的傾向. Tulumello等的研究表明：在齊次Neumann邊界條件下，對(duì)流項(xiàng)的存在使得系統(tǒng)存在非常數(shù)正解，從而改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為. 受此啟發(fā)，本文考慮如下的Dirichlet問題：

高 歌， 等： 一個(gè)含對(duì)流項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散捕食模型正解的存在性

u t=d uΔu+u（λ-u-bv）， ?x∈ Ω ，t>0，

v t=

d v

v+β vv

u +v（μ-v+cu），

x∈ Ω ，t>0，

u=v=0， x∈ ?Ω ， t>0，

u（x，0）=u 0（x）≥0， v（x，0）=v 0（x）≥0，

x∈ Ω ????????????（2）

其中Ω是在 R ??n 上具有光滑邊界的有界域，系數(shù) d u，d v，λ，β v，b，c 為正常數(shù)， μ 為任意實(shí)數(shù). 此外，反應(yīng)項(xiàng)中的 λ 和 μ 為食餌和捕食者的增長率， b 和 c 分別為捕食者對(duì)食餌的捕食系數(shù)和轉(zhuǎn)化系數(shù). 在擴(kuò)散項(xiàng)中， d u，d v 分別表示食餌和捕食者的隨機(jī)擴(kuò)散系數(shù)， β v 表示捕食者從高食餌密度區(qū)向低食餌密度區(qū)移動(dòng)的速度. 值得注意的是，這里的齊次 Dirichlet邊界條件 ?［5］ 意味著兩物種的棲息地Ω的外部環(huán)境是致死的，即所有個(gè)體在到達(dá)棲息地邊界時(shí)都將死亡. 本文主要研究問題（2）對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)問題，即下面的橢圓方程：

-d uΔu=u（λ-u-bv）， x∈ Ω ，

-

（d v

v+β vv

u）=v（μ-v+cu）， x∈ Ω ，

u=v=0， x∈ ?Ω ?????????（3）

基于問題（3）正解的先驗(yàn)估計(jì)，本文利用特征值理論和齊次化理論證明問題（3）正解關(guān)于兩物種增長率不存在，然后利用分歧理論證明了問題（3）正解在不同參數(shù)條件下的存在性.

2 預(yù)備知識(shí)

我們將介紹兩個(gè)重要引理. 第一個(gè)引理給出了主特征值 σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;m（x）］ 的一些重要性質(zhì).

引理2.1 ????［6］ ?對(duì)于給定的 p（x）∈C ?1，α （ Ω ?） 和 ?q（x） ?， m（x）∈C α（ Ω ?） ， α∈（0，1） ， ?m（x）>0， ???p（x）≥ p 0>0 ，線性特征值問題

-

（p（x）

φ）+q（x）φ=σm（x）φ， x∈ Ω ，

φ=0， x∈ ?Ω

存在一個(gè)主特征值，記為 σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;m（x）］ ， 滿足

σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;m（x）］=

inf ???ψ∈H 1 0（ Ω ），ψ≠0 ??∫ Ωp（x）|

ψ| 2 d x+∫ Ωq（x）ψ 2 d x ∫ Ωm（x）ψ 2 d x .

進(jìn)一步，我們有

（i） ?σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;m（x）］ 關(guān)于 p（x） 單調(diào)遞增;

（ii） ?σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;m（x）］ 關(guān)于 q（x） 單調(diào)遞增;

（iii） ?σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;m（x）］ 關(guān)于 ?m（x） ?的單調(diào)性取決于 σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;1］ 的符號(hào)：

（iii-a） 當(dāng) σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;1］>0 時(shí)， σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;m（x）］>0 且關(guān)于 m（x） 單調(diào)遞減;

（iii-b） 當(dāng) σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;1］=0 時(shí)， σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;m（x）］=0 ;

（iii-c） 當(dāng) σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;1］>0 時(shí)， ?σ 1［-

（p（x）

）+q（x）;m（x）］<0 且關(guān)于 m（x） 單調(diào)遞增.

第二個(gè)引理提供了一些關(guān)于logistic擴(kuò)散方程的結(jié)果.

引理2.2 ????［6］ ?對(duì)任何給定的 p（x）∈C ?1，α （ Ω ?）， ??b（x）∈C α（ Ω ?） ， α∈（0，1）， ??b（x）≥b 0>0 ， p（x）≥ ??p 0>0 ?，logistic擴(kuò)散方程

-

（p（x）

φ）=（a-b（x）φ）φ， x∈ Ω ，

φ=0， x∈ ?Ω

當(dāng)且僅當(dāng) a>σ 1［-

（p（x）

）;1］ 時(shí)存在唯一正解，記為 θ ?p，a，b ?. 此外，映射 a→θ ?p，a，b ?連續(xù)遞增且滿足

a-σ 1［-

（p（x）

）;1］ ‖b（x）‖ ?C（ Ω ?） ?‖φ a‖ ??C（ Ω ?） ?φ a≤θ ?p，a，b ≤ a b 0 ?，

其中 φ a 是主特征值 σ 1［-

（p（x）

）;1］ 對(duì)應(yīng)的主特征函數(shù).

對(duì)于問題（3），當(dāng) v=0 時(shí) u 滿足

-d uΔu=λu-u 2， x∈ Ω ， u=0， x∈ ?Ω （4）

根據(jù)引理 2.2，當(dāng)且僅當(dāng) λ>d uσ 1［-Δ;1］ 時(shí)問題（4）存在半平凡解 （θ ?d u，λ ，0） . 類似地，當(dāng) u=0 時(shí) v 滿足

-d vΔv=μv-v 2， x∈ Ω ， v=0， x∈ ?Ω （5）

從而當(dāng)且僅當(dāng) μ>d vσ 1［-Δ;1］ 時(shí)問題（5）存在半平凡解 （0，θ ?d v，μ ） .

3 正解的存在性

3.1 先驗(yàn)估計(jì)

命題3.1 ???如果 λ≤d uσ 1［-Δ;1］ ，則（3）式無正解. 如果 λ>d uσ 1［-Δ;1］ ，則（3）式的任一正解 （u， v） 滿足 u≤θ ?d u，λ ≤λ，v≤ e ???β v/d v λ （μ+cλ）.

證明 ?假定 （u， v） 是（3）式的一個(gè)正解. 將（3）式第一個(gè)方程的兩邊同乘 u 并在Ω上積分得

d ?u ∫ Ω

u| 2 d x=∫ Ω（λ-u-bv）u 2 d x<

λ∫ Ωu 2 d x.

由龐加萊不等式可得 ?∫ Ω

u| 2 d x≥σ 1［-Δ;1］∫ Ωu 2 d x， 從而

d uσ 1［-Δ;1］∫ Ωu 2 d x≤d u ∫ Ω

u| 2 d x<

λ∫ Ωu 2 d x.

當(dāng) u>0 時(shí)，我們有 λ>d uσ 1［-Δ;1］ . 故當(dāng) λ≤d uσ 1［-Δ;1］ ?時(shí)（3）式無正解.

假設(shè) x 1∈ Ω ??是 u 一個(gè)最大值點(diǎn)，即 u（x 1）= ?max ???Ω ?u（x） ，則 x 1∈ Ω且

0≤-d uΔu（x 1）=

u（x 1）（λ-u（x 1）-bv（x 1）），

從而有 u（x 1）≤λ-bv（x 1）≤λ . 則對(duì)所有 x∈ Ω 都有 u（x）≤λ . 令 W ?e ??（β v/d v）u v . 則由（3）式第二個(gè)方程知 W 滿足方程

-

（d v e ??-（β v/d v）u

W）= ??e ??-（β v/d v）u W（μ- e ??-（β v/d v）u W+cu）， x∈ Ω ， W=0， x∈ ?Ω ??????????（6）

設(shè) x 2∈ Ω 是 W 的最大值點(diǎn)， W（x 2）= ?max ?Ω ?W（x） ，且 x 2∈ Ω. 則有

W（x 2）=0 和 ΔW（x 2）≤0 . 簡單計(jì)算可得

-

（d v e ??-（β v/d v）u

W）| ??x=x 2 =

β v e ??-（β v/d v）u

u

W| ??x=x 2 -

d v e ??-（β v/d v）u ΔW| ??x=x 2 ≥0.

根據(jù)（6）式可得

W（x 2）≤ e ??（β v/d v）u（x 2） （μ+cu（x 2））≤

（μ+cλ） e ??（β v/d v）λ .

由于在Ω中 v= e ??-（β v/d v）u W≤W， ?命題得證.

命題3.2 ???令 λ>d uσ 1［-Δ;1］ . 假設(shè) （u， v） 是（3）式的任一正解. 則對(duì)任意 p∈（1，∞） ，總存在一個(gè)依賴于問題（3）的參數(shù)的正常數(shù) M ，滿足 ?‖（u，v）‖ ??W ?2，p （ Ω ） ≤M.

證明 ?為簡單起見，我們用 M i 表示依賴于問題（3）的參數(shù)的正常數(shù).由命題3.1，存在正常數(shù) M 1 使得 ?‖ 1 d u ?λu-u 2-bv ‖ ??L p（ Ω ） ≤M 1 .根據(jù)橢圓方程的 L p -估計(jì) ?［7］ ，對(duì)所有 p>1，‖u‖ ?W ?2，p （ Ω） 有界，也就是說，存在一個(gè)正常數(shù) M 2 使得 ‖u‖ ?W ?2，p （ Ω ） ≤M 2 .因此， Sobolev嵌入定理確保存在一個(gè)正常數(shù) M 3 使得 ‖u‖ ?C 1（ Ω ?） ≤M 3 .

類似地，由橢圓方程的正則性理論 ?［7］ ，存在一個(gè)正常數(shù) M 4 ，使得 ??‖ e ??（β v/d v）u v‖ ??C 1（ Ω ?） =‖W‖ ?C 1（ Ω ?） ≤M 4.

因此，

v=

（ e ??-（βv/d v）u W）=

e ??-（β v/d v）u

W-（β v/d v）W e ??-（β v/d v）u

u.

由三角不等式可得

v ≤ ?e ??-（β v/d v）u

W +

β v/d v W e ??-（β v/d v）u

u ≤

W + ?β v/d v W

u ，

從而存在一個(gè)正常數(shù) M 5 ，使得 |

v|≤M 5 . 結(jié)合命題3.1，存在正常數(shù) M 6 ，使得 ‖v‖ ?C 1（ Ω ?） ≤M 6 . 注意到問題（3）的第二個(gè)方程可改寫為

-Δv= 1 d v （β vvΔu+β v

v

u+μv-v 2+cuv），

x∈ Ω ，

v=0， x∈ ?Ω，

且 ‖u‖ ?C 1（ Ω ?） ≤M 3 ， ‖v‖ ?C 1（ Ω ?） ≤M 6 ，故存在一個(gè)正常數(shù) M 7 ，使得

‖ 1 d v （β vvΔu+β v

v

u+

μv-v 2+cuv）‖ ?L p（ Ω ） ≤M 7.

因此，根據(jù)橢圓方程的 L p -估計(jì)可知，對(duì)所有的 p>1 ， ‖v‖ ?W ?2，p （ Ω） 有界. 命題得證.

3.2 正解的不存在性

根據(jù)命題3.1， 當(dāng) λ≤d uσ 1［-Δ;1］ 時(shí)，問題（3）沒有正解.下面的命題表明，當(dāng) λ>d uσ 1［-Δ;1］ 時(shí)，如果 μ 太小則問題（3）也沒有正解.

命題3.3 ???令 λ>d uσ 1［-Δ;1］ . 則存在一個(gè)常數(shù) M - =M - ?d v，β v，λ，c ?， 使得當(dāng) μ≤M - ?時(shí)問題（3）沒有正解.

證明 ?反設(shè) （u， v） 是（3）式的正解. 從（6）式可知 W 滿足

-

d v e ??-（β v/d v）u

W + v-cu ?e ??-（β v/d v）u W=

μ e ??-（β v/d v）u W， x∈ Ω ， W=0， x∈ ?Ω， ??其中 W= e ??（β v/d v）u v . 因?yàn)?（u， v） 是問題（3）的正解，所以在Ω中有 W>0 . 由Krein-Rutman定理可得

μ=σ 1［-

（d v e ??-（β v/d v）u

）+（v-cu） e ??-（β v/d v）u ;

e ??-（β v/d v）u ］.

由引理2.1及命題3.1，我們有

μ>σ 1［-d v e ??-（β v/d v）λ Δ-cλ; e ??-（β v/d v）u ］.

此外，由引理2.1， σ 1［-d v e ??-（β v/d v）λ Δ-cλ; e ??-（β v/d v）u ］ 關(guān)于e ??-（β v/d v）u ?的單調(diào)性由 σ 1［-d v e ??-（β v/d v）λ Δ-cλ;1］ 決定. 則以下結(jié)論成立：

（a） 當(dāng) σ 1 -d v e ??-（β v/d v）λ Δ-cλ;1 >0 時(shí)， μ> ??σ 1 -d v e ??-（β v/d v）λ Δ-cλ;1 ?；

（b） 當(dāng) σ 1 -d v e ??-（β v/d v）λ Δ-cλ;1 =0 時(shí)， μ>0 ；

（c） 當(dāng) σ 1 -d v e ??-（β v/d v）λ Δ-cλ;1 <0 時(shí)， μ>σ 1 -d v e ??-（β v/d v）λ Δ-cλ; e ??-（β v/d v）λ ??.

因此，存在一個(gè)常數(shù) M - =M - ?d v，β v，λ，c ?使得當(dāng)問題（3）有一個(gè)正解 （u， v） 時(shí)有 μ>M - ?，從而當(dāng) μ≤M - ?時(shí)問題（3）沒有正解.證畢.

當(dāng) λ>d uσ 1［-Δ;1］ 時(shí)，下面的命題表明，如果 μ 太大問題（3）沒有正解.

命題3.4 ???如果 λ>d uσ 1［-Δ;1］ ，則存在正常數(shù) M - =M - ?d u，d v，β v，λ，c，b ?，使得當(dāng) μ≥M - ?時(shí)問題（3）無正解.

證明 ?假設(shè)結(jié)論不成立. 則對(duì)任意大的 μ>0 ，問題（3）至少存在一個(gè)正解 （u， v） . 根據(jù)命題3.1，我們有 1≤ e ??（β v/d v）u ≤ e ??（β v/d v）λ ?. 結(jié)合（6）式，我們有

-

d v e ??-（β v/d v）u

W ≥μ e ??-（β v/d v）λ W-W 2 .

考慮問題

- e ??（β v/d v）λ

d v e ??-（β v/d v）u

φ = μ- e ??（β v/d v）λ φ φ，

x∈ Ω ， φ=0， x∈ ?Ω ????????????（7）

由引理2.2 可知，當(dāng)

μ>σ 1［-

（d v e ??（β v/d v）λ e ?-（β v/d v）u

）;1］ ?時(shí)，問題（7）有唯一正解，記為 θ *. ?由引理2.2有

μ-σ 1 -

d v e ??（β v/d v）λ ?e ??-（β v/d v）u

;1 ??e ??（β v/d v）λ ?‖φ μ‖ ??C（ Ω ?） ?φ μ≤θ *.

其中 φ μ 是 σ 1［-

（d v e ??（β v/d v）λ ?e ??-（β v/d v）u

）;1］ 的特征函數(shù)， 且 ?‖φ μ‖ ??L 2（ Ω） =1. 因?yàn)?u 依賴于 μ ，所以 φ μ 也依賴于 μ . 根據(jù)文獻(xiàn)［6］中的引理2.3，我們有 ?μ-σ 1［-

d v e ??（β v/d v）λ e ?-（β v/d v）u

;1］ ?e ??（β v/d v）λ ?‖φ μ‖ ??C（ Ω ?） ?φ μ ?是問題（7）的一個(gè)下解. 注意到 W 是（7）式的一個(gè)上解，則由上下解方法可知問題（7）的唯一正解滿足

μ-σ 1 -

d v e ??（β v/d v）λ ?e ??-（β v/d v）u

;1 ??e ??（β v/d v）λ ?‖φ μ‖ ??C（ Ω ?） ?φ μ≤

θ *≤W.

此外，由引理2.1和命題3.1可得

σ 1 -

d v e ??（β v/d v）λ ?e ??-（β v/d v）u

;1 ≤

σ 1 -

d v e ??（β v/d v）λ

;1 =d v e ??（β v/d v）λ σ 1［-Δ;1］.

進(jìn)一步可得

μ-d v e ??（β v/d v）λ σ 1［-Δ;1］ ?e ??（β v/d v）λ ?‖φ μ‖ ??C（ Ω ?） ?φ μ≤θ *≤W.

上式兩邊同除以e ??（β v/d v）λ ?有

μ-d v e ??（β v/d v）λ σ 1［-Δ;1］ ?e ??2（β v/d v）λ ?‖φ μ‖ ??C（ Ω ?） ?φ μ≤

θ * ?e ??（β v/d v）λ ?≤ W ?e ??（β v/d v）λ ?≤v.

為書寫方便，記 s（λ） d v e ??（β v/d v）λ σ 1［-Δ;1］ ， τ（μ） ?μ-s（λ） ?e ??2（β v/d v）λ ?‖φ μ‖ ??C（ Ω ?） ??. 則 τ（μ）φ μ≤W≤v . 根據(jù)文獻(xiàn)［8］中的定理4.1， ?‖φ μ‖ ??C（ Ω ?） ?關(guān)于 μ 一致有界，即存在不 依賴于 μ 的一個(gè)正常數(shù) M 使得 ?‖φ μ‖ ??C（ Ω ?） ≤ ??M . 從而當(dāng) μ→∞ 時(shí)有 τ（μ）≥ μ-s（λ） ?e ??2（β v/d v）λ M →∞ . 由問題（3）中的第一個(gè)方程及引理2.1可得

λ=σ 1 -d uΔ+u+bv;1 >

σ 1 -d uΔ+bτ（μ）φ μ;1 ?g（μ） ?（8）

對(duì)于任意給定的 λ>d uσ 1［-Δ;1］ ，下面我們將證明

lim ???μ→∞ ?g（μ）=+∞ ?（9）

如果此結(jié)論成立，則（8）式與（9）式矛盾.

為證明（9）式，我們采用反證法. 根據(jù)主特征值的變分結(jié)構(gòu)， 我們有

g（μ）= ?inf ???ψ∈H 1 0（ Ω ），ψ≠0 ??d ?u ∫ Ω

ψ| 2 d x+bt（μ）φ μ∫ ?Ω ψ 2 d x ∫ Ωψ 2 d x ??（10）

假設(shè) g（μ） 有界. 由引理2.1 可知，存在一個(gè)序列 ψ μ∈H 1 0（ Ω ） ， ?‖ψ 0‖ ??L 2（ Ω ） =1 使得（10）式的下確界達(dá)到，則

∫ Ω

ψ μ ??2 d x+bτ（μ）∫ Ωφ μψ 2 μ d x=g（μ） ?（11）

由于 g（μ） 有界，從（10）式可以得 ψ μ 在 H 1 0（ Ω）上有界. ?因此，存在某個(gè)非負(fù)函數(shù) ψ 0≥0 且 ?‖ψ 0‖ ??L 2（ Ω ） = ??1 ，使得 當(dāng)μ→∞ 時(shí)， ψ μ→ψ 0在H 1 0（ Ω）空間弱收斂， ψ μ→ψ 0在L 2（ Ω）空間強(qiáng)收斂. 對(duì)于 φ μ ，根據(jù)主特征值的單調(diào)性和 1≤ e ??（β v/d v）u ≤ e ??（β v/d v）λ ?可得

d vσ 1［-Δ;1］≤

σ 1 -

d v e ??（β v/d v）λ ?e ??-（β v/d v）u

;1 ≤

σ 1 -

d v e ??（β v/d v）λ

;1 ?.

因此，當(dāng) μ→∞ 時(shí) ?σ 1［-

d v e ??（β v/d v）λ ?e ??-（β v/d v）u

;1］→ ??σ 0 . 注意到 φ μ 滿足

-

d v e ??（β v/d v）λ ?e ??-（β v/d v）u

φ μ =

σ 1 -

d v e ??（β v/d v）λ ?e ??-（β v/d v）u

;1 φ μ ?（12）

上式兩邊同乘 φ μ 積分可得

d ?v∫ Ω

φ ?μ ??2 d x≤

∫ Ωd ?v e ???（β ?v/d ?v）λ ?e ???-（β ?v/d ?v）u

φ ?μ ??2 d x=

σ 1 -

d ?v e ???（β ?v/d ?v）λ ?e ???-（β ?v/d ?v）u

;1 ∫ Ωφ ?2 μ d x≤

σ 1 -

d ?v e ???（β ?v/d ?v）λ

;1 .

由此可知 φ μ 在 H 1 0（ Ω）上有界.因此，存在某個(gè)非負(fù)函數(shù) φ 0≥0 且 ?‖ψ 0‖ ??L 2（ Ω） =1，使得當(dāng) μ→∞ 時(shí) ?φ μ→φ 0 在H 1 0（ Ω）空間弱收斂， φ μ→φ 0在L 2（ Ω）空間強(qiáng)收斂. 由橢圓方程的齊次化原理 ?［9］ 知，存在一個(gè)對(duì)稱矩陣 A∈ ?L ∞（ Ω ） ???n×n ?使得 -

A

φ 0 =σ 0φ 0 . 因 σ 0φ 0≥0 ，由強(qiáng)極大值原理可得 φ 0>0 . 進(jìn)而從（10）式中可得 ??lim ?sup ???μ→∞ ?∫ Ωφ ?μψ ?2 μ=0 . 然而，我們又有 ??lim ?sup ???μ→∞ ?∫ Ωφ ?μψ 2 ?μ=∫ Ωφ 0ψ 2 0>0 . 矛盾. 證畢.

3.3 正解的存在性

現(xiàn)在我們利用分岔理論來建立問題（3）正解的存在性. 對(duì)任何 μ∈ ?R ，問題（3）存在平凡解分支 Γ ?0 ?{（μ，0，0）：μ∈ ?R }. 當(dāng) μ 增加到 d vσ 1［-Δ;1］ 時(shí)，問題（3）存在一個(gè)半平凡解分支

Γ ?v ??μ，0，θ ?d v，μ ?：μ>d vσ 1［-Δ;1］ ?.

由命題3.1，當(dāng) λ≤d uσ 1［-Δ;1］ 時(shí)問題（3）沒有正解，從而問題（3）的所有非負(fù)解均落在Γ 0或Γ ?v 上.

假設(shè) λ>d uσ 1［-Δ;1］ . 此時(shí)問題（3）有一個(gè)半平凡解分支Γ ?u ??μ，θ ?d u，λ ，0 ：μ∈ ?R ?. 定義算子 L：R×W ?2，p ?0（ Ω ）×W ?2，p ?0（ Ω ）→L p（ Ω ）×L p（ Ω）：

L（μ，u，v）=

-d uΔu-λu+u 2+buv -

d v

v+β vv

v -μv+v 2-cuv ?.

顯然，當(dāng)且僅當(dāng) L（μ，u，v）=0 時(shí) （u，v）∈W ?2，p ?0（ Ω ）× ??W ?2，p ?0（ Ω）是問題（3）的非負(fù)解. 簡單計(jì)算可得

L ?（u，v） ?μ，θ ?d u，λ ，0 = ?-d uΔ-λ+2θ ?d u，λ ?bθ ?d u，λ

0 -

d v

+β v

θ ?d u，λ ?-μ-cθ ?d u，λ ???.

令 L ?（u，v） ?μ，θ ?d u，λ ，0 （φ，ψ）=0 . 我們有

-d uΔφ+ 2θ ?d u，λ -λ φ=-bθ ?d u，λ ψ， x∈ Ω ， -

d v

ψ+β v

θ ?d u，λ ψ -cθ ?d u，λ ψ=μψ，

x∈ Ω ， φ=ψ=0， x∈ ?Ω .

令Ψ =ψ e ??（β v/d v）θ ?d u，λ ??. 以上問題可以重新寫為

-d uΔφ+ 2θ ?d u，λ -λ φ=

-bθ ?d u，λ e ?-（β v/d v）θ ?d u，λ ??Ψ ， x∈ Ω ， -

d v e ??-（β v/d v）θ ?d u，λ

Ψ ?-cθ ?d u，λ ?e ??-（β v/d v）θ ?d u，λ

Ψ =μ e ??-（β v/d v）θ ?d u，λ ??Ψ ， x∈ Ω ， φ= Ψ =0， x∈ ?Ω ??????????（13）

注意到 σ 1 -d uΔ+θ ?d u，λ -λ;1 ?=0，由引理2.1 可得 σ 1 -d uΔ+2θ ?d u，λ -λ;1 >σ 1［-d uΔ+θ ?d u，λ -λ;1］ =0 . 這保證了算子 -d uΔ+2θ ?d u，λ -λ：W ?2，p ?0（ Ω ）→ ??W ?2，p ?0（ Ω）是可逆的. 若問題（13）第二個(gè)方程有解，則問題（13）可解. 為了得到正解，分岔應(yīng)在主特征值處，以保證特征函數(shù)為正. 由Krein-Rutman 定理，當(dāng)且僅當(dāng)

μ=μ λ σ 1［-

d v e ??-（β v/d v）θ ?d ?u，λ

-

cθ ?d ?u，λ ??e ??-（β v/d v）θ ?d ?u，λ ??; e ??-（β v/d v）θ ?d ?u，λ ??］

時(shí)，問題（13）的第二個(gè)方程有正解. 令Ψ ??μ λ ?為 μ λ 對(duì)應(yīng)的正的特征函數(shù). 我們有

ker ?L ?（u，v） ?μ λ，θ ?d u，λ ，0 ?= span 〈 φ ?μ λ ，ψ ?μ λ ?〉 ，

其中

Ψ ??μ λ ??=e ???-（β v/d v）θ ?d ?u，λ ???Ψ ??μ λ ， φ ?μ λ ?= - ?-d uΔ+2θ ?d ?u，λ ?-λ ???-1

bθ ?d ?u，λ ??e ??-（β v/d v）θ ?d ?u，λ ???Ψ ??μ λ ?.

這意味著ker ?L ?（u，v） ?μ λ，θ ?d u，λ ，0 ??是一維的.

下面我們證明

codimRange ［L ?（u，v） ?μ λ，θ ?d u，λ ，0 ］=1 .

設(shè) （h，k）∈ Range ［L ?（u，v） ?μ λ，θ ?d u，λ ，0 ］ . 則存在 （φ，ψ）∈W ?2，p ?0（ Ω ）×W ?2，p ?0（ Ω）使得

-d uΔφ+ 2θ ?d u，λ -λ φ+bθ ?d u，λ ψ=h， x∈ Ω ， -

d v

ψ+β v

θ ?d u，λ ψ - μ λ+cθ ?d u，λ ?ψ=k，

x∈ Ω ， φ=ψ=0， x∈ ?Ω .

令Ψ =ψ e ??（β v/d v）θ ?d u，λ ??. 則Ψ滿足

-

d v e ??-（β v/d v）θ ?d ?u，λ

Ψ ?- cθ ?d ?u，λ ?+μ λ ???e ??-（β v/d v）θ ?d ?u，λ ???Ψ =k， ?x∈ Ω，

Ψ =0， x∈ ?Ω ?（14）

因?yàn)樗阕?-

d v e ??-（β v/d v）θ ?d u，λ

-（cθ ?d ?u，λ ?+μ λ） e ??-（β v/d v）θ ?d u，λ ?：W ?2，p ?0（ Ω ）→W ?2，p ?0（ Ω）是自伴隨的，根據(jù)Fredholm 二擇一定理，當(dāng)且僅當(dāng) ∫ Ωk Ψ ???μ ?λ ?d x=0 時(shí)問題（14）式有一個(gè)非零解Ψ. 再根據(jù)算子 -d uΔ+2θ ?d u，λ -λ：W ?2，p ?0（ Ω ）→W ?2，p ?0（ Ω ） 的可逆性有

φ= ?-d uΔ+2θ ?d u，λ -λ ???-1

h-bθ ?d u，λ ?e ??-（β v/d v））θ ?d u，λ ??Ψ ??，

從而

Range ［L ?（u，v） （μ λ，θ ?d u，λ ，0）］= { span 〈（0， Ψ ??μ λ ）〉} ?⊥ .

因此，codimRange ［L ?（u，v） （μ λ，θ ?d u，λ ，0）］=1.

接下來我們證明

L ??（u，v） ?μ ?μ λ，θ ?d u，λ ，0 ??φ ?μ λ ?ψ ?μ λ

Range ?L ?（u，v） ?μ λ，θ ?d u，λ ，0 ???（15）

簡單計(jì)算可得

L ??（u，v） ?μ ?μ λ，θ ?d u，λ ，0 ??φ ?μ λ ?ψ ?μ λ ??=

0 0 0 -1 ???φ ?μ λ ?ψ ?μ λ ???= ??0 -ψ ?μ λ ???.

若（15）式不成立，則存在 （φ，ψ）∈W ?2，p ?0（ Ω ）× W ?2，p ?0（ Ω ） ?使得

-d uΔφ+ 2θ ?d u，λ -λ φ+bθ ?d u，λ ψ=0， x∈ Ω ， -

d v

ψ+β v

θ ?d u，λ ψ - μ λ+cθ ?d u，λ ?ψ=

-ψ ?μ λ ， x∈ Ω ， φ=ψ=0， x∈ ?Ω.

若這個(gè)系統(tǒng)存在解 （φ，ψ） ，則根據(jù)Fredholm 二擇一定理可知 ∫ Ωψ ??μ ?λ ?Ψ ??μ λ ?d x=∫ Ω e ???-（β ?v/d ?v）θ ??d ?u，λ ??Ψ ??2 ?μ ?λ ?d x=0. 這與Ψ ??μ λ >0 矛盾. 結(jié)論成立.

根據(jù)Crandall 和Rabinowitz 的局部分歧定理 ?［10］ ，總結(jié)上述分析后我們得到如下結(jié)果：

定理3.5 ???對(duì)于給定的 λ>d uσ 1［-Δ;1］ ，當(dāng)且僅當(dāng) μ=μ λ 時(shí)問題（3）的正解會(huì)從半平凡解分支Γ ?u= （μ，θ ?d u，λ ，0）：λ∈ ?R ?中分岔產(chǎn)生. 這就是說，在 R ?×W ?2，p ?0（ Ω ）×W ?2，p ?0（ Ω）空間中存在一個(gè) （μ，u，v）= μ λ，θ ?d u，λ ，0 ??的鄰域 N 1 ，使得 L ?-1 （0）∩N 1 由Γ ?u∩N 1 和如下局部曲線的并集組成：

（μ（s），u（s），v（s））=（μ λ+μ λ（s），θ ?d u，λ +

s（φ ?μ λ +φ（s）），s（ψ ?μ λ +ψ（s））） ，

其中 s∈（-δ，δ），δ>0 ， ?μ λ（s），φ（s），ψ（s） ∈ ?R ?×W ?2，p ?0（ Ω ）×W ?2，p ?0（ Ω ） 連續(xù)可微，并且滿足 ?μ λ（0），φ（0），ψ（0） =（0，0，0） . 因此 L ?-1 （0）∩N 1 中所包含的正解可以表示為

S 1 {（μ λ+μ λ（s），θ ?d u，λ +s（φ ?μ λ +φ（s）），

s（ψ ?μ λ +ψ（s）））：s∈（0，δ）} .

接下來，我們進(jìn)一步研究分岔曲線 S 1 在 （μ *，u，v） 平面上的全局結(jié)構(gòu). 為此我們介紹如下的命題：

命題3.6 ???令 λ μ σ 1 -d uΔ+cθ ?d v，μ ;1 ?. 則 λ μ 關(guān)于 μ 連續(xù)遞增，且滿足 ??lim ???μ→d vσ 1［-Δ;1］ ?λ μ=d uσ 1［-Δ;1］ 和 ??lim ???μ→∞ ?λ μ=∞ .

證明 ?注意到當(dāng)且僅當(dāng) μ>d vσ 1［-Δ;1］ 時(shí)問題（3）存在正解 θ ?d v，μ ?，又由引理2.1知主特征值關(guān)于勢函數(shù) q x ?單調(diào)遞增，因而對(duì)任意 μ∈ d vσ 1［-Δ;1］，∞ ?有 d uσ 1［-Δ;1］≤λ μ≤∞ . 因 θ ?d v，μ ?關(guān)于 μ 是連續(xù)的增函數(shù)，則引理2.1保證了 λ μ 關(guān)于 μ 也是連續(xù)的增函數(shù). 根據(jù)文獻(xiàn)［11］中的命題1.2可知 ??lim ???μ→d vσ 1［-Δ;1］ ?θ ?d v，μ =0 在 ?Ω ?上一致成立且 ??lim ???μ→∞ ?d vσ 1［-Δ;1］=∞ . 進(jìn)一步，根據(jù)文獻(xiàn)［11］中的命題1.1可 得 ??lim ???μ→d vσ 1［-Δ;1］ ?λ μ=d uσ 1［-Δ;1］ 且 ??lim ???μ→∞ ?λ μ= ??∞ . 證畢.

定理3.7 ???假定 λ>d uσ 1［-Δ;1］ . 則局部曲線 S 1 可被延伸成一個(gè)有界全局連續(xù)統(tǒng)，它會(huì)和另一個(gè)半平凡解分支Γ ?v {（μ，0，θ ?d v，μ ）：μ>d vσ 1［-Δ;1］} 在 ?μ *，0，θ ?d v，μ * ??處相交，其中 μ * 由 λ=λ ?μ * ?唯一確定.

證明 ?記 P 為 C 1 0（ Ω ?） 上的正錐，且正錐 P 的內(nèi)部用int （P） 表示，它是非空的. 根據(jù)文獻(xiàn)［12］中的定理1.2，存在一個(gè)連續(xù)統(tǒng) C? R ?× int （P）× ?int （P） ?，使得 S 1C ，且連續(xù)統(tǒng) C 滿足以下結(jié)論中的一條：

（a） ?C 在R ×C 1 0（ Ω ?）×C 1 0（ Ω ?） 上是無界的;

（b） ??μ *，0，θ ?d v，μ * ?∈C - ?，其中 μ * 由 λ= ??σ 1 -d uΔ+cθ ?d v，μ * ;1 ??確定;

（c） 問題（3）存在另一個(gè)正解，記為 φ ?d u，λ ?且 φ ?d u，λ ≠θ ?d u，λ ?，使得

（σ 1［-

d v e ??-（β v/d v）φ ?d u，λ

- ??cφ ?d u，λ ?e ??-（β v/d v）φ ?d u，λ ?; e ??-（β v/d v）θ ?d u，λ ?］，φ ?d u，λ ，0）∈C - ?；

（d） ?λ=d uσ 1［-Δ;1］ 且 （d uσ 1［-Δ;1］，0， ??0）∈ C - ?.

下面我們證明（a）（c）和（d）均不會(huì)發(fā)生.

因?yàn)?λ>d uσ 1［-Δ;1］ ，所以（d）顯然不會(huì)發(fā)生. 根據(jù)引理2.2，當(dāng) λ>d uσ 1［-Δ;1］ 時(shí)，問題（4）有唯一正解，這意味著（c）不會(huì)發(fā)生. 由命題3.3和3.4可知，當(dāng) μ 太大或太小時(shí)，問題（3）無正解. 進(jìn)一步，根據(jù)命題3.2，若 μ 是有界的則問題（3）的所有正解均在 W ?2，p （ Ω ）×W ?2，p （ Ω ） 上有界. 根據(jù)Sobolev 緊嵌入定理，問題（3）的任意正解均在 ?C 1 0（ Ω ?） ×C 1 0（ Ω ?） 上有界. 因而（a）也不能成立.

綜上，問題（3）正解的連續(xù)統(tǒng) C 必須滿足（b），即 ?μ *，0，θ ?d v，μ * ?∈C - ?. 進(jìn)一步，命題3.6保證了對(duì)任給的 λ>d uσ 1［-Δ;1］ ， μ * 是被唯一確定的. 定理得證.

4 結(jié) 論

本文主要關(guān)注一個(gè)含對(duì)流項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散捕食模型正解的存在性.此類模型不僅描述了兩物種間的捕食關(guān)系，也描述了捕食者遠(yuǎn)離高密度食餌區(qū)域的傾向. 基于模型正解的先驗(yàn)估計(jì)，本文利用特征值理論和齊次化理論建立了正解關(guān)于兩物種增長率的不存在性結(jié)果，即當(dāng)捕食者的生長速率太低或太高時(shí)兩物種都無法共存. 然后，本文在不同的參數(shù)條件下利用分歧理論建立了正解的存在性，即當(dāng)捕食者的生長速率適中時(shí)，兩物種可以共存. 這些結(jié)果加深了我們對(duì)復(fù)雜捕食模型動(dòng)力學(xué)行為的理解.

同時(shí)，也有一些值得進(jìn)一步研究的問題，如：正解的共存區(qū)域如何精確依賴于對(duì)流系數(shù)，模型正解的在什么條件下具有唯一性，系統(tǒng)是否具有多解性，正解的穩(wěn)定性如何判定，等等.

參考文獻(xiàn)：

［1］ ??Leung ?A. Limiting behavior for a prey-predator model with diffusion and crowding effects ［J］. J Math Biol， ?1978， 6： 87.

［2］ ?Yi ?F，Wei J， Shi J. Bifurcation and spatiotemporal patterns in a homogeneous diffusive predator-prey system ［J］. J Diff Equat， 2009， 246： 1944.

［3］ ?Pang Y H， Wang M. Qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system with diffusion ［J］. Proc Roy Soc Edinburgh Sect A Math， 2003， 133： 919.

［4］ ?Tulumello E， Lombardo M， Sammartino M. Cross-diffusion driven instability in a predator-prey system with cross-diffusion ［J］. Acta Appl Math， 2014， 132： 621.

［5］ ?Zhang Y L. Existence of positive solutions for a calss of second-order difference equation Dirichlet boundary problems with sign-changing weight function ［J］.J Sichuan Univ（Nat Sci Ed）， 2020， 57： 455.［張亞莉. 一類帶有變號(hào)權(quán)函數(shù)的二階差分方程 Dirichlet 邊值問題正解的存在性［J］. 四川大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2020， 57： 455.］

［6］ ?Cintra W， Morales-Rodrigo C， Suarez A. Coexistence states in a cross-diffusion system of a predator-prey model with predator satiation term ［J］. Math Mod Meth Appl S， 2018， 28： 2131.

［7］ ?Gilbarg D， Trudinger N S. Elliptic partial differential equations of second order ［M］. Berlin： Springer-Verlag， 1983.

［8］ ?Stampacchia G. Le problème de Dirichlet pour les équations elliptiques du second ordre àcoefficients discontinus ［J］. Ann I Fourier， 1965， 15： 189.

［9］ ?Kesavan ?S. Homogenization of elliptic eigenvalue problems ［J］. Appl Math Opt， 1979， 5： 153.

［10］ ?Crandall M G， Rabinowitz P H. Bifurcation from simple eigenvalues ［J］. J Funct Anal， 1970， 8： 321.

［11］ Yamada ?Y. Positive solutions for Lotka-Volterra systems with cross-diffusion ［C］// Chipot M. Handbook of differential equations： stationary partial differential equations. Amsterdam： Elsevier， ??2008.

［12］ Cintra W， Morales-Rodrigo C， Suarez A. Unilateral global bifurcation for a class of quasilinear elliptic systems and applications ［J］. J Diff Equat， 2019， 267： 619.

收稿日期： ?2023-02-16

基金項(xiàng)目： ?國家自然科學(xué)基金（11801431）; 陜西省高?？茀f(xié)青年人才托舉計(jì)劃（20190509）; 陜西省自然科學(xué)基金（2023-JC-YB-038）

作者簡介： ??高歌（2000-）， 女， 碩士研究生， 主要研究方向?yàn)榉磻?yīng)擴(kuò)散方程理論及應(yīng)用. E-mail： gaoge201223@163.com

通訊作者： ?董亞瑩. E-mail： dongyaying@xpu.edu.cn